Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais. Taxas de Variação: Velocidade e Funções Marginais

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Taas de Variação: Velocidade e Funções Marginais Eistem várias aplicações na vida real relativas às taas de variação. Eis algumas: velocidade, aceleração, taas de crescimento populacional, taas de desemprego, taas de produção, taas de fluo de água, etc Embora as taas de variação se refiram frequentemente ao tempo, podemos estudar a taa de variação de uma variável em relação a qualquer outra variável. Prof.: Rogério Dias Dalla Riva 4 Taas de Variação: Velocidade e Funções Marginais 1.Taa média de variação.taa instantânea de variação e velocidade instantânea 3.Taas de variação na Ao determinarmos a taa de variação de uma variável em relação a outra, devemos ter cuidado em distinguir entre taa de variação média e taa de variação instantânea. A distinção entre essas duas taas de variação é análoga à distinção entre o coeficiente angular da secante por dois pontos de um gráfico e o coeficiente angular da tangente em um ponto. 5 Em aulas anteriores estudamos duas aplicações fundamentais das derivadas. 1.Inclinação. A derivada de f é uma função que dá a inclinação do gráfico de f em um ponto (, f())..taa de Variação. A derivada de f é uma função que dá a taa de variação de f() em relação a no ponto (, f()). 3 Definição de Taa Média de Variação Se y = f(), então a taa média de variação de y em relação a no intervalo [a, b] é f ( b) f ( a) y Taa média de variação = = b a Note que f(a) é o valor da função no ponto etremo esquerdo do intervalo, f(b) é o valor da função no ponto etremo direito do intervalo, e b a é a amplitude do intervalo. 6 1

2 a) No intervalo [0, 10], a taa média de variação é: Valor de C no Etremo Direito Valor de C no Etremo Esquerdo C 0 = = = 0, mg por ml/min Amplitude do Intervalo b) No intervalo [0, 0], a taa média de variação é: 7 C = = = 0,85 mg por ml/min Nos problemas aplicados, é importante relacionar as unidades de medida para uma taa de variação. As unidades de y/ são y unidades por unidades. Por eemplo, se y é dado em milhas e em horas, então y/ é dada em milhas por hora. c)no intervalo [100, 110], a taa média de variação é: C = = = 1 mg por ml/min As taas de variação do Eemplo 1 são em miligramas por mililitro por minuto porque a concentração é medida em miligramas por mililitro e o tempo é dado em minutos. Concentração em miligramas por mililitro 8 C 0 = = = 0, mg por ml/min Taa de variação em miligramas Tempo em minutos por mililitro por minuto 11 Eemplo 1: A concentração C (em miligramas por mililitro) de um remédio na corrente sanguínea de um paciente é monitorada a intervalos de 10 minutos durante horas, com t dado em minutos, conforme a tabela abaio. Ache as taas médias de variação nos seguintes intervalos: a) [0, 10], b) [0, 0] e c) [100, 110] t C No Eemplo 1, a taa média de variação é positiva quando a concentração aumenta, e negativa quando a concentração diminui. 1

3 Uma aplicação usual da taa média de variação, consiste em achar a velocidade média de um objeto em movimento retilíneo. variação na distância Velocidade média = variação no tempo Podemos utilizar a equação de posição para determinar as alturas em t = 1, t = 1,1, t = 1,5 e t =, conforme a tabela abaio. h = + 16t 100 t (em segundos) 0 1 1,1 1,5 h (em pés) , Eemplo : Se um objeto é solto em queda livre de uma altura de 100 pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do objeto no instante t (em segundos) é dada por h = + 16t 100, conforme indicado na figura seguinte. Ache a velocidade média do objeto nos intervalos: a) [1; ], b) [1; 1,5] e c) [1; 1,1]. a) Para o intervalo [1; ], o objeto cai de uma altura de 84 pés para uma altura de 36 pés. Assim, a velocidade média é h = = = 48 pés/s 1 1 b) Para o intervalo [1; 1,5], a velocidade média é h = = = 40 pés/s 1,5 1 0, c) Para o intervalo [1; 1,1], a velocidade média é h 80, ,36 = = = 33,6 pés/s 1,1 1 0,1 No Eemplo, as velocidades são negativas porque o objeto está se deslocando para baio

4 . Taa instantânea de variação. Taa instantânea de variação Suponha, no Eemplo, que queiramos achar a taa de variação de h no instante t = 1 s, Essa taa é chamada taa de variação instantânea. Podemos aproimá-la em t = 1 calculando a taa média de variação em intervalos cada vez menores da forma [1, 1 + ], conforme a tabela seguinte. Pela tabela, parece razoável concluirmos que a taa instantânea de variação da altura, quando t = 1, é de -3 pés por segundo. Eemplo 3: Ache a velocidade do objeto do Eemplo quando t = 1. Pelo Eemplo, sabemos que a altura de um objeto em queda livre é dada por h t ( ) = 16t Tomando a derivada desta função posição, obtemos a função velocidade h ' ( t) = 3t 19. Taa instantânea de variação. Taa instantânea de variação 1 0,5 0,1 0,01 0,001 0, h/ ,6-3,16-3,016-3, A função velocidade dá a velocidade em um instante arbitrário. Assim, quando t = 1, a velocidade é h (1) = -3(1) = -3 pés/s. O limite nesta definição é o mesmo que o limite na definição da derivada de f em. Esta é a segunda interpretação da derivada como taa de variação instantânea de uma variável em relação a outra. Recorde que a primeira interpretação da derivada é como inclinação do gráfico de f em Taa instantânea de variação. Taa instantânea de variação Definição de Taa Instantânea de Variação A taa instantânea de variação (ou simplesmente taa de variação) de y = f() em é o limite da taa média de variação no intervalo [, + ], quando tende para zero. y f ( + ) f ( ) lim = lim 0 0 Se y é uma distância e é o tempo, então a taa de variação é uma velocidade. 1 Eemplo 4: No instante t = 0, um mergulhador salta de um trampolim a 3 pés de altura, conforme a figura seguinte. Como a velocidade inicial do mergulhador é de 16 pés por segundo, sua função posição é h = t + t a) Em que instante o mergulhador atinge a água? b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do impacto? 4 4

5 . Taa instantânea de variação Outra aplicação importante das taas de variação ocorre no campo da Economia. Os economistas se referem a lucro marginal, receita marginal e custo marginal como as taas de variação do lucro, da receita e do custo em relação ao número de unidades produzidas ou vendidas. A equação que relaciona essas três grandezas é P = R C onde P, R e C representam: P = lucro total, R = receita total C = custo total Taa instantânea de variação a) Para achar o instante em que o mergulhador atinge a água, façamos h = 0 e resolvamos em relação a t. + + = 16t 16t 3 0 Fazendo h =0 = 16( t t ) 0 Colocando -16 em evidência 16( t + 1)( t ) = 0 Fatorando t = 1 ou t = Resolvendo em relação a t As derivadas dessas grandezas chamam-se lucro marginal, receita marginal e custo marginal, respectivamente. = lucro marginal dr = receita marginal dc = custo marginal d d d A solução t = -1 não tem sentido no problema; concluímos, pois, que o mergulhador atinge a água quando t = segundos Taa instantânea de variação b) A velocidade no instante t é dada pela derivada ' h = 3t + 16 Função velocidade No instante t =, a velocidade é ' h = + = 3() ft/s. Em muitos problemas de administração e economia, o número de unidades produzidas ou vendidas está restrito a valores inteiros positivos, conforme indicado na figura seguinte. Naturalmente, uma venda pode envolver metade ou outra fração de unidades, mas é difícil conceber uma venda que envolva 1,41 unidades. A variável que denota tais unidades é chamada variável discreta

6 Para analisar uma função de uma variável discreta, podemos admitir provisoriamente que seja uma variável contínua, capaz de tomar qualquer valor real em um dado intervalo. Utilizamos então os métodos do cálculo para achar o valor de que corresponde à receita marginal, ao lucro máimo, ao custo mínimo ou o que quer que seja. Finalmente, devemos arredondar a solução para o valor mais próimo cabível de centavos, dólares, unidades, ou dias, dependendo do conteto do problema. a) Como o lucro é P = 0, , o lucro marginal é dado pela derivada d = + 0, Quando = 50, o lucro marginal é d = + = + = 0,0006 (50) 10 1,5 10 $11,50 por unidade b) Para = 50, o lucro efetivo é P = 0,000 (50) + 10 (50) = = $55,00 e para = 51, o lucro efetivo é P = 0,000 (51) + 10 (51) = 6, = $536, Eemplo 5: O lucro resultante da venda de unidades de um artigo é dado por P = 0, a) Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50 unidades. b) Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento de produção de 50 para 51 unidades. Assim, o lucro adicional obtido pelo aumento do nível de produção de 50 para 51 unidades é $536,53 $55,00 = $11,53 Lucro etra para uma unidade Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando aumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproimado pelo lucro marginal de $11,50 por unidade (quando = 50), conforme a figura a seguir

7 A razão por que o lucro marginal dá uma boa aproimação da variação efetiva do lucro é que o gráfico de P é quase uma linha reta no intervalo Eemplo 6: Um estabelecimento comercial vende.000 itens por mês ao preço de $10 cada. Estimase que as vendas mensais aumentem de 50 unidades para cada $0,5 de redução no preço. Com esta informação, determine a função demanda e a função receita total A função lucro do Eemplo 5 não é comum pelo fato de o lucro continuar a crescer na medida em que aumenta o número de unidades vendidas. Na prática, são mais comuns situações em que só se consegue aumentar a venda reduzindo-se o preço unitário. Tais reduções acabam por causar uma queda no lucro. Pela estimativa, aumenta de 50 unidades cada vez que p sofre uma redução de $0,5 a partir do custo original de $10. Temos, assim, a equação 10 p = ,5 = p = p Resolvendo em relação a p em termos de, obtemos O número de unidades que os consumidores se interessam em comprar a um certo preço unitário p é dado pela função demanda p = f() Função demanda A receita total R está então relacionada com o preço unitário e a quantidade procurada (ou vendida) pela equação R = p Função receita = p 1.000p = p = Isto, por seu turno, implica que a função receita é R = p = 1 =

8 A Figura acima eibe o gráfico da função demanda. Note que o preço diminui na medida em que aumenta a demanda. 43 Como a demanda é dada por p =, a receita é dada por R = p, e temos R = p = = ( ). Diferenciando, obtemos a receita marginal: dr 1 ( ). d = Eemplo 7: Um restaurante de refeições ligeiras constatou que a demanda mensal por seus hambúrgueres é dada por p = A figura seguinte mostra que, na medida em que o preço cai, a quantidade vendida aumenta. A tabela abaio mostra a procura por hambúrgueres a diversos preços. Assim, quando = 0.000, a receita marginal é dr [ (0.000) ] $1 por unidade. d = = = p $0,00 $0,50 $1,00 $1,50 $,00 $,50 $3, Ache o aumento na receita por hambúrguer para uma venda mensal de unidades. Em outras palavras, ache a receita marginal quando = É convenção na Economia escrever uma função demanda na forma p = f(). Do ponto de vista do consumidor, poderia parecer mais razoável supor a quantidade procurada como função do preço. Matematicamente, entretanto, os dois pontos de vista se equivalem, porque uma função demanda típica é um a um e, assim, possui uma inversa. Por eemplo, no Eemplo 7 poderíamos escrever a função demanda como = p 48 8

9 Eemplo 8: Suponhamos que, no Eemplo 7, o custo da produção de hambúrgueres seja C = ,56, Determine o lucro e o lucro marginal para os seguintes níveis de produção: a) = 0.000, b) = e c) = Produção Lucro Lucro Marginal a. = P = $3.800,00 = $0,44 por unidade d b. = P = $4.768,00 = $0,00 por unidade d c. = P = $3.00,00 = $0,56 por unidade d 49 5 Pelo Eemplo 7, sabemos que a receita total da venda de unidades é 1 R = ( ) Como o lucro total é dado por P = R C, temos: 1 P = ( ) ( ,56 ) = , =, Assim, o lucro marginal é,44 d = Com o auílio destas fórmulas, podemos calcular o lucro e o lucro marginal. 51 9