PRIMITIVAÇÃO POR PARTES

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1 PRIMITIVAÇÃO POR PARTES Apretam-se as principais sugestões para eectuar a primitivação por partes com sucesso e uma proposta de resolução dos eercícios apretados

2 PRIMITIVAÇÃO POR PARTES Quando se pretende primitivar um produto de duas unções e não se está perante uma primitiva imediata, usa-se, de um modo geral, o método de primitivação por partes, que é um método baseado na epressão da derivada do produto de duas unções: ( ) ( ) Onde é uma unção derivável e é uma unção primitivável. A órmula acima apretada, resulta da seguinte identidade: Seja eg( ) F( ) Derivando o produto de F( ), obtemos : F( ) F( ) F( ) F( ) F( ). F( ). Mas da deinição de primitiva de uma unção podemos escrever que F( ), e então a igualdade anterior icará: F F ( ). ( ). Primitivando esta igualdade obtemos: F( ). F( ). F( ). ( ) F( ). ( ) ( ) ( ) que é a órmula apretada inicialmente O sucesso da aplicação deste método está na escolha da unção pela qual se começa a primitivar, assim do, apretam-se abaio algumas sugestões, todas baseadas no princípio de que se deve escolher para primitivar a unção que mais se complica quando se deriva: 48

3 ) Sabendo-se primitivar apenas um dos actores, é por ele que se começa. ln d ln ) Se a unção a primitivar é o produto de um polinómio por uma unção transcendente:.) Se a unção transcendente é tal que a sua derivação conduz a outra unção transcendente que lhe é semelhante ( por eemplo as unções circulares e eponencial), deve-se começar a primitivar por ela. d.) Quando a derivação da unção transcendente conduz a uma unção não transcendente ( por eemplo a unção logarítmica e as unções circulares inversas), começa-se a primitivar pelo polinómio. ln d ln ) Quando eiste apenas uma unção cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a unção pelo actor e começa-se a primitivar por este. ln d ln d ln 4) Quando se aplica a regra da primitivação por partes várias vezes seguidas, pode obter-se no segundo membro uma primitiva igual à que se pretende calcular. Neste 49

4 caso, isola-se essa primitiva num dos membros e a igualdade passa a tratar-se como uma equação, onde a incógnita é a primitiva em causa. ln d ln 50

5 EXERCÍCIO Calcule as seguintes primitivas a) ln d b) d c) e d d) 5 d e) ln5d ) ln d g) ln d EXERCÍCIO Calcule as seguintes primitivas a) e d b) lnd c) arctg d d) sec d e) ln ln d, ) arc d g) lnd h) ln i) d j) arc cos k) d e cos ln l) m) cos d d d d 5

6 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO EXERCÍCIO a) ln d Vamos começar a primitivar por, pois não conhecemos ln d. Temos então ln. Aplicando a ómula da primitivação por partes, temos:, ln d = ln d ln dd = ln d d = ln ln 4 ln = ln = = C, C C, C C, C b) d Vamos começar a primitivar por, pois a sua derivada é ainda uma unção transcendente. Temos então. Aplicando a ómula da primitivação por partes, temos:, d = d = cos cos = cos d C, C = - cos C, C dd 5

7 c) e d Vamos começar a primitivar por e, pois a sua derivada é ainda uma unção transcendente. Temos então, e. Aplicando a ómula da primitivação por partes, temos: e d e d = = e e d = e e e C, C = e C, C dd d) 5 d Vamos começar a primitivar por 5, pois a sua derivada é ainda uma unção transcendente. Temos então, 5. Aplicando a ómula da primitivação por partes, temos: 5 d = 5 d 5 dd 5 5 = d ln 5 ln = C, C ln 5 ln 5 ln 5 5 = ln 5 ln 5 C, C e) ln5d Vamos começar a primitivar por, pois a derivada de ln 5 já não é uma unção transcendente (também não conhecemos ln 5d ). Temos então ln5,. Aplicando a órmula da primitivação por partes, temos: ln5d = d ln 5 ln dd = ln5 d 5

8 5 5 ln 5 ln 5 9 = ln5 d = d = C, C ) ln d Quando eiste apenas uma unção cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a unção pelo actor e começa-se a primitivar por este.teremos então, ln ln d =. ln d = ln d ln dd = ln d = ln = ln C, C C, C g) ln d Quando eiste apenas uma unção cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a unção pelo actor e começa-se a primitivar por este.teremos então, ln ln d =. ln d = ln d ln dd = ln cosln d = cosln ln d temos aqui novamente uma primitiva por partes semelhante à anterior. 54

9 ln d = ln cosln. d d d ln d = ln cos ln d cosln ln d = ln cos ln ln d ln d = ln cosln ln d Surge no segundo membro uma primitiva igual à do primeiro membro. Nestes casos, isola-se essa primitiva num dos membros e a igualdade passa a tratar-se como uma equação, onde a incógnita é a primitiva em causa. ln d = cos ln ln d = ln d = ln ln cosln ln cosln C, C C, C EXERCÍCIO a) e d Vamos começar a primitivar por e, pois a sua derivada é ainda uma unção transcendente. Temos então, e. Aplicando a órmula da primitivação por partes, temos: e d = e d e e = d = e e = e 9 C, C C, C e dd 55

10 Vamos começar a primitivar por, pois não conhecemos ln d b) lnd lnd = ln d ln dd = ln = ln d = ln = ln d C, C C, C c) arctg d Quando eiste apenas uma unção cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a unção pelo actor e começa-se a primitivar por este.teremos então arctg, arctg d = arctg d = arctg d arctg d d = arctg d = arctg d 56

11 = arctg d = arctg d = arctg ln C, C d) sec d Vamos começar a primitivar por transcendente. Temos então primitivação por partes, temos: d sec, pois a sua derivada é ainda uma unção,. Aplicando a órmula da sec sec = sec d sec = tg tgd = tg d cos = tg ln cos C, C dd e) ln ln d, lnln d lnln d Vamos começar a primitivar por, pois não conhecemos ln ln d. Temos então lnln. Aplicando a ómula da primitivação por partes, temos: ln ln, d lnln d d d ln ln ln ln ln ln d ln ln ln ln d ln ln ln ln C, C 57

12 ln ln ln C, C ) arc d Quando eiste apenas uma unção cuja primitiva não se conhece, multiplica-se a unção pelo actor e começa-se a primitivar por este.teremos então arc, arc d = arc d = arc d arc dd arc = d arc arc d C, C g) lnd Vamos começar a primitivar por, pois não conhecemos ln d. Temos então ln. Aplicando a ómula da primitivação por partes, temos: ln d ln d ln 4 ln 4 4 ln 4 4 d dd C, C h) ln d Vamos começar a primitivar por Temos então por partes, temos:, pois não conhecemos ln, ln d.. Aplicando a ómula da primitivação 58

13 ln d ln d ln cos = ln cos = ln cos = ln = ln cos cos cos d d cos = ln cos cos cos = ln d C, C d d d d i) d = = d d = d = = = d C, C C, C = = C, C d d C, C 59

14 j) arc cos d arc cos d = arc cos d = cos d arc cos d d arc = cos cos arc cos d cos Como cos = cos temos:, temos cos arc cos d. Considerando 0, = arccos cos cosd = cos arc cos C, C k) e d e d = e d uma unção transcendente.temos então: Vamos começar a primitivar por e d e d e d d e, pois a sua derivada ainda é = e e d = e e d = e e e d = e e e C, C 60

15 = e e e C, C 4 = e C, C 4 l) cos ln d. Vamos começar a primitivar cos ln d = cos, pois não conhecemos a primitiva de cos ln d ln cos d ln cos dd m) cos d cos = ln = ln cosd = ln C, C ln. dd Vamos primitivar a unção transcendente, pois a sua derivada conduz a outra unção transcendente. cos d = Vamos calcular = d. cos d =. d cos cos d d = cos d = cos d cos cos d Então, voltando à primitiva inicial, temos: d d d d 6

16 cos d d = cos = C, C 6