O limite trigonométrico fundamental

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1 O ite trigonométrico fundamental Meta da aula Continuar a apresentação de ites de funções. Objetivo Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: Calcular ites usando o ite trigonométrico fundamental. Introdução Este é um bom momento para fazer um balanço dos conteúdos que você aprendeu nas três aulas anteriores. Em outras palavras, quais conceitos novos você conheceu? Quais ites você é ser capaz de calcular? Quais serão os próimos passos? Bem, vejamos. Em primeiro lugar, você deve ter uma clara idéia do significado da frase matemática f() = L, inclusive de sua interpretação geométrica. Isso cobre uma boa parte do conteúdo teórico apresentado, digamos assim. Do ponto de vista prático, você deve saber que a partir das propriedades elementares dos ites de funções, se p() é uma função polinomial, então Por eemplo, p() = p(a). 2 ( ) =

2 Mais ainda, você já deve dar conta de algumas complicações, tais como calcular 3 8 t ou. 4 t 2 t 2 Praticando bem, você deve ter encontrado as respostas 3 e 1/4. Finalmente, você deve estar fluente na linguagem dos ites laterais. Você deve ter notado que as funções com que temos lidado até agora são, essencialmente, funções algébricas. Veja, as funções algébricas são aquelas funções cujas leis de definição envolvem um número finito de operações elementares, além das inversas de funções que podem ser assim construídas. Por eemplo, as funções f() = e g() = (2 + 5) 2/3 Essas funções, trigonométricas, eponencial e logaritmo, são chamadas transcendentes para diferenciá-las das funções algébricas. Esse nome é usado porque elas transcendem o universo das funções algébricas. são funções algébricas. Muito bem, está na hora de incluirmos mais algumas funções no nosso repertório de eemplos. As principais candidatas são as funções trigonométricas, que já freqüentaram nossas aulas, pelo menos em rápidas aparições nos eemplos. Essas funções, além das funções eponencial e logaritmo, cujas principais propriedades você aprendeu no Pré-Cálculo, formarão a quase totalidade de nossos eemplos. Para lidarmos com essas funções, chamadas transcendentes, precisaremos de novas informações sobre os ites. Veja, agora, o que queremos estabelecer nesta aula. Vamos mostrar que as funções seno e cosseno são bem comportadas em relação ao ite, isto é, vamos mostrar que, para todo número real a R, sen = sen a e cos = cos a. Isso parece pouco, mas não é. Nós já usamos essas informações em alguns eemplos, nas aulas anteriores. Tudo o que você aprendeu sobre ites mais o que você já conhece de funções trigonométricas devem leválo a crer na veracidade dessas afirmações. Agora temos a oportunidade de prová-las. Muito bem, uma vez que dispomos dessas informações, passaremos a lidar com problemas tais como calcular sen 5 ou 2 π 1 + cos π.

3 Veja, temos duas indeterminações, uma vez que os ites dos numeradores e dos denominadores são iguais a zero. A técnica de que dispomos até o momento para lidar com tais problemas é a fatoração e a simplificação algébrica, que não pode ser usada nesses casos, uma vez que as funções envolvidas são transcendentes. Como sair dessa situação? A resposta, em muitos casos, está num ite muito especial, chamado ite trigonométrico fundamental. Ele funcionará como uma simplificação, nesses casos. Vamos mostrar que sen = 1. Você aprenderá a usar esse ite para levantar várias indeterminações que envolvem funções trigonométricas. Agora que definimos a agenda da aula, vamos trabalhar. Teorema do Confronto Você está prestes a aprender uma poderosa técnica de cálculo de ites. Ela lhe será útil em muitas situações. Em linhas gerais, o Teorema do Confronto afirma que, se uma função estiver nas vizinhanças de um dado ponto pinçada por outras duas funções que tenham o mesmo ite nesse tal ponto, então ela terá o mesmo comportamento neste ponto elas terão o mesmo ite. Veja, novamente, com mais detalhes. Teorema do Confronto Sejam f, g e h funções tais que, para um certo número a, eiste um número r > 0, tal que (a r, a) (a, a + r) Dom(f) Dom(g) Dom(h) e, para todo (a r, a) (a, a + r), f() g() h(). Nessas condições, se f() = h() = L, então g() = L. 3

4 f As funções f e h itam, superior e inferiormente, a função g. Como ambas têm ite L, quando tende a a, o mesmo ocorre com f. L a g h Figura 4.1 Gráficos de funções f, g e h, tais que f() g() h(). Há uma versão gastronômica para o nome desse teorema Teorema do Sanduíche. Seja lá qual for a sua escolha de nome, você verá que esse teorema é muito útil. Veja como podemos aplicá-lo, no eemplo a seguir. Eemplo 4.1. Seja g : R R uma função tal que, se 3 < 2, então g() Assim, 3 g() = 1. Figura 4.2 Gráficos das funções do Eemplo 4.1. Realmente, se considerarmos f() = e h() = , um cálculo direto mostra que f() = 1 e h() = Portanto, o Teorema do Sanduíche garante que 3 g() = 1. Note que podemos adaptar o teorema para o caso dos ites laterais. Por eemplo, se soubermos que, para algum número a, eiste r > 0, tal que e, para todo (a r, a), (a r, a) Dom(f) Dom(g) Dom(h) f() g() h(), 4

5 com f() = h() = L, então g() = L. Com as devidas modificações nas hipóteses, obtemos o mesmo resultado para os ites à direita de a. Aplicações do Teorema do Confronto Vamos usar o teorema para calcular alguns ites. (a) sen = 0. Note que o valor absoluto do seno de um arco é menor ou igual ao valor absoluto do arco. Em outras palavras, R, sen. Veja, na figura a seguir, o que ocorre nas proimidades de zero. sen Figura 4.3 Arco com o respectivo seno. O semicírculo tem raio igual a um (círculo trigonométrico), enquanto sen é o comprimento do segmento vertical, é o comprimento do arco. Dessa forma, se R, 0 sen. Como = 0 (ites laterais) e 0 = 0 (ite da função constante igual a zero), obtemos sen = 0. 5

6 Lema Agora, usamos o seguinte: Para todo a R, f() = 0 se, e somente se, f() = 0. Portanto, sen = 0. Acabamos de calcular o primeiro ite de uma função transcendental. Este foi um pequeno grande passo! (b) cos = 1. Neste caso, usamos o fato de que, para qualquer R, 1 cos 1. Veja, na figura a seguir, os gráficos das funções f() = 1, g() = cos e h() = 1. 1 g() = cos h() = 1 Figura 4.4 Gráficos da função constante 1, cosseno e h() = 1. Como 1 = 1 e 1 = 1 (ite da função constante igual a um), obtemos 6

7 cos = 1. Atividade 4.1. Esboce os gráficos das funções f() =, g() = sen e h() =. Você deverá observar que, para todo R, sen. Use essa informação para mostrar que sen = 0. Mudança de coordenada Um fato que usaremos com alguma freqüência é que podemos reescrever certos ites, fazendo uma mudança de coordenadas para facilitar o cálculo. Lema Considere a R e seja = t + a, equivalente a t = a. Então, f() = L se, e somente se, t 0 f(t + a) = L. A mudança de coordenada corresponde a uma translação da função na direção do eio O. L L y = f() y = f(t + a) a a t Figura 4.5 Gráfico da função f. Figura 4.6 Gráfico da função transladada. 7

8 Agora estamos em condições de mostrar que as funções trigonométricas seno e cosseno são bem comportadas em relação ao ite. Isso quer dizer que, para todo número real a R, sen = sen a e cos = cos a. Veja, para mostrar que sen = sen a, usamos a identidade trigonométrica sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b, as propriedades de ites, e os ites sen = 0 e cos = 1, que acabamos de calcular, assim como a mudança de coordenadas = t + a. sen = t 0 sen (t + a) = [ ] = sen a cos t + cos a sen t = t 0 [ ] [ ] = sen a cos t + cos a sen t t 0 t 0 = sen a. = Atividade 4.2. Use a identidade trigonométrica cos(a + b) = cos a cos b + sen a sen b e as propriedades de ites de funções para mostrar, de maneira semelhante ao que acabamos de fazer, que cos = cos a. O ite trigonométrico fundamental É hora de lidarmos com novas indeterminações. sen = 0, o ite do quociente, levantar essa indeterminação, mostrando que Como sen = é uma indeterminação. Vamos sen = 1. Na verdade, vamos mostrar que 8 sen = 1.

9 Aplicaremos, mais uma vez, o Teorema do Confronto. Para começar, observe as figuras a seguir. C B A O D E A O Figura 4.7 Arco OC positivo. Figura 4.8 Arco OD negativo. A Figura 4.7 representa a situação em que o arco, que liga O até C, é positivo, enquanto a Figura 4.8 representa a situação em que o arco, que liga O até D, é negativo. Como estamos tomando o ite quando tende a zero, basta que consideremos valores de suficientemente próimos a zero. Na situação em que é positivo (Figura 4.7), o comprimento do segmento OB é a tangente do arco, enquanto o comprimento do segmento AC é o seno de. Portanto, se está suficientemente próimo de zero, com > 0, temos sen tg. Agora, veja a situação em que é negativo (Figura 4.8). O comprimento do segmento OE, com sinal negativo, é a tangente de e o comprimento do segmento AD, com sinal negativo, é a tangente de. Assim, na situação em que está próimo de zero, com < 0, temos sen tg. Resumindo, se é um valor suficientemente próimo de zero, sen sen cos sen sen cos 9 se > 0; se < 0.

10 1 Multiplicando ambas inequações por (lembre-se, estamos considerando valores de próimos a 0, mas diferentes de 0), obtemos o mesmo sen resultado, 1 sen 1 cos. Realmente, no caso < 0, sen < 0, e as desigualdades são invertidas no processo. Ótimo! Agora, se fizermos f() = 1, g() = sen e h() = 1 cos = sec, como f() = h() = 1, o Teorema do Confronto garante que sen = 1. Portanto, 1 sen = sen = 1. Agora que estabelecemos o ite trigonométrico fundamental, vamos apreciá-lo um pouco, do ponto de vista geométrico. Interpretação geométrica do ite fundamental sen Quando afirmamos que = 1, estamos dizendo que, para valores próimos de zero, a função f() = sen assume valores mais e mais próimos de 1. Veja o gráfico da função na figura a seguir. 1 Figura 4.9 Gráfico da função f() = sen. Uma outra interpretação para esse ite é que as funções g() = sen e h() = (função identidade) tornam-se cada vez mais parecidas, à me- 10

11 dida que os valores assumidos por pertencem a uma pequena vizinhança de zero. Assim, se assume valores muito próimos de zero, porém é diferente de zero, sen e, portanto, sen 1. É claro que a maneira adequada de dizer isso é colocar sen = 1. A informação dada pelo ite é de caráter local, isto é, quanto mais próimos do ponto em questão são tomados os valores de, mais precisa será a informação. O ite descreve o comportamento da função em uma pequena proimidade do ponto em questão. Veja os gráficos de g() = sen e de h() = em duas vizinhanças de zero. Uma de raio bem próimo de zero (Figura 4.11) e outra de raio relativamente maior (Figura 4.10). Figura 4.10 Gráficos de g e de h numa (grande) vizinhança de zero. Figura 4.11 Gráfico de f e de g numa (pequena) vizinhança de zero. Aplicações do ite fundamental trigonométrico no cálculo de outros ites Do ponto de vista operacional, espera-se que você use o ite trigonométrico fundamental para calcular outros ites trigonométricos. Dessa forma, o ite trigonométrico fundamental faz o papel das fatorações algébricas usadas nas aulas anteriores para calcular os ites. Para isso, devemos ficar atentos ao argumento da função seno. Veja, se 11

12 f() = 0, então, sen ( f() ) f() = 1. Eemplo 4.2. Vamos calcular sen 5. Neste caso, o ite do argumento da função seno, 5, é zero, quando tende a 0. O problema é que o denominador difere do argumento por uma constante. Portanto, precisamos fazer um pequeno ajuste. Veja: sen 5 sen 5 = 5 5 = 5 sen 5 5 = 5 1 = 1. Eemplo 4.3. Veja o ajuste necessários para calcular o ite a seguir. 1 sen ( 1) 2 1 sen ( 1) = 1 ( 1)( + 1) = [ sen ( 1) 1 ] = 1 ( 1) ( + 1) = = = = 1 2. Eemplo 4.4. Nem sempre o ite resulta numa constante não-nula. Aqui está um eemplo dessa situação. 12

13 tg 2 = sen 2 (cos 2 ) = = (sen 2 ) 2 (cos 2 ) = sen 2 = 2 (cos 2 ) = = = 0. Neste caso, precisamos multiplicar o numerador e o denominador por para que o argumento de seno, a função y = 2, aparecesse no denominador. Esse tipo de manobra é comum no cálculo do ite. Eemplo 4.5. O eemplo que estudaremos agora requer outro tipo de manobra. Vamos calcular 1 cos. É claro que o ite apresenta uma indeterminação, pois os ites do numerador e do denominador são ambos zero. No entanto, não temos, eatamente, a função seno em vista. Nesse caso, usaremos, também, um truque que você já conhece o conjugado! 1 cos [ (1 cos ) (1 + cos ) ] [ 1 cos 2 ] = = (1 + cos ) (1 + cos ) [ sen 2 ] [ (sen 2 ) ] = = (1 + cos ) 2 = (1 + cos ) [ sen = sen ] = = cos = Considerações finais Chegamos ao fim da aula, mas não ao fim das aplicações do Teorema do Confronto. A demonstração desse teorema, assim como as demonstrações dos dois lemas apresentados nesta aula, decorrem naturalmente da definição 13

14 de ite. Voltaremos a falar sobre elas. No momento, o importante é aprender as suas interpretações geométricas, assim como as suas aplicações nos cálculos dos ites. Veja, nesta aula você aprendeu que as funções trigonométricas são bem comportadas em relação ao ite, assim como a usar o ite trigonométrico fundamental para levantar algumas indeterminações que envolvem funções trigonométricas. Não deie de praticar o que aprendeu, fazendo os eercícios propostos. Eercícios 1. Calcule os seguintes ites: (a) sen ; (b) sen ; (c) sen ( 2 1) 1 1 ; (d) 3 2 tg sen ; (e) 1 cos 3 2 ; (f) 1 sec 2 ; (g) tg cos ; (h) sec 3 sec 2 ; (i) sen sen 3 tg 2 tg 4 ; (j) + sen 2 sen. 2. Use as propriedades elementares de ites de funções e os ites (2n + 1) π calculados na aula para mostrar que, se a, para todo número 2 inteiro n, então tg = tg a. O que você pode dizer a respeito das outras funções trigonométricas? 3. O Teorema do Confronto pode ser usado para mostrar que o resultado a seguir é verdadeiro. 14

15 Teorema Considere duas funções f e g com as seguintes propriedades: (a) para um certo a R, eiste um r > 0, tal que (a r, a) (a, a + r) ( Dom(f) Dom(g) ) ; (b) g() M; eiste um M > 0, tal que, se (a r, a) (a, a + r), então (c) f() = 0. Então, ( f() g() ) = 0. Resumindo, o ite do produto de duas funções, uma delas itada e a outra com ite igual a zero, também é zero. A idéia da prova é a seguinte: para (a r, a) (a, a + r), 0 f() g() f() M. Como f() = 0, sabemos que f() M = 0. Agora, o Teorema do Confronto garante que f() g() = 0 e, portanto, ( f() g() ) = 0. Use o resultado para calcular os ites a seguir. (a) (c) 1 ( ) 1 2 sen 2 ( ( 1) cos ; (b) ) 1 ( 1) 3 ; (d) + ( ) 1 (sen 2 ) cos 2 sen ( ) 1. ; 15

16 4. Sabendo que, para valores de próimos a zero, < 1 cos 2 < 1 2, o que você pode dizer a respeito de 1 cos 2? 5. Construa uma função f : R R satisfazendo as seguintes condições: (a) f() = 1; (b) f não admite ite quando tende a 0. Sugestão: pense em um degrau, por eemplo, e use os ites laterais. 16