1. Integração por partes. d dx. 1. Integração por partes

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Integração por Partes Prof.: Rogério Dias Dalla Riva A integração por partes se baseia na Regra do Produto d [ uv ] = uv + vu d uv = uv d + vu d uv = + v du Utilizando a Regra do Produto Integrando ambos os membros Escrevendo na forma diferencial Escrevendo sob nova forma Integração por Partes.Integração por partes OBS: Ao aplicar a integração por partes, podemos escolher primeiro tanto dv como u. Feita essa primeira escolha, entretanto, o outro fator está automaticamente determinado deve ser a parte restante do integrando. Outrossim, dv deve conter a diferencial d da integral original. Nesta aula estudaremos uma técnica de integração conhecida como integração por partes. Esta técnica é particularmente útil para integrandos que envolvem produtos de funções algébricas e eponenciais ou logarítmicas, tais como e d e ln d Integração por Partes Sejam u e v funções diferenciáveisde.

2 Note que a fórmula da integração por partes epressa a integral original em termos de outra integral. Dependendo das escolhas de u e dv, pode ser mais fácil calcular a segunda integral. Para aplicar a integração por partes, devemos escrever a integral original na forma Devemos, pois, decompor e d em dois fatores uma parte representando u e a outra parte representando dv. Há várias maneiras de fazê-lo. ( ) e d e ( d ) ( ) e d e ( d ) ( ) ( ) ( ) ( ) Diretrizes para a Integração por Partes. dv deve ser a parte mais complicada do integrando que se ajuste a uma fórmula básica de integração. u é o fator restante.. u deve ser a parte do integrando cuja derivada é uma função mais simples do que a própria u. dv é o fator restante. De acordo com nossas diretrizes, devemos escolher a primeira opção porque dv = e d é a parte mais complicada do integrando que se ajusta a uma forma básica de integração e porque a derivada de u = é mais simples que. dv = e d v = dv = e d = e u = du = d Eemplo : Calcule a integral indefinida e d Com estas substituições, podemos aplicar a e d = e e d = + e e C Integrar e d

3 OBS: No Eemplo, observe que não é preciso incluir uma constante de integração ao resolver v = e d = e Para verificar isto, substitua e por e + C na solução. ( ) ( ) e d = e + C e + C d Após integrar, vemos que os termos que envolvem C se cancelam. ln d = ln d = ln d Simplificar = ln + C Integrar 9 Eemplo : Calcule a integral indefinida ln d Eemplo : Calcule a integral indefinida ln d Nesta integral, é integrada mais facilmente do que ln. Além disso, a derivada de ln é mais simples do que ln. Devemos, pois, escolher dv = d. = = = = dv d v dv d u = ln du = d Esta integral não é usual porque tem apenas um fator. Em tais casos, devemos escolher dv = d e u como fator único. dv = d v = dv = d = u = ln du = d

4 ln d = ln ( ) d = uv v du e d = e e d Primeira aplicação da integração por partes = ln d Simplificar = ln + C Integrar Eemplo 4: Calcule a integral indefinida e d Para calcular a nova integral à direita, apliquemos a integração por partes uma segunda vez, utilizando as seguintes substituições. dv = e d v = dv = e d = e u = du = d Seguindo as diretrizes, note que a derivada de fica mais simples, o que não ocorre com a de e. Fazemos,pois u = e dv = e d. fórmula de integração por partes novamente. dv = e d v = dv = e d = e u = du = d e d = e e d ( ) = e e e d = + + e e e C ( ) = + + e C Primeira aplicação da integração por partes Segunda aplicação da integração por partes Integrar Simplificar 4

5 OBS : Sempre é possível verificar uma integral indefinida diferenciando. Por eemplo, no Eemplo 4, diferenciando a antiderivada ( ) = + + e C devemos obter o integrando original e No Eemplo, determinamos a antiderivada de ln por integração por partes. Utilizando este resultado, podemos calcular a integral definida como segue. A figura a seguir eibe a área representada por esta integral definida. e [ ln ] ln d = Utilizando o resultado do Eemplo ( elne e) ( ln ) = ( e e) ( 0 ) = = Aplicando o Teorema Fundamental Simplificando OBS : Ao aplicar iteradamente a integração por partes, devemos ter cuidado em não permutar as substituições nas aplicações sucessivas. Assim é que, no Eemplo 4, as principais substituições foram dv = e d e u =. Se, na segunda aplicação, tivéssemos feito dv = d e u = e, teríamos invertido a ordem anterior e voltaríamos à integral original. ( ) e d = e e e d Eemplo 5: Calcule a integral definida e ln d À medida que adquirimos eperiência com a integração por partes, melhora nossa habilidade em determinar u e dv. O resumo a seguir dá sugestões para a escolha de u e de dv. 5

6 Antes de começarmos a resolução de eercícios relativos a esta aula, devemos ter em mente que não basta saber como aplicar as várias técnicas de integração. Devemos saber também quando aplicá-las. Para efetuar uma integração, é necessário, antes de tudo, reconhecer que fórmulas ou técnica devemos aplicar para determinar uma antiderivada. Em geral, uma pequena modificação do integrando eige uma técnica de integração diferente. Eis alguns eemplos. Integral Técnica Antiderivada ln d ln d ln d Integração por partes Regra da Potência: n du u d d du Regra do Log: d u d ln + C 4 ( ln ) ln ln + C + C Resumo de Aplicações Comuns da Integração por Partes n a. e d Fazeru = n e dv = e a d. (Eemplos e 4) n. ln d Fazeru = ln e dv = n d. (Eemplos e ) 6