Unidade 5 Diferenciação Incremento e taxa média de variação

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1 Unidade 5 Diferenciação Incremento e taa média de variação Consideremos uma função f dada por y f ( ) Quando varia de um valor inicial de para um valor final de, temos o incremento em O símbolo matemático para a variação em, chamada incremento em, será (leia-se delta ) Logo, valor final de valor inicial de Por eemplo, quando passa de um valor inicial para um valor final,5, o incremento em será, 5, 5 O incremento em y, y (leia-se delta y ), será y valor final de y valor inicial de y Por eemplo, quando y passa de um valor inicial 5 para um valor final 7,5, o incremento em y será y 7, 5 5, 5 Consideremos agora a função y f ( ) + Vamos calcular quando varia do valor para e também calcular y Inicialmente temos Para calcularmos o valor de y, temos para para y f () + e y f () + Assim, y 8 Portanto, e y 8 De um modo geral, temos Valor inicial de e valor final de + ; Valor inicial de y f ( ) Para a função e valor final de y f ( ) y f ( + ) f ( ) ( ) +, temos y f ( ) y f + f ( ) + Assim,

2 Portanto, ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) y + O que acabamos de mencionar, o conceito de incremento, nos motiva a seguinte definição Definição Seja f ( ) uma função definição em um intervalo [ a, b ] e [ ab, ], [ a, b] com Quando a variável passa para o valor para o valor + sofrendo uma variação,, o correspondente valor da função passa de f ( ) para o valor f ( + ) sofrendo, portanto, uma variação ( ) ( ) y f + f, Conforme a abaio Seja f ( ) uma função definição em um intervalo [ a, b ] O quociente y f ( ) f ( ) f ( + ) f ( ), recebe o nome de taa média de variação da função f ( ) quando passa do valor para o valor + e epressa a variação média sofrida pelos valores da função f ( ) entre estes dois pontos Eemplo 5 Seja a função f tal que f ( ) +, para R Determine a taa média de variação de f quando passa de para + 4

3 Resolução: Como + 4 temos ; Logo, f ( ) f () + e f ( + ) f (4) 4+ 9 y f ( + ) f ( ) 9 6 No intervalo [,4] para cada unidade acrescida à, a função f ( ) + está crescendo em média unidades Eemplo 5 Seja a função f tal que variação de f quando passa de para 5 f ( ) + 4 Determine a taa média de,5 +,ou seja no intervalo [ ] Resolução: Como + 5 temos ; Logo, f f + + e ( ) () f + f + + ( ) (5) y f f ( + ) ( ) No intervalo [,5] para cada unidade acrescida à, a função cresce 7 unidades f ( ) + 4 está Eemplo 5 Calcular a taa média de variação da função [,6] Resolução f ( ) + no intervalo + 4 Portanto, no intervalo [,6] para cada unidade acrescida à, a função + f ( ) decresce,7 unidades + 4 Eemplo 54 A função custo total para produzir unidades de uma mercadoria, C( ), em reais, é dada pela equação C( ),5+ Determinar a taa média de

4 variação do custo total em relação a, quando varia de unidades para + unidades Resolução: Sabemos pela definição de taa média de variação do custo total é dada por C C( + ) C( ) Assim, e ( ) ( ) ( ) C( + ) +, (,5) (,5) + C( ),5 + Logo, ( ) C C + C( ) ( ) ( ) (,5) (,5) + (,5) + ( ) (, 5) (, 5) + + (, 5) ( ) (, 5) (, 5) + + (, 5) ( ) 4 + (,5) 4,5 + Portanto, a taa média de variação da função custo total C( ),5+ quando varia de unidades para + unidades é C 4 +,5 Eercícios propostos ) Determinar a taa média de variação das funções seguintes entre os pontos indicados: a) f ( ) ; e 4 b) f ( ) + ; e c) f ( ) ; e 6 d) f ( ) ; 4 e e) f ( ) + ; e 6 ) Determinar a taa média de variação da função f ( ) + entre os pontos e + 4

5 ) Uma fábrica de doces verificou que o custo total diário para produzir caias de doces cristalizados, em reais, era dado por C( ) + + Determinar a taa média de variação do custo em relação a Derivada de uma função Na seção anterior compreendemos o significado de taa média de variação de uma função f ( ) quando passa do valor para o valor + e isto nos leva a seguinte definição Definição (Derivada) A derivada de uma função f em relação à variável do domínio de f é a função f '( ) dada por f ( + ) f ( ) f '( ) lim, se este limite eistir Diz-se, nesse caso, que a função f () é derivável em Definição Derivada de uma função no ponto Se for um número particular no domínio de f, então a derivada da função f no ponto, denotada por f '( ), é dada por f ( + ) f ( ), f '( ) lim se este limite eistir Diz-se, nesse caso, que a função f () é derivável em, ou seja, eiste f '( ) Notação: Há várias maneiras de representar a derivada, por eemplo, df dy f '( ), Df ( ), y ( ), ( ), ( ), f '( ), y ', df d d d, dy d, etc Eemplo 55 Dada f ( ) 4 + 8, calcular a derivada de f Resolução: Se é algum número no domínio de f, então pela definição 4 vem f ( + ) f ( ) f ( ) lim 4( + ) + 8 ( 4 + 8) lim 4( + + ( ) ) lim 5

6 ( ) 4 lim 8 + 4( ) lim ( 8+ 4 ) lim lim(8+ 4 ) 8 Portanto, a derivada de f ( ) 4 + 8, em relação a, é 8, ou seja, f ' ( ) 8 Eemplo 56 Dada seja, f '() f ( ) 5 +, encontrar a derivada de f no ponto, ou Resolução: Pela definição acima, vem f Portanto, ( ) f + f () '() lim 5( + ) + ( 5 + ) lim 5( + + ( ) ) + lim ( ) lim + 5 ( ) lim ( + 5 ) lim lim + 5 ( ) f '() Observações (i) Se não eiste o limite ou se é igual a ±, dizemos que a função não é derivável no ponto, isto é, f ( ) (ii) Uma função é derivável num intervalo [ a, b ], se eistem derivadas em qualquer ponto do intervalo [ a, b ] Interpretação geométrica da derivada 6

7 A derivada de uma função num dado ponto, quando eiste, tem um significado geométrico importante que é o discutido nesta seção Seja f ( ) uma função definida e contínua em [ a, b ] Seja G o gráfico da função f ( ) Seja [ a, b] e [ a, b), Veja a figura abaio A reta s determinada pelos pontos P(, f ( )) e Q(, f ( )) é uma secante à curva G e o se o coeficiente angular α é tg α f ( ) f ( ) Se f é derivável no ponto, quando, Q P e s t, onde t é tangente geométrica à curva G no ponto P, isto é, tg β f ( ) f ( ) f ( ) Assim, podemos dizer que a derivada de uma função f ( ) quando eiste, assume em cada ponto, um valor que é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f ( ), no ponto de abscissa Observação Sabemos que a equação de uma reta não vertical passando em um ponto (, y ) é dada por y y m( ), onde m é o coeficiente angular da reta Se f ( ) é uma função derivável em segue da interpretação geométrica da derivada que a reta tangente ao gráfico de f ( ) no ponto (, ( )) tangente é f tem coeficiente angular a f y f ( ) f ( )( ) Cálculo das derivadas ( ) Portanto, a equação da reta O cálculo da derivada de uma função pela definição, dependendo da função, pode ser bastante complicado Contudo, com base na definição de derivada da função f ( ) em relação a variável, é possível obter várias regras que facilitam muito o trabalho São as chamadas regras de derivação para soma, produto e quociente de funções Elas são importantes no cálculo de derivadas de qualquer função 7

8 A seguir apresentaremos alguns eemplos de cálculo de derivada usando a definição Posteriormente, estes eemplos vão ser utilizados como regras de derivação Derivada da função constante Se f ( ) k, onde k é uma constante, então f ( ) Por eemplo, se f ( ) 4, então f ( ) Derivada da função afim Se f ( ) a+ b, onde a e b são constante e a, então f ( ) a Por eemplo: (i) Se f ( ) 5+ 4, então f ( ) 5 ; (ii) Se f ( ) 6, então f ( ) 6 Derivada da função potência n n Se f ( ), onde n, então f ( ) n Por eemplo: 4 (i) Se f ( ), então (ii) Se f ( ) ( ) 4 ; f f, então ( ) Observação Podemos estender a potência n, para qualquer n que seja inteiro ou racional Por eemplo, se f ( ), então f '( ), aqui n Derivada da função soma Sejam g( ) e h( ) duas funções deriváveis no ponto, então f ( ) g( ) + h( ) também é derivável no ponto e f ( ) g ( ) + h ( ) Logo, se f ( ) g( ) + h( ), então f ( ) g ( ) + h ( ) Observação Podemos estender a propriedade dada acima para a soma de n funções, isto é, se f ( ) f ( ) + f ( ) + K + f ( ), n 8

9 então f ( ) f ( ) + f ( ) + K + f ( ) n Por eemplo, se 4 f ( ) + +, então ( ) f Derivada da função produto Sejam u( ) e v( ) duas funções deriváveis em, então f ( ) u( ) v( ) também é derivável em e f ( ) u( ) v ( ) + u ( ) v( ) Logo, se f ( ) u( ) v( ), então f ( ) u( ) v ( ) + v( ) u ( ) Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente, f u v + v u Observação Podemos estender a propriedade dada acima para o produto de n funções, ou seja, se então f ( ) f ( ) f ( ) K f ( ), f ( ) f ( ) f ( ) Kf ( ) + f ( ) f ( ) K f ( ) n + K+ f ( ) f ( ) K f ( ) n n n Em particular, se f( ) f( ) K fn( ) u( ), então n n f ( ) ( u( )) f ( ) nu ( ( )) u ( ) Por eemplo: (i) f ( ) 5 f ( ) ; (ii) (iii) f ( ) f ( ) ( + + ) f ( ) ; 5 4 f ( ) 5( + + ) (+ ) Derivada da função quociente Sejam u( ) e v( ) duas funções deriváveis no ponto Seja v( ) Então u( ) f ( ) com v( ) 9

10 v( u ) ( ) u( ) v ( ) f ( ) ( v( )) Para simplificar a notação, às vezes escrevemos simplesmente, v u u v f v Por eemplo: (i) f ( ) f ( ) ; ( + ) ( + ) (ii) f ( ) f ( ) + ( + ) ( + ) ( + ) + (iii) f ( ) f ( ) ( + ) 4 4 ; Resumindo, temos as seguintes fórmulas de derivação Seja f ( ) uma função de, então temos as seguintes regras de derivação: (i) f ( ) k f ( ), onde k é uma constante; (ii) f ( ) a+ b f ( ) a, onde a e b são constantes; n (iii) f ( ) n f ( ) n, onde n, racionais; (iv) f ( ) g( ) + h( ) f ( ) g ( ) + h ( ) ; (v) f ( ) u( ) v( ) f ( ) u( ) v ( ) + v( ) u ( ), (vi) f ( ) ( u( )) n n f ( ) nu ( ( )) u ( ) ; u( ) v( ) u ( ) u( ) v ( ) (vii) f ( ) f ( ), v( ) v( ) v( ) Derivadas das funções eponencial e logarítmica A seguir apresentaremos as fórmulas (sem demonstração) para o cálculo de derivadas de algumas funções trigonométricas, da eponencial e logarítmica Derivada da função eponencial Seja f ( ) a, a R + e a, então f ( ) ( a )' a lna Em particular, quando a e, então f ( ) e f ( ) e Derivada da função logarítmica

11 Seja f ( ) log a, a R + e a, então f ( ) (log a)' lna Em particular, f ( ) loge ln f ( ) Vamos agora resolver alguns eemplos para calcular a derivada de algumas funções utilizando as regras apresentadas Eemplo 57 Calcular a derivada de f ( ) Resolução: Usando as regras acima, vem f '( ) ' 7 ' ' + 5 ' + 6', ou, ( ) ( ) ( ) ( ) f '( ) Portanto, a derivada da funçãof ( ) é dada por f '( ) Eemplo 58 Calcular a derivada de f ( ) ( ) ( ) Resolução: Inicialmente, vamos considerar u( ) 5 + e v( ) + 5 Assim, ou e ( ) u '( ) 5 + ' , u '( ) 6 + ( ) v '( ) + 5 ' Agora, usando a regra acima,vem f ( ) u( ) v ( ) + v( ) u ( ) ( 5 )( 6 ) ( 5)( 6 ) Portanto, a derivada da função

12 é dada por ( )( ) f ( ) f '( ) Eemplo 59 Determinar a derivada de f ( ) + 4 Resolução: Pela regra acima, temos + ( 4) ( + )' ( + ) ( 4 )' f '( ) 4 4 ( ) ( 4) ( + ) ( ) ( 4) 4 ( 4) ( 4) 4 Portanto, a derivada da função é a função dada por Eercícios propostos + f ( ) 4 4 f '( ) ( 4) Obtenha a derivada de cada função a seguir: 4) f ( ) 5 5) f ( ) ) 7) 4 f ( ) 5 f ( ) + 8) f ( ) ln Derivada de função composta

13 Sejam y f ( ) e u g( ) duas funções tais que suas derivadas eistem e eista a derivada da função y f ( g( )) que indicaremos por dy d, então ou ainda, dy y f ( g( )) g ( ), d dy dy du y d du d Logo, y f ( g( )) y f ( g( )) g ( ) A derivada obtida acima da função composta também é conhecida como regra da cadeia Eemplo 5 Determinar a derivada da função 4 y e Resolução: Temos, Logo, 4 y e, então dy u, onde u 4, e du e du d 4 u y e dy dy du y e d du d u e, Portanto, a derivada de 4 y e é a função 4 4 y e Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim: Eemplo 5 Determinar a derivada de ( 4 ) 4 y + Resolução: Aqui, Assim, 4 y u u 4 +, n 4 e u ' 8+ Logo, ( ) 4 ( ) ( ) y ' 4 u u ' 4 u u ' Portanto, a derivada de y ( 4 ) 4 + é a função ( ) ( ) y ' Alternativamente, podemos calcular a derivada função composta assim:

14 Eemplo 5 Encontrar a derivada de Resolução: Sabemos que onde Assim, y u u +, y + ( ) y + +, n e u ' + Logo, u ' u ' y ' u u ' u u ' u u + + Portanto, y + y + Eemplo 5 Determinar a derivada de y ln Resolução: Aqui temos Logo, Portanto, a derivada de u e u ' u ' y ' u y ln é a função y ' 4

15 Em resumo temos as seguintes derivadas importantes: n y u n y ' nu u ' y uv y ' u ' v+ v ' u u u ' v v ' u y y ' v v 4 u y a y ' a u (ln a) u ', a>, a ( ) 5 u y e u y ' eu ' 6 y log a u u ' y ' log a e u 7 y lnu y ' u ' u 8 v y u v v y ' vu u ' + u (ln u) v ', onde u e v são funções deriváveis de e n constante Eercícios propostos Obtenha a derivada de cada função a seguir: 9) y ln( + ) ) 5 h( ) ( + 4+ ) ) h( ) 5 ( + 4+ ) ) f ( ) + ) h( ) log( 5) 4 Derivada de função inversa Seja y f ( ) uma função inversível, derivável no ponto, onde f ( ) A função inversa de y f ( ) que representaremos por g( y) é derivável no ponto y sendo y f ( ), sua derivada é g ( y) f ( ) Ou seja, se y f ( ), função dada, e g( y), sua inversa, então g ( y) f ( ) Eemplo 54 Calcular a derivada da função inversa de y f ( ) 5 7 Resolução: Inicialmente vamos calcular a função inversa de y f ( ) 5 7 que é g( y) Aplicando a regra prática para encontrarmos a função inversa de uma dada função, estudada na seção 7, temos 5

16 + 7 y 5 7 5y 7 5y + 7 y, 5 ou ainda y+ 7 g( y) 5 y+ 7 Assim, a função inversa de f ( ) 5 7 é g( y) e f ( ) 5 5 Logo, g ( y) g ( y) f ( ) 5 5 De fato, calculando a derivada da função g( y ) em relação a y, temos y+ 7 g ( y) 5 5 ' Portanto, a derivada da função inversa de é dada por y f ( ) 5 7, g ( y) 5 g( y) y+ 7 5 Eemplo 55 Determine a derivada da inversa da função y f ( ) para > Resolução Vamos calcular a função inversa de y f ( ) aplicando a regra prática estudada no capítulo anterior Assim, a função inversa da função y f ( ) é g( y) y, y (, ) e g ( y) f ( ) Portanto, a derivada da inversa da função Eercícios propostos f ( ) para todo >, logo ( y) f ( ) g ( y) ( y) para >, g( y) y é 5 4) Calcular a derivada da função inversa de y f ( ) no ponto y 5) Determinar a derivada da função inversa de y f ( ) 6) Determinar a derivada da função inversa de y f ( ) 5 7 7) Determinar a derivada da função inversa de y f 4 ( ) + 6

17 Derivadas sucessivas Suponha que f é uma função derivável no intervalo I Se a função f (), chamada de derivada primeira de f (), é derivável no mesmo intervalo, então eiste a função derivada de f (), indicada como f () que é chamada de derivada segunda de f () Diz-se então que f () é duas vezes derivável Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que f () é n vezes derivável, obtém-se a função derivada n -ésima, ou derivada de ordem n, de (n) f () indicada comof () As funções f (), (n) f (),, f (), são as derivadas sucessivas de f () Eemplo 56 Determinar todas as derivadas da função f ( ) + + Resolução: Aplicando as regras de derivação estudadas, temos f ( ) + +, f ( ) + 4, f ( ) 6+ 4, f ( ) 6, iv f ( ), n f ( ), n 4 Portanto, todas as derivadas da função n f ( ) + + é f ( ), n 4 Eemplo 57 Obtenha a derivada terceira da função f ( ) Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos f ( ), f ( ), f ( ), 6 f ( ) 4 7

18 Portanto, a derivada terceira de f ( ) 6 é f ( ) 4 Eemplo 58 Obtenha a derivada de ordem 4 da função f ( ) e Resolução: Aplicando as regras de derivação, temos f ( ) e, f '( ) f ''( ) 4 e, e, f '''( ) 8 f ''''( ) 6 e, e Portanto, a derivada de ordem 4 ou a quarta derivada da função f ''''( ) 6 e e consequentemente, ( n) n n n f ( ) ( ) e, n f ( ) e é Eercícios propostos 8) Calcular todas as derivadas da função f ( ) 4 9) Determinar a segunda derivada da função f ( ) ) Determinar a segunda derivada da função f ( ) + A Diferencial Suponha que a função f seja definida por y f ( ) e f seja derivável em A variação sofrida por f, quando se passa do ponto ao ponto + é ( ) y f f + f ( ) Usando o símbolo, significando "é aproimadamente igual a", dizemos que f f ( ), se for suficientemente pequeno O lado direto da epressão acima é definido como a diferencial de y Isto nos motiva a seguinte definição Definição Se a função f é definida por y f ( ), então a diferencial de y, no ponto, denotada por dy ou df é dada por df f ( ) 8

19 onde está no domínio de f e é um incremento arbitrário de Observação Note que df depende de e é fácil perceber que quanto menor for mais próimo df estará de f Assim, podemos dizer que df f para pequenos valores de, Dessa forma, a diferencial de uma função pode ser usada para calcular aproimadamente variações de f, para pequenos valores de Eemplo Consideremos a função,, Calcular f e df f ( ), e +,, logo Resolução: Vamos calcular inicialmente assim ( ) f f + f ( ) f (,) f () ( ),,,6,6 f dado por f f ( + ) f ( ), Para calcularmos a diferencial de f no ponto e, temos Assim, f '( ) 6 e f '() 6 6, df f ( ) f '(), 6,,6 Não é difícil de observar que df f Portanto, f, 6 e df,6 Eemplo Calcule a diferencial de ( ) no ponto y f e, Resolução: Sabemos que a diferencial de uma função f no ponto é dada por Como vem df f ( ) ou df f (), f '( ) e f '() 4, df f (), 4,,4 9

20 Portanto, a diferencial de ( ) no ponto y f e, é df,4 Eemplo Seja a função y f ( ) 4 +, encontre y e dy para (i) qualquer e ; (ii),,; (iii),,; (iv),, Resolução: (i) Vamos calcular inicialmente y Como y 4 +, temos y f 4( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 8 ) 4( ) + Portanto, ( 8 ) 4 ( ) y + Agora, vamos calcular dy Sabemos que dy f ( ) A derivada de em relação a é Assim, Portanto, y f + ( ) 4 f '( ) 8 dy f '( ) (8 ) dy (8 ) Os resultados para as partes (ii), (iii) e (iv) são apresentados no quadro abaio, onde y (8 ) + 4( ) e dy (8 ) y dy,,4,,,4,,,4,

21 Eercícios propostos ) Calcular dy da função y f ( ) e no ponto para, ) Obtenha a diferencial de y f ( ) no ponto para, ) Seja a função y f ( ) 5 Calcular y e dy para e, Aplicações: Funções marginais Em Administração e Economia, dada uma função f ( ), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito causado em f ( ) por uma pequena variação de Chama-se função marginal de f ( ) à função derivada de f ( ) Assim, a função custo marginal é a derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante Nesta seção veremos algumas funções marginais Função custo marginal Suponha que C( ) seja o custo total de produção de unidades de certo produto, com e C( ) A função C é chamada de função custo total e temos a seguinte definição Definição Se C( ) é o custo total de produção de unidades de um produto, então o custo marginal quando, é dado por C '( ), caso eista A função C '( ) é chamada função custo marginal Assim, pela seção anterior, C '( ) C C( + ) C( ) Portanto, o custo marginal é aproimadamente igual à variação do custo, decorrente da produção de uma unidade adicional, a partir de unidades Na definição acima, C '( ) pode ser interpretada como a taa de variação do custo total quando unidades são produzidas Eemplo 59 Suponhamos que C( ) seja o custo total de fabricação de pares de calçados da marca WW dado pela equação custo marginal quando 5 C( ) 4, + + Determinar o

22 Resolução: Vamos calcular a derivada da função C( ) + 4+,, ou seja, C '( ) 4+,4 e C '(5) 4+, Assim sendo, a taa de variação do custo total, quando 5 pares de calçados da marca WW são fabricados, é R$6, por par fabricado O custo de fabricação do qüinquagésimo primeiro par de calçado é e C '(5) C C(5) C(5) ( ) ( ) C(5) C(5) , , (5) 66, 6 6, Assim, C '(5) C C(5) C(5) 6, Logo, C '(5) é o custo aproimado da produção do qüinquagésimo primeiro par de calçado da marca WW Portanto, o custo marginal quando 5 C ' 5 6 é ( ) Eemplo 5 Consideremos a função custo determinar o custo marginal para C( ),, , Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função ou seja, e C( ),, , C '( ),6,8 + 4 C '(), 6 (), Como C '() C C() C(), vem Logo, ( ) (, (), 4 () 4 ) C '(), (), 4 () ,8 8 48,8 C '() é o custo aproimado da produção do vigésimo primeiro item Portanto, o custo marginal quando é C '() 48

23 Função receita marginal Suponha que R( ) seja a receita total obtida pela venda de unidades de um produto e temos a seguinte definição Definição Se R( ) é a receita obtida quando unidades de um produto são demandadas, então a receita marginal, quando, é dado por R '( ), caso eista A função R '( ) é chamada função receita marginal R '( ) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser interpretada como a taa de variação da receita total quanto unidades são demandadas Assim, pela seção anterior, R '( ) R R( + ) R( ) Portanto, a receita marginal é aproimadamente igual à variação da receita decorrente da venda de uma unidade adicional, a partir de unidades Eemplo 5 Suponha de R( ) seja a receita total recebida na venda de cadeiras da loja BBC, e R ( ) 4 + Calcular a receita marginal para 4 Resolução: Inicialmente, vamos calcular a derivada da função R ( ) 4 +, ou seja, R '( ) 8+ e R '(4) Como, R '(4) R(4) R(4) Logo, ( ) ( ) (4) R '(4) é a receita efetiva da venda da quadragésima primeira carteira Portanto, a receita marginal quando 4 é R '(4) 68 Eemplo 5 Consideremos a função receita total da venda de estantes dada por R( ) 5 Calcular a receita marginal para 5 Resolução: Calculando a derivada da função R( ) 5, temos R '( ) 5 e R '(5) Como ( ) 5 (5) R '(5) R(5) R(5) , ,5

24 Logo, R '(5) é a receita efetiva da venda da qüinquagésima estante Portanto, a receita marginal quando 5 é R '(5) 45 Função produtividade marginal Consideremos uma função de produção P que dependa da quantidade de um fator de produção variável Chama-se função produtividade marginal do fator à derivada da função P em relação a Eemplo 5 A quantidade P (em toneladas) produzida por mês de certo produto e o trabalho mensal envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção P( ) 6 Determinar a produtividade marginal quando 64 Resolução: Vamos calcular a derivada da função P( ) 6 em relação a que é a função produtividade marginal do fator trabalho mensal, logo P( ) P '( ) , ou seja, 58 P '( ) Calculando a produtividade marginal quando 64, temos P '(64) 6, Assim, se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na produção mensal será, aproimadamente, 6,5 toneladas Portanto, a produtividade marginal da função produção P( ) 6 quando 64 é 6,5 toneladas Eemplo 54 Considere a função produção P( H ) 5 H 6H, onde P é a produção mensal (em toneladas), e H, o número de homens-hora empregados Calcular: a) função produtividade marginal, P '( H ) ; b) P '() Resolução: a) Vamos calcular a derivada da função P em relação a H, logo P( H ) 5 H 6H 5 H 6H P '( H ) 5 H 6 5 H 6 4

25 , H H ou seja, 5 P '( H ) 6 H Portanto, a função produtividade marginal é 5 P '( H ) 6 H b) Agora, vamos calcular P '(), isto é, P 5 5 '() Portanto, P '() 9 Eercícios Propostos 4) O custo total da produção de unidades de certo produto é dado por C( ) 8 Calcular: 4 a) a função custo marginal; b) o custo marginal para ; c) o número de unidades produzidas quando o custo marginal é $ 6 5) Dada a função custo C( ),, 5 + +, obtenha o custo marginal para 5 e 6) Dada a função custo C( ),, 5 + +, obtenha o custo médio para C( ) Sugestão O custo médio, CM, é dado por CM 7) Dada a função receita R( ) + 5 obtenha a receita marginal quando 5 8) A receita total recebida da venda de televisores em cores é dada por R( ) 7 Determinar: 4 a) a função receita marginal; b) a receita marginal quando 9) Dada da função receita total média para R( ) 5 +, determinar a receita 5

26 R( ) Sugestão A receita medida, RM, é dada por RM ) A quantidade P (em kilograma) produzida por dia de certo produto e o trabalho diário envolvido (medido em homens-hora) é dada pela função produção P( ) Determinar: a) a função produtividade marginal; b) a produtividade marginal quando 6 Respostas ) a) b) c) 8 d) 7 e) ) y ( ) ) C, 5 4) f '( ) 5) f '( ) + 4 6) 7 4 f '( ) 7) 4 5 f '( ) + 5 8) f '( ) + ln 9) y + 4 ) h ( ) 5 ( + 4+ ) (6 + 4) 5 ( 6 + 4) ) h '( ) 6 ( + 4+ ) 5 ) f '( ) ( + ) + ) h '( ) ( 5 ) ln 4) 5 5) g '( y) y+ 4 6

27 6) 7) 7 g '( y) 4 4 ( y )! 8) n n n f ( ) ( ), n n 9) + ''( ) f + ) 5 f ''( ) + 4 ) dy ) df, ) y, 699 e dy,7 4) a) C '( ) 8 ; b) 75; c) 4 5) e 85 6) CM 45 7) R '(5) 8) a) R '( ) 7 ; b) ) 5 ) a) P '( ) + 5 ; b) 5, 7