RESOLVER EQUAÇÕES. EXEMPLO. Seja a equação:
|
|
- Ágatha Barateiro Olivares
- 7 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 RESOLVER EQUAÇÕES É vasto o conjunto de equações que podem apresentar-se no domínio da Matemática, bem como na vida corrente, em que aquela e os seus resultados têm de aplicar-se para resolver problemas concretos ligados a domínios muito variados, e tanto nos de âmbito mais técnico, como nos ligados às designadas Ciências Sociais, passando, lá pelo meio, pela Economia e pela Gestão. Apresenta-se, de seguida, um conjunto razoável de equações de tipo diverso, desde as algébricas às transcendentes, das equações às diferenças às diferenciais, e das trigonométricas às matriciais, de molde a deiar no leitor estudioso e interessado um conjunto vasto de eemplos que possam ilustrar muitos dos tipos de equações que podem surgir na vida corrente, mas também balizar o tema, deiando pistas que permitam atacar outros tipos de equações mais compleas. EXEMPLO. Seja a equação: + = 0. Trata-se de uma equação do primeiro grau na incógnita e com coeficientes em C, embora neste caso todos reais: a + ib = a + ib =. 0 0 Recorrendo à correspondente fórmula resolvente, virá a solução da equação dada: EXEMPLO. Seja, agora, a equação: =
2 + i = 0. Neste caso, tem-se: a + ib = a + ib = i 0 0 tratando-se, igualmente, de uma equação algébrica do primeiro grau na incógnita, com coeficientes em C, pelo que o recurso à correspondente fórmula resolvente fornece a solução da equação dada: EXEMPLO. Seja, desta vez, a equação: i = = + i. ( + i) ( i ) = 0 também algébrica e do primeiro grau em, com coeficientes em C. Esta equação pode escrever-se na forma equivalente: sendo, pois: ( + i) + ( + i ) = 0 a + ib = + i a + ib = + i. 0 0 Assim, a solução da equação dada, recorrendo à fórmula resolvente, é: i = + + i ( i)( i) = + ( + i)( i) 7 = i 5 5. EXEMPLO. Seja, desta vez, a equação: + = 0.
3 que é uma equação do segundo grau na incógnita, com coeficientes em C, embora no presente caso todos reais: a + ib = a + ib = a + ib =. 0 0 Recorrendo à respectiva fórmula resolvente, as duas soluções da equação são: ( ) = ± 4 = ± = = ambas reais e diferentes. EXEMPLO. Seja, neste caso, a equação: ( ) + = 0. Trata-se de uma equação do segundo grau na incógnita, com coeficientes em C, embora no presente caso todos reais: a + ib = a + ib = a + ib = 0 0 pelo que, recorrendo à correspondente fórmula resolvente, virão as duas soluções procuradas: ( ) = ± 4 i = ± = + = ( i i). ambas números imaginários. Dado que os coeficientes desta equação são números reais, embora as duas soluções sejam imaginárias, elas são conjugadas entre si. EXEMPLO. Seja, aqui, a equação: + + i = 0
4 que é uma equação do segundo grau na incógnita, com coeficientes em C, um dos quais imaginário, tendo-se: a + ib = a + ib = a + ib = + i. 0 0 Aplicando a fórmula resolvente para esta equação, virá: ( ) ( i) = ± 4 + i = ± 4 = = + ( i i) uma vez que se tem: 4i = i 4i = + i. Neste caso, embora a equação dada (do segundo grau) tenha duas raízes imaginárias, elas não são conjugadas entre si, o que fica a dever-se a não serem reais todos os coeficientes da equação. EXEMPLO. Seja, agora, a equação: + 4 = 0 que é uma equação algébrica do terceiro grau na incógnita, com coeficientes em R, tendo-se: a = a = a = 4 a =. 0 Recorrendo à respectiva fórmula resolvente, há que proceder à transformação: obtendo-se a equação do terceiro grau em y : ( ) ( ) ( ) = y = y + y + y y + = 0 y + y = 0
5 que já não apresenta o termo de grau dois, e onde se tem: p = q = 0. O discriminante da equação a que se chegou vale: = 4 > 0 pelo que a anterior equação em y terá uma raiz real e duas imaginárias conjugadas. Neste caso, ter-se-á: pelo que virá: u u = v = = v =. Assim, as soluções da equação transformada da dada são: y = = 0 y = + i i = i y = i + i = i. Logo, as soluções da equação inicialmente dada obtêm-se destas pela transformação inversa, ou seja, adicionando-lhes a unidade, vindo as três soluções procuradas:
6 = 0 + = = i + = + i = i + = i. Assim, as soluções da equação dada são, + i e i. EXEMPLO. Seja, então, a equação: = 0 algébrica, do terceiro grau na incógnita, com coeficientes em R, na qual se tem: a = a = 9 a = 4 a = 6. 0 Procedendo à transformação: = y 9 = y + obtém-se a nova equação: ou seja: onde se tem: Neste caso o discriminante vale: ( y ) ( y ) ( y ) = 0 p y y + = 0 = q =. = 0
7 o que mostra que a equação inicial apresenta três raízes reais, sendo uma com grau de multiplicidade dois. Recorrendo à correspondente fórmula resolvente, obtêm-se as soluções da equação transformada: y = u = y = y = ( ) = Logo, as soluções da solução inicialmente dada obtêm-se destas pela transformação inversa da aplicada, ou seja, adicionando-lhes : = + = = = + = 4. Assim, as soluções da equação inicialmente dada são a raiz real simples e a raiz real 4, com grau de multiplicidade dois. EXEMPLO. Considere-se, agora, a nova equação do terceiro grau na incógnita, com coeficientes em R: para a qual se tem: Procedendo à transformação: obtém-se a equação: = 0 a = a = 9 a = 0 a =. 0 = y 9 = y +
8 y 7y 6 = 0 ou seja: p = 7 q = 6. Ora, de acordo com o que se conhece da fórmula resolvente para esta equação, temse: 7 6 ρ = θ = arccos. ρ Recorrendo a uma máquina de calcular, obtêm-se as soluções da equação transformada: y = y = y = vindo para as soluções da equação inicial estes mesmos valores, mas adicionados de : = 6 = =. EXEMPLO. Considere-se, desta vez, a equação do quarto grau na incógnita, com coeficientes em R: para a qual se tem: = 0 a = a = 0 a = 5 a = 50 a = 0 4 e cujas soluções se poderiam obter a partir da correspondente fórmula resolvente, em todo o caso muito trabalhosa. Ora, tendo presente que o coeficiente do termo de maior grau é unitário, tal significa que, no caso de eistirem raízes inteiras elas terão de ser divisores do termo independente, ou seja, ±, ± 6, ± 4, ±, ± ou ±.
9 Deitando mão da Regra de Ruffini, e eperimentando a raiz, de imediato se constata que ela é raiz da equação inicialmente dada, acabando por cair-se na nova equação do terceiro grau: = 0. Voltando a deitar mão do critério anterior, percebe-se que é raiz desta equação, pelo que acabará por sobrar a equação do segundo grau: 7 + = 0 que é já do segundo grau e por cuja fórmula resolvente se encontram as duas anteriores raízes, e 4. Ou seja, a equação inicialmente dada apresenta as quatro raízes reais: = = = = 4. EXEMPLO. Seja, agora, a equação biquadrada: Procedendo à mudança de variável: = 0. 4 virá a nova equação do segundo grau em y : y = y y = 0 cujas soluções são: y = y =. Tendo presente a mudança de variável inicial, virão as quatro raízes da equação biquadrada inicial, ou seja: ( = = ) ( = = )
10 ou, finalmente: = ± i = ±. EXEMPLO. Seja a equação: = 0. Trata-se de uma equação recíproca de grau impar e de primeira classe, pelo que tem a raiz,. Utilizando a Regra de Ruffini, virá a equação: = 0 já sem a raiz anterior. Trata-se, claro está, de uma nova equação recíproca, ainda de primeira classe, mas agora de grau par. Verifica-se, neste caso, que se tem: P ( ) = 0 P ( ) = pelo que esta equação tem a raiz dupla,. É, assim, determinada a nova equação: 5 + = 0 que resultou da anterior pela aplicação, duas vezes, da Regra de Ruffini, e que continua a ser recíproca, de grau par e de primeira classe. Contudo, aqui já se tem: P ( ) = P ( ) = 9 pelo que haveria que proceder à transformação y = +. Tratando-se, neste caso, de uma equação do segundo grau, a mesma pode resolver-se pelo recurso à respectiva fórmula resolvente, encontrando-se as duas últimas raízes da equação inicialmente dada: = =
11 que são recíprocas uma da outra. A equação dada tem, pois, as raízes,,, e 0,5, sendo que a raiz tem grau de multiplicidade dois. EXEMPLO. Tome-se a equação inteira: = 0. Como se vê, trata-se de uma equação recíproca de grau par e de segunda classe. A equação tem, pois, as raízes e. Pela Regra de Ruffini é-se conduzido à equação: 0 + = 0 já sem as raízes anteriores, igualmente recíproca e de grau par, mas de primeira classe. Tratando-se de uma equação do segundo grau, as suas raízes são, e 0,(), recíprocas uma da outra. EXEMPLO. Determinar as soluções da equação: = 0. Vê-se, facilmente, que se está perante uma equação recíproca de grau impar e de segunda classe. A equação tem, portanto, a raiz. A Regra de Ruffini conduz à nova equação: = 0 de grau par e de primeira classe, e naturalmente recíproca. Tem-se, neste caso: P ( ) = 0 P ( ) = pelo que a equação apresenta a raiz,. Aplicando duas vezes a Regra de Ruffini, virá: = 0 também de grau par e igualmente de primeira classe. Aqui, porém: P ( ) = 4 0 P ( ) =
12 Ter-se-á, pois, de recorrer à mudança de variável, y = +, e prosseguir a resolução. Dado que a equação a que se chegou é do quarto grau, ter-se-á: j = 4 j =, pelo que deverá dividir-se a equação anterior por, ou seja: ou, o que é equivalente: = =. Procedendo à transformação: y = + virá: + = y e, portanto: ( y ) 6 5y + 50 = 0 cujas soluções são:
13 5 e 0 e que estão relacionadas com a equação dada pela transformação antes adoptada. Virá, pois: e: = + + = = 0 0 = + + = = 0 cujas soluções são, respectivamente:, e, e que são as soluções da equação recíproca do quarto grau a que se havia chegado. Como se vê, as quatro raízes que faltavam são recíprocas duas a duas. EXEMPLO. Seja a equação: + 5 = 0 que é uma equação algébrica racional fraccionária, uma vez que a incógnita aparece num, pelo menos, dos denominadores presentes na equação. Neste caso, um pouco de atenção permitirá perceber que a soma de duas fracções só pode anular-se se elas forem simétricas. Dado que os numeradores das duas fracções são iguais, para que as fracções sejam simétricas é necessário que os denominadores o sejam por igual, ou seja: = ( 5 ) =
14 e que, por não anular nenhum dos dois denominadores, é a solução da equação dada. É claro que a equação pode ser resolvida de um modo mais formal, tendo-se: + 5 = 0 ( )( 5 ) = 0 o que é formalmente equivalente a: 5 = 0 = resultado a que já se havia chegado anteriormente. EXEMPLO. Seja a nova equação: 0 4 = também algébrica racional fraccionária. Esta equação pode escrever-se na forma equivalente: 4 = 0 o que mostra que a diferença das duas fracções só pode anular-se se os denominadores forem iguais: que é a única solução procurada. 4 = = 0
15 EXEMPLO. Seja, agora, equação: 0 + =. Trata-se, claro está de uma equação impossível em R, dado que, tendo de ser: = ( ) = obtém-se uma igualdade numérica falsa, o que mostra que o conjunto das soluções da equação dada é vazio, ou seja, a equação dada é impossível em R. EXEMPLO. Seja, aqui, equação irracional em : Ter-se-á, então: ( ) = 7. = 7 = 7 = 49 = 50. Para que este valor seja solução da equação inicial é necessário que a satifaça, o que realmente ocorre, dado ter-se: 50 = 7 49 = 7 7 = 7. EXEMPLO. Seja a nova equação irracional em : =. Tem-se, à semelhança do que se viu no eemplo anterior: cujas soluções são: ( ) ( ) = = = 0
16 = = = + 4 = Substituindo cada um destes valores na equação inicialmente dada, facilmente se verifica que nenhum deles é solução da equação. Assim, o conjunto das soluções da equação dada é vazio, dado que a equação é impossível em R. EXEMPLO. Tome-se a equação irracional em : Virá, então: 5 = 0. ( ) ( ) 5 = 0 = 5 = 5 8 = 0 = 4. Substituindo o valor encontrado para a incógnita na equação inicialmente dada, obtém-se uma igualdade numérica verdadeira: = 0 = 0 0 = 0 pelo que = 4 é a única solução da equação irracional em inicialmente dada. EXEMPLO. Considere-se a equação irracional em : Ter-se-á, pois: = = 0 = + 5 = + 5 = 5 que, sendo uma igualdade numérica falsa, mostra que a equação dada é impossível em R.
17 EXEMPLO. Seja, agora, equação irracional em : Ter-se-á, neste caso: = = = + 9+ = = 4 = 6 valor este que, substituído na equação inicial, a transforma numa igualdade numéria verdadeira, ou seja, é a solução (única) da equação inicialmente dada. EXEMPLO. Seja, neste caso, equação irracional em : Tem-se, no presente caso: + =. ( ) + = + = = ou seja: ( ) = + 4= = 0 = =. Por substituição directa se pode ver que = não é solução da equação inicial, mas que = o é. Ou seja, esta última é a única solução da equação dada. EXEMPLO. Tome-se, aqui, a equação em : e + =. Para se obterem as soluções desta equação, basta ter em conta que: ( ) e = e = e + = 0 = =
18 que são as duas soluções da equação dada. EXEMPLO. Tome-se, agora, a equação em : e Para esta equação tem-se: e + = e = e = e + = + = 0 = = e + + ( ) que são as soluções da equação inicialmente considerada. EXEMPLO. Veja-se, desta vez, a equação em : ( ) ln + = 0. Esta equação pode escrever-se na forma equivalente: ( + ) = 0 ( + ) = ( ) + = + = 0 ( = = ) ln ln ln pelo que estes dois valores são as duas soluções da equação inicialmente dada. EXEMPLO. Seja a equação em : Tem-se, neste caso: ( + ) = ( ) ln ln. ( ) ( ) ( ) ( ) ln + = ln ln + = ln + =
19 ou seja, virá a equação equivalente: que é a única solução da equação dada. + = 0 = EXEMPLO. Seja agora a equação trigonométrica elementar: sen( ) = Neste caso, à equação dada há que dar a forma equivalente: pelo que a solução geral da equação dada é: com k Z. π sen( ) = sen 6 = kπ + ( ) EXEMPLO. Seja a nova equação trigonométrica elementar: k π 6 ( ) cos = Tem-se, de modo equivalente: π cos( ) = cos 6 pelo que a solução geral da equação dada é:
20 π = kπ ± 6 com k Z. EXEMPLO. Considere-se, aqui, a equação trigonométrica elementar: Virá, então: sendo a solução geral da equação dada: com k Z. tg( ) =. tg( ) = tg( ) = tg π 4 = kπ + EXEMPLO. Tome-se a equação trigonométrica elementar: Neste caso, tem-se: pelo que a solução geral da equação dada é: com k Z. π 4 sen( ) =. π sen( ) = sen( ) = sen k π π k π = kπ + ( ) = k + ( ) 6
21 EXEMPLO. Seja a equação trigonométrica elementar: cos( ) = 0. Esta equação pode tomar a forma equivalente: ou seja, a solução geral da equação dada é: com k Z. π cos( ) = 0 cos( ) = cos π π π = kπ ± = kπ ± + = kπ ± + 6 EXEMPLO. Seja, desta vez, a equação trigonométrica: tg 4 7 = cot g 5 Tem-se, neste caso: tg g tg tg = 5 cot = 4 7 pelo que se terá: = + + = + kπ kπ = kπ = kπ 5 7 = 8kπ 7 = 5 8kπ = kπ com k Z.
22 EXEMPLO. Veja-se, agora, a equação trigonométrica: ou seja: sen ( ) sen( ) + = 0. Trata-se de uma equação do segundo grau em sen( ), pelo que virá: ( ) sen( ) = ± 9 8 = ± π sen( ) = sen( ) = sen( ) = sen( ) = sen pelo que a solução geral da equação dada é: com k Z. EXEMPLO. Seja a equação trigonométrica: que pode escrever-se na forma equivalente: k π = kπ + ( ) sen( ) = cos( 7) π sen( ) = cos( 7) sen( ) = sen ( 7) sen( ) sen 7 = π + pelo que virá:
23 4 k ( ) k π = ( ) k 7( ) k = π π + π 4 ( ) 4 + k π k [( 7( ) ) ] ( ) = + = k 7( ) com k Z. EXEMPLO. Seja a equação trigonométrica: cos ec( ) sec( ) = 0. Tem-se aqui: cos ec( ) sec( ) = sen( ) 0 cos( ) = 0 pelo que terá de ser: π sen( ) = cos( ) sen( ) = sen ou seja: k π k k π π k π = kπ + ( ) + ( ) = kπ + ( ) = k + ( ) 4 com k Z. EXEMPLO. Veja-se a equação trigonométrica: 7sen( ) =. Virá, neste caso: k
24 5 7sen( ) = 7sen( ) = 4 sen( ) = sen( ) sen( 0, 74) 7 pelo que a solução geral da equação dada será, em princípio: k ( ) (, ) kπ com k Z. EXEMPLO. Tome-se a equação trigonométrica: sen( ) + 5sen( ) = 0. Ter-se-á, neste caso: sen( ) + 5sen( ) = 0 sen( ) = + 5sen( ) sen( ) = + 5sen( ) sen( ) = que é, como se sabe, uma equação impossível. EXEMPLO. Seja a equação trigonométrica: Virá, neste caso: cos ec( 7 ) = 4. cos ec( 7 ) = 4 = 4 sen 7 = 0, 5 sen 7 sen 0, 568 sen( 7 ) ( ) ( ) ( ) pelo que a solução geral da equação dada é:
25 k k 0 568( ) 7 k ( ) = + π +, π, 7 k com k Z. EXEMPLO. Seja a equação trigonométrica: sec( 4 ) =. Virá, então, a equação equivalente: sec( 4) = cos( 4) = cos( 4) = = 0,( ) cos( 4) cos(, 9) pelo que a solução geral da equação dada é: com k Z. 9 4 ± 9 4 ± 9 = kπ kπ kπ ±,,, 4 EXEMPLO. Considere-se a equação: Virá, neste caso: e sen( ) e = 0. sen( ) sen( ) e e = 0 e = e sen( ) = sen( ) = sen 6 pelo que a solução geral da equação dada é: π = kπ + ( ) k π 6
26 com k Z. EXEMPLO. Considere-se a nova equação: ln( cos ) = 0. Esta equação pode escrever-se na forma equivalente: ( ) ( ) ( ) ln cos = 0 ln cos = ln e cos = e cos = e + que é, como facilmente se perceberá, uma equação impossível. EXEMPLO. Considere-se a equação: cot g( e ) =. Esta equação pode escrever-se na forma equivalente: ( ) = ( ) ( 0 56 ) cot g e cot g e cot g, pelo que a solução geral da equação inicial é: com k Z e kπ + 0, 56 > 0. EXEMPLO. Considere-se a equação: ( π ) e kπ + 0, 56 ln k + 0, 56 sen( ) + cos( ) tg( ) =, 5. Ora, tendo em conta que todas as funções circulares de certo ângulo se podem eprimir racionalmente na tangente de metade desse ângulo, e que se tem:
27 tg tg tg sen( ) = cos( ) = tg( ) = + tg + tg tg a equação dada poderá escrever-se na forma: tg + tg + tg tg tg =, 5. Reduzindo o primeiro membro da equação anterior, virá a nova equação: tg + tg tg tg tg tg + tg 4 tg 4 =, 5 4, 5tg 4tg tg 0, 5 = 0 que é uma equação do quarto grau em tg, e se pode resolver facilmente através de uma máquina de calcular de boa qualidade. Ainda assim, haveria, ao final, que prestar alguma atenção a certas condições necessárias à aceitação das soluções encontradas. EXEMPLO. Seja a nova equação: que pode escrever-se na forma equivalente: ch( 4) = ch( 4) = ch( 4) = ch( 0) 4 = 0 = 0, 5
28 e que é a única solução da equação dada. EXEMPLO. Tome-se esta outra equação: sh( ) = 7. Esta equação pode escrever-se na forma: e e 6 sh( ) = 7 = 7 e = 4 e 4e = 0 e ( e ) 4e = 0 que é um equação do segundo grau em e. Dado que e não pode ser negativa, a única solução possível é: e 4, , 887. EXEMPLO. Tome-se a equação seguinte: tgh( ) = 0, 6. Esta equação pode escrever-se na forma: 6 e e e 6 tgh( ) = 0, 6 = , 6 e 4 e + e e + = = pelo que a solução procurada é: 6 e = 4 6 = ln( 4) 0, 04. EXEMPLO. Tome-se a equação seguinte:
29 d d tdt 7 = y + [ y ]. Recorrendo aos conhecimentos oriundos da Análise Matemática, tem-se: 9 = ( = 0 0) = = que são as soluções procuradas. EXEMPLO. Seja a equação matricial seguinte: onde se tem: [ AXB BC] B = I A = 5 4 Da equação inicial obtém-se: B = 0 0 I = C = 4 [ ] = = = + = [ + ] AXB BC B I AXB BC IB AXB B BC AX B BC B [ ] X = A B + BC B que é a solução procurada, desde que eistam as matrizes inversas das dadas e que figuram no segundo membro da última igualdade, o que é o caso. Deia-se a tarefa de as determinar ao leitor estudioso e interessado.
30 EXEMPLO. Considere-se a nova equação matricial: [ AXB ( BC) ] A = A T onde se tem: + i A = i i 4 B = 4 5 C = A equação matricial inicial pode escrever-se no modo seguinte: [ AXB ( BC) ] A A T AXB ( BC) A T = = A AXB = A T A + ( BC) AX [ A A ( BC) ] B X ( A) [ A A ( BC) ] T T = + = + B que é a solução procurada, desde que eistam as inversas da matrizes consideradas. A matriz A é a matriz conjugada da matriz A, sendo A T a transposta de A. EXEMPLO. Considere-se a equação: '' ' y y + y = 0 que é uma equação diferencial ordinária, linear, homogénea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. A sua equação característica é: m m + = 0 cujas soluções são: m = m =
31 pelo que a solução geral desta equação é: y = C e + C e = C e + C e onde C e C são as constantes de integração. EXEMPLO. Considere-se a nova equação: '' ' y 6y + 9y = 0 do mesmo tipo da anterior. A equação característica é, neste caso: m 6m + 9 = 0 que apresenta a única raiz, m =, com grau de multiplicidade dois. Nestas circunstâncias, a solução geral da equação dada é: y = C e + C e onde C e C são as constantes de integração. EXEMPLO. Seja, neste caso, a equação: '' ' y y + y = 7 que é uma equação diferencial ordinária, linear, não homogénea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Como se sabe, a solução geral de uma equação deste tipo, resulta da soma da correspondente à equação homogénea com uma solução particular da inicial. A equação homogénea da dada é, como se viu atrás: '' ' y y + y = 0 cuja solução é, como também se encontrou atrás:
32 y = C e + C e = C e + C e. Dado que o segundo membro da equação dada é 7, deverá adoptar-se para solução particular da dada uma solução do tipo: y = K onde K é uma constante a determinar. Sendo assim, ter-se-á: y ' '' = 0 y = 0 pelo que, substituindo a função e as suas derivadas na equação dada, virá: K = 7 K = pelo que a solução geral da equação dada é: EXEMPLO. Seja, agora, a equação: y = Ce + Ce + 7 '' ' y y + y = que é, mais uma vez, uma equação diferencial ordinária, linear, não homogénea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Já se viu anteriormente que a equação homogénea da dada é: sendo a sua solução: '' ' y y + y = 0 7 y = C e + C e = C e + C e.
33 Dado que o segundo membro da equação inicial é, adopta-se para solução particular da inicialmente dada uma função do tipo: pelo que se tem: y = A + B ' '' y = A y = 0 obtendo-se, por substituição na equação inicial: de onde se obtém: 0 A + ( A + B ) = 7 A = B = pelo que uma solução particular da inicial é: 9 y = + 4 sendo a solução geral da equação inicialmente dada: EXEMPLO. Veja-se, agora, a equação: y = Ce + Ce y y + y = que é uma equação às diferenças, ordinária, linear, homogénea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. A sua equação característica é: m m + = 0
34 cujas soluções são: pelo que a solução geral desta equação é: onde C e C são constantes arbitrárias. EXEMPLO. Veja-se, agora, a nova equação: m = m = y = C + C = C + C y 6y + 9y = que é também uma equação às diferenças, ordinária, linear, homogénea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. A sua equação característica é: m 6m + 9 = 0 que apresenta a única raiz, m =, com grau de multiplicidade dois. Nestas circunstâncias, a solução geral da equação dada é: onde C e C são constantes arbitrárias. EXEMPLO. Veja-se, agora, a nova equação: y = C + C y y + y = + + que é uma equação às diferenças, ordinária, linear, não homogénea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. Já se viu que a solução da equação homogénea correspondente é: y = C + C = C + C.
35 Para solução particular da inicial deverá tomar-se uma função do tipo: pelo que se terá: y = A y = A( + ) y = A( + ) + + vindo, pois: A( + ) A( + ) + A = de onde se tira: A = A = ou seja, a solução geral da equação inicialmente dada é: EXEMPLO. Veja-se, agora, a nova equação: y = C + C. y 6y + 9y = que é também uma equação às diferenças, ordinária, linear, não homogénea, de segunda ordem, com coeficientes constantes. A sua equação característica é: m 6m + 9 = 0 que apresenta a única raiz, m =, com grau de multiplicidade dois. Nestas circunstâncias, a solução geral da equação dada é, como se viu atrás: y = C + C onde C e C são constantes arbitrárias. Para se obter uma solução particular da equação dada, vai adoptar-se uma função do tipo:
36 y = A + B pelo que se tem: y = A( + ) + B y = A( + ) + B + + e, substituindo na equação incial, virá: pelo que se obtém: [ ] ( ) A( + ) + B 6 A( + ) + B + 9 A + B = 7 7 A = B = 4 sendo, pois, a solução geral da equação inicial: 7 y = C + C + 4 Apresentou-se, pois, um conjunto vasto de equações, de dificuldade variada, mas que cobrem um leque amplo de situações e servem para ilustrar casos diversos que ocorrem, com alguma frequência, na vida corrente. Espera-se que estes eemplos consigam deiar um lastro de capacidade de modelar situações várias e tenham despertado um pouco mais o gosto pelas equações.
37
205 educação, ciência e tecnologia
05 A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES HÉLIO BERNARDO LOPES * INTRODUÇÃO As primeiras noções do que é uma equação surgem logo nos primeiros anos do ensino secundário, onde se estudam as equações algébricas dos primeiro
Leia mais(1, 6) é também uma solução da equação, pois 3 1 + 2 6 = 15, isto é, 15 = 15. ( 23,
Sistemas de equações lineares generalidades e notação matricial Definição Designa-se por equação linear sobre R a uma expressão do tipo com a 1, a 2,... a n, b R. a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b (1)
Leia maisExercícios de Aprofundamento Mat Polinômios e Matrizes
. (Unicamp 05) Considere a matriz A A e A é invertível, então a) a e b. b) a e b 0. c) a 0 e b 0. d) a 0 e b. a 0 A, b onde a e b são números reais. Se. (Espcex (Aman) 05) O polinômio q(x) x x deixa resto
Leia maisINTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA
INTEGRAIS INTEGRAL INDEFINIDA A integração indefinida ou anti-derivação é a operação inversa da derivação, da mesma forma que a subtração é a operação inversa da adição ou a divisão é a operação inversa
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
CÁLCULO L NOTAS DA VIGÉSIMA PRIMEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, abordaremos a técnica de integração conhecida como frações parciais. Esta técnica pode ser utilizada para
Leia maisTabelas. Primitivas imediatas
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Matemática (Mestrado Integrado em Ciências Farmacêuticas Tabelas Primitivas imediatas Função a Primitiva ax + C f m f m+ + C (m \{ } m + f a f ln f
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2011-2 a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 011 - a Fase Proposta de resolução GRUPO I 1. Como no lote existem em total de 30 caixas, ao selecionar 4, podemos obter um conjunto de 30 C 4 amostras diferentes,
Leia maispara x = 111 e y = 112 é: a) 215 b) 223 c) 1 d) 1 e) 214 Resolução Assim, para x = 111 e y = 112 teremos x + y = 223.
MATEMÁTICA d Um mapa está numa escala :0 000 000, o que significa que uma distância de uma unidade, no mapa, corresponde a uma distância real de 0 000 000 de unidades. Se no mapa a distância entre duas
Leia maisMATEMÁTICA POLINÔMIOS
MATEMÁTICA POLINÔMIOS 1. F.I.Anápolis-GO Seja o polinômio P(x) = x 3 + ax 2 ax + a. O valor de P(1) P(0) é: a) 1 b) a c) 2a d) 2 e) 1 2a 1 2. UFMS Considere o polinômio p(x) = x 3 + mx 20, onde m é um
Leia maisESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU
INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 2007/2008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos:
Leia maisCURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA PROGRAMA DE EDUCAÇÃO TUTORIAL CENTRO DE ENGENHARIA DA MOBILIDADE
CURSO DE MATEMÁTICA BÁSICA Fatoração Equação do 1º Grau Equação do 2º Grau Aula 02: Fatoração Fatorar é transformar uma soma em um produto. Fator comum: Agrupamentos: Fatoração Quadrado Perfeito Fatoração
Leia maisFUNÇÃO DO 2º GRAU PROF. LUIZ CARLOS MOREIRA SANTOS
Questão 01) FUNÇÃO DO º GRAU A função definida por L(x) = x + 800x 35 000, em que x indica a quantidade comercializada, é um modelo matemático para determinar o lucro mensal que uma pequena indústria obtém
Leia maisDisciplina: Álgebra Linear - Engenharias ], C = Basta adicionar elemento a elemento de A e B que ocupam a mesma posição na matriz.
Universidade Federal de Goiás Campus Catalão Departamento de Matemática Disciplina: Álgebra Linear - Engenharias Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 1. Sejam Encontre: [ 1
Leia maisEquação e Inequação do 2 Grau Teoria
Equação e Inequação do Grau Teoria Candidato segue um resumo sobre resolução e discussão de equações e inequações do grau. Bons Estudos! Equação do Grau Onde Uma Equação do Grau é sentença aberta do tipo
Leia maisInversão de Matrizes
Inversão de Matrizes Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2014.2 13 de
Leia maisDepartamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1.
Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra Álgebra Linear e Geometria Analítica Engenharia Civil Ano lectivo 2005/2006 Folha 1 Matrizes 1 Considere as matrizes A = 1 2 3 2 3 1 3 1 2 Calcule
Leia maisDefinição de determinantes de primeira e segunda ordens. Seja A uma matriz quadrada. Representa-se o determinante de A por det(a) ou A.
Determinantes A cada matriz quadrada de números reais, pode associar-se um número real, que se designa por determinante da matriz Definição de determinantes de primeira e segunda ordens Seja A uma matriz
Leia maisUnidade 5. A letra como incógnita equações do segundo grau
Unidade 5 A letra como incógnita equações do segundo grau Para início de conversa... Vamos avançar um pouco mais nas resoluções de equações. Desta vez, vamos nos focar nas equações do segundo grau. Esses
Leia maisa, em que a e b são inteiros tais que a é divisor de 3
Matemática 0. Considere a expressão x x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x. B) obter todas as raízes complexas do polinômio p(x) x x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários: A
Leia maisApostila de Matemática 16 Polinômios
Apostila de Matemática 16 Polinômios 1.0 Definições Expressão polinomial ou polinômio Expressão que obedece a esta forma: a n, a n-1, a n-2, a 2, a 1, a 0 Números complexos chamados de coeficientes. n
Leia maisMatemática. A probabilidade pedida é p =
a) Uma urna contém 5 bolinhas numeradas de a 5. Uma bolinha é sorteada, tem observado seu número, e é recolocada na urna. Em seguida, uma segunda bolinha é sorteada e tem observado seu número. Qual a probabilidade
Leia maisExercícios de Revisão: Análise Complexa 1- Números Complexos
Exercícios de Revisão: Análise Complexa - Números Complexos Exercícios Propostos Globais I... Soluções dos Exercícios Propostos Globais I... Introdução... 4 Definições e propriedades elementares... 4.
Leia maisMatemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho
Matemática para a Economia I - 1 a lista de exercícios Prof. - Juliana Coelho 1 - Para cada função abaixo, calcule os valores pedidos, quando for possível: (a) f(x) = x 3 3x + 3x 1, calcule f(0), f( 1)
Leia maisDecomposição em Fracções Simples
Decomposição em Fracções Simples Luís Borges de Almeida Março de 202 Introdução A decomposição de funções racionais em fracções simples (também chamadas fracções parciais ou fracções elementares) é uma
Leia maisEQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS LINEARES Na disciplina de Análise Matemática, logo ao início de certos cursos de licenciatura, é usual tratar, entre outros temas, o das equações diferenciais, sejam ordinárias
Leia maisO Plano. Equação Geral do Plano:
O Plano Equação Geral do Plano: Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = (a, b, c), n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano (figura ao lado). Como n π, n é ortogonal a todo vetor
Leia maisAULA 1 EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU
AULA EQUAÇÕES E SISTEMAS DO º GRAU EQUAÇÕES DO º GRAU Uma equação é classificada como sendo do º grau quando puder ser escrita na forma ax + b 0 onde a e b são reais com a 0. Uma equação do º grau admite
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015-2 a Fase
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - o Ano 205-2 a Fase Proposta de resolução GRUPO I. O valor médio da variável aleatória X é: µ a + 2 2a + 0, Como, numa distribuição de probabilidades de uma variável aleatória,
Leia maisEscola Secundária de Alcochete. 11.º Ano Matemática A Geometria no Plano e no Espaço II
Escola Secundária de Alcochete 11.º Ano Matemática A Geometria no Plano e no Espaço II Equações Trigonométricas O que são? São equações que envolvem o uso de funções trigonométricas. Mas... Ainda não se
Leia maisExercícios de Álgebra Linear
Exercícios de Álgebra Linear Mestrado Integrado em Engenharia do Ambiente Mestrado Integrado em Engenharia Biológica Nuno Martins Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico Setembro de Índice
Leia maisMatrizes e Sistemas Lineares. Professor: Juliano de Bem Francisco. Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina.
e Aula Zero - Álgebra Linear Professor: Juliano de Bem Francisco Departamento de Matemática Universidade Federal de Santa Catarina agosto de 2011 Outline e e Part I - Definição: e Consideremos o conjunto
Leia maisTriângulos e suas medidas Trigonometria
Resumos Matematik Triângulos e suas medidas Trigonometria Não é um manual escolar. Não dispensa a consulta de um manual escolar. Recomendamos a presença nas aulas e o aconselhamento com um professor. Setembro
Leia maisINVESTIGAÇÃO OPERACIONAL. Programação Linear. Exercícios. Cap. III Método Simplex
INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL Programação Linear Eercícios Cap. III Método Simple António Carlos Morais da Silva Professor de I.O. INVESTIGAÇÃO OPERACIONAL (MS edição de 006) i Cap. III - Método Simple - Eercícios
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema II Introdução ao Cálculo Diferencial I Funções Racionais e com Radicais Taxa de Variação e Derivada TPC nº 6 (entregar no dia 14 01
Leia maisCongruências Lineares
Filipe Rodrigues de S Moreira Graduando em Engenharia Mecânica Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) Agosto 006 Congruências Lineares Introdução A idéia de se estudar congruências lineares pode vir
Leia maisOnde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação
Onde: A é a matriz do sistema linear, X, a matriz das incógnitas e B a matriz dos termos independentes da equação À seguir eemplificaremos e analisaremos cada uma dessas três situações. : A X B Podemos
Leia maisCapítulo VI. Teoremas de Circuitos Elétricos
apítulo VI Teoremas de ircuitos Elétricos 6.1 Introdução No presente texto serão abordados alguns teoremas de circuitos elétricos empregados freqüentemente em análises de circuitos. Esses teoremas têm
Leia mais1.2. Recorrendo a um diagrama em árvore, por exemplo, temos: 1.ª tenda 2.ª tenda P E E
Prova de Matemática do 3º ciclo do Ensino Básico Prova 927 1ª Chamada 1. 1.1. De acordo com enunciado, 50% são portugueses (P) e 50% são espanhóis (E) e italianos (I). Como os Espanhóis existem em maior
Leia mais3º Ano do Ensino Médio. Aula nº09 Prof. Paulo Henrique
Nome: Ano: º Ano do E.M. Escola: Data: / / 3º Ano do Ensino Médio Aula nº09 Prof. Paulo Henrique Assunto: Funções do Segundo Grau 1. Conceitos básicos Definição: É uma função que segue a lei: onde, Tipos
Leia maisUma equação trigonométrica envolve como incógnitas arcos de circunferência e relacionados por meio de funções trigonométricas.
Equações Trigonométricas Uma equação trigonométrica envolve como incógnitas arcos de circunferência e relacionados por meio de funções trigonométricas. Por exemplo: A maioria das equações trigonométricas
Leia maisProposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) 2ª fase. 19 de Julho de 2010
Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 65) ª fase 9 de Julho de 00 Grupo I. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é, existem tantas bolas roxas
Leia maisQuestão 1. Questão 3. Questão 2. Resposta. Resposta. Resposta
Questão São conhecidos os valores calóricos dos seguintes alimentos: uma fatia de pão integral, 55 kcal; um litro de leite, 550 kcal; 00 g de manteiga,.00 kcal; kg de queijo,.00 kcal; uma banana, 80 kcal.
Leia maisFicha de Exercícios nº 2
Nova School of Business and Economics Álgebra Linear Ficha de Exercícios nº 2 Matrizes, Determinantes e Sistemas de Equações Lineares 1 O produto de duas matrizes, A e B, é a matriz nula (mxn). O que pode
Leia maisTEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA
TEORIA 5: EQUAÇÕES E SISTEMAS DO 1º GRAU MATEMÁTICA BÁSICA Nome: Turma: Data / / Prof: Walnice Brandão Machado Equações de primeiro grau Introdução Equação é toda sentença matemática aberta que exprime
Leia maisMATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE
MATRIZ - FORMAÇÃO E IGUALDADE 1. Seja X = (x ij ) uma matriz quadrada de ordem 2, onde i + j para i = j ;1 - j para i > j e 1 se i < j. A soma dos seus elementos é igual a: 2. Se M = ( a ij ) 3x2 é uma
Leia maisUniversidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física Laboratório de Teoria da Matéria Condensada
Universidade Federal de Santa Maria Centro de Ciências Naturais e Exatas Departamento de Física Laboratório de Teoria da Matéria Condensada Sistema de equações lineares e não lineares Tiago de Souza Farias
Leia maisSemana 7 Resolução de Sistemas Lineares
1 CÁLCULO NUMÉRICO Semana 7 Resolução de Sistemas Lineares Professor Luciano Nóbrega UNIDADE 1 2 INTRODUÇÃO Considere o problema de determinar as componentes horizontais e verticais das forças que atuam
Leia maisAnálise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados
Análise de Sistemas de Controle no Espaço de Estados 9.1 INTRODUÇÃO* (Capítulo 11 do Ogata) Um sistema moderno complexo pode ter muitas entradas e muitas saídas e elas podem ser interrelacionadas de maneira
Leia maisUniversidade dos Açores Curso de Especialização Tecnológica Gestão da Qualidade Matemática
Universidade dos Açores Curso de Especialização Tecnológica Gestão da Qualidade Matemática Sinopse: Nesta disciplina são abordados conceitos básicos da teoria dos erros, funções e gráficos, derivadas,
Leia maisPlano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase
Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Ênfase Identificação Disciplina 0006308A - Fundamentos de Matemática Elementar Docente(s) Ivete Maria Baraldi Unidade Faculdade de Ciências Departamento Departamento
Leia maisNOTAÇÕES. : distância do ponto P à reta r : segmento de extremidades nos pontos A e B
R C i z Rez) Imz) det A tr A : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : parte real do número z C : parte imaginária do número z C
Leia maisOs eixo x e y dividem a circunferência em quatro partes congruentes chamadas quadrantes, numeradas de 1 a 4 conforme figura abaixo:
Circunferência Trigonométrica É uma circunferência de raio unitário orientada de tal forma que o sentido positivo é o sentido anti-horário. Associamos a circunferência (ou ciclo) trigonométrico um sistema
Leia mais, 10 4. pertence ao conjunto dado? Justifica a resposta e apresenta todos os cálculos que efetuares.
Teste de Avaliação Escrita Duração: 90 minutos 9 de maio de 0 Escola E.B., Eng. Nuno Mergulhão Portimão Ano Letivo 0/0 Matemática 9.º B Nome: N.º Classificação: Fraco (0% 9%) Insuficiente (0% 9%) Suficiente
Leia maisPlano de Ensino. Identificação. Câmpus de Bauru. Curso 1503 - Licenciatura em Matemática. Ênfase
Curso 1503 - Licenciatura em Matemática Ênfase Identificação Disciplina 0006308A - Fundamentos de Matemática Elementar Docente(s) Maria Edneia Martins Salandim Unidade Faculdade de Ciências Departamento
Leia maisCAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES
CAP. II RESOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES NÃO LINEARES Vamos estudar alguns métodos numéricos para resolver: Equações algébricas (polinómios) não lineares; Equações transcendentais equações que envolvem funções
Leia maisSendo o polinômio P(x), de grau quatro e divisível por Q(x) = x 3, o resto de sua divisão por D(x) = x 5 é
Questão 01) O polinômio p(x) = x 3 + x 2 3ax 4a é divisível pelo polinômio q(x) = x 2 x 4. Qual o valor de a? a) a = 2 b) a = 1 c) a = 0 d) a = 1 e) a = 2 TEXTO: 1 Para fazer um estudo sobre certo polinômio
Leia maisFunções reais de variável real
Funções reais de variável real Função exponencial e função logarítmica 1. Determine a base de cada logaritmo. log a 36 = 2 (b) log a (25a) = 5 (c) log a 4 = 0.4 2. Considere x = log 10 2 e y = log 10 3.
Leia maisXXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase
XXXII Olimpíada Brasileira de Matemática GABARITO Segunda Fase Soluções Nível Segunda Fase Parte A PARTE A Na parte A serão atribuídos 4 pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa
Leia maisEscola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota:
Escola: ( ) Atividade ( ) Avaliação Aluno(a): Número: Ano: Professor(a): Data: Nota: Questão 1 (OBMEP RJ) Qual é a menor das raízes da equação Questão 2 (OBMEP RJ adaptada) Mariana entrou na sala e viu
Leia maisO cilindro deitado. Eduardo Colli
O cilindro deitado Eduardo Colli São poucas as chamadas funções elementares : potências e raízes, exponenciais, logaritmos, funções trigonométricas e suas inversas, funções trigonométricas hiperbólicas
Leia maisCapítulo 7. 1. Bissetrizes de duas retas concorrentes. Proposição 1
Capítulo 7 Na aula anterior definimos o produto interno entre dois vetores e vimos como determinar a equação de uma reta no plano de diversas formas. Nesta aula, vamos determinar as bissetrizes de duas
Leia mais. B(x 2, y 2 ). A(x 1, y 1 )
Estudo da Reta no R 2 Condição de alinhamento de três pontos: Sabemos que por dois pontos distintos passa uma única reta, ou seja, dados A(x 1, y 1 ) e B(x 2, y 2 ), eles estão sempre alinhados. y. B(x
Leia maisA integral indefinida
A integral indefinida Introdução Prof. Méricles Thadeu Moretti MTM/CFM/UFSC. A integração é uma operação fundamental na resolução de problemas de matemática, física e outras disciplinas, além de fazer
Leia maisFração é uma forma de representar uma divisão, onde o numerador é o dividendo e o denominador é o divisor. Exemplo:
FRAÇÕES Fração é uma forma de representar uma divisão, onde o numerador é o dividendo e o denominador é o divisor. Exemplo: Adição e subtração de frações Para adicionar ou subtrair frações, é preciso que
Leia maisESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA
ESCOLA DR. ALFREDO JOSÉ BALBI UNITAU APOSTILA FUNÇÃO EXPONENCIAL PROF. CARLINHOS 1 Antes de iniciarmos o estudo da função eponencial faremos uma revisão sobre potenciação. 1. Potência com epoente natural
Leia mais2. Qual dos gráficos abaixo corresponde à função y= x? a) y b) y c) y d) y
EEJMO TRABALHO DE DP 01 : 1 COL MANHÃ MATEMÁTICA 1. Na locadora A, o aluguel de uma fita de vídeo é de R$, 50, por dia. A sentença matemática que traduz essa função é y =,5.. Se eu ficar 5 dias com a fita,
Leia maisNOTAÇÕES : conjunto dos números naturais : conjunto dos números reais + : conjunto dos números reais não-negativos
MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números naturais : conjunto dos números reais + : conjunto dos números reais não-negativos i: unidade imaginária; i = P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS RAINHA D. LEONOR ESCOLA BÁSICA 2/3 EUGÉNIO DOS SANTOS Matemática Conteúdos 8ºAno de Escolaridade Ano Letivo 2013/14
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS RAINHA D. LEONOR ESCOLA BÁSICA 2/3 EUGÉNIO DOS SANTOS Matemática Conteúdos 8ºAno de Escolaridade Ano Letivo 2013/14 DOMÍNIO: NÚMEROS E OPERAÇÕES SUB-DOMÍNIO: NÚMEROS REAIS Números
Leia maisSistemas de equações do 1 grau com duas variáveis LISTA 1
Sistemas de equações do 1 grau com duas variáveis LISTA 1 INTRODUÇÃO Alguns problemas de matemática são resolvidos a partir de soluções comuns a duas equações do 1º a duas variáveis. Nesse caso, diz-se
Leia maisÁlgebra Linear AL. Luiza Amalia Pinto Cantão. Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.
Álgebra Linear AL Luiza Amalia Pinto Cantão Depto. de Engenharia Ambiental Universidade Estadual Paulista UNESP luiza@sorocaba.unesp.br Sistemas Lienares 1 Sistemas e Matrizes 2 Operações Elementares e
Leia maisCÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação. Professora: Walnice Brandão Machado
CÁLCULO 1 Teoria 0: Revisão Gráfico de Funções elementares Núcleo de Engenharias e Ciência da Computação FUNÇÕES POLINOMIAIS Função polinomial de 1º grau Professora: Walnice Brandão Machado O gráfico de
Leia maisAs equações 1 e 2 são equações literais, enquanto que, a equação 3 não é uma equação literal.
Equações literais Observa as equações seguintes: 7 1 7z 7 0 As equações 1 e são equações literais, enquanto que, a equação não é uma equação literal. Então, qual será a definição de equação literal? Equações
Leia mais1 Teoria de conjuntos e lógica
1 Teoria de conjuntos e lógica Estes breves apontamentos dizem respeito à parte do programa dedicada à teoria de conjuntos e à lógica matemática. Embora concebidos sem grandes formalismos e com poucas
Leia maisA recuperação foi planejada com o objetivo de lhe oportunizar mais um momento de aprendizagem.
DISCIPLINA: MATEMÁTICA PROFESSORES: MÁRIO, ADRIANA E GRAYSON DATA: / 1 / 014 VALOR: 0,0 NOTA: TRABALHO DE RECUPERAÇÃO FINAL SÉRIE: 9º ANO TURMA: NOME COMPLETO: Nº: Prezado(a) aluno(a), A recuperação foi
Leia mais5. Derivada. Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x 0, então a derivada de f
5 Derivada O conceito de derivada está intimamente relacionado à taa de variação instantânea de uma função, o qual está presente no cotidiano das pessoas, através, por eemplo, da determinação da taa de
Leia maisFUNÇÕES MATEMÁTICAS NÚMERO : PI() SENO E COSSENO: SEN() E COS()
FUNÇÕES MATEMÁTICAS FUNÇÕES MATEMÁTICAS O Excel possui uma série de funções matemáticas em sua biblioteca. Para utilizar uma função, sempre devem ser utilizados os parêntesis, mesmo que estes fiquem vazios.
Leia maisCapítulo 4. Retas e Planos. 4.1 A reta
Capítulo 4 Retas e Planos Neste capítulo veremos como utilizar a teoria dos vetores para caracterizar retas e planos, a saber, suas equações, posições relativas, ângulos e distâncias. 4.1 A reta Sejam
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DR. VIEIRA DE CARVALHO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS EXPERIMENTAIS MATEMÁTICA 8.º ANO PLANIFICAÇÃO GLOBAL 1. Representação, comparação e ordenação. Representar números racionais
Leia maisPROGRAMAÇÃO LINEAR. Formulação de problemas de programação linear e resolução gráfica
PROGRAMAÇÃO LINEAR Formulação de problemas de programação linear e resolução gráfica A programação linear surge pela primeira vez, nos novos programas de Matemática A no 11º ano de escolaridade. Contudo
Leia maisSoluções das Questões de Matemática do Concurso de Admissão ao Curso de Formação de Oficiais da Academia da Força Aérea AFA
Soluções das Questões de Matemática do Concurso de Admissão ao Curso de Formação de Oficiais da Academia da Força Aérea AFA Questão Considere a função quadrática f : A Concurso 00/0 do vértice são iguais.
Leia mais2 - Generalidades sobre funções reais de variável real
Análise Matemática I - 006/007 - Generalidades sobre unções reais de variável real.-deinição e Propriedades De.. Sejam A e B conjuntos, e uma correspondência de A para B, isto é um processo de associar
Leia maisALGA - Eng.Civil - ISE - 2009/2010 - Matrizes 1. Matrizes
ALGA - Eng.Civil - ISE - 00/010 - Matrizes 1 Matrizes Introdução Se m e n são números naturais, chama-se matriz real de tipo m n (m vezes n ou m por n) a uma aplicação A : f1; ; :::; mg f1; ; :::; ng R:
Leia mais7 A Integral Indefinida
7 7.1 Equação Diferencial Até o momento preocupamo-nos com o seguinte problema: Dada uma função, encontrar a sua derivada. Preocuparemos agora em resolver o problema inverso, isto é: Dada uma função derivada,
Leia maisPRIMITIVAÇÃO POR PARTES
PRIMITIVAÇÃO POR PARTES Apretam-se as principais sugestões para eectuar a primitivação por partes com sucesso e uma proposta de resolução dos eercícios apretados PRIMITIVAÇÃO POR PARTES Quando se pretende
Leia mais( 2) 4 ( 2) 3 5( 2) 2 ( 2) 6 = 16 ( 8) 5 4 + 2 6 = 16 + 8 20 + 2 6 = 0.
Matemática 0. Considere a expressão x 4 x 3 5x x 6. Pede-se: A) encontrar o valor numérico da expressão para x =. B) oter todas as raízes complexas do polinômio p(x) = x 4 x 3 5x x 6. Questão 0 Comentários:
Leia maisÁlgebra Linear - Exercícios (Determinantes)
Álgebra Linear - Exercícios (Determinantes) Índice 1 Teoria dos Determinantes 3 11 Propriedades 3 12 CálculodeDeterminantes 6 13 DeterminanteseRegularidade 8 14 TeoremadeLaplace 11 15 Miscelânea 16 2 1
Leia maisCálculo I (2015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.2015. Para o Aluno. Tópicos do Pré-Cálculo
Cálculo I (015/1) IM UFRJ Lista 1: Pré-Cálculo Prof. Milton Lopes e Prof. Marco Cabral Versão 17.03.015 Para o Aluno O sucesso (ou insucesso) no Cálculo depende do conhecimento de tópicos do ensino médio
Leia maisAgrupamento de Escolas Júlio Dantas Escola Básica Tecnopolis
Teorema de Pitágoras- Unidade 2 1.ºP Tema Calendarização Domínio N.º de aulas de 45 minutos Agrupamento de Escolas Júlio Dantas Escola Básica Tecnopolis Planificação Curricular a Longo Prazo Matemática
Leia mais= 1 1 1 1 1 1. Pontuação: A questão vale dez pontos, tem dois itens, sendo que o item A vale até três pontos, e o B vale até sete pontos.
VTB 008 ª ETAPA Solução Comentada da Prova de Matemática 0 Em uma turma de alunos que estudam Geometria, há 00 alunos Dentre estes, 30% foram aprovados por média e os demais ficaram em recuperação Dentre
Leia maisFUNÇÃO QUADRÁTICA. Resumo
01 / 08 / 12 FUNÇÃO QUADRÁTICA 1. Definição Resumo Função do 2º grau ou função quadrática é a função f: R R definida por f(x) = ax² + bx + c, com a, b, c reais e a 0. Em que a é o coeficiente de x²; b
Leia maisSistema ELITE de Ensino IME - 2013/2014 COMENTÁRIO DA PROVA
Sistema ELITE de Ensino IME - 01/01 1 COMENTÁRIO DA PROVA 01. O polinômio P() = 5 + 10 0 + 81 possui raízes compleas simétricas e uma raiz com valor igual ao módulo das raízes compleas. Determine todas
Leia maisTransformadas de Möbius e equações do terceiro grau
Transformadas de Möbius e equações do terceiro grau José Carlos Santos Boletim da Sociedade Portuguesa de Matemática, Maio de 2005 Considere-se uma equação de terceiro grau com coeficientes comlexos: (1)
Leia maisMatemática Ficha de Trabalho Equações
Matemática Ficha de Trabalho Equações 7ºano. Considera a equação: 4 + b = b + 8. Indique: a) A incógnita b) O º membro c) O º membro d) Os termos do º membro e) Os termos do º membro f) Verifica se e 7
Leia maisProva Escrita de MATEMÁTICA A - 12o Ano 2015 - Época especial
Prova Escrita de MATEMÁTICA A - 1o Ano 015 - Época especial Proposta de resolução GRUPO I 1. Como P A B = P A + P B P A B, substituindo os valores conhecidos, podemos calcular P A: 0,7 = P A + 0,4 0, 0,7
Leia maisResolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss
Resolução de sistemas de equações lineares: Método de eliminação de Gauss Marina Andretta ICMC-USP 21 de março de 2012 Baseado no livro Análise Numérica, de R L Burden e J D Faires Marina Andretta (ICMC-USP)
Leia maisFUNÇÕES. 1.Definição e Conceitos Básicos
FUNÇÕES 1.Definição e Conceitos Básicos 1.1. Definição: uma função f: A B consta de três partes: um conjunto A, chamado Domínio de f, D(f); um conjunto B, chamado Contradomínio de f, CD(f); e uma regra
Leia maisA. Equações não lineares
A. Equações não lineares 1. Localização de raízes. a) Verifique se as equações seguintes têm pelo menos uma solução nos intervalos dados: i) (x - 2) 2 ln(x) = 0, em [1, 2] e [e, 4]. ii) 2 x cos(x) (x 2)
Leia maisAMEI Escolar Matemática 9º Ano Sistemas de Equações
AMEI Escolar Matemática 9º Ano Sistemas de Equações Equações do 1º grau com duas incógnitas Uma equação do 1º grau com duas incógnitas tem um número infinito de soluções. Para determinar se um par ordenado
Leia maisCAPÍTULO 4. 4 - O Método Simplex Pesquisa Operacional
CAPÍTULO 4 O MÉTODO SIMPLEX 4 O Método Simplex caminha pelos vértices da região viável até encontrar uma solução que não possua soluções vizinhas melhores que ela. Esta é a solução ótima. A solução ótima
Leia mais