Funções. Funções. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos

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1 Funções Funções Um dos conceitos mais importantes da matemática é o conceito de função. Em muitas situações práticas, o valor de uma quantidade pode depender do valor de uma segunda. A procura de carne pelo consumidor, por eemplo, pode depender do seu preço atual no mercado. A quantidade de ar poluído, numa área metropolitana, depende do número de veículos pender da safra. Essas relações são matematicamente representadas por funções. Sejam A e B dois conjuntos. Uma função é uma relação em que a cada elemento de A, se associa um único elemento de B, e é indicada por f : A B. A relação entre os conjuntos A e B é dada através de uma regra de associação epressa na forma f (). Essa regra diz, que o elemento A pendente, está relacionado de modo único ao elemento f () B, A e indicamos A Dom( f ) e o conjunto B, de contradomínio. O conjunto imagem, indicado como Im( f ) é o conjunto dos elementos de B aos quais foram associados elementos de A, isto é, Im( f ) { B f () para algum A}. O número B, f () recebe o nome de valor da função f no ponto. Você, ao longo do curso, quando apresentado às disciplinas de Economia, terá oportunidade de fazer aplicações nos cálculos poder entender melhor os problemas relacionados a economia. Este tema será aplicado nas disciplinas de Administração da Produção e Administração de Materiais. A partir deste momento, passaremos a nos preocupar com os aspectos das funções reais de uma variável real. 25

2 Curso de Graduação em Administração a Distância Eemplo 3. A função indicada por f : 0,0 tal que, f () 2, é a relação cujo domínio é 0,0 e contradomínio é o conjunto dos números reais. A regra que associa a todo ponto 0,0 um único número real f () 2. O conjunto imagem é o conjunto dos números reais não negativos. Deste modo, f (0) 0 2, f () 2 2, f (6) , f (0) Eemplo 3.2 Sejam A e f : A 0, tal que f () real f (), isto é, a regra que associa a todo ponto A o número em 0,. Assim, f 2 2 2, 2 3 f , 4 f 0,99 0,99 0,0 00, f 3 3 2, f ,00. Observação Quando o domínio e o contradomínio de uma função estão contidos no conjunto dos números reais, a função é chamada de uma função real de variável real. Duas funções são iguais, somente quando têm os mesmos domínios, contradomínio e regra de associação. 26

3 Eemplo 3.3 As funções f :, f () 2, e g :(, ), g() 2, têm domínios Dom( f ) e Dom(g) (, ). Essas funções são distintas, pois têm domínios diferentes, apesar de terem a mesma regra de associação e o mesmo contradomínio. Os conjuntos imagem de ambas são também distintos: Im( f ) [0, +) e Im(g) =[0, ). Operações com funções Sejam f e g A. Soma das funções A função* A, tal que s() f () g() recebe o nome de função SOMA de f e g. Eemplo 3.4 Se f () 3 e g() 3 2 2, com, então a função s, tal que s() é a soma de f e g. Produto de funções A função p A, tal que p() f ().g() recebe o nome de função produto de f e g. Eemplo 3.5 Se f () 3 e g() 3 2 2, com, então a função p, tal que p() 3.(3 2 2) é o produto de f e g. Divisão de funções Se g() 0 para todo A, a função q A, tal que q() f () é o quociente de f e g. g() Função*: Na Matemática, função ção (com algumas características determinadas) entre membros de dois ou mais conjuntos. Funções descrevem relações matemáticas especiais entre dois objetos, e. O objeto do o argumento da função f e o objeto que depende de de pela f. Função: Em Administração, função é o que relaciona determinado componente ao objetivo de um sistema administrativo. Eemplo: função marketing. Eemplo 3.6 Sejam f () 4 e g() 4 2, com. A função q 4, tal que q() é o quociente das funções f e g

4 Curso de Graduação em Administração a Distância f : A B, dada como f (), é o conjunto dos pontos do plano, cujas coordenadas no sistema cartesiano retangular são dadas por (, f ()), onde A. Para isto, construímos um quadro (, f ()), atribuindo a valores convenientes. Eemplo 3.7 Representar graficamente a função f () 3, 0,3. Resolução: Temos o seguinte quadro: = f () = ,5,5 2 2,5 3 Figura 3. Eemplo 3.8 f (),. Resolução: Temos o seguinte quadro: 28

5 = f () = Figura 3.2 Eemplo 3.9 2, se 0 f ()., se 0 Resolução: Tendo 0, f () 2 e para 0, f (), construímos o seguinte quadro

6 Curso de Graduação em Administração a Distância Figura 3.3 Uma função f tal que f () f (), Dom( f ), é chamada de função par. Quando f () f (), Dom( f ), a função é chamada de função ímpar. Eemplo 3.0 A função f :[2, 2], dada pela f () 2 é par, pois f () () 2 2 f (), [2, 2]. A função f () 3, [2, 2], é ímpar. De fato, f () () 3 3 f (). tudo até aqui? Procure então, resolver os eercícios propostos. Observação ção ao eioy (, ) pertence ao (, ) também pertence. Quando uma (, ) o ponto (,) 30

7 Eercícios propostos a) f : 0, 3, f (). b) 5 3, 4,3. c) 2 4, 0,4. d) 2, se < 0., se 0 e) 3, 3. A {, / > 0 } e B, f () 3 e g() 2 3 3) Dadas as funções f () 3 2 3,, e g() 2 5, (0, ) f com g. Agora, vamos estudar alguns tipos de função. estudo sobre funções (e demais tópicos) tratados dúvidas ou não conseguiu resolver os eercícios o material, veja os eemplos mais uma vez, refaça os E busque esclarecimentos junto ao Sistema de 3

8 Curso de Graduação em Administração a Distância Funções elementares A seguir apresentaremos algumas funções elementares. Função constante A função que associa cada elemento do seu domínio a um mesmo Eemplo 3..A função f :[0, ), f () 2, é uma função cons- 0, 2 do seu domínio é o seguinte: 2 0 Figura 3.4: NO INTERVALO 0, 2 2 f () a b, a e b são números reais dados. Quandob 0, a função a, e que intercepta os eios coordenados X e Y nos pontos b a,0 e 0, b, respectivamente. Eemplo 3.2, tomando-se a e b, ou seja, f (), no intervalo[, 2], é mostrado a seguir. 32

9 4 2 0,5 0 0,5, Figura 3.5 a b. Precisamos apenas determinar a eb. Função módulo f (), 0, 0 0 Figura 3.6 Função quadrática Sejam a,b e c números reais quaisquer, com a 0. A função f, e dada por f () a 2 b c recebe nome de função quadrática. 33

10 Curso de Graduação em Administração a Distância Eemplo 3.3 (i) f () a ; b 9; c 4. (ii) f () a 5; b 25; c 0. (iii) f () a 2 3 ; b 3 4 ; c 5. Função polinomial É toda função cuja regra de associação é um polinômio, ou seja, f () a n n a n n... a a 0, a 0,a,...,a n são números reais e n é um número f (). Eemplo 3.4 de grau n. A função quadrática f () a 2 b c, a 0, é uma função polinomial de grau n 2. A função f () é uma função polinomial de grau n 4. Função racional É toda função f, cuja regra de associação é do tipo f () p() q(), onde p() e q() (q() 0 ) são funções polinomiais. Uma função polinômio q(). Eemplo 3.5 Determine o maior domínio possível da função racional f () 2. Resolução: Uma função racional, com esta regra de associação, está, tal que 0. Portanto, o maior domínio possível é o conjunto. 34

11 0 Figura 3.7 Função eponencial e logarítmica Função eponencial de base a Seja a um número positivo e a. A função f : (0, ), dada por f () a a dessas funções, são os seguintes: a. a a > 0 Figura

12 Curso de Graduação em Administração a Distância 0 a. a < a 0 Figura 3.9 O conjunto imagem da função eponencial é o intervalo(0, ). Apresentaremos, a seguir, as propriedades de eponenciação. Propriedades da função eponencial As seguintes propriedades valem para quaisquer a,b,, R com a 0,b 0 : P. a a a. P2. (a b ) (ab). P3. P4. a a a. a b a b. P5. (a ) (a ) a. A função eponencial mais comum em aplicações é a função eponencial de base a e onde e 2, é a constante de Euler, eponencial natural ou, simplesmente, função eponencial. 36

13 Função logaritma Seja a um número positivo ea. A função definida por f () log a 0, recebe o nome de função logarítmico de base a. log a 0 a a > Figura 3.0 log a 0 a 0 <a < Figura 3. Propriedades da função logaritma Para todo, 0, valem as seguintes propriedades. P. Propriedade do produto: log a () = log a log a. P2. Propriedade do quociente: log a = log log. a a P3. Propriedade da potenciação: log a ( ) log a. 37

14 Curso de Graduação em Administração a Distância O logaritmo, na base a e comum indicá-lo como ln. Função composta Dadas as funções f e g, a função composta, denotada por F() f o g F() ( f o g)() f g(). e o domínio de f o g é o conjunto de todos os números no domínio de g, tal que g() esteja no domínio de f. Geralmente, f o g g o f. Eemplo 3.6 Sejam f a função definida por g() 5. Determinar e g por a) F() f o g, e determine o domínio de F. b) G() g o f, e determine o domínio deg. Resolução: a) F() f o g () f g() f O domínio de g é,, e domínio de f é,. Assim sendo o domínio de F é o conjunto dos números reais, para os quais 4 0, ou seja, 4, ainda, 4,. b) G() g o f Como o domínio de f é, domínio de G é,. () gf() g 5.. E o domínio de g é,, o 38

15 Eemplo 3.7 Sejam f f () 2 e g 2 por g() 2 4. Determinar a) F() f o g, e determine o domínio de F. b) G() g o f, e determine o domínio deg. Resolução: a) F() f o g() f g() f O domínio de g é,, e o domínio de f é. 0 Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dos números reais, tal que 2. b) G() g o f () gf() g O domínio de g é,, e o domínio de f é. 0 Assim sendo, o domínio de G é 0. Eemplo 3.8 Sejam f f () log e g por g() 5. Determinar a) F() f o g, e determine o domínio de F. b) G() g o f, e determine o domínio deg. Resolução: a) F() f o g () f g() f 5 log 5. O domínio de g é,, e o domínio de f é 0. Assim sendo, o domínio de F é o conjunto dos números reais tal que 5. b) G() g o f () gf() glog log 5. O domínio de g é,, e odomínio de f é 0 Assim sendo, o domínio de G é 0. 39

16 Curso de Graduação em Administração a Distância Funções crescentes e decrescentes Seja I um intervalo qualquer da reta e f I. Sejam e 2 com 2 dois pontos quaisquer de I. Dizemos que f é uma função crescente em I, quando f ( ) f ( 2 ), ou seja, à medida que aumenta o valor de, dentro do intervalo I, as imagens correspondentes também aumentam. Analogamente, dizemos que f é uma função decrescente em I quando f ( ) f ( 2 ), ou seja, à medida que aumenta o valor de, dentro do intervalo I, as imagens correspondentes vão diminuindo. A f( 2 ) f f( ) f f( ) f( 2 ) função crescente < 2 e f( ) <f( 2 ) função decrescente < 2 e f( ) >f( 2 ) Figura 3.2 Eemplo 3.9 f () a, a é uma função crescente para qualquer número real f () log a, 0 e 0 a é uma função decrescente para todo 0. 40

17 Função inversa Uma função f : A B é inversível quando a relação inversa da f também é uma função. Nesse caso, diz-se que a f tem função inversa f : B A. Dada uma função f : A B, f (), a relação inversa da f e indicaremos por f (). Propriedades da função inversa Seja f uma função inversível e f a sua inversa. Então, temos as seguintes propriedades: P. Dom( f ) Im( f ) ; P2. Im( f ) Dom( f ) ; P3. Seja f : A B uma função inversível. A função g : B A é função inversa da f, quando para todo A e todo B tem-se gf() e f g(). P4. f f em relação à reta diagonal (, ) pertence ao f, então o ponto (,) f. Eemplo 3.20 As funções f :[0, ) [0, ), f () 2, e g :[0, ) [0, ), g(), são inversas uma da outra, pois e g( f ()) f () 2, Dom( f ), f (g()) (g()) 2 = 2 =, Dom(g), onde g f. Note que, Dom( f ) Im( f ) e Im( f ) Dom( f ). 4

18 Curso de Graduação em Administração a Distância Regra Prática Dada a regra de associação da f, f (). Para se obter a regra f, procede-se assim: º: A partir de f (), trocamos por e por, obtendo f () ; 2º: Epressamos em função de, transformando algebricamente a epressão f () em f (). Eemplo 3.2 Seja f :, f () 3 5. Determine a função inversa f (). Resolução: Vamos aplicar a regra prática. º: Trocando por e por, vem 3 5 ; 2º: Epressando em função de, vem f (). 3 Portanto, f () 5 é a função inversa de f () Eemplo 3.22 Seja f : f () Determine a função inversa f (). Resolução: Aplicando a regra prática, temos f ()

19 Logo, f (). Portanto, f () é a função inversa de f () Eemplo 3.23 O número de certo produto, demandado numa loja, relaciona-se com o preço unitário p, conforme a função demanda p 2. Determine a função inversa da função demanda p, ou seja, 3 determine o preço em função da quantidade demandada. Resolução: Como p 0 devemos ter ou 0 2. Aplicando a 3 regra prática, temos p p p p 2 3, para 0 7. Portanto, p 2 3 é a função inversa de p 2 3 Eemplo 3.24 Determinar a função inversa da função demanda. p Resolução: Como 0, devemos ter Assim, ou p p , ou seja, p

20 Curso de Graduação em Administração a Distância Aplicando a regra prática, temos p ou, 2 44 p p p p , 0 4. Portanto, p é a função inversa de p Funções trigonométricas A função seno e a função cosseno B (cos, sen ) - 0 A - Figura 3.3: O Círculo Trigonométrico Vamos convencionar o seguinte: o ponto A é a origem dos arcos de um arco é positivo quando 44

21 f :, indicada como f () sen, que associa a cada número real, entendido como o comprimento de um arco AB ª B no eio. 0 Figura 3.4: A função cosseno é a função f : indicada por f () cos, que associa cada número real, entendido aqui também como o comprimento de um arco AB ª B no eio0x Figura 3.5: Sendo o comprimento de um arco AB ª ria, a ordenada e a abcissa de B, sen ecos, são no máimo e, no mínimo,, qualquer que seja, como se constata eaminando-se a Uma função f () 45

22 Curso de Graduação em Administração a Distância algum p, a relação f () f ( p), qualquer que seja Domf. O menor valor de p, para o qual se tem f ( p) f () para qualquer f. As funções seno e cosseno são funções periódicas com período 2, ou seja, sen 2 sen e cos 2 cos As funções sen e cos relações ou identidades trigonométricas: (i) cos 2 sen 2. (ii) sena b sen a cosb cosa sen b. (iii) cosa b cosa cosb sen a sen b. (iv) sen(2a) 2 sen a cosa. (v) cos(2a) cos 2 a sen 2 a. (vi) cos 2 a (vii) sen 2 a Função tangente cos(2a) 2 cos(2a) 2 A função f : A, f () tg tg sen cos, onde A cos 0 A função tangente é periódica. Seu período é Figura 3.6

23 Função secante É a função f : A, indicada por f () sec, onde sec cos e A cos Figura 3.7: A função secante é uma função par e periódica com período 2. Seu conjunto imagem é Im(sec ) (, ] [, ). Função cossecante É a função f : A, onde A é o conjunto dos números reais, tais que sen 0, dada por f () cossec sen 47

24 Curso de Graduação em Administração a Distância Figura 3.8: A função cossec é uma função periódica com período 2. Seu conjunto imagem é o conjunto: Im(cossec ) (, ] [, ) Função cotagente A função f : A, dada por f () cotg cos sen onde A é o conjunto dos números reais, tais que sen 0 função cotangente Figura 3.9: 48

25 A função cotangente é uma função periódica de período e Im(cotg ) Figura 3.20: Observação 3.3 Na literatura eistem as funções trigonométricas inversas, mas nesse trabalho não faremos, estudo destas funções. A seguir, apresentaremos algumas aplicações práticas de funções em forma de eemplos. Função receita Eemplo 3.25 Um bem é vendido por R$300,00 a unidade. Sendo a quantidade vendida, a receita de vendas será 300. Podemos dizer que R() 300 é uma função que fornece a quantidade vendida à receita correspondente. Eemplo 3.26 Uma sorveteria vende um picolé por R$6,00. Seja a quantidade vendida. a) obtenha a função receitar() ; 49

26 Curso de Graduação em Administração a Distância b) calcule R(50) ; c) qual a quantidade que deve ser vendida para dar uma receita igual a R$.200,00? Resolução: a) R() 6. b) R(50) c) Devemos ter Logo, a quantidade vendida deve ser de 20 picolés. Função Custo e Lucro do Primeiro Grau Seja a quantidade produzida de um produto. O custo total de produção depende de to total e a indicamos porc(). Eistem custos que não dependem da quantidade produzida, tais como, aluguel, seguro e outros. À soma desses CF ; a parcela do custo que depende de, de custo variável, e indicamos porcv (). Logo, podemos escrever: C() CF CV (). A função lucro L() receita R() e a função custo C(), e temos L() R() C(). R$6.000,00 e o custo variável por unidade é R$ 5,00. Então a função custo total é dada por C() de serão 0,, 2,... Caso o produto for, digamos, toneladas de soja produzidas, os valores de serão números reais positivos. 50 Eemplo 3.27 Um produto é vendido por R$20,00 a unidade (preço constante). A função receita serár() 20

27 da função receita e o da função custo C() num mesmo sistema de coordenadas cartesianas, R() R() e C() C() A c Figura 3.2: R() 20 e C() no mesmo sistema de coordenadas. A abscissa, c, do ponto A ou ponto crítico. Note que: Se c, então R() C() e L() 0. Se c, então R() C() e L() 0. Função demanda Eemplo 3.28 O número de certo produto demandado por mês numa loja, relaciona-se com o preço unitário p, conforme a função demanda p 20 0,004. por mês será ,004 0,

28 Curso de Graduação em Administração a Distância p 20 0,004, é dado a seguir: p Figura 3.22 Funções quadráticas receita e lucro Eemplo 3.29 A função de demanda de certo produto é p 20, e a função custo é C() 30, onde é a quantidade demandada. Determinar: a) a função receita e o preço que a maimiza. b) a função lucro e o preço que o maimiza. Resolução: R() p Logo, a função receita é R() 2 20 R () Figura

29 DeR() 2 20, temos a ;b 20;c 0. Logo, o valor de que maimiza R() 2 20 é a abscissa do vértice V b 2a 20 0, para uma receita máima de 2 () R(0) Portanto, temos uma receita máima de R$00,00 para uma demanda de 0 itens do produto. b) A função lucro é L() R() C(). Assim, L() onde , a ; b 9; c 30. L() abaio L () 60,25 0,74 9,5 7,26 Figura 3.24 O valor de, que maimiza a função lucro L() , é a abscissa do vértice V b 2a 9 2 () 9 9,5 para um lucro 2 máimo de L(9,5) 9, , ,25 80, ,25 Portanto, temos um lucro máimo de R$240,75. 53

30 Curso de Graduação em Administração a Distância Eercícios propostos 2 ) Seja a função f () 4 3, calcule: a) f (2) ; b) f (a ) ; c) f ( h) ; d) f () f (h) ; e) f ( h) f (),h 0. h 2) Seja a função g() 5 2 4, calcule: a) g() ; b) g 4 ; c) g( h) g(),h 0 ; h d) g ; e) g(2) g(). 3) Seja a função f () 2 3, calcule: a) f () ; b) f (2); c) f (3) ; d) f 2 ; e) f (2). f () 2 2, com o Dom( f ) 3,2,,0,, 2,3. a) f () 3 2 ; 54

31 b) f () 3 ; c) f () 5 2. f, de domínio Dom( f ), dada por f () 2, se 0., se 0 7) Sejam as funções f () e g(), determine: a) f o g e Dom( f o g). b) g o f e Dom(g o f ). c) f o f e Dom( f o f ). 8) O custo de fabricação de unidades de certo produto é dado pela funçãoc() a) Qual o custo de fabricação de 30 unidades? b) Qual o custo de fabricação da vigésima unidade, já tendo sido fabricadas dezenove unidades? 9) Dada a função demanda p 20 2 e a função custoc() 5, determine: a) O valor de que maimiza a receita. b) O valor de que maimiza o lucro. da função receita, dada por R() 4 dada por C() 50 2 e determine o ponto de nivelamento. faça o estudo do sinal. 2) Um fabricante de brinquedos pode produzir um determinado brinquedo a um custo de R$0,00 por unidade. Está estimado que se o preço de venda do brinquedo for de cada, então o número de

32 Curso de Graduação em Administração a Distância a) Epressar o lucro mensal do fabricante como uma função de. b) Utilize o resultado da letra a para determinar o lucro mensal se o preço de venda for de R$35,00 cada. 3) Seja f :[0, ) [2, ), f () = 2 2. Determine a inversa da função f. 4) Determinar a função inversa da função demanda p ) Indicando o custo médio correspondente a unidades produzidas porcm(), temos CM() C() onde C() é o custo de fabricação de unidades de um produto. O custo de fabricação de unidades de um produto éc() a) Qual o custo médio de fabricação de 80 unidades? b) Qual o custo médio de fabricação de 00 unidades? c) Para que valor tende o custo médio à medida que aumenta?. Saiba Mais... Para aprofundar os conteúdos abordados nesta Unidade, consulte: FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A: Funções, Limite, Derivação, Integração. 5ª ed. São Paulo: Makron Books, 992. MORENTTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BuSSAB, Winton de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva,

33 RESUMO compreender que uma função é uma relação entre conjuntos, que associa cada elemento de um dos conjuntos um único - e suas respectivas aplicações. Interpretou a função módulo, a função polinomial, a função racional, a função eponencial, a função logaritma, a função composta, as funções crescentes e decrescentes e a função inversa. 57

34 Curso de Graduação em Administração a Distância RESPOSTAS Eercícios propostos 2) f g 3) f () g() 3 4 8, f () g() ( 3 2 3).(2 5) e f () g() Eercícios propostos 2 ) a) ; b)4a ; c)4 4h 3; d) 4 4h 6 ; e) 4. 2) a) 9; b) ; c)0 5h 4 ; 6 d) ; e) ) a) 6 b) 3; c) 6; d) 3 ; e) )

35 5) a) Dom( f ) ; b)dom( f ),3 ; c) Dom( f ) 5,. 6) ) a) f o g b) g o f c) f o f e Dom( f o f ). e Dom( f o g) ; e Dom(g o f ) ; 8) a) 360; b) 2. 9) a) 5. b)

36 Curso de Graduação em Administração a Distância 0) Ponto de nivelamento é ) Lucro L() Se 0 25, então R() C() e, portanto L() 0, ou seja, prejuízo. Se 25, então R() C() e, portanto L() 0, ou seja, lucro positivo. 2) Função receita: R() 250 ; 60

37 Função custo: C() a) Função lucro: L() 250 0; b) ) f () 2. 4) ) a) 5 6 ; b) 4 20 ; c) A medida que aumenta o custo médio tende para 5(cinco). 6

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