CÁLCULO I. 1 Primitivas. Objetivos da Aula. Aula n o 18: Primitivas. Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares.

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1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 8: Primitivas. Objetivos da Aula Denir primitiva de uma função; Calcular as primitivas elementares. Primitivas Em alguns problemas, é necessário determinar uma função, embora a sua derivada seja conhecida. Por eemplo, um Biólogo que conhece a taa segundo a qual uma população de bactérias está crescendo pode querer deduzir qual o tamanho da população de bactéria em um certo momento (tempo) futuro ou um Engenheiro que pode medir a taa de variação do volume d'água que escoa de um tanque quer saber a quantidade de volume d'água que escoa durante um período de tempo. Em cada uma dessas situações, o problema é encontrar uma função F () cuja derivada é uma função conhecida f(). Denição. Uma função F é dita primitiva ou antiderivada da função f em um intervalo I, se para todo I. F () = f(), Eemplo. Determine a primitiva de cada uma das funções abaio: a) f() = 5 b) f() = 2 c) f() = cos() d) f() = 2sen (2) e) f() = a) Pela denição, uma função F é uma primitiva da função f() =, se F () = f() =. Dessa forma, basta encontrar uma função cuja derivada é igual a. Como então F () = é uma primitiva de f() =. () =, b) Neste caso, vamos encontrar uma função F () cuja derivada seja f() = 2. Tomando F () = 2 + 2, temos que F () = 2 = f(). Assim, F () = é a primitiva da função dada. c) F () = 2 + sen () é uma primitiva da função dada, pois F () = cos() = f(). d) F () = cos(2) é uma primitiva da função dada, pois F () = 2sen (2) = f(). e) F () = é uma primitiva de f. Porém, F 2 () = também é uma primitiva desta função. Genericamente, F () = C, com C uma constante, é uma primitiva de f.

2 Cálculo I Aula n o 8 Observação. Em geral, se F é uma primitiva de uma função f em um intervalo I, então para todo I: F () = f(). Logo, para toda constante C, temos: (F () + C) = F () + C = F () = f(), o que implica que F () + C é também uma primitiva de f. Portanto, se F é uma primitiva de f, então toda função da forma F () + C com C constante, é também uma primitiva de f. Observação 2. Suponha F e G primitivas de f. Segue que: G () = f() = F () G () F () = 0 [G() F ()] = 0. Então a função G() F () tem derivada igual a zero. Mas isso acontece se, e somente se, ela for uma função constante, ou seja, eiste uma constante C, tal que G() F () = C G() = F () + C. Concluímos assim, que as funções da forma F () + C são as únicas primitivas de f. teorema a seguir. Enunciamos o Teorema. Se F é uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais geral de f em I é F () + C, onde C é uma constante arbitrária. Eemplo 2. Se f() = 2, então F () = [ ] d + C, o que signica dizer que d + C = 2. Eemplo. Se f() = sen () então as primitivas de f são dadas por F () = cos()+c, o que signica dizer que d [ cos() + C] = sen (). d Eemplo 4. Se f() = 4 então F () = 2 + C, pois d 2 [ 2 ] d 2 + C = 4. Observação. Na notação F () + C, chamamos a constante C de constante de integração.. Primitivas imediatas Do nosso conhecimento de derivadas podemos obter de modo imediato a primitiva de algumas funções mais simples: Se f() = k então F () = k + C, com k uma constante Se f() = n então F () = n+ + C, (com n ) n + Se f() = e então F () = e + C Se f() = então F () = ln + C Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 Cálculo I Aula n o 8 Se f() = cos() então F () = sen () + C + C Se f() = sen () então F () = cos() + C Se f() = sec 2 () então F () = tg () + C Se f() = cossec 2 () então F () = cotg () + C Se f() = sec().tg () então F () = sec() + C Se f() = cossec ().cotg () então F () = cossec() + C Se f() = então F () = arccos() + C (com (, )) 2 Se f() = 2 Se f() = 2 + então F () = arcsen() + C (com (, )) então F () = arctg() + C.2 Propriedades das primitivas As primitivas possuem algumas propriedades que serão úteis em nossos cálculos. estão listas na seguinte proposição: Essas propriedades Proposição. Sejam F e G primitivas das funções f e g, respectivemente e k uma constante. Então (a) A primitiva de kf é kf. (b) A primitiva de f + g é F + G. onde C é a constante de integração Demonstração (Durante a demonstração omitiremos a constante de integração, contudo faz-se necessário lembrar que ela deve ser colocada durante os cálculos) (a) Se F é uma primitiva de f, então F () = f() Desse modo, temos: [k.f ] () = k.f () = k.f() Portanto, uma primitiva de kf é kf (b) Se F e G são primitivas de f e g, respectivamente, então F () = f() e G () = g() Segue que: Logo, a primitiva de f + g é (F + G)() + C [F + G] () = F () + G () = f() + g() Eemplo 5. Calcule a primitiva G de g() = sen (). Note que G() = sen () = cos() + C Eemplo 6. Calcule a primitiva de h() = 4 2 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida

4 Cálculo I Aula n o 8 Como a função h é a soma das funções f() = 4 e g() = 2, basta calcularmos a primitiva de cada uma dessas funções separadamente e utilizar o item (ii) da proposição anterior. Então, note que uma primitiva de f é F () = C e uma primitiva de g é G() = 9 + C 2. Logo, a primitiva de h, que será representada por H() será dada por H() = F () + G() = C 9 + C 2 = C onde C = C + C 2. Observação 4. Note que a soma de constantes é uma constante. Logo, para facilitar a escrita e não sobrecarregar o cálculo com várias constantes, é comum utilizar apenas uma constante durante o cálculo, como será mostrado no eemplo seguinte. Eemplo 7. Calcule a primitiva Z da função z() = +. Como a função z é a soma das funções f() = e g() =, devemos, como anteriormente, determinar as primitivas F e G das funções f e g, respectivamente. Então, note que F () = + + = 2 2 e que g() = =, e assim, G() = + + = 2 2 = 2 2 logo, Z() = C Eemplo 8. Calcule F () que é a primitiva da função f() = Temos que: f() = = = logo, calculando as primitivas de cada uma das parcelas, temos que ( ) ( ) ( ) F () = C = C = C Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 Cálculo I Aula n o 8 Eemplo 9. Calcule F que é a primitiva de f() = 2. Note que f() = 2 = 2 2 = logo, F () = ( ) ( ) C = C 2 = C Eemplo 0. Determine a epressão da função y = y(t) que satisfaz as seguintes condições: { dy dt = t 5 y(0) = 2 Basta notar que uma primitiva de dy dt é dada por y(t) = t2 2 5t + C = Contudo, precisamos determinar a função que satisfaz a condição y(0) = 2. Para isso, fazemos: y(0) = C = 2 C = 2 Logo, a função desejada é y(t) = t2 2 5t + 2 Observação 5. O tipo de problema apresentado no eemplo anterior é denominado Problema de Valor Inicial (P.V.I.) e é muito frequente nas ciências eatas. Sua composição é dada por uma equação cuja incógnita é uma função y e envolve suas derivadas, chamada de Equação Diferencial Ordinária (E.D.O.) e também uma condição chamada de condição inicial que consiste em um ponto pertencente ao gráco da função solução y. Para os próimos eemplos devemos lembrar que se (t) é a função posição de uma partícula, então a derivada de (t) pode ser entendida como sendo a velocidade da partícula e a segunda derivada de (t) como sendo a aceleração. velocidade e que essa é a primitiva da aceleração. Então, podemos também entender que a função posição é uma primitiva da Eemplo. Determine a função posição = (t) de uma partícula, cuja velocidade é dada por v(t) = 4t 7 e () =. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 Cálculo I Aula n o 8 para v(t) é Note que v(t) = d. Logo, procedendo como no eemplo anterior, temos que uma primitiva dt Agora, utilizando a condição inicial, temos que (t) = 4 t2 2 7t + C = 2t2 7t + C () = C = C = Portanto, a função posição é dada por (t) = 2t 2 7t + 6 C = 6 Eemplo 2. Determine a função posição de uma partícula que possui aceleração dada por a(t) = 7t + 2 e satisfaz v(0) = 2 e (0) =. Note que a velocidade é uma primitiva da aceleração, logo, Utilizando, a condição v(0) = 2, temos que v(t) = 7t t + C v(0) = C = 2 C = 2 Logo, Como (t) é uma primitiva de v(t), então v(t) = 7t t + 2 Usando a condição (0) =, temos que (t) = 7t 6 + t2 + 2t + C (0) = C 2 = C 2 = Portanto, (t) = 7t 6 + t2 + 2t + Resumo Faça a sua própria tabela de primitivas. Coloque nela todas as funções que você já memorizou a derivada. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Capítulo 4 - Seção 4.9 do livro teto. Sugestão de eercícios Resolva os eercícios da seção 4.9 do livro teto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6