Cálculo diferencial. Motivação - exemplos de aplicações à física

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1 Cálculo diferencial Motivação - eemplos de aplicações à física Considere-se um ponto móvel sobre um eio orientado, cuja posição em relação à origem é dada, em função do tempo, pela função s. st posição do ponto no instante t. Sendo t 0 e t 1 dois instantes distintos (com t 0 t 1 ), a velocidade média no intervalo de tempo t 0, t 1 é dada por s t st 1 st 0 t 1 t 0 variação da posição variação do tempo. A velocidade instantânea no instante t 0, será dada por vt 0 lim stst 0 tt tt 0 s t 0 derivada de st em t 0 0 Analogamente, sendo t 0 t 1, v t vt 1 vt 0 t 1 t 0 dá o valor da aceleração média no intervalo de tempo t 0, t 1. A aceleração instantânea no instante t 0, será dada por at 0 lim vtvt 0 tt tt 0 v t 0 derivada de vt em t 0 0 Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 1

2 Definição de Derivada Definição: Seja f uma função definida num intervalo aberto que contém c. Chama-se derivada de f em c a f c lim ffc c, c caso este limite eista (finito, ou ). Esta definição é também apresentada nas formas f c lim fchfc h h0 e f c lim fcfc. 0 fcfc razão incremental incremento de y f fc fc incremento de y Há muitas situações em que podemos usar a derivada para medir a variação instantânea duma certa quantidade em relação a outra. Se y f, a razão incremental f fc c dá a taa de variação média de y para a variação c. A derivada de f em c dá a taa de variação instantânea em c. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 2

3 Notações para a derivada: f dy, d, y df, d, com y f. d d f, D f Diz-se que: f é derivável em c se f tem derivada em c (finita, ou ); f é diferenciável em c se f tem derivada finita em c; f é derivável no intervalo aberto a, b se for derivável em todos os pontos de a, b. f é diferenciável no intervalo aberto a, b se for diferenciável em todos os pontos de a, b. Recta tangente e recta normal Se f é diferenciável em c: a recta que passa por c,fc e tem declive m f c é a recta tangente ao gráfico de f no ponto c, fc. É dada por y fc f c c; a recta normal ao gráfico de f no ponto c, fc é a recta perpendicular à recta tangente nesse ponto. É dada por y fc 1 f c c se f c 0, c se f c 0. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 3

4 Se f é contínua em c e lim 0 fc fc ou lim 0 fc fc então a recta vertical c é a recta tangente ao gráfico de f em c, fc. Observação: Como é ilustrado nos eemplos abaio se f c 0, a recta tangente ao gráfico de f nesse ponto é horizontal (e a recta normal é vertical). se f c ou f c, a recta tangente ao gráfico de f nesse ponto é vertical (e a recta normal é horizontal). se f c é infinito sem sinal determinado, não eiste recta tangente (nem recta normal) ao gráfico nesse ponto. y 1.0 y f g 3 y h 3 2 Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 4

5 Derivadas laterais Designam-se por derivadas laterais de f em c os seguintes limites, sempre que eistam: fe c lim ffc c c derivada à esquerda de f em c f d c lim ffc c c derivada à direita de f em c (para além de estar definida em c, a função f terá que estar definida num intervalo à esquerda de c, no primeiro caso, e num intervalo à direita de c, no segundo caso ). A derivada à esquerda de f em c representa-se também por f c e a derivada à direita por f c. Diz-se que f é derivável à esquerda em c se fe b eiste e, se este valor for finito, diz-se que f é diferenciável à esquerda em c; De modo análogo se definem f derivável à direita em c e f diferenciável à direita em c; Diz-se que f é derivável no intervaloa,b se for derivável em todos os pontos de a, b e eistirem f d a e fe b; De modo análogo se define f diferenciável no intervalo a,b. Proposição: Se f está definida num intervalo aberto que contém c, então f c eiste sse fe c e f d c eistem e são iguais (sendo esse o seu valor). Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 5

6 Propriedades e Regras de derivação Proposição: Se f é diferenciável em c, então f é contínua em c. Portanto, se f não é contínua em c, então f não é diferenciável em c. Observação: O recíproco não é verdadeiro, f contínua em c não implica f diferenciável em c. Proposição (derivada de uma constante): A derivada de uma função contante é nula Proposição (derivada da potência): Se n é um número racional e f n, então f é diferenciável e n n n1. Em particular, 1. Resulta também que n 1 n 1 n n n1, para n. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 6

7 Proposição (propriedades das operações): Se f e g são funções diferenciáveis em a e k, então kf, fg, fg, fg e são diferenciáveis em a e kf a kf a; fg a f a g a; fg a f a g a; fg a f aga fag a. Se ga 0, então f g é diferenciável em a e f g a f agafag a ga 2. Proposição (derivadas do seno e do coseno): d d sen cos e d d cos sen. Das propriedades anteriores conclui-se que: d tg d sec2, d d sec sec tg, d d cotg d cosec2, d cosec cosec cotg. (recorde-se que cotg cos sen, sec 1 cos e cosec 1 sen.) Proposição (derivada da eponencial e do logaritmo): d d e e e d d ln 1 ; Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 7

8 Teorema (Derivada da Função Composta): Sejam g diferenciável em a e f diferenciável em ga. Então f g é diferenciável em a e fg a f gag a. Nota: Aplicando este Teorema (ou directamente) prova-se que d d a a lna e d log d a 1 lna. Derivadas genéricas Estas regras de derivação resultam das derivadas já conhecidas e do Teorema da Derivada da Função Composta. Sendo u e v funções diferenciáveis, k e a constantes reais, ku k u u u u 1, onde é um racional e u u e u lnu u u a u u a u lna log a u u u lna sen u u cosu cosu u sen u tgu u sec 2 u cotg u u cosec 2 u sec u u sec u tgu cosec u u cosec u cotg u Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 8

9 Teorema (Derivada da função inversa): Seja f : I uma função estritamente monótona e contínua em I. Se f é diferenciável em a I e f a 0, então f 1 é diferenciável em b fa e f 1 b 1 f a. Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas arcsen 1, arccos arctg 1 1 2, arccotg Caso genérico Do Teorema da Derivação da Função Composta resulta que: arcsen u u 1u 2 arccosu u arctg u u 1u 2 1u 2 arccotg u u 1u 2. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 9

10 Diferencial (aproimação linear) Seja f uma função diferenciável em e uma variação em, tal que D f. Chama-se variação de f correspondente à variação a f f f (também se lhe chama acréscimo ou incremento de f). Chama-se diferencial de f em relativamente ao acréscimo ao produto f e escreve-se d f f ou, simplesmente, df f (também se escreve df f, onde d representa, para valores pequenos). y = f() y = f(c)+f (c) ( - c) f(c+ ) f(c) f (c) f = f(c+ ) - f(c) f(c) c Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 10

11 Como f é diferenciável em, sendo f f f pelo que f lim 0 lim ff 0 f 0. Portanto, para valores pequenos de, pelo que f f f f f f f. A esta fórmula chama-se aproimação linear de f em torno de, pois o valor da função é aproimado pelo valor da ordenada do correspondente ponto da recta tangente ao gráfico de f em, f. Em, o numerador tende para zero mais rapidamente que o denominador, pelo que não só quanto menor for o melhor é a aproimação, como esta melhora mais rapidamente do que tende para 0. Eemplos de aplicação: estimação do valor da função para valores perto de, quando se pode saber (ou estimar) o valor de f e de f ; estimação do valor do erro propagado - erro que se comete quando usamos uma estimativa para o argumento da função. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 11

12 Teoremas fundamentais Proposição: Seja f é uma função diferenciável num intervalo aberto que contém c. Se f tem um etremo relativo em c (ou seja, um máimo ou mínimo relativo), então f c 0. Observação 1: A proposição não se aplica às etremidades dum intervalo em que a função esteja definida. Observação 2: O recíproco não é verdadeiro - a derivada de uma função pode ser nula num ponto sem que a função tenha um etremo no ponto. Observação 3: A função pode não ser diferenciável num ponto mas ter um etremo nesse ponto. Teorema de Rolle: Seja f uma função contínua em a, b e diferenciável em a,b. Se fa fb, então eiste c a, b tal que f c 0. Corolário 1: Entre dois zeros de uma função diferenciável num intervalo há pelo menos um zero da sua derivada. Corolário 2: Entre dois zeros consecutivos da derivada de uma função diferenciável não pode haver mais do que um zero da função. Teorema de Lagrange (ou Teorema do Valor Médio): Se f é uma função contínua ema, b e diferenciável em a, b, então eiste pelo menos um c a,b tal que f c fb fa b a. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 12

13 Corolário 1 (aplicação ao estudo da monotonia): Seja f uma função nas condições do Teorema de Lagrange no intervaloa,b. Se, para qualquer a, b, f 0, então f é constante em a, b; f 0, então f é estritamente crescente ema,b; f 0, então f é estritamente decrescente ema,b; f 0, então f é crescente ema, b; se f 0, então f é decrescente ema, b. Teorema de Cauchy: Se f e g são funções contínuas ema, b e diferenciáveis ema,b, com g 0, para qualquer a, b, então eiste pelo menos um c a,b tal que fb fa gb ga f c g c. Aplicação a indeterminações do tipo 0 0 ou Regra de Cauchy: Sejam f e g duas funções diferenciáveis em a, b (com a, b finitos ou infinitos) tais que: g 0, a,b; lim f lim g 0, ou a Então, se eistir a lim f a g lim f e a, também eiste a lim f g (Analogamente para o limite em b ou em c a, b.) lim g. a e são iguais. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 13

14 Derivadas de ordem superior Se f : D f é uma função tal que f é diferenciável em a, diz-se que f é duas vezes diferenciável em a. Chama-se segunda derivada de f no ponto a a f a f a lim a caso este limite eista. f f a a, A derivada de ordem n da função f em a é definida por caso este limite eista. f n a f n1 a, para n 2, Notações: f n, d n y d n, d n d n f ou D n y Diz-se que f é n vezes diferenciável em a se f n a eistir e for finita. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 14

15 Polinómio de Taylor e Fórmula de Taylor O objectivo é proimar uma função, à volta dum ponto, por funções polinomiais. Definição: Seja f uma função n vezes diferenciável em a. Ao polinómio P n fa f a a f a 2! a 2 f n a n! a n chama-se polinómio de Taylor de ordem n de f em a. Se a 0, chama-se-lhe polinómio de Mac-Laurin de ordem n. Ou seja, o polinómio de Mac-Laurin de ordem n é P n f0 f 0 f 0 2! 2 f n 0 n! n. Observação: O polinómio de Taylor de ordem n de f em a é o único polinómio de grau menor ou igual a n tal que: Pa fa, P a f a, P a f a,, P n a f n a. Assim, este é o polinómio de ordem menor ou igual e n que, em torno de a, melhor aproima a função. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 15

16 Eemplos: 1. Aproimação de f e por polinómios de Mac-Laurin: P 1 1 P ! P ! 3! P ! 3! 4! f()=ep() P1()=1+ P2()=1++^2/2 P3()=1++^2/2+^3/6 P4()=1++^2/2+^3/6+^4/ y O Polinómio de Mac-Laurin de ordem n da função f e é P n 1 2 2! n n!. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 16

17 2. Aproimação de g sen por polinómios de Mac-Laurin: P 1 P 2 P 1 P 3 3 3! P 4 P 3 P 5 3 3! 5 5! P 6 P 5 P ! 5! 7! f()=sin() P1()= P3()=-^2/2 P5()=-^3/6+^5/30 P7()=-^3!-^5/5!+^7/7! y 2 1-2p -3p/2 -p -p/2 p/2 p 3p/2 2p Qualquer polinómio de Mac-Laurin de sen tem grau ímpar: se a ordem é m 2n 1 (ou seja, m ímpar) o polinómio é P m 3 3! 5 5! 7 7! se a ordem é m é par, então P m P m1. 1n 2n1 2n1! ; Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 17

18 Teorema (Fórmula de Taylor de ordem n): Seja f uma função num intervalo aberto I, contínua e n vezes diferenciável no ponto a I. Então, para qualquer I, é válida a fórmula de Taylor: f fa f a a f a 2! a 2 f n a n! a n R n onde R n verifica a condição lim a R n a n 0. À função R n chama-se resto de ordem n do polinómio de Taylor. Chama-se fórmula de Mac-Laurin de ordem n à fórmula de Taylor de ordem n, para a 0. O erro associado à aproimação de f por P n é n R n f P n. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 18

19 Há várias epressões para o resto da fórmula de Taylor, entre as quais a do resto de Lagrange de ordem n: se f é n 1 vezes diferenciável num intervalo aberto I contendo a, então R n fn1 z n1! an1, para algum z entre e a (estritamente entre e a, se a). Eemplo: A fórmula de Mac-Laurin de ordem n de e, com resto de Lagrange, é e 1 2 2! n n! e z n1! n1, para algum z entre e 0. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 19

20 Etremos e Concavidades Etremos Recorde-se que se f é uma função diferenciável em a e f tem um etremo relativo em a, então f a 0. Seja f é uma função definida num intervalo aberto que contém a: diz-se que a é um ponto de estacionaridade de f se f a 0; diz-se que a é um número crítico de f se f a 0 ou não é diferenciável em a. f Observação: Caso eistam, os etremos relativos de uma função definida num intervalo são atingidos em números críticos de f ou nos etremos do intervalo (que pertençam ao intervalo). Proposição: Seja f uma função contínua no intervalo aberto I, que contém o número crítico a, e diferenciável em I\a: se f é negativa à esquerda de a e positiva à direita de a, então f tem um mínimo relativo em a; se f é positiva à esquerda de a e negativa à direita de a, então f tem um máimo relativo em a; se f tem o mesmo sinal em ambos os lados do intervalo, então f não tem mínimo relativo nem máimo relativo em a. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 20

21 Concavidades e Pontos de infleão Definição: Seja f uma função diferenciável no intervalo a,b. Diz-se que f tem a concavidade voltada para cima em a, b se, para qualquer a,b, o gráfico de f está acima da recta tangente ao gráfico em, f. Diz-se que f tem a concavidade voltada para baio em a,b se, para qualquer a,b, o gráfico de f está abaio da recta tangente ao gráfico em, f. y y Proposição: Seja f uma função cuja segunda derivada eiste num intervalo aberto I: se f 0, I, então f tem a concavidade voltada para cima em I; se f 0, I, então f tem a concavidade voltada para baio em I. Definição: Se f é contínua num intervalo aberto que contém c, o gráfico de f tem recta tangente emc,fc e nesse ponto ocorre uma mudança de concavidade do gráfico de f, diz-se que f tem um ponto de infleão em c. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 21

22 Eemplo: As funções f 3 infleão em 0. e g 3 têm pontos de y 1.0 y f g 3 Proposição: Se f tem um ponto de infleão em a e f a eiste e é finita, então f a 0. Segunda derivada e etremos Proposição: Seja f uma função com segunda derivada num intervalo aberto que contém a tal que f a 0: se f a 0, então f tem um mínimo relativo em a; se f a 0, então f tem um máimo relativo em a; se f a 0, nada se conclui. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 22

23 Assímptotas Seja f uma função real de variável real. Assímptotas verticais A recta a é uma assímptota vertical de f se lim f ou a lim f. a Assímptotas não verticais A recta y b é uma assímptota horizontal de f se lim f b ou lim f b. A recta de equação y m b é uma assímptota não vertical de f se lim f m b 0 ou lim f m b 0. Note-se que, se m 0, a assímptota é horizontal. Se m 0, a recta é uma assímptota oblíqua de f. Proposição: A recta de equação y m b não vertical de f, quando, sse lim f m lim f m b. Resultado análogo é válido quando. é uma assímptota Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 23

24 Observação: Se f tem uma assímptota horizontal quando, então f não tem assímptota oblíqua quando. Como, em geral, é mais simples calcular lim f lim f do que, normalmente começamos por averiguar se há assímptota horizontal quando. O procedimento é análogo quando. Estudo de uma função e esboço do gráfico Pontos fundamentais (em geral) para esboçar o gráfico de f : domínio (e, eventualmente) o contradomínio; determinar as intersecções com os eios, as assímptotas e a simetria do gráfico; determinar os pontos críticos, os intervalos de monotonia e os etremos; estudar os zeros de f, as concavidades e os pontos de infleão. Ana Matos - Matemática I (versão de 7 Maio 2016) Calc. Dif. - 24