II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas

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1 II-2. Integração de Funções Trigonométricas Integração de Funções Trigonométricas Nesta aula são apresentadas as integrais de funções trigonométricas que se resolve através das relações trigonométricas bem como pelos métodos de resolução de integrais já apresentados. Desta forma, inicialmente serão apresentadas integrais que envolvem uma única função trigonométrica, dando sequência para algumas relações trigonométricas, finalizando com funções que envolvem estas relações trigonométricas. 1. Integrais fundamentais Estas integrais indefinidas são tabeladas como:. e Lembrando que c é constante. Exemplo 1.1: Fazendo a substituição Desta forma a integral fica:

2 Exemplo 1.2: Chamando-se: Fazendo a substituição na integral, temos: Observe que no momento da substituição de por os limites de integração não foram colocados. Apenas quando se substituiu por é que se recolocaram os limites de integração. Uma maneira mais elegante de se apresentar o cálculo é fazê-lo como se segue. Chamando-se: Substituindo-se os limites de integração. Dessa forma:

3 2. Integrais do Tipo: Lembrando que e. Substituindo-se: Desta forma: Pois Para a cotangente tem-se Fazendo-se a substituição Então:

4 Exemplo 2.1: Calcule a Integral: Como já há resultados das integrais de tangente e cotangente. Basta fazer as substituições adequadas. Para a integral que envolve cotangente: Fazendo a substituição nas integrais:

5 3. Integrais do Tipo Utilizam-se respectivamente os seguintes artifícios para solução: Multiplicar os integrados por: Resolvendo: Substitui-se: Resolvendo a integral da cossecante. Substituindo:

6 Exemplo 3.1 Calcular: Substituindo-se: Exemplo 3.2: Calcular Sabendo- se que. Chamando-se

7 Integrais que envolvem relações trigonométricas Antes da aplicação das integrais serão apresentadas algumas relações trigonométricas que serão aplicadas no cálculo. I. Relação trigonométrica fundamental (1) II. Produto de senos e cossenos (2) (3) (4) (5) III. Utilização das relações (2) e (3) Somando-se as expressões acima temos: (6) IV. Utilizando as relações (4) e (5) Somando-as (7) Subtraindo-se: (8)

8 V. Do item II, relação 4, considerando obtemos: Aplicando-se 1 substituindo Aplicando-se 1 substituindo-se (9) (10) VI. Relações que envolve tg x e cotg x (11) (12) Estas relações serão utilizadas para aplicações nas integrações que envolvem as funções trigonométricas. 4. Produto do tipo senos e cossenos. Exemplo 4.1: Calcule a integral: Aplicando-se a relação 6. Ambas as relações se resolvem por substituição:

9 Exemplo 4.2: Calcule a integral: Aplicando-se a relações 8 temos:: Por substituição: Obs: Como o aluno já aprendeu integral por substituição, é possível resolver esta integral de maneira fácil. 5. Integrais na forma: Podem ocorrer três casos: a) m é impar. Reescreva a integral como: Aplique a identidade da expressão (1): Faça a substituição: b) n é impar.

10 Reescreva a integral como Aplique a identidade da expressão (1): E faça a substituição c) Se m e n são pares use a identidade 9 e 10 para reduzir as potências senx e cox. Exemplo 5.1 Calcule: Aplicando as instruções do item a. Fazendo a substituição:

11 Exemplo 5.2 Calcule: Resolvendo para n impar: Exemplo 5.3 Calcule: Aplicando-se as instruções do item c:

12 As duas primeiras integrais resolve-se diretamente e por substituição respectivamente. Resolvendo Substituindo I 2 e I 3 por I.

13 6. Integrais do Tipo Podem ser substituídos pelas relações 11 e 12 respectivamente. Exemplo 6.1: Calcule a integral abaixo: Fazendo a substituição da relação 11. Resolvendo ] Resolvendo Daí, I 2 fica:

14 Substituindo os resultados na integral I. Exemplo 6.2 Aplicando-se a relação 12. Resolvendo e Substituindo: A outra integral é tabelada.

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