Capítulo 5 Derivadas

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1 Departamento de Matemática - ICE - UFJF Disciplina MAT54 - Cálculo Capítulo 5 Derivadas Este capítulo é sobre derivada, um conceito fundamental do cálculo que é muito útil em problemas aplicados. Este conceito relaciona-se com o problema de determinar a reta tangente a um ponto do gráfico de uma função como visto no capítulo 3. Iniciaremos nossa discussão tratando deste problema. 5. O problema da reta tangente Seja P ( 0, f( 0 )) um ponto sobre o gráfico de uma função contínua f(). Dado um ponto Q = (, f( )) do gráfico, distinto de P, seja s a reta passando por P e Q. A inclinação desta reta é dada por m s = f( ) f( 0 ) 0 Considerando Q com um ponto móvel, quando 0 temos Q P. Consequentemente, a reta s varia de posição (ver figura). A reta tangente ao gráfico de f() no ponto P é definida como sendo a posição ite de s quando 0 e sua inclinação, denotada por m, é dada pelo ite da inclinação das retas secantes s quando 0, ou seja m = f( ) f( 0 ) (5.) 0 0 Se o ite acima eiste, então eiste a reta tangente ao gráfico de f() no ponto P e esta reta tem equação (y y 0 ) = m( 0 ). Mas, pode ocorrer deste ite não eistir e neste caso temos duas possibilidades: ou a reta tangente não pode ser definida, ou a reta tangente é uma reta vertical. Este último caso ocorre quando o ite é ±. Nos eemplos a seguir vamos ilustrar todas estas possibilidades. Eemplo. Para verificar se eiste reta tangente ao gráfico de f() = no ponto P = (, f()) = (, )

2 calculamos o ite f() f() ( ) = Como o ite eiste e vale, eiste a reta tangente ao gráfico de f() no ponto P e sua equação é (y ) = ( ) y = + 2 Figura 5.: Reta tangente ao gráfico de f() = no ponto P = (, ). Eemplo 2. Para verifcar se eiste uma reta tangente ao gráfico de f() = 3 no ponto P = (0, 0) calculamos o ite f() f(0) = + 0 2/3 Como o ite é +, a posição ite das retas secantes é a reta vertical = 0, isto é, a reta tangente passando por P é a reta vertical = 0. Figura 5.2: A reta tangente ao gráfico de f() = 3 no ponto P = (0, 0) é uma reta vertical. 2, se Eemplo 3. Considere a função f() = e o ponto P = (, ) do seu gráfico , se > Temos que f() f() f() f() = =

3 f() f() Como os ites laterais são distintos, não eiste o ite. Ainda, não eiste a posição ite das retas secantes. Logo não eiste a reta tangente ao gráfico de f() no ponto P = (, ). Figura 5.3: Para a função f() no eemplo 3, não eiste reta tangente a seu gráfico no ponto P = (, ). 5.2 Derivada de uma função em um ponto Definição. Uma função f() é derivável ou diferenciável em um ponto 0 D(f) se eiste o ite f ( 0 ) = f( ) f( 0 ) (5.2) 0 0 Se este ite f ( 0 ) eiste ele é camado de derivada de f() no ponto 0. Se o ite f ( 0 ) não eiste, dizemos que f() é não derivável ou não diferenciável em 0. Observação. Pela discussão da seção anterior, dizer que f() é derivável em 0 é o mesmo que dizer que eiste a reta tangente ao gráfico de f() no ponto ( 0, f( 0 )) e que esta reta não é vertical com inclinação f ( 0 ). Eemplo 4. Considere a função f : R R, f() = 2 f f() f(2) 2 4 (2) ( 2)( + 2) ( + 2) = Portanto f() é derivável em = 2 e f (2) = 4 Eemplo 5. Considere a função f : R R, f() = 3, temos Portanto f() é derivável em = 0 e f (0) = 0 f f() f() 3 0 (0) = 0 Observação 2. Fazendo a mudança de coordenadas = 0 vemos que 0 implica em 0, logo a derivada de uma função f() em um ponto 0 pode também ser epressa pelo ite f ( 0 ) f( 0 + ) f( 0 ) (5.3) 3

4 Eemplo 6. Considere a função f : R R, f() = 3. Observe que f f(4 + ) f(4) 3(4 + ) 2 3 (4) 3 = 3 Portanto f() é derivável em = 4 e f (4) = Derivada como Função Definição 2. Considere uma função f(). A função f definida pela fórmula f () f( + ) f() é camada derivada da função f com relação a. O domínio da derivada f é o conjuntos os pontos D(f) para os quais eiste o ite f (). Observação 3. A derivada de uma função f() com relação a também é denotada por df d (notação de Leibniz) Definição 3. Quando f() é definida em um intervalo aberto e possui derivada em todos os pontos deste intervalo, dizemos que f() é uma função diferenciável ou derivável. Eemplo 7. Considere f : R R, f() = 2. Dado qualquer R temos f () f( + ) f() = 2 Portanto, f() é derivável em todo ponto R, ou seja, f() = 2 é uma função diferenciável. derivada de f() é a função f : R R, f () = 2. A Eemplo 8. Considere a função f : R R, f() = 3 +. Para qualquer ponto R temos f( + ) f() 3( + ) = 3 Como f () eiste para todo R = D(f), temos que f() é um função diferenciável e sua derivada é a função constante f : R R, f () = 3. Vejamos um eemplo de uma função cuja derivada não eiste em algum ponto do domínio. Eemplo 9. Considere a função f : R R, f() = 3. Vimos no eemplo 2 que f() f(0) = +

5 Portanto, f() é não derivável no ponto 0. Agora, para todo 0 0 temos f f() f( 0 ) ( 0 ) considerando y = 3 e recordando que y = (y 3 0 )(y 2 + y ) obtemos f ( 0 ) y y 3 0 y y 3 0 y = = Portanto, f() é derivável em todo ponto 0 a a derivada desta função é a função f : R\{0} R, f () = Derivadas laterais Em algumas situações, é útil considerar os ites laterais associados ao ite f (). Estes ites laterais são: f ( 0 ) f( 0 + ) f( 0 ) e f +( 0 ) + f( 0 + ) f( 0 ) Definição 4. O ite f ( 0 ), quando eiste, é camado de derivada à esquerda de f() no ponto 0 e o ite f +( 0 ), quando eiste, é camado de derivada à direita de f() no ponto 0. Observação 4. Note que a derivada f ( 0 ) eiste se, e somente se, as derivadas laterais f +( 0 ) e f ( 0 ) eistem e são iguais. O conceito de derivada lateral é útil, por eemplo, quando estudamos funções definidas por partes. Vejamos um eemplo. Eemplo 0. A função f : R R definida por: f 2, se () = 2 se > é contínua em todo ponto R e derivável em todo ponto (verifique!). Para ver se ela é derivável em = precisaremos considerar a as derivadas laterias em já que a regra da função é diferente para < e >. Estas derivadas são: f () f( + ) f() ( + ) f +() f( + ) f() 2( + ) = 2 5 = 2

6 Como os ite laterais f () = f +() = 2 temos que eiste f () e f () = 2. Eemplo. Vamos estudar a diferenciabilidade de f : R R, f() = tratando alguns casos. Observemos, primeiramente, que se > 0 então = e para pequeno o suficiente, temos + > 0 donde + = +. Assim, f f( + ) f() + + () =. Agora, se < 0 então = e para pequeno o suficiente, temos + < 0 donde + =. Assim, f f( + ) f() + + () =. Finalmente, se = 0 então devemos tratar os ites laterais ou seja, as derivadas laterais que são f (0) = f +(0) = + Como f (0) f +(0), a derivada f (0) não eiste. Assim, f() = é derivável apenas nos pontos 0, com f () = para > 0 e f () = para < 0. A derivada de f() é a função f : R\{0} R definida por f, se < 0 () =, se > 0 As derivadas laterais também são usadas para estudar funções definidas em intervalos que tenam etremos fecados como veremos nos eemplos a seguir. Definição 5. Dizemos que uma função f() é diferenciável (ou derivável) em intervalos da forma [a, b], [a, + ), (, b], (a, b] ou [a, b) se f () eiste para todo ponto no interior do intervalo e se eistem as derivadas adequadas nos etemos destes intervalos Eemplo 2. Considere a função f : [0, + ) R, f() =. Para todo > 0 temos f f( + ) f() + () ( + ).( + + ).( + + ( + ) ).( + + ).( + + ) + + = =

7 Portanto, f() é derivável em todo ponto > 0 e f () = 2. Agora, não podemos calcular o ite f () para = 0, já que f está definida apenas em um intervelo à direita de 0. Mas, podemos considerar a derivada lateral à direita f +(0) que é f(0 + ) f(0) = + + Portanto não eiste a derivada lateral à direita no ponto = 0. derivável no intervalo [0, + ) embora seja derivável no intervalo (0, + ) Concluímos que f() = não é Eemplo 3. Considere a função f : [, 2] R, f() = 3 2. Para todo (, 2) temos f f( + ) f() 3( + ) () = 6 Nos etremos do domínio, = e = 2, devemos considerar as derivadas laterais que são: e f +() 3( + ) f (2) 3(2 + ) Portanto, f() é diferenciável no intervalo [, 2] = = Continuidade e Derivabilidade Uma relação entre o conceito de continuidade e diferenciabilidade é dada no seguinte teorema: Teorema. Se f() é uma função derivável em um ponto 0 D(f) então f é contínua em 0 Prova: Para provar este teorema devemos mostrar que se f ( 0 ) eiste então Mas, este último ite equivale ao ite f() = f( 0 ) 0 f() f( 0 ) =

8 Assim, provamos o teorema mostrando que [ ] f() f(0 ) f() f( 0 ) [f() f( 0 )].( 0 ) ( 0 ) = f ( 0 ).0 = Observação 5. Este teorema nos diz que se f() é descontínua em 0, então f() não é diferenciável em 0. Eemplo 4. A função f : R R definida por 3 +, se f() = 2, se > é descontínua em = (verifique!). Portanto, pelo teorema, f() não é diferenciável no ponto =. Observação 6. Continuidade não implica em diferenciabilidade, ou seja, se f() é contínua em 0 não necessariamente f() é derivável em 0. Um bom eemplo para ilustrar esse fato é a função f() = que é contínua em = 0 mas não é diferenciável neste ponto. Eemplo 5. Dada a função f : R R a seguir, queremos determinar valores de a, b R de forma que a função seja diferenciável em = 0. a + b, se 0 f() = 2 + 2, se > 0 Primeiramente, pelo Teorema, devemos ter f contínua em = 0. Temos que f() = Assim, devemos ter b = 2. a 2, se 0 Temos então: f() = 2 + 2, se > 0 0 f() a + b = b = f(0) Agora, devemos ter as derivadas laterais em = 0 iguais: f +(0) f(0 + ) f(0) = + f() + 2 = = + + f(0) = > 0 f() = f (0) f(0 + ) f(0) = f() + 2 = a a + + = a f(0) = 2 0 < 0 f() = a 2 8

9 2, se 0 Portanto, devemos ter a = e, assim, f() = 2 + 2, se > Regras de Derivação Nesta seção estudaremos regras para derivar funções sem o uso do ite que define a derivada Derivadas de funções constantes Se f() = c então f () = 0 ou df = 0. De fato d Eemplo 6. Se f() = 5 então f () = 0 f f( + ) f() c c () 0 = Derivada do produto de uma função por uma constante Se f é derivável em e g() = cf() para alguma constante c então g() é derivável em e g () = cf () ou dg d = c df d De fato, g g( + ) g() cf( + ) cf() f( + ) f() () = c = cf () Eemplo 7. Sabemos que f() = 2 tem derivada f () = 2 para todo R, pela regra acima temos que g() = 5f() = 5 2 é derivável em todo ponto R e sua derivada é g () = 5.f () = 5.2 = Derivadas de potências Se n é um número inteiro positivo e f() = n então f() é derivável em todo ponto R e temos f () = ( n ) = n n ou d d [n ] = n n Para provar esta regra, recordemos que ( ) n ( + ) n n = k n k = n + n n. + k k=0 n(n + ) n n n + n 2! 9

10 Assim, f f( + ) f() ( + ) n n () [ n + n n. + nn. + n n + ] n(n + ) n n n + n n 2! n(n + ) n n n + n 2! n(n + ) n n n + n 2! = n n = n n Eemplo 8. Segue da regra acima que a função f : R R, f() = 3 é derivável em todo R e f () = ( 3 ) = 3 3 = 3 2 A regra acima pode ser generalizada para epoentes reais quaisquer. f() = α então f () = ( α ) = α α Mais precisamente, se α R e Daremos a prova deste fato mais à frente. Por agora, vamos eplorar esta regra em alguns eemplos. Eemplo 9. Considere f : R\{0} R, f() = 2. Observe que 2 = 2. Considerando a regra geral da derivação de potências, temos que f() é derivável para todo R\{0} e f () = ( 2 ) = 2. 2 = 2 3 = 2 3 Eemplo 20. Considere a função f : R R, f() = 5 6. Observando que f() = 5 6 = 6 5 e considerando a regra de derivação acima, temos f () = ( 6 5 ) = = = Eemplo 2. Como ( α ) = α α para α R e (cf()) = cf () para c R constante, temos (c α ) = cα α para α, c R por eemplo, (6 3 ) = = 8 2 0

11 5.6.4 Regra da soma Se f e g são deriváveis em então a soma (f + g) é derivável e (f + g) () = f () + g () ou d df [f + g] = d d + dg d De fato, temos: (f + g) () (f + g)( + ) (f + g)() [f( + ) + g( + )] [f() + g()] [f( + ) f()] + [g( + ) g()] Eemplo 22. A função f : (0, + ) R, dada por [f( + ) f()] [g( + ) g()] + = f () + g () f() = + é a soma das funções g() = e () =. Sabemos que g() é derivável para todo (0, + ) com g () = 2. Também sabemos que () = é derivável para todo 0 sendo () =. 2 Considerando então a regra da soma temos para todo (0, + ). f () = g () + () = Derivadas de polinômios Funções polinomiais são somas de funções do tipo a. n, onde a R e n N como consideradas no eemplo 2. Segue da regra da soma que toda função polinomial f : R R f() = a n n + a n n a + a 0 é derivável em qualquer R e sua derivada é a a função polinomial f : R R f () = n.a n n + (n ).a n n a

12 Eemplo 23. A função f : R R dada por f() = é derivável em todo ponto R e a sua derivada é f () = ( ) = (5 6 ) + (3 5 ) + ( 2 3 ) + (2 2 ) + () = 5( 6 ) + 3( 5 ) 2( 3 ) + 2( 2 ) + () = = Regra do Produto Se f e g são deriváveis em então o produto (f.g) é derivável em e temos (f.g) () = f ().g() + f().g () ou d df dg [f.g] =.g + f. d d d (f.g) () f( + ).g( + ) f().g() f( + ).g( + ) f( + ).g() + f( + ).g() f().g() f( + ).[g( + ) g()] + g()[f( + ) f()] f( + ).[g( + ) g()] g()[f( + ) f()] + = f () g() + f() g () }{{}}{{} =f()g () =f ()g() Eemplo 24. Vamos usar a regra do produto para derivar f : (0, + ) R dada por f() =.( ) note que f() = g().() sendo g() = e () = Sabemos que g() = é derivável em todo ponto > 0 e que g () = 2. Sabemos também que a função polinomial () = é derivável em todo ponto R e () = Assim, pela regra do produto, f() é derivável em 2

13 todo > 0 e f () = g ()() + g().() = ( ).( ) +.( ) = 2.( ) +.( ) = Regra do Quociente Se f e g são deriváveis em um ponto e g() 0 então a função quociente f g é derivável e ( ) f () = f ().g() f().g () g [g()] 2 ou d d [ ] f = g df dg.g f. d d g 2 De fato, ( ) f () g f( + ) g( + ) f() g() + ).g() f().g( + ).f( g( + ).g() + ).g() f().g() + f().g() f().g( + ).f( g( + ).g() = [ ] [ ] f( + ) f() g( + ) g() g() f() g( + )g() [ ] [ ] f( + ) f() g( + ) g(). g() f(). g( + ).g() g( + ).g() = f ().g() f().g () [g()] 2 Eemplo 25. Vamos usar a regra do quociente para encontrar a derivada de f : R\{} R dada por f() = observe que f() = p() q() sendo p() = e q() = deriváveis em todo ponto R. Segue 3

14 da regra do produto que f() é derivável em todo ponto R\{} e f () = p ()q() p()q () [q()] 2 = ( ) ( ) ( ).( ) ( ) 2 = (32 + 4)( ) ( )() ( ) 2 = = Regra da Cadeia (Derivada de Função Composta) Sejam y = f(u) e u = g() funções deriváveis tais que Im(f) D(g). y = f(g()) é derivável e vale a Regra da Cadeia. (f(g())) = f (g())g () ou df d = df dg dg d Então, a função composta Vamos fazer uma prova supondo que g( + ) g() 0 para todo suficientemente pequeno. Fiemos. Usando a definição de derivada, temos que (f(g())) f(g( + )) f(g()) f(g( + )) f(g()) g( + ) g() g( + ) g() f(g( + )) f(g()) g( + ) g() g( + ) g() }{{ } g () Além disso: f(g( + )) f(g()) f(y) f(a) = = f (a) = f (g()) g( + ) g() y a y a Sejam a = g() e y = g( + ). Se 0, então y a. Portanto, (f(g())) f(g( + )) f(g()) g( + ) g() }{{} f (g()) g( + ) g() } {{ } g () = f (g())g () Eemplo 26. Seja () = ( 2 + ) 0. Essa função pode ser vista como uma composição: f() = 0 e g() = 2 + () = f(g()) Temos f () = 0 9 e g () = 2 4

15 Portanto () = f (g())g () = 0(g()) 9 (2) = 0( 2 + ) 9 (2) = 20( 2 + ) 9 Eemplo 27. Seja () = Essa função pode ser vista como uma composição: f() = e g() = () = f(g()) Temos Portanto f () = 2 e g () = () = f (g())g () = 2 g() (32 + 4) = Note que a derivada não eiste no ponto = (32 + 4) = Eemplo 28. Seja () = 2. Essa função pode ser vista como uma composição: + f() = e g() = 2 + () = f(g()) Temos Portanto () = f (g())g () = f () = 2 e g () = 2 (g()) 2 2 = ( 2 + ) 2 2 = 2 ( 2 + ) Derivadas das Funções Eponenciais e Logarítmicas Seja a > 0. Vamos determinar a derivada da função f() = a usando a definição de derivada. f () a + a a (a ) a a = a a = a ln a Portanto a como = ln a Derivada da Função Eponencial. f() = a f () = a ln a Eemplo 29. Se f() = 2, então f () = 2 ln 2. Eemplo 30. Se f() = e, então f () = e ln e = e. ln e = 5

16 Eemplo 3. Se () = 5 2 +, então () = f(g()), onde f() = 5 e g() = 2 +. Como f () = 5 ln 5 e g () = 2, segue da regra da cadeia que () = f (g()) g () = 5 g() ln 5 2 = ln 5 = ln 5 Eemplo 32. Se () = e /, então () = f(g()), onde f() = e e g() = /. Como f () = e e g () = / 2, segue da regra da cadeia que () = f (g()) g () = e g() ( / 2 ) = e/ 2 Eemplo 33. Se () = 3, então () = f(g()), onde f() = 3 e g() =. Como f () = 3 ln 3 e g () = 2, segue da regra da cadeia que () = f (g()) g () = 3 g() ln 3 2 = 3 ln 3 2 Vamos usar a regra da cadeia para obter a derivada de g() = log a. Para isso, lembremos que, como g() = log a e f() = a são funções inversas, então f(g()) =, isto é, a log a = Assim, derivando em ambos os lados da igualdade, temos f (g()) g () =, isto é, a log a ln a (log a ) = Segue então que Portanto g () = (log a ) = a log a ln a = ln a = a log a = ln a }{{} =log a e = log a e Derivada da Função Logarítmica. f() = log a f () = log a e Eemplo 34. Se f() = log 3, então f () = log 3 e. Eemplo 35. Se f() = ln, então f () = ln e =. ln e = Eemplo 36. Se () = log 7 ( ), então () = f(g()), onde f() = log 7 e g() = Como f () = log 7 e e g () = , segue da regra da cadeia que () = f (g()) g () = g() log 7 e ( ) = log 7 e = log 7 e 6

17 ( ) e Eemplo 37. A derivada de f() = ln é + f () = e + ( ) e = + ( ) e + e = + + e Eemplo 38. A derivada de f() = e ln é = + e ( ( + ) (e ) ( + ) (e ) ) ( + ) 2 ( ( + ) e e ) ( + ) 2 = + e e ( + ) 2 = + ( f () = e ln ( ln ) = e ln ( ln + (ln ) ) = e ln ln + ) = e ln ( + ln ) Eemplo 39. Vamos calcular a, b R para que a função a seguir seja derivável em todo R. ae 2 se < f() = b ln + se Para, temos que f é contínua (verifique!) e derivável, sendo 2ae 2 se < f() = b se > Agora, para =, devemos, primeiramente, pelo teorema, ter f contínua. Temos: f() b ln(/) + = b ln + = = f() + + f() ae 2 = ae e 2 se < Assim, devemos ter ae =, isto é, a = /e e f() = b ln + se Agora, verifique que f () = 2e 2 e f +() = b. e 2 se < Portanto, devemos ter b = 2e 2 e f() = 2 ln + se e2 Eemplo 40. Para a derivada de f() =, escrevemos = eln = cadeia: ( ) = ( e ln ) = e ln ( + ln ) = ( + ln ) e ln e aplicamos a regra da eemplo 38 = e ln Podemos usar a Regra da Cadeia para generalizar o eemplo anterior, isto é, calcular a derivada de uma 7

18 função na forma f() g() onde f e g são deriváveis e f() > 0. Escrevemos Pela regra da cadeia, segue que f() g() = e ln f()g() g() ln f() = e (f() g()) = ( e g() ln f()) = e g() ln f() (g() ln(f())) e portanto, ( f() g()) ( = f() g() g () ln(f()) + g() f ) () f() Por eemplo: Eemplo 4. Para a derivada de () = ( + ) 2+3, camemos f() = + e g() = Então, f () = e g () = 2. Dessa forma: ( () = f() g() g () ln(f()) + g() f ) () = (2 + 3)( + ) ( + ) 2+3 ln( + ) f() Observação 7. Em particular, temos a regra da potência para potências reais: se () = r, onde r R, temos que () = r r. De fato, escrevendo r = e ln(r) = e r ln Temos que ( ( r ) = e r ln ) ( = e r ln (r ln ) = e r ln r ) = r r = r r como r = e r ln 5.8 Derivada da Função Inversa O argumento usado para calcular a derivada da função logarítmica pode ser generalizado para calcular a derivada da inversa de uma função. Sejam y = f() uma função invertível e = g(y) sua inversa, temos que f(g(y)) = y, y D(g) Então, derivando os dois lados em relação à y, temos f (g(y))g (y) = g (y) = f (g(y)) Derivada da Função Inversa. Seja y = f() uma função derivável e invertível em (a, b) tal que 8

19 f () 0 em (a, b). Seja = g(y) a função inversa de f(). Então, = g(y) é derivável e g (y) = f () = f (g(y)) se f (g(y)) 0 Eemplo 42. Seja y = f() = 8 3. A inversa dessa função é = g(y) = 2 3 y. Pelo resultado anterior, a derivada de = g(y) é g (y) = f (g(y)) = 24(g(y)) 2 = que também pode ser encontrada usando a regra da potência. ( 3 y 24 2 Eemplo 43. A questão a seguir estava na prova opcional de Considere a função bijetora f : [0, 3 2 ] R dada por f() = Se f() = 2 e g é a inversa de f, então g ( 2) vale: ) 2 = 6y 2/3 a) 4 b) 2 c) 2 d) 2 3 e) 4 Vamos resolver essa questão. Sejam y = f() = e = g(y) sua inversa. Então, usando a derivada da inversa, temos que g (y) = Assim, basta calcular f (). Temos que Portanto f (g(y)) g ( 2) = f (g( 2)) = f () f() = 2 g( 2) = f () = f () = = 4 g ( 2) = f () = 4 Eemplo 44. A questão a seguir estava na 2 a prova de A figura abaio representa o gráfico da derivada f de uma função bijetora. A derivada da inversa de f no ponto (5, 2) é igual a: a) 4 b) 4 c) 3 d) 3 e) 3 9

20 Vamos resolver essa questão. Seja = g(y) a inversa de y = f(). Então g (y) = f (g(y)) g (2) = Pelo gráfico, temos que f (5) = 4, donde g (2) = /4. f (g(2)) = f (5) (5, 2) no gráfico de f f(5) = 2 g(2) = 5 Vamos ver nas próimas seções mais eemplos de uso da derivada da função inversa. 5.9 Derivadas das Funções Trigonométricas Vamos começar obtendo a derivada da função seno a partir da definição de derivada, lembrando que sen ( + ) = sen cos + sen cos. Então, se f() = sen, f sen ( + ) sen () sen cos + sen cos sen sen cos + sen (cos ) cos sen }{{ } +sen cos } {{ } 0 = cos Portanto (sen ) = cos No capítulo anterior, vimos que sen ( + π/2) = cos e cos( + π/2) = sen para todo R. Assim: cos = sen ( + π/2) (cos ) = sen ( + π/2) 20

21 Para derivar, sen ( + π/2) usamos a regra da cadeia: sen ( + π/2) = cos( + π/2) ( + π/2) = cos( + π/2) = sen Portanto (cos ) = sen Você também pode fazer essa derivada usando a definição, como um eercício. Usando essas derivadas e a regra da cadeia, podemos derivar várias funções: Eemplo 45. A derivada de f() = sen ( ) é f () = cos( ) ( ). Eemplo 46. A derivada de f() = cos(e ) é f () = sen (e ) e. Eemplo 47. A derivada de f() = sen (cos(ln )) é f () = cos(cos(ln )) ( sen (ln )) (/) = cos(cos(ln )) (sen (ln )) As derivadas das demais funções trigonométricas podem ser obtidas usando as regras de derivação, por eemplo: tg = sen cos (tg ) = (sen ) cos (cos ) sen cos 2 = cos2 + sen 2 cos 2 = cos 2 = sec2 usando a regra do quociente cos 2 + sen 2 = sec = cos (sec ) = ((cos ) ) = Como um eercício, você deve provar que (cos ) 2 (cos ) = sen cos 2 = sen cos usando a regra da cadeia (cotg ) = cossec 2 (cossec ) = cossec cotg Eemplo 48. A derivada de f() = tg ( ) é f () = ( ln 2) sec 2 ( ). ( ) + Eemplo 49. A derivada de f() = cotg é f () = ( ) + cossec 2 regra da cadeia ( ) + = ( ) + cossec 2 regra do quociente ( ) + = cossec 2 = tg sec cos ( ( + ) ( ) ( ) ) ( + ) ( ) 2 ( ) + ( ) 2 cossec 2 ( ) 2 = ( ) 2 2

22 Agora, para as derivadas das funções trigonométricas inversas, vamos usar a derivada da função inversa vista na seção anterior. Temos que y = arcsen, para todo [, ], se e somente se = sen y. Assim, (arcsen ) = (sen y) = cos y Devemos então determinar cos y em função de. Temos que: 2 sen 2 y + cos 2 y = = cos 2 y = sen 2 y = cos y = sen 2 y = y = arcsen cos y > 0 = sen y Portanto: (arcsen ) =, para < <. 2 Observação 8. Observe que não eistem as derivadas de arcsen nos pontos = ± e, como pode ser visto no gráfico, as retas tangentes nesses pontos são verticais. Analogamente, pode-se provar, para < <, que (arccos ) = 2 Para a derivada de y = arctg, repetimos o processo: (arctg ) = sec 2 y = + tg 2 y = + 2 sec 2 tg 2 = Eemplo 50. A derivada de f() = arcsen (2 + ) é f () = 2 (2 + ) 2. Eemplo 5. A derivada de f() = arctg (ln ) é f () = + (ln ) 2 (ln ) = regra da cadeia + (ln ) 2 = ( + (ln ) 2 ) Como eercício, você deve provar as derivadas das demais funções trigonométricas inversas: (arcsec ) = (arccossec ) = (arccotg ) = 2, > 2, >

23 5.0 Derivadas das Funções Hiperbólicas As derivadas do seno e do cosseno iperbólicos seguem facilmente da derivada da função eponencial de base e: sen = e e 2 (sen ) = e + e 2 = cos (e ) = e pela regra da cadeia cos = e + e 2 (cos ) = e e 2 = sen (e ) = e pela regra da cadeia Já as derivadas das demais funções seguem das regras de derivação, por eemplo, como tg = sen cos, temos que (tg ) = (sen ) cos sen (cos ) cos 2 = cos2 sen 2 cos 2 = sen 2 cos 2 = tg 2 = sec 2 usando a regra do quociente Você pode fazer o mesmo para as demais funções iperbólicas (cotg ) = cossec 2 (cossec ) = cotg cossec (sec ) = tg sec Eemplo 52. A derivada de f() = sen ( 3 + 3) é, usando a regra da cadeia, f () = 3 2 cos( 3 + 3). Eemplo 53. A derivada de f() = sec (2) é, usando a regra da cadeia, f () = 2tg (2)sec (2). Eemplo 54. A derivada de f() = ln(tg (3)) é, usando a regra da cadeia duas vezes, f () = tg (3) 2sec 2 (2) = 2sec 2 (2) tg (3) Eemplo 55. A derivada de f() = cotg ( 3 ) é, usando a regra da cadeia, f () = cossec 2 ( 3 ) ( 3 2 ) = 3 2 cossec 2 ( 3 ) Para as funções iperbólicas inversas, usaremos novamente a derivada da função inversa, além das identidades iperbólicas. 23

24 Por eemplo, dado y = argsen, temos que = sen y e (argsen ) = (sen y) = cos y = + 2 cos 2 y sen 2 y = cos 2 y = + 2 Para o cosseno iperbólico podemos fazer analogamente, tomando apenas cuidado com o domínio, que é D(cos ) = [, + ): (argcos ) = (cos y) = sen y = 2 se > cos 2 y sen 2 y = sen 2 y = 2 As demais derivadas das funções iperbólicas inversas podem ser obtidas analogamente: (argtg ) = 2, < (argsec ) = (argcossec ) = 2, 0 < < 2 +, 0 (argcotg ) = 2, > Eemplo 56. A derivada de f() = 2 argcos ( 2 ) é f () = ( 2 ) argcos ( 2 )+ 2 (argcos ( 2 )) = 2 argcos ( 2 ) = 2 argcos (2 ) regra do produto regra da cadeia em (argcos ( 2 )) Eemplo 57. A derivada de f() = argtg (sen (3)), usando a regra da cadeia, é f () = 5. Tabela de Derivadas sen 2 (3) (sen (3)) = cos 2 (3) 3 cos(3) = 3 cos(3) sen 2 (3) + cos 2 (3) = A seguir, apresentamos um resumo do que foi discutido nas seções anteriores em forma de uma tabela de derivadas. 24

25 Função Derivada Função Derivada f() + g() f () + g () f(g()) f (g()) g () f() g() f ()g() + f()g () f() g() a a ln a log a sen cos arcsen cos sen arccos tg sec 2 arctg sec tg sec arcsec cossec cotg cossec arccossec cotg cossec 2 arccotg sen cos argsen cos sen argcos tg sec 2 argtg sec tg sec argsec cossec cotg cossec argcossec cotg cossec 2 argcotg f ()g() f()g () (g()) 2 log a e , > 2, > > 2, <, 0 < < 2 2 +, 0 2, > 5.2 Derivadas Sucessivas Vimos que dada uma função f() diferenciável, podemos definir a função derivada f (). Se essa função f () for também diferenciável, definimos a derivada segunda de f() (ou derivada de ordem 2), denotada por f () ou d2 f d 2, como sendo a derivada de f (). Se a derivada segunda f () for diferenciável, podemos definir a derivada terceira de f() (ou derivada de ordem 3), denotada por f () ou d3 f d 3, como sendo a derivada de f (). Em geral, se a n ésima derivada de f() eiste e é derivável, podemos definir a (n + ) ésima (ou derivada de ordem n + ) de f(), denotada por f (n+) () ou dn+ f d n+, como sendo a derivada de f ( n)(). 25

26 Eemplo 58. Seja f() = 5. Temos: f () = 5 4 f () = 20 3 f () = 60 2 f (4) () = 20 f (5) () = 20. f (n) () = 0, se n 6 Não necessariamente eiste n 0 N tal que f (n) () = 0 sempre que n n 0, como veremos a seguir. Eemplo 59. Seja f() = sen. Temos que f () = cos f () = sen f () = cos f (4) () = sen f (5) () = cos f (6) () = sen f (7) () = cos f (8) () = sen. Eemplo 60. Seja f() = e. Temos que f (n) () = e para todo n. Agora, se f() = a para a > 0, a, a e, temos que f () = a ln a f () = a (ln a) 2 f () = a (ln a) 3. f (n) () = a (ln a) n, para todo n 26

27 5.3 Derivação Implícita As funções que trabalamos até agora foram dadas eplicitamente, isto é, eram funções cujas epressões y = f() eram conecidas e podiam ser usadas para calcular f() para cada do domínio. Além disso, era possível calcular f () usando as regras vistas. Porém, algumas funções podem ser apresentadas de forma implícita, o que veremos a seguir. Eemplo 6. Consideremos a função y = f() dada pelas soluções da equação y 3 + = 2 Vemos que para cada R, eiste um único y R tal que o par (, y) satisfaz a equação dada. Esse y pode ser conecido facilmente: y 3 + = 2 y 3 = 2 y = 3 2 Isso significa que a função dada implicitamente por y 3 + = 2 pode ser dada eplicitamente por y = 3 2, bastando isolar o y. Porém, nem sempre conseguimos eplicitar uma função dada implicitamente. Eemplo 62. Consideremos a equação 2 + y 2 =. Sabemos que as soluções dessa equação representam um círculo de raio centrado na origem, o que não é uma função, pois cada [, ] se relaciona com dois valores de y [, ]. Podemos, no entanto, encontrar várias funções que satisfazem essa equação, como por eemplo: f () = 2 f 2 () = 2 2, se 0 f 3 () = 2, se < 0 27

28 2, se /2 f 4 () = 2, se < /2 Para determinar a derivada em um ponto, vamos fazer caso a caso. Por eemplo, usando f () ou f 3 (), a derivada em (/2, /2 3/2) é dada por, isto é, vale =. Já com as funções f 2 () ou 2 3/2 3 f 4 (), o ponto de coordenada = /2 é (/2, 3/2). A derivada nesse ponto é dada por, isto 2 /2 é, vale 3/2 =. Isso nos dá a ideia de que a derivada no ponto de abscissa /2 não depende da 3 epressão eplícita da função. De fato, voltemos à equação 2 + y 2 = representando uma função y = f(), isto é: Podemos derivar essa epressão em ambos os lados: 2 + (f()) 2 = 2 + (f()) 2 = = 2 + 2f()f () = 0 = f()f () = = f () = f() = y regra da cadeia em (f()) 2 Isso significa que podemos obter a derivada de f() (quando f() 0) sem conecer eplicitamente f(). Isso pode ser feito, em geral, com funções implícitas. Vamos ver outro eemplo. Eemplo 63. Seja y = f() dada implicitamente pela equação ln(y) + y 2 = 2 Não é difícil ver que não conseguimos uma epressão eplícita para y = f(). derivar ambos os lados da igualdade: ln(f()) + (f()) 2 = 2 = No entanto, podemos ( ) f() f () + 2f()f () = 2 = f () f() + 2f() = 2 regra da cadeia em (f()) 2 e em ln(f()) = f () = 2 f() + 2(f()) 2 28

29 Eemplo 64. Vamos determina a reta tangente à função y = f() dada implicitamente pela epressão e y + y = no ponto (, 0). Como y = f(), temos e f() + f() = Notamos que g() = e f() é uma função composta cuja derivada, usando a regra da cadeia, é g () = e f() f () Assim: e f() + f() = = e f() f () + f() + f () = 2 Quando =, temos: derivando ambos os lados e f() f () + f() + f () = 2 = e 0 f () + f () = /2 = 2f () = /2 = f () = /4 f() = 0 Logo, o coeficiente angular da reta tangente à curva em (, 0) é /4 e, então, a reta tangente é: + 4y = Eemplo 65. A questão abaio estava em uma prova de O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função definida implicitamente por arctg (y)+ y = no ponto de ordenada y = 0 é: a) - b) 0 c) /2 d) e) 2 Vamos resolvê-la notando que y = f() satisfaz Notamos que, pela regra da cadeia: arctg (f()) + f() = (arctg (f())) = f () + (f()) 2 Assim: arctg (f()) + f() = = f () + (f()) 2 + f () f() 2 = derivando ambos os lados 29

30 Queremos determinar a derivada quando f() = 0, assim, podemos simplificar a epressão anterior: f () + 0 (f()) 2 + f () f() 0 2 = = f () + f () = Ainda, voltando à epressão inicial, quando f() = 0, temos que = (usando que arctg (0) = 0). Portanto, obtemos f () + f () = = f () = /2 Eemplo 66. A questão abaio estava em uma prova de A função diferenciável y = f() satisfaz a equação função f em = é: cos( y) + y = /2. Se f() =, então a derivada da a) - b) 0 c) d) -/2 e) /2 Vamos resolvê-la. Para isso, notamos que y = f() satisfaz: cos( f()) + f() = /2 Derivando ambos os lados da igualdade, temos: (cos( f())) ( + f()) ( + f()) cos( f()) ( + f()) 2 = 0 = sen ( f())( f ())( + f()) ( + f ()) cos( f()) ( + f()) 2 = 0 regra da cadeia Queremos determinar a derivada em =, isto é, f (). Temos: sen ( f())( f ())( + f()) ( + f ()) cos( f()) ( + f()) 2 = 0 Pode parecer uma epressão orrível, mas voltemos ao enunciado, que diz que f() =, isto é, f() = 0. Assim: 0 sen ( f())( f ())( + f()) ( + f ()) cos( f()) ( + f()) 2 = 0 f () 4 = 0 f () = 5.4 Regras de L Hospital Nessa seção, vamos ver como derivadas podem ser úteis no cálculo de alguns ites indeterminados. Vamos começar com ites tipo ± ± e

31 Regras de L Hospital. Sejam f, g funções deriváveis em (a, b), com g() 0 e g () 0 para todo (a, b). Supona que f() g() = 0 ou f() = ± e g() = ± a a a a Se a f () g () eiste ou é ±, então f() a g() f () a g () Observação 9. A Regra de L Hospital vale ainda trocando a por a, a + e ±, sendo, nesse último caso, necessário trocar a ipótese f, g funções deriváveis em (a, b) por f, g funções deriváveis em todo suficientemente grande. Observação 0. Temos o seguinte caso particular da Regra de L Hospital: sejam f, g funções deriváveis em = a, que se anulam em a e tais que f (a) g eiste. Então (a) f() a g() = f (a) g (a) Note que a Regra de L Hospital fornece uma ferramenta poderosa para calcular alguns ites, mas é importante sempre verificar se as ipóteses do teorema são satisfeitas, e não querer a usar para calcular qualquer ite. Vamos ver eemplos. sen Eemplo 67. O ite fundamental trigonométrico = pode ser obtido rapidamente usando 0 a Regra de L Hospital, já que é um ite do tipo 0/0: 2 Eemplo 68. O ite 0 e sen (sen ) = 0 0 () 0 Regra de L Hospital 0 cos = cos 0 = é do tipo 0/0. Podemos então aplicar a Regra de L Hospital. 2 e = 0 (2) 2 (e ) 0 e = 2 Regra de L Hospital e 0 = Eemplo 69. O ite = 2 é do tipo 0/0. Podemos então aplicar a Regra de L Hospital. ( 2 + 6) ( ) = = 5 Regra de L Hospital 3

32 Eemplo 70. O ite 0 e sen é do tipo 0/0. Podemos então aplicar a Regra de L Hospital. e 0 0 sen = (e ) 0 (sen ) 0 e cos = Regra de L Hospital e 0 = e cos 0 = Eemplo 7. O ite ln + é do tipo /. Podemos então aplicar a Regra de L Hospital. ln + = (ln ) / + () + + = 0 Regra de L Hospital Às vezes, é necessário usar a Regra de L Hospital mais de uma vez no cálculo do mesmo ite. sen Eemplo 72. O ite 0 e + e sen e + e + 2 = é do tipo 0/0. Podemos então aplicar a Regra de L Hospital. 0 (sen ) cos (e + e + 2) 0 e e Regra de L Hospital Eemplo 73. O ite + + e = e = (cos ) sen 0 (e e ) 0 e + e = 0 2 = 0 Continuamos com 0/0. Regra de L Hospital novamente. é do tipo /. Podemos então aplicar a Regra de L Hospital. + Regra de L Hospital (e ) ( 3 + 4) + e = + (e ) e ( ) + 6 Continuamos com /. Regra de L Hospital novamente. = (e ) e + (6) + 6 = + Continuamos com /. Regra de L Hospital novamente. Outros tipos de indeterminações podem ser resolvidas usando a Regra de L Hospital, porém é necessário reescrever os ites com atenção às ipóteses da regra. 32

33 Eemplo 74. O ite sen (/) é do tipo 0, porém, podemos reescrevê-lo como + sen (/) sen (/) + + / Esse novo ite é do tipo 0/0, donde podemos aplicar a Regra de L Hospital: sen (/) (sen (/)) sen (/)( / 2 ) = + / + (/) + / 2 sen (/) = 0 + Regra de L Hospital ( ) Eemplo 75. O ite é do tipo, mas podemos reescrevê-lo como cos ( ) cos ( 2 + ) cos 0 + ( 2 + )(cos ) que é um ite do tipo 0/0. Então, podemos usar a Regra de L Hospital: cos ( 2 + ) 0 + ( 2 + )(cos ) = (cos 2 ) sen (( 2 + )(cos )) 0 + (2 )(cos ) ( 2 + )sen = + Regra de L Hospital Eemplo 76. O ite 0 cossec cotg é do tipo, no entanto, usando a definição das funções cossec e cotg, podemos reescrevê-lo: cossec cotg 0 0 sen cos sen cos = 0 sen ( cos ) 0 (sen ) Regra de L Hospital 0 sen () cos() 0 tg = 0 Indeterminações do tipo + e 0 também podem ser calculadas usando L Hospital. ( ) Eemplo 77. Para calcular, notemos que + ( ) = e ln( ) = e ln( ) Como a função eponencial é contínua, temos então que ( ) = e + Assim, para calcular o ite desejado, podemos calcular ln + ( ) ( ) ln e, em seguida, usar a função + 33

34 eponencial. Veja que esse ite é do tipo + 0, mas pode ser reescrito como ( ) ln + + que é do tipo 0/0. Podemos então usar L Hospital: ( ) ln = + / + Regra de L Hospital ( ( )) ln (/) = + ( ) ln / / 2 + ( ) ln = ln ln( ) 2 2 = Concluimos então que ( ) = e ln( ) = e = e Eemplo 78. Vamos calcular ln 2 +ln. Começamos, como no eemplo anterior: ln 2 +ln = e ln ln 2 +ln = e ln 2 +ln ln Assim, usando a continuidade da eponencial, devemos calcular: ln 2 ln = ln 2 + ln ln + ln = ln 2 Regra de L Hospital Por fim, lembramos que devemos usar a eponencial, donde a solução é Eemplo 79. (207-) O ite + (e + ) Usando a continuidade da eponencial, temos Dessa forma, devemos calcular ln 2 +ln = e ln 2 = 2 (ln ) / = ln 2 ( + ln ) / = ln 2 do tipo + 0 e pode ser resolvido de forma semelante: ( (e + ) ln (e = e +) ) = e (/) ln(e +) = e ln(e +) + (e + ) + ( ln(e + ) ( ln(e + ) = e + ) ). Esse ite é do tipo /, donde podemos usar a 34

35 Regra de L Hospital: ln(e + ) = + (ln(e + )) e + + () + e + = (e + ) + (e + ) Regra de L Hospital Regra de L Hospital + e e + = + Regra de L Hospital (e ) e (e + ) + e = Portanto + (e + ) ( ln(e + ) = e + ) = e = e 5.5 Eercícios. Determine a derivada das funções a seguir. (a) f() = + (b) f() = (c) f() = (d) f() = 4 3 (e) f() = 54 (f) f() = (g) f() = 2 + () f() = ( ) (i) f() = (j) f() = (k) f() = + 3 (l) f() = ( 2 ) 00 (m) f() = 3 (n) f() = (o) f() = (p) f() = (q) f() = ( ) 0 (r) f() = (s) f() = log( ) (t) f() = e 2 ln( 2 ) (u) f() = 2 sen (v) f() = ln(sen ) (w) f() = 2 3 () f() = ln sen (y) f() = e (z) f() = 4 2 e 2. Determine a derivada das funções a seguir. (a) f() = + 2 ln (b) f() = e ( + sec ) (c) f() = ln 2 + (d) f() = cos( ) (e) f() = ln(4 2) (f) f() = ( ) 0 35

36 (g) f() = sen (cos(e )) () f() = ( ) + 4 (i) f() = 2 + (j) f() = 8 32 (k) f() = log + (l) f() = + (m) f() = e 2 log( 2 ) (n) f() = + (o) f() = (log + ) 3 (p) f() = log e (q) f() = sen ( 2 + 3) (r) f() = cos(ln( 2 )) (s) f() = tg ( 2 2) (t) f() = 2 (ln(cos )) (u) f() = (v) f() = ( )) (tg 2 log 2 (w) f() = cos 2sen 2 ( ) 3 () f() = arcsen 2 (y) f() = (sen ) cos (z) f() = cos + cos 3. Verifique se a função f() = 3 é derivável no ponto = 0. sen ( ) se 0 4. Considere a função f() =. Encontre f () para 0 e mostres que f() 0 se = 0 não derivável em = Mostre que se f() é uma função par (ímpar) então f () é ímpar (par). 6. Considere a função f() = a+ + a que f () = Encontre a derivada da função f() = em que a é uma constante real. Determine os valores de a para ( ) nos pontos 0, 2 e Sabendo que f(2) =, f(8) = 5, f (2) = 7 e f (8) = 3 encontre (a) g (2), onde g() = [f()] 2 (b) (2), onde () = f( 3 ) (c) q (2), onde q() = g() () sendo () e g() como acima. 9. Seja f() = sen (2). Ace todos os valores de [0, 2π] tais que f () = Determine a reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa 0 indicado. (a) y = (b) y = sen, e + 2, 0 = 0 = π/2. (c) y = (3 2 ) , 0 =. ( ) + (d) y = log, 0 = 0. 36

37 . Calcule as derivadas até 3 a ordem das funções a seguir. (a) y = (b) y = (c) y = log( + 2) (d) y = Sejam f : R R derivável e g() = f(tg ). Calcule g ( π 4 (e) y = 2 2 (f) e 2 cos ) supondo que f () = Determine os pontos em que a função a seguir é derivável e calcule a derivada nesses pontos. ( + 3) 2 se 2, 2 3 se 2, 0 se < < 0, f() = 2 se 0, ( ) cos se < 2, 2 3 se > Determine os valores de R para os quais a função f() = é derivável. Determine a derivada nesses pontos. 5. É possível determinar a, b R de forma a ter a função a seguir derivável em R? a + se, f() = 2 + b se <, log( 2 ) se >. 6. Determine a, b, c R tais que a função seguir seja derivável em todo seu domínio. sen 2 se 0, f() = a 2 + b se 0 < c, ln se c <, 7. Calcular a, b, c, d R para que a função seja derivável em todo R. a 2 + b, se < π; f() = cos, se π π; c 2 + d, se > π. 37

38 Eercícios de provas anteriores 8. (207-) Sejam a, b R e f : R R a função definida por { e b se < a f() = a + se a O valor de a + b para que f seja derivável em R é: a) 0 b) c) 2 d) - e) (207-) Sobre a função f() = e cos +, podemos afirmar que: a) f (0) < f (0) < f(0) b) f(0) < f (0) < f (0) c) f (0) < f(0) < f (0) d) f (0) < f(0) < f (0) e) f (0) < f (0) < f(0) 20. (204-2) A derivada da função f() = em = 2 é a) 0 b) c) 2 d) 7 e) ( 2. (204-2) Considere a função f : π 2, π ) definida por 2 tg, se (0, π/2) f() = a + b, se ( π/2, 0] sendo a e b constantes reais. Podemos afirmar que o valor da soma a + b para que a função f seja derivável em = 0 é: a) - 2 b) - c) 0 d) e) (205-2) Seja f : R R a função definida por f() = a 2 + b, sendo a e b constantes reais. Sabendo que a tangente à curva y = f() no ponto (, 5) tem inclinação m = 8, podemos afirmar que o produto ab é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) (205-) Na figura abaio estão representados parte dos gráficos de uma função derivável f : R R e da reta tangente g à curva y = f() no ponto de abscissa 0. A equação da reta normal à curva y = f() no ponto de abscissa 0 é: a) + y + 3 = 0 b) y + 3 = 0 c) y 3 = 0 d) + y 3 = 0 e) + 3y + 3 = 0 38

39 24. (206-2) O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função y = f() definida implicitamente por ( + cos( 2 y 2 )) y = 5, no ponto de ordenada y = 0, é igual a: a) - b) 0 c) /2 d) e) (206-2) A derivada da função f() = arctg (2 2 + ) em = é igual a: a) b) 0 c) -/2 d) /0 e) 2/5 { 2 + se (206-2) Considere a função f() = e se < 0. É CORRETO afirmar que: a) f +(0) = f (0) = 0. c) f +(0) = f (0) =. e) f +(0) = 0 e f (0) =. b) f +(0) = e f (0) =. d) f +(0) = 0 e f (0) =. { e ( ) se, 27. (207-) Considere a função f() = se >. Se f () = a e f +() = b podemos afirmar que: a) a > b b) ab > c) a = b d) a.b < 0 e) 2a = b 28. (207-) A derivada da função f() = sen (ln(2)) em = /2 é: a) b) 2 c) /4 d) e) /2 29. (207-) Seja a uma constante real positiva e seja f uma função derivável em = a. O ite a f() f(a) a é igual a: a) 2 af (a) b) af (a) c) 2 a f (a) d) a f (a) e) a 2 f (a) 30. (206-) A derivada da função f() = ln( 2 + ) em = é igual a: a) b) 0 c) /2 d) ln 2 e) 2 3. (205-2) A derivada segunda da função f() = arctg (3) em = 0 é: a) 6 b) 3 c) 0 d) -3 e) (200-) A inclinação da curva dada pela equação y 3 + y 2 5y 2 = 4 no ponto (2, 0) é: a) 2/5 b) 2/5 c) 4/5 d) 4/5 e) 0 39

40 ( ) e 33. (200-) A derivada segunda da função f() = ln + e é: a) + e b) + e c) e ( + e ) 2 d) e ( + e ) 2 e) (200-) Sejam f() = arctg e g() = sen. A derivada da função composta (f g)() é: a) cos sen + b) sen sen 2 + c) sen cos 2 + d) cos sen 2 + e) cos cos (203-) A equação da reta tangente à curva y = ln e no ponto de abscissa é dada por: a) y = e ( ) b) y = ( + ) e c) y = e( ) d) y = e( ) e) y = ( ) e 36. (203-2) A soma das constantes a e b para que o gráfico da função f() = a + b sen 2 (/2) e a curva definida implicitamente pela equação y cos + y = 5π tenam a mesma reta tangente no ponto (π/2, 5π) é: a) 0 + 5π b) 0 5π c) 5π 0 d) 20 e) 5π 37. (203-2) Sabendo que f é uma função derivável com f(0) = 0 e que g() = 2( ) 2 + (f() + ) 2 é a função constante igual a 5, então f (0) é igual a: a) - 2 b) 2 c) - d) e) (203-2) A derivada de f() = arctg (g(g())) em =, sabendo que g( ) = e g ( ) = 4, é: a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) Calcule os ites abaio, usando a Regra de L Hospital. a) (205-) 0 + sen b) (205-) + (e/ ) ln(sen ) c) (205-) π/2 (π 2) 2 d) (206-) 0 cos 2 () e 2 e) (206-) 0 + ( + e f) (206-2) 0 tg sen 2 ) ( g) (206-2) cotg ) 0 + ) (206-2) + (e + 2 ) / i) (207-) sen 2 ( ) j) (200-) 0 sen 3 k) (200-) 0 + l) (200-) ( π/2) tg π/2 40

41 m) (200-) ( + ) + 2 n) (203-2) 0 + tg o) (203-2) 0 + ln(sen 2 ) ln 2 e p) (204-2) 0 sen 2 (3) q) (204-2) (ln )/ + ( r) (204-2) cossec ) Respostas dos Eercícios. (a) /( + ) 2 (b) ( 5/ )/(2 3 ) (c) (d) (3 2 )/(4( 3 ) 5/4 ) (e) (35 5/2 )/2 (f) (5(2/3) 2/3 )/ 2/3 (g) ( 2 )/( 2 + ) 2 () ( )/(2 ) (i) ( 2 2 2)/( ) 2 (j) ( )/(2 ( ) 2 ) (k) (5 )/(6( ) 2/3 + ) (l) 200( 2 ) 99 (m) /2( 3) (n) (2 / 2 3) 2. (a) ( 2 ln 2)/( 2 ln 2 ) (b) e ( + sec ) + e (/(2 ) + tg sec ) (c) ( ln + )/(( 2 + ) 2 ) (d) (sen ( ))/(2 ) (e) 2/(2 ) (f) 20(2 2 3)( ) 9 (g) e sen (e ) cos(cos(e )) () (2 + )/(3( ) 4/3 ) (i) (4( + ) 3 ( ))/( 2 + ) 5 (j) ln 8 (k) 2/( 2 ) (l) /( ( )/( + )( + ) 2 ) (m) (2e 2 ( ln( 2 ) + ))/ (o) (2 + )/( ) (p) ( )/(3( ) 2/3 ) (q) 0(3 2 + /(2 + ))( ) 9 (r) ln 2 (s) log e (5 + 4)/( 2 + ) (t) (2e 2 ( 2 ln( 2 ) + ))/ (u) 2 sen cos ln 2 (v) cotg (w) 6 ln 6 () sen (y) e 2 + ln cos (z) 4e ( + 2) (n) /2(/ / + ) (o) (3( + 2)( + ln ) 2 )/(2) (p) (e ( ln ))/ (q) (2 + 3) cos(( + 3)) (r) (2sen (ln( 2 )))/ (s) 2 sec 2 (2 2 ) (t) ln(2)tg ()( 2 ( log(cos ))) (u) (ln + ) (v) (cossec )/2 (w) /2 cossec 3 /2 cotg 2 cossec () (3 2 )/ 4 6 (y) sen cos() (cos cotg sen ln(sen )) (z) (2sen )/(cos + ) 2 3. Sim. 4. f () = sen (/) cos(/) se f() = f( ) f () = f ( ) e f() = f( ) f () = f ( ) 4

42 6. a = ± 2 7. f (0) = 2, f (2) = 64/27, f ( 2) = (a) 4 (b) -36 (c) 06/25 9. π/4 0. (a) y = e/2 (b) y = (c) 3y = (d) y = 0. (a) f () = 6 2, f () = 6, f () = (b) f () = / 2, f () = 2/ 3, f () = 6/ 4 (c) f () = /( + 2), f () = /( + 2) 2, f () = 2/( + 2) 3 (d) f () = 4/( + 3) 2, f () = 8/( + 3) 3, f () = 24/( + 3) 4 (e) f () = (2( 2 + ))/( 2 ) 2, f () = (4( 2 + 3))/( 2 ) 3, f () = (2( ))/( 2 ) 4 (f) f () = 2sen e 2 cos, f () = 2e 2 cos (cos + cos(2) ) f () = 8sen 3 e 2 cos + 2sen e 2 cos + 2sen e 2 cos cos 2( + 3) se < 2, 2 se 2 < <, 0 se < 0, 3. f () = 2 se 0 < <, ( ) sen ( ) 2 se < < 2, 2 se > , se (, 2) (2, + ) 4. f () = 2 + 2, se ( 2, 2) 5. Não. 6. a =, b = 0, c = e/2 2e 7. a = π 2, b = 2 π, c = π 2 e d = 2 π 8. B 2. D 24. A 27. A 30. A 33. D 36. A 9. E 22. D 25. E 28. B 3. A 34. D 37. B 20. C 23. C 26. E 29. A 32. C 35. B 38. E 39. (a) (d) 0 (g) 0 (j) /6 (m) (p) /9 (b) (e) 3 () e (k) + (n) (q) (c) -/8 (f) 0 (i) + (l) - (o) 2 (r) 0 42