Prof. Weber Campos 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Prof. Weber Campos webercampos@gmail.com. 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor."

Transcrição

1 EP FISL Raciocínio Lógico - GEOMETRI ÁSI - TRIGONOMETRI 01 opyri'ght. urso gora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

2 ÍNDIE Exercícios Resolvidos de GEOMETRI 0 Exercícios de GEOMETRI das Vídeoaulas 15 Gabarito 18 Exercícios Resolvidos de TRIGONOMETRI 19 Exercícios de TRIGONOMETRI das Vídeoaulas 6 Gabarito 8

3 EXERÍIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRI 01. alcule o ângulo x na figura abaixo, sabendo que H e I são, respectivamente, a altura e a bissetriz relativas ao vértice do triângulo. x 54º 0º H I No triângulo H, temos que o ângulo é 90º. ssim, o ângulo deste triângulo será igual a 6º (=180º 90º 54º). b 6º x 54º 0º H I No triângulo, para que a soma dos ângulos seja igual a 180º, é necessário que o ângulo seja igual a 96º (=180º 54º 0º). Daí, vem a igualdade: 6º + x + b = 96º Resolvendo, vem: x + b = 96º 6º x + b = 60º (1ª equação) Da informação da bissetriz I, podemos igualar as duas partes que esta bissetriz divide. Teremos: 6º + x = b (ª equação) O valor de b, nesta ª equação, será lançado na 1ª equação. Teremos: x + (6º + x) = 60º x = 60º 6º x = 4º x = 1º (Resposta!) 0. O triângulo da figura abaixo tem perímetro igual a 5 cm. O segmento P é a bissetriz de  e as medidas dos segmentos e P são, respectivamente, 1 cm e 9 cm. alcule a medida do segmento. 1 P 9

4 Designaremos por x a medida do segmento e por y a medida do segmento P. x 1 y P omo o perímetro do triângulo é igual a 5, podemos formar a seguinte equação: x + y = 5 Simplificando, vem: x + y = 14 E pelo teorema da bissetriz interna, temos: Isolando y na primeira equação e substituindo na segunda, teremos: Resolvendo, vem: 9 (Resposta!) 0. Determine o valor de x na figura abaixo. 5 4 x D O triângulo D é um triângulo retângulo. hamaremos o segmento D de m e depois aplicaremos o teorema de Pitágoras no triângulo D. 5 = 4 + m m = 5 16 m = hamaremos a hipotenusa de a e aplicaremos a relação métrica: c = m.a. 5 =. a a = 5/ Para encontrar x, aplicaremos a relação métrica: b.c = a.h. x. 5 = 5/. 4 x = 0/ (Resposta!) 4

5 04. Na figura abaixo, D é um quadrado e DE é um triângulo equilátero. alcule e. E D Os ângulos do quadrado D são iguais a 90º e os ângulos do triângulo eqüilátero DE são iguais a 60º. hamaremos de a o ângulo e de b o ângulo. 90º E b a b 60º D 0º 0º 60º 60º Os quatro lados do quadrado e mais os lados DE e E do triângulo são todos congruentes entre si. Daí pode-se observar no desenho acima que o triângulo E é isósceles. Deste modo, esse triângulo possui dois ângulos iguais: β. seja: soma dos ângulos internos do triângulo E deve ser igual a 180º. Ou b + b + 0º = 180º b = 150º b = 75º O ângulo é reto e é igual à soma dos ângulos a e b. Daí, vem: a + b = 90º a + 75º = 90º a = 15º 5

6 05. Na figura abaixo, D é um trapézio cujas bases são: = 4 cm e D = 10 cm. Sejam M o ponto médio do lado D e N o ponto médio do lado. Os pontos P e Q são os pontos de intersecção de MN com as diagonais e D. alcule o segmento PQ. 4 cm M P Q N 10 cm O segmento MN é a base média do trapézio, daí vem: O segmento MP é uma base média do triângulo, daí vem: O segmento QN é a base média do triângulo D, daí vem: Já temos condições de calcular PQ. Observe no desenho que a medida PQ é igual a: (MN MP QN). Daí vem: D 06. figura abaixo apresenta um hexágono regular inscrito numa circunferência. alcule as medidas dos ângulos x, y e z. x F z y E O ângulo interno de um polígono regular é dado pela expressão: 180º.(n- )/n. Onde n é o número de lados. No hexágono, o n é 6. Daí, o ângulo interno do hexágono é igual a: 180º.(6-)/6 = / 6 = 10º ssim, temos que:. D 6

7 O triângulo é isósceles, pois =. Daí, os ângulos das bases são iguais a x. Veja o desenho abaixo: x 10º x soma dos ângulos internos do triângulo deve ser igual a 180º. x + x + 10º = 180º x = 60º x = 0º No quadrilátero DEF, as bases ED e F são paralelas e os lados D e FE são iguais, assim os ângulos e são congruentes. E os ângulo internos e do hexágono são iguais a 10º. Veja o desenho abaixo: F z z 10º 10º E D soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 60º. Daí vem: z + z + 10º + 10º = 60º z = 60º - 40º z = 60º Passemos ao cálculo de y. O ângulo interno do hexágono é igual a 10º. E esse ângulo é composto pelos ângulos (60º), y e (0º). Temos, então: + y + = 60º + y + 0º = 10º y = 10º - 90º y = 0º Esse cálculo de y era dispensável, pois observe no desenho da questão que os ângulos x e y são alternos internos e, portanto, congruentes. 07. Na figura abaixo, o ângulo é congruente ao ângulo, = 16 cm, = 1 cm, = 16 cm e P = 6 cm. alcule as medidas dos segmentos PQ e Q P 6 Q 1 7

8 Na figura acima, podemos observar dois triângulos: e PQ, onde o ângulo é comum aos dois triângulos. Separaremos os dois triângulos colocando as medidas de cada um P x 6 1 Q y omo há dois ângulos em comum, é claro que o terceiro ângulo também será comum. Daí, os triângulos são semelhantes. Vamos reposicionar o segundo triângulo de forma que os ângulos dos dois triângulos se correspondam. Q x P 6 y omo são semelhantes, faremos a proporção entre os lados correspondentes: Igualando a primeira e a última fração, encontraremos o valor de x: álculo de y: à à à à 08. Na figura abaixo, é um triângulo eqüilátero de lado 8 cm e M é o ponto médio de. alcule Q, sabendo que P = 10 cm. M Q 8 10 P M é o ponto médio de e chamaremos de N o ponto médio de. Interligando os pontos M e N, o segmento MN fica paralelo a, e a medida do segmento MN é igual à metade do segmento, ou seja, MN = 8/ = 4. 8

9 M Q 4 4 N 4 10 P Vamos destacar abaixo o triângulo MNP. M Q 4 N 4 10 P omo MN é paralelo a Q, então o ângulo é igual ao ângulo. E como o ângulo é comum aos triângulos MNP e QP, então esses triângulos têm dois ângulos em comum. Desse modo, os triângulos MNP e QP são semelhantes. Da semelhança entre os dois triângulos, podemos estabelecer a seguinte proporção: Substituindo pelas medidas dos segmentos, teremos: Resolvendo, vem: Q = (4. 10)/14 = 40/14 = 0/7 =,86 cm (Resposta!) 09. alcule o raio r da circunferência abaixo: 8,6 r Observe que o segmento é o diâmetro da circunferência, assim traçaremos o segmento a fim de formar o triângulo retângulo. 9

10 8 r-,6,6 r r projeção do cateto na hipotenusa é igual a diferença entre o diâmetro (r) e a projeção do cateto na hipotenusa (,6), ou seja, r,6. Usaremos agora a relação métrica: b =n.a. 8 = (r,6). r Resolvendo, vem: 64 = 4r 7,r 4r 7,r 64 = 0 r 1,8r 16 = 0 s raízes são: r =5 e r =-,. Portanto, r= alcule a área da parte sombreada dentro quadrado D de lados 1 cm. Observe que os pontos e D são centros de circunferências de mesmo raio. ssim, D = E = DE = 1 cm. Desse modo, o triângulo DE é eqüilátero, com lados iguais a 1 cm e ângulos iguais a 60º. E º 1 D área do triângulo eqüilátero DE é dada por: Área do DDE = = O setor circular DE tem área igual a: Área do setor DE = = = 10

11 diferença entre a área do setor circular DE e a área do triângulo DE é igual à área do segmento circular DE. Área do segmento circular DE = Observe no último desenho que a área sombreada corresponde à soma das áreas de três partes: segmento circular E, triângulo DE e segmento circular DE. Área sombreada = ( ) + + ( ) = (Resposta!) 11. (F-STN-000 ESF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, x e (y-). Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede x é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a a) y (x + 1) d) (x + y) b) y ( + ) e) x + y c) x ( + ) De acordo com o enunciado, podemos desenhar o seguinte triângulo retângulo: x y- a tangente de a é 1, daí a = 45º. gora, conhecemos dois ângulos internos do triângulo: 90 o e 45º. O terceiro ângulo também será 45º graus para que a soma dos ângulos internos seja 180º. omo o triângulo possui dois ângulos iguais, então ele é isósceles, com x=y-. No desenho anterior, substituiremos y- por x. x a x hipotenusa a pode ser encontrada a partir do Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. plicando o teorema, teremos: a = x + x 45 o a = x à a = x à a = x Portanto, temos que os catetos medem x e a hipotenusa x. O perímetro do triângulo é igual à soma dos lados: perímetro = x + x + x = x + x = x(+ ) Resposta: alternativa. 11

12 1. (MPOG e ENP 006 ESF) razão de semelhança entre dois triângulos, T 1, e T, é igual a 8. Sabe-se que a área do triângulo T 1 é igual a 18 m. ssim, a área do triângulo T é igual a a) 4 m. b) 16 m. c) m. d) 64 m. e) m. Da semelhança entre triângulos, temos a seguinte proporção: á á Onde k é a razão de semelhança entre os triângulos T 1 e T. Lançando os dados fornecidos na questão na proporção acima, teremos: á Resolvendo, vem: á Resposta: alternativa E. 1. (nalista de Recursos Financeiros SERPRO 001 ESF) Um triângulo tem lados que medem, respectivamente, 6m, 8m e 10m. Um segundo triângulo, que é um triângulo semelhante ao primeiro, tem perímetro igual a 1m. área do segundo triângulo será igual a: a) 6 m d) 48 m b) 1 m e) 60 m c) 4 m Se os dois triângulos são semelhantes, então os lados correspondentes são proporcionais. Designando por a, b e c os lados do segundo triângulo, teremos: a b c = = O perímetro do segundo triângulo é 1. Daí: a + b + c = 1. De acordo com as propriedades da proporção, podemos fazer a seguinte igualdade: a b c a+ b+ c = = = Sabemos que a + b + c = 1, daí: a b c = = = = 0,5 Igualando cada fração ao valor 0,5, encontraremos as incógnitas a, b e c. a 6 = 0,5 b 8 = 0,5 c 10 = 0,5 à a= à b=4 à c=5 1

13 Já temos os valores dos lados do triângulo. área deste triângulo pode ser encontrada através da seguinte fórmula: área= p( p- a)( p-b)( p-c) Onde p é o semi-perímetro e a, b, e c são os lados do triângulo. O semi-perímetro do triângulo de lados, 4, e 5 é igual a 1/ = 6. Substituindo os valores, teremos: área = 6(6- )(6-4)(6-5) à área = 6 1 à área = 6 Este resultado é a resposta da questão! ontudo, queremos apresentar outra solução para o cálculo da área. Todo triângulo que tem lados iguais a, 4 e 5 é um triângulo retângulo. Observe como os lados seguem o teorema de Pitágoras: 5 = + 4. Portanto, caso apareça no enunciado de uma questão um triângulo com lados iguais a esses valores ou múltiplos desses valores (6, 8 e 10; 9, 1 e 15;...), estaremos diante de um triângulo retângulo. área de um triângulo retângulo é facilmente calculada, pois um dos catetos é a altura e o outro cateto é a base. 4 5 área = (base x altura)/ = ( x 4)/ = 6 m Resposta: alternativa. 14. (F 005 ESF) Em um triângulo qualquer, um dos lados mede cm e um outro mede cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45, então a área do triângulo é igual a a) 1 - c) 1 b) d) 1 - e) 1 Para o cálculo da área do triângulo, basta a simples aplicação da fórmula: área = (a. b. sen a)/ Onde: a e b são lados do triângulo, e a é o ângulo entre estes dois lados. plicando a fórmula, teremos: área = (.. sen45º)/ O seno de 45º é /. (É importante memorizarmos os senos e cossenos dos ângulos notáveis: 0º, 0º, 45º, 60º, 90º, 180º e 70º.) Daí: área = (.. /)/ = / = 1 Resposta: alternativa E. 1

14 15. (F-SF 001 ESF) Um hexágono é regular quando, unindo-se seu centro a cada um de seus vértices, obtém-se seis triângulos equiláteros. Desse modo, se o lado de um dos triângulos assim obtidos é igual a / m, então a área, em metros, do hexágono é igual a: a) 9 d) 4 7 b) e) c) Desenhamos abaixo o hexágono regular, e observe que ele é formado por seis triângulos eqüiláteros. do triângulo. área do triângulo eqüilátero é dada pela fórmula: a 4, onde a é o lado Foi informado que o lado do triângulo é igual a /. Lançando este valor na fórmula da área, teremos: área do triângulo = ( / ) 4 = / 4 = 8 área do hexágono é seis vezes a área do triângulo, daí: área do hexágono = Resposta: alternativa. 6 =

15 EXERÍIOS DE GEOMETRI DS VÍDEOULS 01. (TRF/010 Esaf) Sejam X, Y e Z três pontos distintos de uma reta. O segmento XY é igual ao triplo do segmento YZ. O segmento XZ mede centímetros. Desse modo, uma das possíveis medidas do segmento XY, em centímetros, é igual a: a) 7 c) 5 e) 7 b) 48 d) 6 0. (F 005 ESF) Um feixe de 4 retas paralelas determina sobre uma reta transversal,, segmentos que medem cm, 10 cm e 18 cm, respectivamente. Esse mesmo feixe de retas paralelas determina sobre uma reta transversal,, outros três segmentos. Sabe-se que o segmento da transversal, compreendido entre a primeira e a quarta paralela, mede 90 cm. Desse modo, as medidas, em centímetros, dos segmentos sobre a transversal são iguais a: a) 6, 0 e 54 d) 14, 6 e 50 b) 6, 4 e 50 e) 14, 0 e 56 c) 10, 0 e (Processo Seletivo Simplificado 008 ESF) Dois triângulos, X Y Z e X Y Z são semelhantes. O lado X Y do triângulo X Y Z mede 0 cm e seu lado homólogo X Y, do triângulo X Y Z, mede 40 cm. Sabendo-se que o perímetro do triângulo X Y Z é igual a 00 cm, então o perímetro do triângulo X Y Z é, em centímetros, igual a: a) 100 c) 150 e) 05 b) 105 d) (SEFZ/SP POFP 009 ESF) Em uma cidade, às 15 horas, a sombra de um poste de 10 metros de altura mede 0 metros e, às 16 horas do mesmo dia, a sombra deste mesmo poste mede 5 m. Por interpolação e extrapolação lineares, calcule quanto mediria a sombra de um poste de 0 metros, na mesma cidade, às 15h0min do mesmo dia. a) 45m c) 0m e) 65m b) 5m d) 50m 05. (Oficial de hancelaria MRE 00 ESF) O ângulo de um triângulo qualquer mede 76. ssim, o menor ângulo formado pelas bissetrizes externas relativas aos vértices e deste triângulo vale: a) 50 d) 64 b) 5 e) 18 c) (MPOG e ENP 006 ESF) base de um triângulo isósceles é metros menor do que a altura relativa à base. Sabendo-se que o perímetro deste triângulo é igual a 6 metros, então a altura e a base medem, respectivamente a) 8 m e 10 m. d) 14 m e 1 m. b) 1 m e 10 m. e) 16 m e 14 m. c) 6 m e 8 m. 07. (SUSEP 010 ESF) soma S 1 dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados, com n³, é dada por S i =(n-).180. O número de lados de três polígonos convexos, P 1, P, e P, são representados, respectivamente, por (x- ), x e (x+). Sabendo-se que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 40, então o número de lados do polígono P e o total de diagonais do polígono P são, respectivamente, iguais a: a) 5 e 5 b) 5 e 44 15

16 c) 11 e 44 d) 5 e 11 e) 11 e (MPOG 005 ESF) Se de um ponto P qualquer forem traçados dois segmentos tangentes a uma circunferência, então as medidas dos segmentos determinados pelo ponto P e os respectivos pontos de tangência serão iguais. Sabe-se que o raio de um círculo inscrito em um triângulo retângulo mede 1 cm. Se a hipotenusa desse triângulo for igual a 0 cm, então seu perímetro será igual a: a) 40 cm d) 4 cm b) 5 cm e) 45 cm c) cm 09. (F-GU 008 ESF) Um quadrilátero convexo circunscrito a uma circunferência possui os lados a, b, c e d, medindo (4 x - 9), ( x + ), x e x, respectivamente. Sabendo-se que os lados a e b são lados opostos, então o perímetro do quadrilátero é igual a: a) 5 d) 4 b) 0 e) 50 c) (gente de Fazenda - Prefeitura do RJ Esaf) Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo circunscrito e a área do círculo inscrito? a) b) c) d) 4 e) (SUSEP 010 ESF) Um círculo está inscrito em um triângulo isósceles de base 6 e altura 4. alcule o raio desse círculo. a) 1,50 b) 1,5 c) 1,00 d) 1,75 e),00 1. (Fiscal de Rendas - Prefeitura RJ 010 Esaf) Um círculo está inscrito em um triângulo equilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. a) b) c) d) e) 4 1. (gente de Fazenda - Prefeitura do RJ Esaf) Um equipamento no valor D vai ser depreciado em n períodos, ocorrendo a primeira depreciação no fim do primeiro período, a segunda depreciação no fim do segundo período e assim por diante. Plotando-se no eixo vertical de um gráfico bidimensional os valores de D k, onde D k é o valor remanescente do equipamento após a k-ésima depreciação, com k = 1,,..., n, os pontos (k,d k ) estarão sobre a reta que passa pelos pontos (0,D) e (n,0). Supondo n=10 e D = R$ ,00, qual o valor remanescente do equipamento após a sétima depreciação? 16

17 a) R$ 1.500,00 b) R$ ,00 c) R$ ,00 d) R$ ,00 e) R$ 0.000, (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ Esaf) onsidere um terreno quadrado com área de 1600 m e vértices,, e D, sendo que e são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a diagonal D a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice? a) 0 m b) 17, m c) 4,64 m d) 8,8 m e) 14,14 m 15. (FT 010 Esaf) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de comprimento cada uma. Sendo a área desse quadrilátero, então: a) = 5. b) c) < 5. d) 0 5. e) (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ Esaf) onsidere um cubo no qual a área de cada face mede 4 cm. Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo mede, em centímetros: a). b). c) 4. d). e). 17. (TRF/010 Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? a) 5. b) 7,5. c) /. d) 5. e) (gente de Trabalhos de Engenharia Sec Mun da Fazenda RJ Esaf) Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base d é: a) V. d) V. b) 4V. e) V. c) πv. 17

18 GRITO DE GEOMETRI nulada 08. D E D D

19 EXERÍIOS RESOLVIDOS DE GEOMETRI 01. onverter 60º para radianos. Para converter de graus para radianos podemos usar uma regra de três simples: p rad º x rad º Daí: 180.x = 60.p Þ x = 60p/180 = p/ Resposta: 60º = p/ rad 0. onverter p/6 radianos para graus. onverteremos graus para radianos também através de uma regra de três simples: 180º p rad x p/6 rad Daí: p.x = 180. p/6 Þ x = 180/6 = 0 Resposta: p/6 rad = 0º 0. Qual é o ângulo congruente a 1480º? Para calcular esse ângulo devemos dividir o ângulo por 60º. (40) 4 O quociente 4 significa o número de voltas completas que o 1480º dá no ciclo trigonométrico. O resto 40 é exatamente o ângulo congruente a 1480º. Portanto, temos que 1480º é congruente a 40º. 04. Qual é o ângulo positivo congruente a 1950º? (150) 5 O quociente 5 significa o número de voltas completas que o 1950º dá no círculo trigonométrico no sentido horário. O resto 150 é o valor absoluto em graus que o ângulo de 1950º percorre após completar as 5 voltas. Daí, 1950º é congruente a 150º. Para o 150 completar uma volta falta percorrer um valor absoluto em graus de 10º (= 60º 150º). Daí, 10º é o ângulo positivo congruente a 150º e a 1950º. 19

20 05. alcular sen 150º e cos 5º. omo o 150º é do segundo quadrante, podemos aplicar a fórmula sen (180º-a) = sen a. Substituindo a por 150º, teremos: sen (180º-a) = sen a sen (180º 150º) = sen 150º sen (0º) = sen 150º Ou seja: sen 150º = sen 0º = 1/. omo o ângulo de 5º está no º quadrante, podemos aplicar a fórmula cos (180º+a) = cos a. Fazendo 180º+a=5º, o valor de a fica em 45º. Daí: cos (180º+a) = cos a cos (5º) = cos 45º cos (5º) = 06. Se 90º < x < 180º e cotg x = -4/, calcule sen x. O ângulo x é do º quadrante, logo sen x é positivo. cotangente é o inverso da tangente, assim ela é dada pela razão entre cosseno e seno. teremos: cotg x = -4/ Þ cos x/sen x = -4/ Þ. Substituindo cos x por sen x + cos x = 1 Þ sen x + = 1 sen x + = 1 9sen x + 16sen x = 9 5sen x = 9 sen x = 9/5 Þ sen x = ± /5 Sabemos que o sen x é positivo, daí: sen x = /5 (resposta!) na relação fundamental entre seno e cosseno, 07. Sendo tg x = / e sen y = 4/5, com 0º < x < 90º e 90º < y < 180º, calcule a tangente da soma entre x e y. Para calcular a tangente de y, precisamos antes obter o cos y. cos y = ± 1- sen y = ± 1- (4 / 5) = ± / 5 9 = ± /5 omo y é um ângulo do º quadrante, então ele é negativo. cos y = - /5 Daí, vem: tg y = sen y / cos y = 4/5 / (-/5) = - 4/ 0

21 Podemos agora aplicar a fórmula da tangente da soma de dois ângulos. tg x+ tg y /+ (-4/) tg ( x+ y) = = 1-tg x tg y 1- / (-4/) Resolvendo, vem: tg ( x+ y) = -6/17 (Resposta!) 08. Na figura abaixo, a circunferência tangencia os lados do ângulo ˆ V nos pontos e. alcule o raio da circunferência de acordo com as medidas dadas. r V 60º 10 m Podemos deduzir da figura acima que: 1º) a bissetriz do ângulo ˆ V passa pelo centro da circunferência; º) o segmento que une o centro da circunferência com o ponto é perpendicular ao segmento V. Teremos, então, o seguinte desenho: V 0º 0º 10 m O triângulo OV é um triângulo retângulo. razão trigonométrica da tg 0º é: tg 0º = r / 10 tangente é a razão entre seno e cosseno, daí vem: sen 0º/cos 0º = r / 10 Sabemos que: sen 0º=1/ e cos 0º=. ( ) 1 /( ) 1 / = r / 10 r = O = r / = m r 10 (Resposta!) 1

22 09. Num terreno plano, uma pessoa vê um prédio sob um ângulo de 60º. fastando-se do edifício em mais 0 metros, passa a ver o edifício sob um ângulo de 45º. Qual é a altura do prédio? O desenho da questão é: P h 45º 0 60º d S No triângulo PS, temos: Þ Þ No triângulo PS, temos: Þ Þ Daí: Þ Þ Þ (Resposta!) 10. alcule o lado de um triângulo no qual = 10, = 0º e = 45º. onsidere que sen 105º=0,97. omo a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, o ângulo é igual a 105º (=180º-0º-45º). O desenho do triângulo é: c 45º b 0º º Para encontrar o lado, aplicaremos a lei dos senos. 10 sen 45 Resolvendo, vem: c 0 c = sen c = / 0,97 = 10 0,97 0

23 19,4 19,4 c = = = 9,7 aso a questão pedisse o raio da circunferência circunscrita ao triângulo, a reposta seria: 10 sen = R Þ = R Þ R= / 0 = Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 16 cm e formam entre si um ângulo de 60º. alcule o terceiro lado do triângulo. O desenho do triângulo da questão é: 10 b 60º 16 Temos os dados necessários para aplicar a lei dos cossenos. b = cos 60º Resolvendo, vem: b = / b = b = 196 b = 14 cm (Resposta!) 1. Um triângulo tem lados iguais a 8 cm, 10 cm e 1 cm. alcule o seno do ângulo oposto ao lado de 10 cm. om os dados fornecidos no enunciado, temos o seguinte triângulo: 8 10 x 1 plicando a lei dos cossenos, encontraremos o cosseno do ângulo x. 10 = cos x Resolvendo, vem: 100 = cos x cos x = 108/19 = 9/16 Mas a questão não quer o cos x, mas sim o sen x. Usaremos a relação fundamental entre seno e cosseno.

24 sen x = ± 1- cos x = ± (9 /16) = ± 16 O seno de um ângulo interno de um triângulo é sempre positivo, pois esse ângulo interno é um valor entre 0º e 180º. Daí, a resposta da questão é: 5 7 sen x = (FTN 1998/ESF) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: (cosx + senx) + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: a) c) -1 e) 1 b) 0 d) - Uma identidade trigonométrica é uma igualdade que se verifica para quaisquer valores atribuídos a variável envolvida nas funções trigonométricas. Na expressão do enunciado, temos a variável x envolvida com as funções seno e cosseno. Vamos desenvolver o termo (cosx + senx) que aparece na expressão. Teremos: (cosx + senx) = cos x +.cosx.senx + sen x (cosx + senx) = sen x + cos x +.cosx.senx (cosx + senx) = 1 +.cosx.senx Substituindo o termo (cosx + senx) por 1+.cosx.senx na expressão dada no enunciado, teremos: 1+.cosx.senx + y.senx.cosx - 1 = 0.cosx.senx + y.senx.cosx = 0 Vamos colocar em evidência o termo senx.cosx: senx.cosx.( + y) = 0 Se (+y) for igual a zero, então qualquer que seja o valor atribuído a x a expressão acima será verificada. Daí: (+y)=0 Resposta: alternativa D. Þ y= 14. (F 005 ESF) O sistema dado pelas equações x sen a y cos a = cos a x cos a + y sen a = sen a possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que a é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a a) 1 c) 4 e) cos π b) d) sen π questão afirma que x e y são as raízes do sistema. Então a soma dos quadrados das raízes, solicitada na questão, é dada por: x + y Para que apareça nas equações do sistema os valores de x e y, devemos elevar ao quadrado ambos os lados das equações do sistema. ssim, teremos: 4

25 (x.sen a y.cos a) = ( cos a) (x.cos a + y.sen a) = (sen a) (x.sen a) (x.sen a)(y.cos a) + (y.cos a) = ( cos a) (x.cos a) + (x.cos a)(y.sen a) + (y.sen a) = (sen a) x.sen a xy.sen a.cos a + y cos a = cos a x.cos a + xy.cos a.sen a + y.sen a = sen a Somando membro a membro as duas equações do sistema, teremos: x.sen a + x.cos a y cos a + y.sen a = cos a + sen a x.(sen a + cos a) + y.(cos a + sen a) = cos a + sen a x.(1) + y.(1) = 1 x + y = 1 Resposta: alternativa. 15. alcule o cos ( arc sen1/ 4). Faremos arc sen 1/4 = x. Daí, temos: sen x = 1/4 O arco seno é definido no intervalo [-90º, 90º]. omo o sen x é positivo, então o ângulo x está no 1º quadrante. Substituindo arc sen 1/4 por x na expressão do enunciado, ficaremos apenas com a expressão cos x. plicando a relação fundamental entre seno e cosseno, teremos: cos x= ± 1- sen x cos x =± 1- (1/ 4) cos x = ± 15/16 cos x= ± 15 4 Sabemos que o ângulo x está no 1º quadrante, desse modo só nos interessa o valor positivo do cosseno. cos = 15 4 x (Resposta!) 5

26 EXERÍIOS DE TRIGONOMETRI DS VÍDEOULS 01. (F 00 ESF) expressão dada por y = 4(cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. ssim, o intervalo de variação de y é: a) -4 y 8 c) - y e) 0 y 8 b) 0 < y 8 d) 0 y 4 0. (Sec dministração PE 008 FGV) Se cos x = -1/, então cos 6x é igual a: ) 0 D) ) 1 E) -1 ) 1/ 0. (Processo Seletivo Simplificado 008 ESF) Se x é um arco do segundo quadrante e seno de x é igual a 1/, então a tangente de x é igual a: a) b) c) - d) 1 1 e) (Fiscal do Trabalho 006 ESF) Sabendo-se que cos x + sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: a) -4/ d) -5/ b) 4/ e) 1/7 c) 5/ 05. (Esp. em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG/000 ESF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a ( 1/ )/, e que co-seno de 60º é igual a 1/. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo a é igual ao dobro do produto do seno de a pelo co-seno de a. ssim, a tangente do ângulo suplementar a 60 0 é: a) - 1/ d) ( 1/ )/ b) - ( 1/ ) e) - ( 1/ )/ c) 1/ 06. (Especialista em Pol. Públicas e Gestão Governamental MPOG 00 ESF) Sabese que a função inversa da função seno é a função cossecante e que o seno do dobro de um arco é dado por sen x = sen x cos x. Sabendo-se que x é um arco do segundo quadrante e que o cosseno da metade deste arco é igual a 1/, então a cossecante de x vale: - a) d) - b) e) 1 c) 07. (FRF 009 Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 0º em relação a um plano horizontal. onsiderando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? 6

27 a) 0, km b) 0,65 km c) 0,5 km d) 1, km e) 1 km 08. (F-GU 008 ESF) Sabendo que x= arc cos e que o valor da expressão cos(x - y) é igual a: 6+ a) d) b) e) 4 c) 1 arc sen y=, então 09. (F/GU 01 Esaf) alcule o determinante da matriz: a) 1 b) 0 c) cos x d) sen x e) sen (x/) 10. (FT 010 Esaf) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0 y 180 com y ¹ 90. o multiplicarmos a matriz abaixo por a, sendo a ¹ 0, qual o determinante da matriz resultante? a) b) c) d) 0 e) 7

28 GRITO DE TRIGONOMETRI 01. E D 8

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana

Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Métrica Plana p. 0 Na figura a seguir tem-se r // s // t e y. diferença y é igual a: a) c) 6 e) b) d) 0 8 ( I) y 6 y (II) plicando a propriedade

Leia mais

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9

C Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET www.concursosecursos.com.br RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 9 TRIGONOMETRIA TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere um triângulo ABC, retângulo em  ( = 90 ), onde a é a medida da hipotenusa, b e c, são as medidas dos catetos e a, β são os ângulos

Leia mais

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%)

94 (8,97%) 69 (6,58%) 104 (9,92%) 101 (9,64%) 22 (2,10%) 36 (3,44%) 115 (10,97%) 77 (7,35%) 39 (3,72%) 78 (7,44%) 103 (9,83%) Probabilidade 10 (0,95%) Distribuição das.08 Questões do I T A 9 (8,97%) 0 (9,9%) 69 (6,58%) Equações Irracionais 09 (0,86%) Equações Exponenciais (, 0 (9,6%) Geo. Analítica Conjuntos (,96%) Geo. Espacial Funções Binômio de Newton

Leia mais

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras:

Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo. 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: Assunto: Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo 1) Calcule o seno, o co-seno e a tangente dos ângulos indicados nas figuras: b) 15 5 α α 1 resp: sen α =/5 cos α = /5 tgα=/ resp: sen α = 17 cos α

Leia mais

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura.

REVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência. h, onde b representa a base e h representa a altura. NOME: ANO: º Nº: POFESSO(A): Ana Luiza Ozores DATA: Algumas definições Áreas: Quadrado: EVISÃO Lista 07 Áreas, Polígonos e Circunferência A, onde representa o lado etângulo: A b h, onde b representa a

Leia mais

CADERNO DE ATIVIDADES / MATEMÁTICA TECNOLOGIAS

CADERNO DE ATIVIDADES / MATEMÁTICA TECNOLOGIAS VSTIULR VILS 0. alcule x na figura: x + 0º x + 0º RNO TIVIS / MTMÁTI TNOLOGIS 0. Na figura, é o lado de um quadrado inscrito e é o lado do decágono regular. Qual a medida de x? x 0. Na figura a seguir,

Leia mais

Aula 10 Triângulo Retângulo

Aula 10 Triângulo Retângulo Aula 10 Triângulo Retângulo Projeção ortogonal Em um plano, consideremos um ponto e uma reta. Chama-se projeção ortogonal desse ponto sobre essa reta o pé da perpendicular traçada do ponto à reta. Na figura,

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M2 Trigonometria nos Triângulos

Matemática. Resolução das atividades complementares. M2 Trigonometria nos Triângulos Resolução das atividades complementares Matemática M Trigonometria nos Triângulos p. 1 Em cada caso, calcule o seno, o cosseno e a tangente do ângulo agudo assinalado. a) b) sen γ = cos γ = tg γ 1 sen

Leia mais

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas

Aula 12 Áreas de Superfícies Planas MODULO 1 - AULA 1 Aula 1 Áreas de Superfícies Planas Superfície de um polígono é a reunião do polígono com o seu interior. A figura mostra uma superfície retangular. Área de uma superfície é um número

Leia mais

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são:

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: TRIÂNGULO RETÂNGULO Triângulo retângulo é todo triângulo que tem um ângulo reto. O triângulo ABC é retângulo em A e seus elementos são: a: hipotenusa b e c: catetos h: altura relativa a hipotenusa m e

Leia mais

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI

LISTÃO DE EXERCÍCIOS DE REVISÃO IFMA PROFESSOR: ARI 01.: A figura mostra um edifício que tem 15 m de altura, com uma escada colocada a 8 m de sua base ligada ao topo do edifício. comprimento dessa escada é de: a) 12 m. b) 30 m. c) 15 m. d) 17 m. e) 20 m.

Leia mais

AV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x

AV1 - MA 13-2011 UMA SOLUÇÃO. b x Questão 1. figura abaixo mostra uma sequência de circunferências de centros 1,,..., n com raios r 1, r,..., r n, respectivamente, todas tangentes às retas s e t, e cada circunferência, a partir da segunda,

Leia mais

Relações Métricas nos. Dimas Crescencio. Triângulos

Relações Métricas nos. Dimas Crescencio. Triângulos Relações Métricas nos Dimas Crescencio Triângulos Trigonometria A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triângulo Metrein = Mensuração - Relação entre ângulos e distâncias; - Origem

Leia mais

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo.

Triângulo Retângulo. Exemplo: O ângulo do vértice em. é a hipotenusa. Os lados e são os catetos. O lado é oposto ao ângulo, e é adjacente ao ângulo. Triângulo Retângulo São triângulos nos quais algum dos ângulos internos é reto. O maior dos lados de um triângulo retângulo é oposto ao vértice onde se encontra o ângulo reto e á chamado de hipotenusa.

Leia mais

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de

(c) 30% (d) 25% aprovados. é a quantidade de: Em uma indústria é fabricado um produto ao custo de QUESTÃO - EFOMM 0 QUESTÃO - EFOMM 0 Se tgx sec x, o valor de senx cos x vale: ( 7 ( ( ( ( O lucro obtido pela venda de cada peça de roupa é de, sendo o preço da venda e 0 o preço do custo quantidade vendida

Leia mais

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes:

TRIÂNGULO RETÂNGULO. Os triângulos AHB e AHC são semelhantes, então podemos estabelecer algumas relações métricas importantes: TRIÂNGULO RETÂNGULO Num triângulo retângulo, os lados perpendiculares, aqueles que formam um ângulo de 90º, são denominados catetos e o lado oposto ao ângulo de 90º recebe o nome de hipotenusa. O teorema

Leia mais

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:

Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Num triângulo retângulo, definimos o cosseno de seus ângulos agudos O triângulo retângulo da figura

Leia mais

Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas.

Assinale as proposições verdadeiras, some os valores obtidos e marque os resultados na Folha de Respostas. PROVA APLICADA ÀS TURMAS DO O ANO DO ENSINO MÉDIO DO COLÉGIO ANCHIETA EM MARÇO DE 009. ELABORAÇÃO: PROFESSORES OCTAMAR MARQUES E ADRIANO CARIBÉ. PROFESSORA MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÕES DE 0 A 08.

Leia mais

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br

A Matemática no Vestibular do ITA. Material Complementar: Prova 2014. c 2014, Sergio Lima Netto sergioln@smt.ufrj.br A Matemática no Vestibular do ITA Material Complementar: Prova 01 c 01, Sergio Lima Netto sergioln@smtufrjbr 11 Vestibular 01 Questão 01: Das afirmações: I Se x, y R Q, com y x, então x + y R Q; II Se

Leia mais

ÁREAS. 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB AD, BC CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é

ÁREAS. 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB AD, BC CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é ÁRES 01 (UFMG) Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se,, = 10 m, = 70 m, = 40 m e = 80 m, então a área do terreno é a) 1 500 m b) 1 600 m c) 1 700 m d) 1 800 m 0 (FMMG) - Observe a figura. Nessa figura,

Leia mais

Construções Fundamentais. r P r

Construções Fundamentais. r P r 1 Construções Fundamentais 1. De um ponto traçar a reta paralela à reta dada. + r 2. De um ponto traçar a perpendicular à reta r, sabendo que o ponto é exterior a essa reta; e de um ponto P traçar a perpendicular

Leia mais

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750

Colégio Anglo de Sete Lagoas Professor: Luiz Daniel (31) 2106-1750 Lista de exercícios de Geometria Espacial PRISMAS 1) Calcular a medida da diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões 10 cm, 8 cm e 6 cm 10 2 cm 2) Determine a capacidade em dm 3 de um paralelepípedo

Leia mais

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge.

Matemática 2. 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um. 02. Abaixo temos uma ilustração da Victoria Falls Bridge. Matemática 2 01. A estrutura abaixo é de uma casa de brinquedo e consiste de um paralelepípedo retângulo acoplado a um prisma triangular. 1,6m 1m 1,4m Calcule o volume da estrutura, em dm 3, e indique

Leia mais

Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01

Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01 Atividade 01 Ponto, reta e segmento 01 1. Crie dois pontos livres. Movimente-os. 2. Construa uma reta passando por estes dois pontos. 3. Construa mais dois pontos livres em qualquer lugar da tela, e o

Leia mais

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4

(A) 30 (B) 6 (C) 200 (D) 80 (E) 20 (A) 6 (B) 10 (C) 15 (D) 8 (E) 2 (A) 15 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 (A) 3 (B) 2 (C) 6 (D) 27 (E) 4 TEOREMA DE TALES. Na figura abaixo as retas r, s e t são (A) 0 (B) 6 (C) 00 (D) 80 (E) 0. Três retas paralelas são cortadas por duas Se AB = cm; BC = 6 cm e XY = 0 cm a medida, em cm, de XZ é: (A) 0 (B)

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência

Matemática. Resolução das atividades complementares. M20 Geometria Analítica: Circunferência Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: ircunferência p. (Uneb-A) A condição para que a equação 6 m 9 represente uma circunferência é: a), m, ou, m, c) < m < e), m, ou,

Leia mais

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é:

2) Se z = (2 + i).(1 + i).i, então a) 3 i b) 1 3i c) 3 i d) 3 + i e) 3 + i. ,será dado por: quando x = i é: Aluno(a) Nº. Ano: º do Ensino Médio Exercícios para a Recuperação de MATEMÁTICA - Professores: Escossi e Luciano NÚMEROS COMPLEXOS 1) Calculando-se corretamente as raízes da função f(x) = x + 4x + 5, encontram-se

Leia mais

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO

ROTEIRO DE ESTUDO - 2013 VP4 MATEMÁTICA 3 a ETAPA 6 o ao 9º Ano INTEGRAL ENSINO FUNDAMENTAL 1º E 2º ANOS INTEGRAIS ENSINO MÉDIO 6 o ANO MATEMÁTICA I Adição e subtração de frações: Frações com denominadores iguais. Frações com denominadores diferentes. Multiplicação de um número natural por uma fração. Divisão entre um número natural

Leia mais

Programa Olímpico de Treinamento. Aula 1. Curso de Geometria - Nível 2. Prof. Rodrigo Pinheiro

Programa Olímpico de Treinamento. Aula 1. Curso de Geometria - Nível 2. Prof. Rodrigo Pinheiro Programa Olímpico de Treinamento urso de Geometria - Nível 2 Prof. Rodrigo Pinheiro ula 1 Introdução Nesta aula, aprenderemos conceitos iniciais de geometria e alguns teoremas básicos que utilizaremos

Leia mais

Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799 sistema métrico na França

Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799 sistema métrico na França CURSO DE ENGENHARIA CARTOGRÁFICA Carlos Aurélio Nadal Doutor em Ciências Geodésicas Professor Titular do Departamento de Geomática - Setor de Ciências da Terra Sistema Internacional de unidades (SI). 22/06/1799

Leia mais

Geometria Plana 03 Prof. Valdir

Geometria Plana 03 Prof. Valdir Geometria lana 03 rof. Valdir TS TÁVEIS E U TRIÂGUL 1. RIETR É o ponto de equilíbrio ou centro de gravidade do triângulo. baricentro coincide com o ponto de intersecção das medianas do triângulo (na figura

Leia mais

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar

GAAL - 2013/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar GAAL - 201/1 - Simulado - 1 Vetores e Produto Escalar SOLUÇÕES Exercício 1: Determinar os três vértices de um triângulo sabendo que os pontos médios de seus lados são M = (5, 0, 2), N = (, 1, ) e P = (4,

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C

TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. alternativa D. alternativa A. alternativa D. alternativa C Questão TIPO DE PROVA: A Se a circunferência de um círculo tiver o seu comprimento aumentado de 00%, a área do círculo ficará aumentada de: a) 00% d) 00% b) 400% e) 00% c) 50% Aumentando o comprimento

Leia mais

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010

PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-2011 DA MACKENZIE RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia. 13 / 12 / 2010 PROVAS DE MATEMÁTICA DO VESTIBULARES-0 DA MACKENZIE Profa. Maria Antônia Gouveia. / / 00 QUESTÃO N o 9 Dadas as funções reais definidas por f(x) x x e g(x) x x, considere I, II, III e IV abaixo. I) Ambas

Leia mais

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

FUVEST 2008 2 a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia. FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia Q0 João entrou na lanchonete BOG e pediu hambúrgueres, suco de laranja e cocadas, gastando R$,0 Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8

Leia mais

Considere um triângulo eqüilátero T 1

Considere um triângulo eqüilátero T 1 Considere um triângulo eqüilátero T de área 6 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados desse triângulo, obtém-se um segundo triângulo eqüilátero T, que tem os pontos médios dos lados de T como vértices.

Leia mais

Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN

Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Soluções das Questões de Matemática do Processo Seletivo de Admissão ao Colégio Naval PSACN Questão Concurso 00 Seja ABC um triângulo com lados AB 5, AC e BC 8. Seja P um ponto sobre o lado AC, tal que

Leia mais

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA

RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_2007_ 2A FASE. RESOLUÇÃO PELA PROFA. MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA RESOLUÇÀO DA PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR DA FUVEST_007_ A FASE RESOLUÇÃO PELA PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA Questão Se Amélia der R$3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia Se Maria

Leia mais

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se

Se ele optar pelo pagamento em duas vezes, pode aplicar o restante à taxa de 25% ao mês (30 dias), então. tem-se "Gigante pela própria natureza, És belo, és forte, impávido colosso, E o teu futuro espelha essa grandeza Terra adorada." 01. Um consumidor necessita comprar um determinado produto. Na loja, o vendedor

Leia mais

Prof. Weber Campos 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

Prof. Weber Campos 2012 Copyri'ght. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. DNIT Raciocínio Lógico - GEOMETRI ÁSI - TRIGONOMETRI webercampos@gmail.com 01 opyri'ght. urso gora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. ÍNDIE Resumo de Geometria 0 Eercícios Resolvidos de

Leia mais

Bissetrizes e suas propriedades.

Bissetrizes e suas propriedades. Semana Olímpica 013 - Prof. ícero Thiago - olégio ETP/SP issetrizes e suas propriedades. Teorema 1. Seja XOY umângulodadoep umpontoemseuinterior. Então, adistância de P a XO é igual à distância de P a

Leia mais

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência

Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência Exercícios de Matemática Geometria Analítica - Circunferência ) (Unicamp-000) Sejam A e B os pontos de intersecção da parábola y = x com a circunferência de centro na origem e raio. a) Quais as coordenadas

Leia mais

CPV O cursinho que mais aprova na fgv

CPV O cursinho que mais aprova na fgv O cursinho que mais aprova na fgv FGV economia a Fase 0/novembro/008 MTEMÁTI 0. umentando a base de um triângulo em 0% e reduzindo a altura relativa a essa base em 0%, a área do triângulo aumenta em %.

Leia mais

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra

1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra GEOMETRIA PLANA: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 2 1. (Unesp 2003) Cinco cidades, A, B, C, D e E, são interligadas por rodovias, conforme mostra a figura. A rodovia AC tem 40km, a rodovia AB tem 50km, os ângulos

Leia mais

Áreas e Aplicações em Geometria

Áreas e Aplicações em Geometria 1. Introdução Áreas e Aplicações em Geometria Davi Lopes Olimpíada Brasileira de Matemática 18ª Semana Olímpica São José do Rio Preto, SP Nesse breve material, veremos uma rápida revisão sobre áreas das

Leia mais

Escola da Imaculada. Estudo da Pirâmide. Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio

Escola da Imaculada. Estudo da Pirâmide. Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio Escola da Imaculada Estudo da Pirâmide Aluno (a): Professora: Jucélia 2º ano ensino médio Estudo da Pirâmide 1- Definição As pirâmides são poliedros cuja base é uma região poligonal e as faces laterais

Leia mais

FUVEST VESTIBULAR 2005 FASE II RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA.

FUVEST VESTIBULAR 2005 FASE II RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. FUVEST VESTIBULAR 00 FASE II PROFA. MARIA ANTÔNIA GOUVEIA. Q 0. Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$9, 00, e unidades do produto B, pagando R$8,00. Sabendo-se

Leia mais

TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 2. Questão 4. alternativa E. alternativa A. alternativa B

TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 2. Questão 4. alternativa E. alternativa A. alternativa B Questão TIPO DE PROVA: A Em uma promoção de final de semana, uma montadora de veículos colocou à venda n unidades, ao preço único unitário de R$ 0.000,00. No sábado foram vendidos 9 dos Questão Na figura,

Leia mais

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 05/04/14 PROFESSOR: MALTEZ

RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 05/04/14 PROFESSOR: MALTEZ RESOLUÇÃO VLIÇÃO E MTEMÁTI o NO O ENSINO MÉIO T: 05/0/1 PROFESSOR: MLTEZ QUESTÃO 01 São dados os triângulos retângulos E e TE conforme a figura ao lado; T se = E = E = 60 cm, então: E Os triângulos e TE

Leia mais

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab.

Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito. Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso a medida ab. MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL Avaliação 1 - MA13-2015.2 - Gabarito Questão 01 [ 2,00 pts ] Sendo dados os segmentos de medidas a e b, descreva como construir com régua e compasso

Leia mais

DIDÁTIKA - RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS EXTRAS

DIDÁTIKA - RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS EXTRAS DIDÁTIKA - RESOLUÇÕES DOS EXERCÍCIOS EXTRAS 01. Na figura, ABCD é um quadrado e ADE é um triângulo retângulo em E. Se P é o centro do quadrado, prove que a semirreta EP é a bissetriz do ângulo AED. Resolução.

Leia mais

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul

Resolução da Prova da Escola Naval 2009. Matemática Prova Azul Resolução da Prova da Escola Naval 29. Matemática Prova Azul GABARITO D A 2 E 2 E B C 4 D 4 C 5 D 5 A 6 E 6 C 7 B 7 B 8 D 8 E 9 A 9 A C 2 B. Os 6 melhores alunos do Colégio Naval submeteram-se a uma prova

Leia mais

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS.

ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS. ESCOLA DE ESPECIALISTAS DE AERONÁUTICA COLETÂNEA DE PROVAS DE MATEMÁTICA DO EXAME DE ADMISSÃO AO CURSO DE FORMAÇÃO DE SARGENTOS ÁLGEBRA I: 003 a 013 Funções: definição de função; funções definidas por

Leia mais

Prova Final 2012 1.ª chamada

Prova Final 2012 1.ª chamada Prova Final 01 1.ª chamada 1. Num acampamento de verão, estão jovens de três nacionalidades: jovens portugueses, espanhóis e italianos. Nenhum dos jovens tem dupla nacionalidade. Metade dos jovens do acampamento

Leia mais

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR

ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR ITA - 2005 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere os conjuntos S = {0,2,4,6}, T = {1,3,5} e U = {0,1} e as afirmações: I. {0} S e S U. II. {2} S\U e S T U={0,1}.

Leia mais

CURSO DE GEOMETRIA LISTA

CURSO DE GEOMETRIA LISTA GEOMETRI Ângulos Obs.: Dois ângulos são congruentes quando têm a mesma abertura. Exemplos: Ângulos complementares Soma (medida) 90º Ângulos suplementares Soma (medida) 180º issetriz bissetriz de um ângulo

Leia mais

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio.

1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 1. Examine cada relação e escreva se é uma função de A em B ou não. Em caso afirmativo determine o domínio, a imagem e o contradomínio. 2. (Fgv) Um vendedor recebe mensalmente um salário fixo de R$ 800,00

Leia mais

Geometria Euclidiana Plana Parte I

Geometria Euclidiana Plana Parte I CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1 Geometria Euclidiana Plana Parte I Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção Lucas Araújo dos Santos - Engenharia de Produção O que veremos

Leia mais

MATEMÁTICA. Prova resolvida. Material de uso exclusivo dos alunos do Universitário

MATEMÁTICA. Prova resolvida. Material de uso exclusivo dos alunos do Universitário Prova resolvida Material de uso exclusivo dos alunos do Universitário Prova de Matemática - UFRGS/00 0. Durante os jogos Pan-Americanos de Santo Domingo, os rasileiros perderam o ouro para os cuanos por

Leia mais

Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos

Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos Geometria Plana: Áreas de regiões poligonais Triângulo e região triangular O conceito de região poligonal

Leia mais

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial

Geometria Métrica Espacial. Geometria Métrica Espacial UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 1. Prismas Geometria Métrica

Leia mais

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36

a = 6 m + = a + 6 3 3a + m = 18 3 a m 3a 2m = 0 = 2 3 = 18 a = 6 m = 36 3a 2m = 0 a = 24 m = 36 MATEMÁTICA Se Amélia der R$ 3,00 a Lúcia, então ambas ficarão com a mesma quantia. Se Maria der um terço do que tem a Lúcia, então esta ficará com R$ 6,00 a mais do que Amélia. Se Amélia perder a metade

Leia mais

Quarta lista de exercícios.

Quarta lista de exercícios. MA092 Geometria plana e analítica Segundo semestre de 2015 Quarta lista de exercícios. Circunferência e círculo. Teorema de Tales. Semelhança de triângulos. 1. (Dolce/Pompeo) Um ponto P dista 7 cm do centro

Leia mais

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) =

MÓDULO 29. Trigonometria I. Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA. Fórmulas do arco duplo: 1) sen (2a) = 2) cos (2a) = Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias MATEMÁTICA MÓDULO 9 Trigonometria I Resumo das principais fórmulas da trigonometria Arcos Notáveis: Fórmulas do arco duplo: ) sen (a) = ) cos (a) = 3)

Leia mais

EXAME NACIONAL DE QUALIFICAÇÃO 2013-2 GABARITO. Questão 1.

EXAME NACIONAL DE QUALIFICAÇÃO 2013-2 GABARITO. Questão 1. EXAME NACIONAL DE QUALIFICAÇÃO 0 - Questão. GABARITO Considere um triângulo equilátero de lado e seja A sua área. Ao ligar os pontos médios de cada lado, obtemos um segundo triângulo equilátero de área

Leia mais

5. DESENHO GEOMÉTRICO

5. DESENHO GEOMÉTRICO 5. DESENHO GEOMÉTRICO 5.1. Retas Paralelas e Perpendiculares No traçado de retas paralelas ou perpendiculares é indispensável o manejo adequado dos esquadros. Na construção das retas perpendiculares e

Leia mais

01- Assunto: Equação do 2º grau. Se do quadrado de um número real positivo x subtrairmos 4 unidades, vamos obter o número 140. Qual é o número x?

01- Assunto: Equação do 2º grau. Se do quadrado de um número real positivo x subtrairmos 4 unidades, vamos obter o número 140. Qual é o número x? EXERCÍCIO COMPLEMENTARES - MATEMÁTICA - 9º ANO - ENSINO FUNDAMENTAL - ª ETAPA ============================================================================================== 01- Assunto: Equação do º grau.

Leia mais

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma.

ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço reservado para a mesma. 2ª Fase Matemática Introdução A prova de matemática da segunda fase é constituída de 12 questões, geralmente apresentadas em ordem crescente de dificuldade. As primeiras questões procuram avaliar habilidades

Leia mais

1 Módulo ou norma de um vetor

1 Módulo ou norma de um vetor Álgebra Linear I - Aula 3-2005.2 Roteiro 1 Módulo ou norma de um vetor A norma ou módulo do vetor ū = (u 1, u 2, u 3 ) de R 3 é ū = u 2 1 + u2 2 + u2 3. Geometricamente a fórmula significa que o módulo

Leia mais

Anexo B Relação de Assuntos Pré-Requisitos à Matrícula

Anexo B Relação de Assuntos Pré-Requisitos à Matrícula Anexo B Relação de Assuntos Pré-Requisitos à Matrícula MINISTÉRIO DA DEFESA EXÉRCITO BRASILEIRO DEPARTAMENTO DE EDUCAÇÃO E CULTURA DO EXÉRCITO DIRETORIA DE EDUCAÇÃO PREPARATÓRIA E ASSISTENCIAL RELAÇÃO

Leia mais

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida.

Matemática. Atividades. complementares. 9-º ano. Este material é um complemento da obra Matemática 9. uso escolar. Venda proibida. 9 ENSINO 9-º ano Matemática FUNDAMENTAL Atividades complementares Este material é um complemento da obra Matemática 9 Para Viver Juntos. Reprodução permitida somente para uso escolar. Venda proibida. Samuel

Leia mais

. Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2x donde 2x = 44 e então x = 22, como antes.

. Para que essa soma seja 100, devemos ter 56 + 2x donde 2x = 44 e então x = 22, como antes. OBMEP 008 Nível 3 1 QUESTÃO 1 Carlos começou a trabalhar com 41-15=6 anos. Se y representa o número total de anos que ele trabalhará até se aposentar, então sua idade ao se aposentar será 6+y, e portanto

Leia mais

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas

Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B =

Leia mais

Geometria Plana Noções Primitivas

Geometria Plana Noções Primitivas Geometria Plana Noções Primitivas Questão 1 (CESGRANRIO-85) Numa carpintaria, empilham-se 50 tábuas, umas de 2 cm e outras de 5 cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número

Leia mais

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe

O B. Podemos decompor a pirâmide ABCDE em quatro tetraedros congruentes ao tetraedro BCEO. ABCDE tem volume igual a V = a2.oe GABARITO - QUALIFICAÇÃO - Setembro de 0 Questão. (pontuação: ) No octaedro regular duas faces opostas são paralelas. Em um octaedro regular de aresta a, calcule a distância entre duas faces opostas. Obs:

Leia mais

2013 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor.

2013 Copyright. Curso Agora eu Passo - Todos os direitos reservados ao autor. Curso: Exercícios ESAF para Receita Federal 2013 Disciplina: Raciocínio Lógico-Quantitativo Assunto: Tópico 03 Geometria/Trigonometria Professor: Valdenilson Garcia 2013 Copyright. Curso Agora eu Passo

Leia mais

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON

MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON MATEMÁTICA APLICADA À AGRIMENSURA PROF. JORGE WILSON PROFJWPS@GMAIL.COM DEFINIÇÕES GEOMETRIA PLANA Ponto: Um elemento do espaço que define uma posição. Reta: Conjunto infinito de pontos. Dois pontos são

Leia mais

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M.

Módulo de Geometria Anaĺıtica 1. Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano. 3 a série E.M. Módulo de Geometria Anaĺıtica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano a série EM Geometria Analítica 1 Coordenadas, Distâncias e Razões de Segmentos no Plano Cartesiano 1 Exercícios

Leia mais

1. Sendo (x+2, 2y-4) = (8x, 3y-10), determine o valor de x e de y. 2. Dado A x B = { (1,0); (1,1); (1,2) } determine os conjuntos A e B. 3. (Fuvest) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano.

Leia mais

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema

Matemática. Subtraindo a primeira equação da terceira obtemos x = 1. Substituindo x = 1 na primeira e na segunda equação obtém-se o sistema Matemática 01. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6 cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a

Leia mais

UFRGS 2005 - MATEMÁTICA. 01) Considere as desigualdades abaixo. 2 2 3 3. 1 1 3 3. III) 3 2. II) Quais são verdadeiras?

UFRGS 2005 - MATEMÁTICA. 01) Considere as desigualdades abaixo. 2 2 3 3. 1 1 3 3. III) 3 2. II) Quais são verdadeiras? UFRGS 005 - MATEMÁTICA 0) Considere as desigualdades abaixo. I) 000 3000 3. II) 3 3. III) 3 3. Quais são verdadeiras? a) Apenas I. b) Apenas II. Apenas I e II. d) Apenas I e III e) Apenas II e III 0) Observe

Leia mais

ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS

ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS 1 ÁREA DAS FIGURAS GEOMÉTRICAS PLANAS 1.Área da região retangular temos: É o paralelogramo que possui os quatro ângulos internos retos, num retângulo, A = B. P = B + d = B + Exemplo: Num retângulo, uma

Leia mais

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 014 DA FUVEST-FASE 1. POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Q ) Um apostador ganhou um premio de R$ 1.000.000,00 na loteria e decidiu investir parte do valor

Leia mais

AULA 2 - ÁREAS. h sen a h a sen b h a b sen A. L L sen60 A

AULA 2 - ÁREAS. h sen a h a sen b h a b sen A. L L sen60 A AULA - ÁREAS Área de um Triângulo - A área de um triângulo pode ser calculada a partir de dois lados consecutivos e o ângulo entre eles. h sen a h a sen b h a b sen A - A área de um triângulo eqüilátero

Leia mais

Objetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 *

Objetivas 2012. Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/2 B) 2/3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Objetivas 01 1 Qual dos números abaixo é o mais próximo de 0,7? A) 1/ B) /3 C) 3/4 D) 4/5 E) 5/7 * Considere três números, a, b e c. A média aritmética entre a e b é 17 e a média aritmética entre a, b

Leia mais

Aula 5 Quadriláteros Notáveis

Aula 5 Quadriláteros Notáveis Aula 5 Quadriláteros Notáveis Paralelogramo Definição: É o quadrilátero convexo que possui os lados opostos paralelos. A figura mostra um paralelogramo ABCD. Teorema 1: Se ABCD é um paralelogramo, então:

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ECONOMIA RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia

PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 2013 - FGV CURSO DE ECONOMIA RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia C. Gouveia PROVA DE MATEMÁTICA VESTIBULAR 0 - FGV CURSO DE ECONOMIA Profa. Maria Antônia C. Gouveia QUESTÃO 0 Laura caminha pelo menos km por dia. Rita também caminha todos os dias, e a soma das distâncias diárias

Leia mais

www.exatas.clic3.net

www.exatas.clic3.net www.exatas.clic.net 8)5*6±0$7(0È7,&$± (67$59$6(5 87,/,=$'66 6(*8,7(66Ì0%/6(6,*,),&$'6 i: unidade imaginária número complexo : a +bi; a, b números reais log x: logaritmo de x na base 0 cos x: cosseno de

Leia mais

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO

TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO TRABALHO DE DEPENDÊNCIA TURMA: 2ª SÉRIE CONTEÚDOS RELATIVOS AO 1º E 2º BIMESTRE MATEMÁTICA 2 PROFESSOR ROGERIO OBSERVAÇÕES: 1) AS QUESTÕES OBRIGATORIAMENTE DEVEM SER ENTREGUES EM UMA FOLHA A PARTE COM

Leia mais

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA

CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA CONTEÚDOS DA DISCIPLINA DE MATEMÁTICA 6ºANO CONTEÚDOS-1º TRIMESTRE Números naturais; Diferença entre número e algarismos; Posição relativa do algarismo dentro do número; Leitura do número; Sucessor e antecessor;

Leia mais

15 + 17 + 19 +... + 35 + 37 = 312

15 + 17 + 19 +... + 35 + 37 = 312 MATEMÁTICA 1 Para uma apresentação de dança, foram convidadas 31 bailarinas. Em uma de suas coreografias, elas se posicionaram em círculos. No primeiro círculo, havia 15 bailarinas. Para cada um dos círculos

Leia mais

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada

Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada Centro Federal de Educação Tecnológica Departamento Acadêmico da Construção Civil Curso Técnico de Geomensura Disciplina: Matemática Aplicada MATEMÁTICA APLICADA 1. SISTEMA ANGULAR INTERNACIONAL...2 2.

Leia mais

MATEMÁTICA. 01. O gráfico a seguir ilustra o lucro semestral de uma empresa, em milhares de reais, de 2003 a 2005.

MATEMÁTICA. 01. O gráfico a seguir ilustra o lucro semestral de uma empresa, em milhares de reais, de 2003 a 2005. MTEMÁTI 01. O gráfico a seguir ilustra o lucro semestral de uma empresa, em milhares de reais, de 2003 a 2005. 80 60 40 20 0 1 /03 2 /03 1º/04 2º/04 1º/05 2º/05 Lucro 50 60 45 70 55 65 0-0) O lucro médio

Leia mais

Prova Final de Matemática

Prova Final de Matemática PROVA FINAL DO 3.º CICLO do Ensino BÁSICO Decreto-Lei n.º 139/01, de 5 de julho Prova Final de Matemática 3.º Ciclo do Ensino Básico Prova 9/1.ª Chamada 8 Páginas Duração da Prova: 90 minutos. Tolerância:

Leia mais

LISTA DE EXERCICIOS TRIÂNGULOS QUAISQUER. 1) Na figura ao abaixo calcule o valor da medida x. 2) No triângulo abaixo, determine as medidas x e y.

LISTA DE EXERCICIOS TRIÂNGULOS QUAISQUER. 1) Na figura ao abaixo calcule o valor da medida x. 2) No triângulo abaixo, determine as medidas x e y. LISTA DE EXERCICIOS TRIÂNGULO RETÂNGULO 1) Um caminhão sobe uma rampa inclinada de 10º em relação ao plano horizontal. Se a rampa tem 30 m de comprimento, a quantos metros o caminhão se eleva, verticalmente

Leia mais

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II

Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Desenho e Projeto de Tubulação Industrial Nível II Módulo I Aula 04 SUPERFÍCIE E ÁREA Medir uma superfície é compará-la com outra, tomada como unidade. O resultado da comparação é um número positivo, ao

Leia mais

n! (n r)!r! P(A B) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(A/B) = 1 q, 0 < q < 1

n! (n r)!r! P(A B) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B) P(A/B) = 1 q, 0 < q < 1 FORMULÁRIO DE MATEMÁTICA Análise Combinatória P n = n! = 1 n A n,r = Probabilidade P(A) = n! (n r)! número de resultados favoráveis a A número de resultados possíveis Progressões aritméticas a n = a 1

Leia mais

Currículo da Disciplina de Matemática - 7º ano. Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Organização e Tratamento de Dados (OTD)

Currículo da Disciplina de Matemática - 7º ano. Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Organização e Tratamento de Dados (OTD) Domínios de conteúdos: Números e Operações (NO) Geometria e Medida (GM) Funções, Sequências e Sucessões (FSS) Álgebra (ALG) Organização e Tratamento de Dados (OTD) Domínio NO7 9 GM7 33 Números racionais

Leia mais

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA

PROFº. LUIS HENRIQUE MATEMÁTICA Geometria Analítica A Geometria Analítica, famosa G.A., ou conhecida como Geometria Cartesiana, é o estudo dos elementos geométricos no plano cartesiano. PLANO CARTESIANO O sistema cartesiano de coordenada,

Leia mais

Conceitos e fórmulas

Conceitos e fórmulas 1 Conceitos e fórmulas 1).- Triângulo: definição e elementos principais Definição - Denominamos triângulo (ou trilátero) a toda figura do plano euclidiano formada por três segmentos AB, BC e CA, tais que

Leia mais