Derivadas de Funções Trigonométricas. Derivadas de Funções Trigonométricas ( ) ( ) ( ) [ x

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Derivaas e Fnções Trigonométricas 1.1. Derivaa a fnção seno Esses ois limites são tilizaos na eção a erivaa a fnção seno: sen ( + ) sen sen cos + sen cos sen [ sen ] lim lim 0 0 sen cos sen (1 cos ) sen cos sen (1 cos ) lim lim lim sen (1 cos ) lim cos lim lim sen lim cos 1 sen 0 cos Prof.: Rogério Dias Dalla Riva [ sen ] cos Derivaas e Fnções Trigonométricas 1.Derivaas e.etremos relativos e 3.Aplicações 1.. Derivaa a fnção cosseno Esses ois limites também são tilizaos na eção a erivaa a fnção cosseno: cos ( + ) cos cos cos sen sen cos cos lim lim [ ] 0 0 [ ] cos cos cos sen sen cos cos 1 sen sen lim lim lim cos sen lim lim cos lim sen lim cos sen 1 sen [ cos ] sen 5 1. Derivaas e 1.3. Derivaa a fnção tangente Na ala anterior, vimos ois limites importantes: sen 1 cos lim 1 e lim Lembrano qe tg sen /cos e tilizano a regra o qociente, teremos cos sen sen cos sen [ tg ] cos ( ) ( cos ) cos cos sen sen cos + sen cos cos 1 sec cos 3 [ tg ] sec 6 1

2 1.. Derivaa a fnção cotangente 1.7. Resmo as erivaas as Lembrano qe cotg cos /sen e tilizano a regra o qociente, teremos sen cos cos sen cos [ cotg ] sen ( ) ( sen ) sen sen cos cos sen cos sen sen sen + cos 1 cossec sen sen A segir, são apresentaas as versões a Regra a Caeia para as regras e iferenciação e toas as seis. [ sen ] [ cos ] cos sen [ cotg ] cossec [ sec ] sec tg [ cotg ] cossec 7 [ tg ] sec [ cossec ] cossec cotg Derivaa a fnção secante 1.8. Eemplos Lembrano qe sec 1/cos e tilizano a regra o caeia, teremos Eemplo 1: Diferencie as fnções: (a) y sen (), (b) y cos ( - 1) e (c) y tg (3). 1 cos 1 1 sen sen sec tg cos cos cos 1 [ sec ] [ cos ] 1 [ cos ] [ sen ] [ sec ] sec tg 8 a ( ) Fazeno, temos qe y cos cos ( ) [ ] cos ( ) () cos( ) ( b) Fazeno 1, temos qe 1 y sen sen ( 1) [ 1] sen ( 1) (1) sen ( 1) c ( ) Fazeno 3, temos qe 3 y (3 ) 3 sec (3 ) (3) 3sec (3 ) sec sec [ ] Derivaa a fnção cossecante 1.8. Eemplos Lembrano qe cossec 1/sen e tilizano a regra o caeia, teremos 1 sen 1 1 cos cos cossec cotg sen sen sen 1 [ cossec ] [ sen ] 1 [ sen ] [ cos ] Eemplo : Diferencie f() cos (3 ). a ( ) Fazeno 3, temos qe 6 y sen sen (3 ) 3 sen (3 ) (6 ) 6 sen (3 ) [ cossec ] cossec cotg 9 1

3 1.8. Eemplos 1.8. Eemplos Eemplo 3: Diferencie f() tg (3). Pela Regra a Potência, poemos escrever 3 [ tg (3 ) ] [ tg (3 ) ] [ tg (3 ) ] [ ] 3 tg (3 ) sec (3 ) (3) 3 1 tg (3 ) sec (3 ) Eemplo 6: Diferencie y sen. y + y cos + sen 1 y cos + sen [ sen ] sen [ ] Eemplos. Etremos relativos e Eemplo : Diferencie y cossec (/). y cossec cotg y 1 cossec cotg Eemplo 7: Determine os etremos relativos e y sen no intervalo e (0, π). Para achar os etremos relativos a fnção, eterminemos inicialmente ses pontos críticos. A erivaa e y é: y 1 cos Eemplos. Etremos relativos e Eemplo 5: Diferencie f ( t) sen t. ( t ) f ( t) sen cos t ( ) 1 f ( t) sen t sen t 1 f ( t) sen t cos t f t f t ( sen t ) cos t ( ) sen t 1 t 15 Igalano a erivaa a zero, obtemos cos 1/. Portanto, no intervalo (0, π), os pontos críticos são π/3 e 5π/3. Aplicano o Teste a Derivaa Primeira, conclímos qe π/3 á m mínimo relativo e 5π/3 á m máimo relativo, conforme a figra acima. 18 3

4 . Etremos relativos e Eemplo 8: Ache os etremos relativos e f() sen cos no intervalo e (0, π). f ( ) sen cos ( ) cos + sen f cos + sen 0 cos + sen cos 0 sen cos + cos 0 cos (sen + 1) 0 Eemplo 9: Um fabricante e fertilizantes acha qe as venas e m e ses protos sege m parão sazonal qe amite o moelo π ( t 60) F sen one F é a qantiae venia (em libras) e t é o tempo (em ias), com t 1 representano 1 o e janeiro, conforme a figra a segir. Em qe ia o ano ocorre o máimo e vena e fertilizantes? 19. Etremos relativos e Por aí vemos qe os pontos críticos ocorrem qano cos 0 e qano sen -1/. Assim, no intervalo (0, π) os pontos críticos são π/, 3π/, 7π/6 e 11π/6. Aplicano o Teste a Derivaa Primeira, eterminamos os máimos relativos, (π/, 3) e (3π/, -1), e os mínimos relativos (7π/6, -3/) e (11π/6, -3/), conforme a figra a segir. A erivaa o moelo é F π π ( t 60) cos t Igalano a zero esta erivaa, vem: π( t 60) cos 0 Como o cosseno é zero em π/ e 3π/, obtemos: 0 3. Etremos relativos e π ( t 60) π t 60 t + 60 t 151 π ( t 60) 3 π 3 t 60 3 t + 60 t 33 1 O 151 o ia o ano é 31 e maio e o 33 o ia o ano é 30 e novembro. Pelo gráfico seginte, vemos qe, e acoro com o moelo, a vena máima ocorre em 31 e maio.

5 sen A taa e variação a temperatra é aa pela erivaa T 15 π π ( t 8) cos t 1 1 Como 6 a manhã correspone a t 6, a taa e variação a essa hora é T 15π π 5π π 5π 3 o cos cos 3, F por hora t Eemplo 10: A temperatra T (em gras Fahrenheit) rante certo períoo e horas tem como moelo π( t 8) T sen 1 one t é o tempo (em horas), com t 0 corresponeno à meia-noite, conforme a figra seginte. Determine a taa e variação a temperatra às 6 horas a manhã