INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO CURSO DE MATEMÁTICA APLICADA À ECONOMIA E GESTÃO ANÁLISE MATEMÁTICA II ELEMENTOS DE ANÁLISE REAL Volume 2 Por : Gregório Luís I

2 PREFÁCIO O presente texto destina-se a apoiar a disciplina de Análise Matemática II do curso de Matemática Aplicada à Economia e Gestão do Instituto Superior de Economia e Gestão. Para além da abordagem teórica dos temas em estudo, o texto inclui ainda, no final de cada capítulo, exercícios e respectivas soluções. Os exercícios marcados com * são de resolução mais difícil podendo ser ignorados pelos alunos médios. Aconselha-se contudo a sua resolução aos alunos mais interessados. A maior parte dos exercícios incluídos têm sido utilizados nos últimos 30 anos nas aulas práticas das disciplinas de Matemática dos primeiros anos dos cursos ministrados no Instituto Superior de Economia e Gestão, tornando-se impossível referenciar a sua proveniência ; para além destes há ainda exercícios originais e outros que foram retirados ou adaptados da bibliografia indicada no final. Cada capítulo tem uma numeração independente para os pontos, teoremas e propriedades. Nas referências feitas no texto subentende-se que os pontos, teoremas e propriedades pertencem ao próprio capítulo, salvo quando expressamente seja indicado o contrário. Este prefácio não poderia terminar sem uma referência aos professores que ao longo dos últimos 60 anos contribuiram decisivamente para a tradição que o ensino da matemática tem nesta escola de economia e gestão. Correndo o risco de injustamente esquecer alguns, citam-se aqui os Profs. Mira Fernandes, Bento Caraça, Leite Pinto, Vicente Gonçalves, José Ribeiro de Albuquerque e Bento Murteira. Lisboa, 22 de Maio de 2002 António Gregório Luís II

3 ÍNDICE CAPÍTULO I Primitivas 1. Generalidades. Primitivação imediata e quase imediata Primitivação por partes Primitivação por substituição Exercícios 7 CAPÍTULO II Integral de Riemann em R 1. Definição e primeiras propriedades Nova definição de integral. Equivalência com a anterior Condição de integrabilidade Introdução Conjuntos com medida nula segundo Lebesgue Condição de integrabilidade Interpretação geométrica do conceito de integral Novas propriedades do integral de Riemann Fórmula fundamental do cálculo integral Integral indefinido Integração por partes Integração por substituição Segundo teorema da média Integrais impróprios de primeira espécie Integrais impróprios de segunda espécie Outros tipos de integrais impróprios Funções Beta e Gama Exercícios 70 CAPÍTULO III Sucessões e séries de funções 1. Convergência ponto a ponto e convergência uniforme Continuidade da função limite Aplicação ao caso das séries de funções reais de variável real Aplicação às séries de potências Derivação e primitivação termo a termo Derivação e primitivação termo a termo das séries de potências Aplicação no cálculo de soma de séries Integração de séries termo a termo Exercícios 109 CAPÍTULO IV Desenvolvimentos em série 1. Série de Taylor e de Mac-Laurin 116 III

4 2. Técnicas de desenvolvimento em série Introdução Obtenção prática de desenvolvimentos Exercícios 123 CAPÍTULO V Noções topológicas e sucessões em R n 1. Distância e vizinhanças Conceitos topológicos básicos Conjuntos limitados Pontos impróprios em R n Sucessões em R n Generalidades Conceito de limite. Teoremas fundamentais Sublimites. Teoremas fundamentais Exercícios 151 CAPÍTULO VI Limites e continuidade de funções em R n 1. Generalidades Funções reais de variável vectorial n dimensional Funções vectoriais m dimensionais de variável real Funções vectoriais m dimensionais de variável vectorial n dimensional Definição de limite de uma função num ponto Condição necessária e suficiente para existência de limite pertencente a R m Sublimites Regras de cálculo de limites Caso das funções de A R n em R Caso das funções de A R n em R m Continuidade pontual Descontinuidades Continuidade num conjunto. Propriedades especiais das funções contínuas Definição de função contínua num conjunto Generalização do teorema de Cauchy Conexão por arcos Teorema de Cauchy Funções contínuas num conjunto limitado e fechado Continuidade da função inversa Continuidade uniforme. Teorema de Heine Cantor Noção de contracção. Teorema do ponto fixo Exercícios 185 CAPÍTULO VII Derivação e diferenciação em R n 1. Derivadas parciais de funções reais de n variáveis reais Derivadas segundo vectores para funções reais de n variáveis reais Diferenciabilidade de funções reais de n variáveis reais 195 IV

5 4. Condição suficiente de diferenciabilidade Derivação parcial e diferenciação de funções de A R n em R m Diferenciabilidade de uma função composta Funções homogéneas Teorema dos acréscimos finitos Igualdade das derivadas mistas Exercícios 225 CAPÍTULO VIII Diferenciais de ordem superior. Fórmula de Taylor e aplicações 1. Diferenciais de ordem superior Fórmula de Taylor Aplicação à determinação de extremantes interiores Estudo da convexidade e concavidade Exercícios 257 CAPÍTULO IX Funções definidas implicitamente. Invertibilidade 1. Introdução Derivadas de funções definidas implicitamente Teoremas de existência Caso de uma só equação Caso de um sistema de equações Invertibilidade local Exercícios 307 CAPÍTULO X Extremantes condicionados em R n 1. Introdução Primeira condição necessária de extremante Pontos de estacionaridade singulares e não singulares Segunda condição necessária de extremante Condições suficientes de extremante Condições suficientes. Técnica do determinante orlado Generalidades sobre formas quadráticas reais Classificação das formas quadráticas no conjunto das soluções de um sistema homogéneo indeterminado Determinação de extremantes condicionados: exemplos Exercícios 361 CAPÍTULO XI Dependência e independência funcionais 1. Conceitos básicos Teoremas fundamentais sobre dependência e independência funcionais Derivação de um determinante funcional Estudo especial da dependência linear para as funções reais de variável real Exercícios 382 BIBLIOGRAFIA. 384 V

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