Exercícios de Revisão. Primitivas Por Partes

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1 Eercícios de Revisão rimitivas or artes Introdução Teórica... Eercícios Resolvidos.... olinómio/eponencial.... olinómio/(sin ou Cos).... (Eponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos).... Logaritmo Trigonométricas Trigonométricas Inversas Outras situações...8 Eercícios ropostos... Soluções/Sugestões dos eercícios propostos

2 Introdução Teórica Regra da uvelhinha : uv = uv u v ou equivalentemente: ( fg) fg ( f G) = gf ( g F ) ( gf ) = = em que G g Neste teto usaremos sempre na primeira forma, os resultados são obviamente os mesmos, no entanto a primeira forma tem mostrado ser estatisticamente mais fácil de fiar por parte dos alunos. No entanto cada aluno deve sempre usar a forma que é eplicada na sua disciplina. Eercícios Resolvidos. olinómio/eponencial Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer a eponencial. Devemos observar que a eponencial após se primitivar/derivar, fica na mesma. Ao passo que o polinómio não. Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que diminui um grau por cada derivação que sofre... Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) ( + ) e (b) ( + ) (c) (d) e e 7 e Resolução: (a) ( ) e seja: u = + ; u = v = e ; v = e então: ( ) e = ( ) e e = ( ) e e = ( ) e e (b) ( + ) e seja: u = + ; u = então: v = e ; v = e

3 e + ( ) e + = e seja agora: u = ; u = então: v = e ; v = e + ( + ) e = e e e e e e = (c) e seja: u= ; u = v = e ; v = e então: e = e e de novo se: u= ; u = fica: [ ] v = e ; v = e e = e e e = e e + 6e e se: u= ; u = obtém-se finalmente: [ ] v = e ; v = e e = e e + 6 e e = e e + 6e 6e 7 (d) ( e ) = ( e ) seja: u = ; u = v = e ; v = e 7 ( e ) = ( e ) = ( e e ) = ( e e ) = e

4 . olinómio/(sin ou Cos) Neste caso sabemos primitivar/derivar quer o polinómio, quer o sen/cos. Devemos observar que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na mesma. Ao passo que o polinómio não. Devemos escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que diminui um grau por cada derivação que sofre... Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) ( )sin (b) + cos 5 Resolução: (a) ( )sin seja: u = ; u = v = sin ; v = cos ( ) sin = cos + cos = cos + sin (b) + + cos 5 seja: u = ; u = v = cos 5 ; v = sin cos5 = sin5 sin5 = sin5 + cos (Eponencial ou Sin ou Cos)/ (Sin ou Cos) Neste caso sabemos primitivar/derivar quer a eponencial, quer o sen/cos. Devemos observar que o sen/cos após se primitivar/derivar, fica na mesma. Tal como a eponecial. A escolha é arbitrária e a primitiva é recurvisa. No entanto a segunda escolha deve ser igual escolher o polinómio como função a derivar, uma vez que diminui um grau por cada derivação que sofre... Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) e sin (b) sin cos

5 Resolução: (a) e sin seja: u = e ; u = e v = sin ; v = cos e e sin = cos + e cos seja: u e = ; u = e v = cos ; v = sin e e sin = e cos + sin e sin e e e sin = cos + sin e sin portanto: e e e sin + sin = cos + e sin e sin= e cos + e sin e e e e sin = ( cos + sin ) = cos + e sin (b) sincos seja: u = sin ; u = cos v = cos ; v = sin sincos = sinsin cossin seja: u = cos ; u = sin v = sin ; v = cos sincos = sinsin coscos sincos = sinsin 6+ coscos+ sincos ou seja:

6 5 sincos = sinsin + coscos sincos = ( sinsin+ coscos ) 5 sincos =. Logaritmo 5 sinsin+ coscos = sinsin+ coscos Neste caso temos apenas uma função em que a função e primitivar é a unidade, i.e. v =, pois a derivada de uma constante é nula... Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) log (b) log Resolução: (a) [ log ] seja: u= log ; u = v = ; v = (b) [ log ] = log = log [] = ( log ) log seja: u = log ; u = log v = ; v = log = log log seja: u = log ; u = v = ; v = [ ] log = log log = log log

7 .5 Trigonométricas.5. Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) tg sec Resolução: sin cos sec (a) tg sec = sec = sec = sec = sec sec cos cos cos A segunda primitiva é imediata sec = log sec + tg, a primeira primitiva-se por partes: u = sec ; u = tgsec v = sec ; v = tg tg sec = sec tg tg sec log sec+ tg = sec tg tg sec log sec+ tg.6 Trigonométricas Inversas tg sec = sec tg log sec + tg tg sec = sec tg log sec + tg.6. Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) arctg (b) arcsin Resolução: (a) arctg seja: u = arctg ; u = + v = ; v = arctg= arctg + ( ) = arctg = arctg log

8 (b) arcsin seja: u = arcsin ; u = v = ; v = arcsin arcsin arcsin ( ) arcsin ( ) = = = + = arcsin + ( ) = arcsin +.7 Outras situações.7. Calcule uma primitiva das seguintes funções: (a) Resolução: (a) = = = arcsin portanto: seja: u = ; u = v = = ( )( ) ; v = [ ] = arcsin ( ) + = arcsin + = arcsin + arcsin + =

9 Eercícios ropostos (a) + 5 e (b) sin cos (c) log (d) log (e) log ( + + ) (f) sin (g) sin ( log ) (h) (i) log arcsin

10 Soluções/Sugestões dos eercícios propostos (a) e = + ( ) e Seja: u = + 5 ; u = v = e ; v = e e e = + ( ) + ( ) e Seja: u = ; u = v = e ; v = e e = + + = e e e = e e e e (b) sincos = sin Seja: u = ; u = v = sin ; v = cos sin cos = cos + cos cos sin cos sin = + = + 8 log (c) = log Seja: u = log ; u = v = ; v = log log log = + = (d) log = log Seja: u = log ; u = v = ; v =

11 log = log = log = log (e) log( + + ) Seja: u = log( + + ) ; u = v = ; v = = = log( + + ) = log( + + ) = log( + + ) ( + ) + = log( + + ) ( + ) = log( + + ) + (f) = cosec sin Seja: u = ; u = v = cos ec ; v = cot g = cot g + cot g = cot g + log sin sin (g) sin( log ) Seja: u = sin( log ) ; u = cos( log ) v = ; v = sin( log ) = sin( log ) cos( log ) sin( log ) = sin( log ) cos( log ) sin( log ) sin(log ) = sin( log ) cos( log ) seja: u = cos( log ) ; u = sin( log ) v = ; v = sin( log ) = sin( log ) cos( log )

12 (h) log Seja: u = log ; u = log v = ; v = log log log = + Seja: u = log ; u = v = ; v = log log log log log = + + = (i) arcsin Seja: u= arcsin ; u = v = ; v = arcsin arcsin arcsin = arcsin Seja: u = arcsin ; u = v = = ( ) ; v = [ ] arcsin = arcsin arcsin + = arcsin + arcsin