Funções Inversas e suas Derivadas

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1 Capítulo 9 Funções Inversas e suas Derivadas 9. Motivação Muitas obras de arte epostas em museus precisam ser protegidas por medidas de segurança especiais para impedir atos de vandalismo. Suponha que se deseja colocar uma corda de isolamento paralela à parede onde um quadro famoso está eposto. Calcule o ângulo α de visão de um observador junto à corda em função da distância da corda à parede. Considere que a altura média (a) dos visitantes é de,70 m, a distância da base do quadro ao solo (b) é de,70 m e que a altura do quadro (c) é de m, conforme mostra o esquema ao lado. a α β c d b Este cálculo é importante para se determinar a distância da corda de isolamento que permita um ângulo máimo de visão ao observador. De acordo com o nosso conhecimento de funções trigonométricas, as grandezas estão relacionadas pelo seguinte sistemas de equações tg(α + β) = c + d tg(β) = d Para resolver o problema proposto, é necessário determinar o valor de um ângulo sabendo-se o valor do seu seno ou do seu cosseno ou a da sua tangente, isto é, conhecendo-se encontrar α, tal que, por eemplo, sen(α) =. Isto equivale a achar uma função g tal que g() = α. Em muitas situações práticas, como a do problema anterior, é preciso refazer uma seqüencia de passos desfazendo o que foi feito em cada etapa, na ordem inversa. A seguir são dados outros eemplos em que este procedimento é usado:. Qual é o número que multiplicado por cinco e somado com três é igual a 8?. Qual é o número positivo que elevado ao quadrado é igual a 4?. Se um trem se movimenta com velocidade constante v em um trecho reto de uma estrada de ferro, sua posição em cada instante de tempo t é dada pela equação s = v t + s 0, onde s 0 representa a posição do trem no momento em que se iniciou a contagem do tempo. Você é capaz de achar a epressão que define t como uma função de s? (Para o chefe da estação, as duas informações são importantes, a primeira para que ele possa programar as partidas dos trens que saem de sua estação em sentido contrário e a segunda para informar a hora de embarque aos que desejam viajar.) O problema acima é equivalente a: sendo dada uma função arbitrária = f(), determinar como função de, isto é, a partir da função = f(), determinar = g(). Neste caso, dizemos que f e g são funções inversas. Os eemplos estudados na próima seção determinam as condições necessárias à resolução de problemas deste tipo.

2 50 Cap. 9. Funções Inversas e suas Derivadas 9. Funções inversas Considere as funções s() = e f() = e seus respectivos gráficos: A função f() = goza das seguintes propriedades:. Cada reta horizontal corta o gráfico de f no máimo uma vez (veja o gráfico à esquerda, a seguir).. Para cada número no conjunto imagem de f, a equação = f() = tem eatamente uma solução (veja o gráfico à direita). Por eemplo, tomando-se = 8, temos 8 = =, e mais geralmente, = = Se você refletir o gráfico de f em relação à diagonal principal, o novo conjunto obtido é o gráfico de uma função. Em verdade, é o gráfico da função g() =. 0 Neste caso, dizemos que = (f )() = g(). As funções f e g são ditas inversas. Além disso, como g deve desfazer ou anular o efeito de f, temos também que (f g)() =, qualquer que seja no domínio de g e (g f)() =, qualquer que seja no domínio de f. Vamos eaminar agora a função s() =. Esta função não goza de nenhuma das propriedades enunciadas acima para a função f, a saber:. Retas horizontais cortam duas vezes o gráfico de s.. Para > 0, a equação = tem duas soluções: = e =. Veja as figuras:

3 W.Bianchini, A.R.Santos 5. Se você refletir o gráfico de s em relação à diagonal principal, o novo conjunto de pontos obtido não é o gráfico de nenhuma função, pois retas verticais interceptam este gráfico duas vezes. 0 As observações anteriores permitem concluir que esta função não é invertível. Se você raciocinar um pouco chegará a conclusão de que as três condições enunciadas acima são equivalentes. Neste caso, dizemos que a função é biunívoca. Definição Uma função f é dita biunívoca quando uma reta horizontal cortar o seu gráfico em apenas um ponto, ou, equivalentemente, quando a equação = f() tiver uma única solução. Esta condição pode ser epressa em termos algébricos, da seguinte maneira: Definição Sejam e no domínio de f, tais que. Dizemos que f é biunívoca se f( ) f( ). Assim, se uma função f é biunívoca, a equação = f() pode ser resolvida para, ou seja, é possível determinar a função g tal que = g(). Neste caso, f é invertível e g é a função inversa de f. Definição Uma função f, biunívoca, é também invertível e sua inversa é uma função g calculada da seguinte maneira: = g() = f(). Repare que o domínio de g é a imagem de f e a imagem de g é o domínio de f. Para a função f() =, temos = f() = =. Assim, a inversa da função f() = é a função g() =. Como seria de se esperar, o procedimento inverso de elevar ao cubo é etrair a raiz cúbica. Se f e g são funções inversas, a definição acima nos diz que o ponto (, ) está no gráfico de f se, e somente se, o ponto (, ) está no gráfico de g. Vamos interpretar geometricamente esta informação: A reta = é formada pelos pontos que têm abscissa igual a ordenada. Assim, dado um ponto qualquer (, ) do plano, o ponto (, ) é o seu simétrico, isto é, a sua imagem espelhada em relação a esta reta. Em outras palavras, a reta = é a mediatriz do segmento que liga (, ) a (, ). (Veja o gráfico à esquerda.) Assim, podemos obter o gráfico de uma função a partir do gráfico da sua inversa e vice-versa, refletindo cada um dos pontos de um dos gráficos em relação à reta = (Observe o gráfico a seguir, à direita). (,) (,) 0 0 Como vimos, a função s() =, definida em toda a reta não é biunívoca, portanto, não tem inversa. No entanto, se restringirmos o domínio dessa função ao intervalo [0, + ), esta nova função é biunívoca e a refleão do seu gráfico em relação à reta = dá origem ao gráfico de uma outra função que será a sua inversa. Esta inversa é a raiz quadrada positiva, porque se 0, = =. Assim, a função g() = é a inversa de f() =, com domínio restrito a [0, + ), como mostra o gráfico:

4 5 Cap. 9. Funções Inversas e suas Derivadas Este mesmo raciocínio pode ser empregado para achar inversas das demais funções potências positivas, restritas ao intervalo [0, + ). 9. Derivada da função inversa O objetivo desta seção é deduzir uma maneira de calcular a derivada da inversa de uma função derivável f. Para isso vamos raciocinar geometricamente. Considere um ponto (, ) do gráfico de f. O ponto correspondente no gráfico de f é o ponto (, ). É inteiramente razoável supor que, se o gráfico de f tem uma tangente, não vertical, no ponto (, ), então o gráfico obtido pela refleão deste último em torno da reta = tem uma tangente, não vertical, em (, ), e a tangente do gráfico refletido é a refleão da tangente ao gráfico original, como ilustra a figura à esquerda. A declividade da reta original é dada por m = d b c a. A declividade da reta refletida é m = c a d b. Conseqüentemente, m = m, se m 0. Veja o gráfico à direita. (d,c) (c,d) (,) (b,a) (,) (a,b) Vamos retornar agora à função f e à sua inversa f. Suponha que f tenha uma reta tangente com declividade m 0 em (, ). Então, a declividade da reta tangente à f, em (, ) é m. Mas, m = f ( ) e = f ( ). Conseqüentemente, m = f (f ( )) m = f (f ( )). Mas m é precisamente o valor da derivada de f em =. Assim, obtemos a fórmula: ( ) (f ) ( ) = f (f ( )) e esta fórmula vale qualquer que seja o ponto = do domínio de f, tal que o denominador da fração acima seja diferente de zero. Uma vez que se saiba isto, a fórmula acima pode ser deduzida como uma aplicação simples da regra da cadeia. Como f e f são funções inversas, temos f(f ()) =. Usando a regra da cadeia para derivar esta equação, obtemos f (f ()) [Df ()] = e daí segue a fórmula (*). Esta segunda maneira de deduzir a fórmula (*) é mais fácil de usar que a própria fórmula. Vamos eemplificar com alguns casos que já conhecemos. Eemplo : A função raiz cúbica A função raiz cúbica f() = ( ) satisfaz a equação () (f()) = ( ) =. (Repare que com isto estamos afirmando que f é a função inversa de g() =.) Derivando a equação (), obtemos e daí vem que f f = f () = f () = =.

5 W.Bianchini, A.R.Santos 5 Eemplo : A função raiz n-ésima A função f() = n, para 0 < <, satisfaz a equação [f()] n =, para 0 < <, pois f é definida como sendo a inversa de g() = n, 0 < <. Supondo que f tem derivada, podemos derivar ambos os lados da equação e obter logo, n [f()] (n ) f () =, para 0 < <, f () = n [f()] =, para 0 < < (n ) n ( n n Quando n é ímpar, o mesmo raciocínio se aplica para < < e não somente para 0 < <. A fórmula deduzida acima conduz diretamente a fórmula análoga para a derivada de ( m n ). Usando a notação de Leibniz, temos n ) = ( n ) d( ( m n ) ) = m d n ( m n ). Os eemplos acima sugerem que as derivadas das funções inversas podem ser facilmente calculadas, mas em cada caso foi necessário supor, de partida, que a derivada eistia. Esta hipótese é justificada pelo teorema a seguir, que mostra que, em todos os casos razoáveis, a função inversa realmente possui derivada. Teorema da função inversa Suponha que o domínio de g é um intervalo aberto I e que (i) g () > 0 para todos os pontos em I ou (ii) g () < 0 para todos os pontos em I. Então g é biunívoca (o que implica que g tem uma inversa) e a sua inversa f tem derivada em todos os pontos do seu domínio. Além disso f () = g (f()) Observação: A demonstração desse teorema é complicada, mas, como já vimos antes, geometricamente é fácil observar que o resultado é verdadeiro. Se g () > 0 ou (g () < 0), para todos os em I a função g é crescente (ou decrescente) e possui uma tangente não horizontal em todos os pontos deste intervalo, cuja inclinação é dada por g. O gráfico refletido terá, portanto, uma tangente não vertical e a inclinação desta tangente fornece o valor de f. Para calcular a derivada da inversa de uma função, procedemos como nos eemplos dados, simplificando, no passo final, a epressão g (f()). Os detalhes desta simplificação dependem da função que está sendo derivada. 9.4 As funções trigonométricas inversas e suas derivadas Nenhuma função trigonométrica é invertível, pois, como estas funções são periódicas, retas horizontais cortarão seu gráfico um número infinito de vezes. Assim, dado um número entre [, ] a equação = sen(θ) tem uma infinidade de soluções. Veja esta afirmação ilustrada no gráfico da função seno. > plot([sin(),0.5],=-0..0); No entanto, como no caso da função f() =, podemos restringir o domínio das funções trigonométricas de tal modo que elas sejam invertíveis em algum intervalo.

6 54 Cap. 9. Funções Inversas e suas Derivadas 9.4. As funções arcsen() e arccos() Define-se o valor principal da função seno como sendo a restrição do seno ao intervalo [ π, π ]. denotando esta função por seno (sen). Continuamos A função valor principal do seno tem uma inversa (por quê?) que vamos chamar de arco seno (arcsen). Assim, = arcsen() = sen(). Qual o domínio da função arco seno? Qual a sua imagem? Qual o valor de arcsen( )? E de arcsen( )? Repare abaio o gráfico da função arcsen(), obtido a partir de uma refleão em relação à diagonal principal do gráfico da função = sen(), definida no intervalo [ π, π ]. > plot(arcsin(),=-..,scaling=constrained); De maneira análoga, definimos o valor principal do coseno como sendo a restrição do cosseno ao intervalo [0, π], a qual continuamos chamando de coseno. Esta função é invertível e sua inversa denotada por arccos() Cos() Vamos agora calcular as derivadas das funções arcsen e arccos. Pelo teorema da função inversa, arccos() arcsen () = cos(arcsen()) para todo em (, ) Seja arcsen() = θ. Sabemos que Como para π < θ < π, cos(θ) > 0, tem-se cos(θ) = ± sen θ = ± [sen(arcsen())] = ±. arcsen () = para (, ) Note que, para (, ), arcsen () é sempre positiva, como o gráfico dessa função mostrava que deveria ser. Nos pontos etremos deste gráfico as tangentes são verticais. De maneira semelhante prova-se que arccos () =, para (, ). Esta derivada é negativa, como o gráfico do arco cosseno indicava As funções arctg() e arcsec() Define-se o valor principal da função tangente como sendo a restrição da tangente ao intervalo ( π, π ). Continuamos denotando esta função por tangente (tg).

7 W.Bianchini, A.R.Santos 55 A função valor principal da tangente tem uma inversa (por quê?) que vamos chamar de arco tangente (arctg). Assim = arctg() = tg() Qual o domínio da função arco tangente? Qual a sua imagem? Qual o valor de arctg()? E de arctg( )? Observe os gráficos das funções tg() e arctg(). Tg() arctg() Quais são as assíntotas horizontais ao gráfico dessa função? Da mesma forma que nos casos anteriores, vamos calcular a derivada da função arctg. Pelo teorema da função inversa, Logo, arctg () = Seja θ = arctg(). Como sec θ = + tg θ, [sec(arctg())] para todo real. [sec(arctg())] = + [tg(arctg())] = + arctg () =, para todo real. + Para a função secante a situação é um pouco pior. Eamine o gráfico desta função: Em primeiro lugar, é preciso escolher um intervalo apropriado onde esta função tenha inversa e, portanto, seja possível aplicar o teorema da função inversa para calcular a sua derivada. O gráfico da secante consiste de várias partes às quais o teorema se aplica, por eemplo, uma para 0 < θ < π e outra para π < θ < π. Consideraremos o primeiro intervalo e definiremos uma nova função g como a restrição da secante ao intervalo (0, π ), isto é, g(θ) = sec(θ), para 0 < θ < π. Como g (θ) = sec(θ) tg(θ), temos que para 0 < θ < π, g (θ) > 0 e o teorema da função inversa garante que a função inversa de g, que designaremos por arcsec(), tem derivada e que arcsec () = sec(arcsec()) tg(arcsec()). Já sabemos que sec(θ) =. Precisamos simplificar o fator tg(arcsec()). Para isso, como das outras vezes, vamos chamar arcsec() = θ. Usando a igualdade sec θ = tg θ +, temos que tg(arcsec()) = ±. Como 0 < θ < π, vemos que tg(θ) = tg(arcsec()) > 0. Portanto, podemos abandonar o radical negativo. Assim, arcsec () =, para < <.

8 56 Cap. 9. Funções Inversas e suas Derivadas Refazendo os cálculos acima, considerando agora g(θ) = sec(θ), para π < θ < π, obtemos arcsec () = ( ), para < <. Combinando estes dois resultados, obtemos uma função cujo domínio consiste nos dois intervalos (, ) e (, ). Veja o seu gráfico: Observe que o termo não está definido para. Para = e =, o gráfico da função arcsec() apresenta uma tangente vertical e portanto a derivada não eiste nestes pontos. Para < e >, podemos combinar os dois resultados obtidos acima e escrever que arcsec () =. Eemplo Retornando ao problema da corda de isolamento de um quadro, tínhamos que e tg(α + β) = c + d tg(β) = d. Assim, α, que é o ângulo que queremos tornar máimo, pode ser epresso como α = arctg( c + d ) arctg( d ). Substituindo os valores de c e d, derivando esta função e igualando o resultado a zero, obtemos: > f:=->arctan(4/)-arctan(/): > g:=diff(f(),); > g:=simplif(g); > solve(g=0,); 4 g := ( ) ( + ) g := 4 ( + 6) ( + ), Como é a distância da parede ao observador, podemos desprezar a raiz negativa. Vamos agora usar o teste da derivada primeira para comprovar que este é o ponto de máimo procurado. Como o denominador da epressão ( 4) ( +6) ( +) é sempre positivo, o sinal da derivada depende do termo +. Como + > 0 para < e + < 0 para >, concluímos, imediatamente, que no ponto = o ângulo α atinge o seu máimo absoluto. Devemos, portanto, colocar a corda de isolamento a dois metros da parede onde o quadro está pendurado. 9.5 Eercícios. Considere a função dada pela tabela: - -0,9-0,8-0,7-0,6-0,5-0,4-0, -0, -0, 0 f() 0, 0, 0,5 0, 0,5 0, 0,9 0,5 0,6 0,7

9 W.Bianchini, A.R.Santos 57 (a) Determine o domínio e a imagem de f. (b) Construa a tabela da função g inversa de f.. (a) Mostre que f() = 5 é invertível e ache sua inversa g. Calcule f(g()) e g(f()). (b) Calcule a função g() inversa de f() = + +. Verifique que f(g()) = g(f()) =. (c) De um modo geral, se a, b, c, d, são constantes tais que ad bc 0 e f() = a+b c+d, eiste uma função g() = α +β γ +δ tal que f(g()) = g(f()) =. Calcule as constantes α, β, γ, δ em função de a, b, c, d. Por que a condição ad bc 0 é necessária? Qual a relação eistente entre f e g?. Ache epressões algébricas para as seguintes funções, especificando o seu domínio: (a) sen(arctg()) (b) tg(arcsen()) (c) cos(arctg()) 9.6 Problemas propostos. Prove que cada uma das funções dadas abaio é invertível no intervalo considerado. Deduza a fórmula para a derivada da sua inversa e esboce o gráfico desta inversa especificando o seu domínio. (a) g(θ) = cotg(θ), 0 < θ < π. g(θ) = cossec(θ) 0 < θ < π.. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de uma função f no ponto (, f()), sabendo que f() = 7 e D(f )(7) = 8.. Seja f() = + para 0 < <. Usando o teorema da função inversa, mostre que f é invertível e calcule (f ) )(). Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, ). 4. Seja a função f() = (a) Em que conjunto a função admite inversa? Justifique. (b) Determine (f ) (5). 5. Use o teorema da função inversa para mostrar que f() = ( 5 + 7), > 0 é invertível e calcule (f ) (). Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (, ). 6. Seja f() = arctg( ), >. (a) Usando o teorema da função inversa, mostre que f é invertível e calcule D(f )(0). (b) Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, f (0)). 7. Use o teorema da função inversa para mostrar que f() = arctg( ), > 0 é invertível e calcule D(f )( π 4 ). 9.7 Para você meditar: Inversas? Vimos que se f e g são funções inversas, então f(g()) = e g(f()) =. Observe os gráficos das funções sen(arcsen()) e arcsen(sen()): > plot(sin(arcsin()),=-0..0); > plot(arcsin(sin()),=-0..0); Observando os gráficos acima, é possível concluir que se g e f são funções inversas tem-se que f(g()) = e g(f()) =?. Para que valores de valem essas identidades?

10 58 Cap. 9. Funções Inversas e suas Derivadas. Qual o domínio da função arcsen(sen())? 4. Em que intervalo essa função coincide com a função h() =? 5. Em que intervalos a função = sen() é invertível? 6. Trace os gráficos de arcsen(sen()) e sen(arcsen()) e eplique a diferença para o eemplo anterior. 7. Faça essa mesma análise para os pares de funções abaio: (a) arccos() e cos() (b) arctg() e tg() (c) e. 8. Para que valores de é possível calcular arcsen(sen()). 9. Eplique porque arcsen(sen( π π )) = arcsen(sen( )). 0. O que se pode afirmar a respeito do valor de arcsen(sen( + π))?. Calcule essa função nos seguintes casos: (a) para em [ π, π ]. (b) para em [ π, π ]. (c) para em [( k ) π, ( k + ) π] onde k é um inteiro qualquer. (d) para em [( k + ) π, ( k + ) π] onde k é um inteiro qualquer.