Concavidade e o Teste da Derivada Segunda

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1 UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Concavidade e o Teste da Derivada Segunda Prof.: Rogério Dias Dalla Riva

2 Concavidade e o Teste da Derivada Segunda 1.Concavidade 2.Pontos de inflexão 3.O teste da derivada segunda 4.Uma aplicação: retornos decrescentes

3 1. Concavidade Já vimos como a determinação dos intervalos em que uma função f é crescente ou decrescente pode facilitar o traçado do seu gráfico. Nesta aula, veremos que a determinação dos intervalos em que a derivada f é crescente ou decrescente servirá para indicar onde o gráfico de f se encurva para cima ou para baixo. Esta noção de encurvamento para cima ou para baixo é definida formalmente como a concavidade do gráfico da função. 3

4 1. Concavidade Definição de Concavidade: Seja f diferenciável em um intervalo aberto I. O gráfico de f é 1.côncavo para cima em I se f é crescente no intervalo. 2.côncavo para baixo em I se f é decrescente no intervalo. 4

5 1. Concavidade Pela figura a seguir, temos a seguinte interpretação gráfica da concavidade. 1. Uma curva que é côncava para cima está acima de sua tangente. 2. Uma curva que é côncava para baixo está abaixo de sua tangente. 5

6 1. Concavidade 6

7 1. Concavidade Esse teste visual da concavidade é válido quando é dado o gráfico de uma função. A determinação da concavidade sem ver o gráfico exige um teste analítico. Acontece que podemos utilizar a derivada segunda para determinar esses intervalos, precisamente da mesma forma como utilizamos a derivada primeira para determinar os intervalos em que f é crescente ou decrescente. 7

8 1. Concavidade Teste da Concavidade Seja f uma função com derivada segunda em um intervalo aberto I. 1. Se f (x) > 0 para todo x em I, então f é côncava para cima em I. 2. Se f (x) < 0 para todo x em I, então f é côncava para baixo em I. 8

9 1. Concavidade Para uma função f contínua, podemos achar como se segue os intervalos em que f é côncava para cima ou para baixo. [Para uma função nãocontínua, os intervalos de teste devem ser formados utilizando-se os pontos de descontinuidade juntamente com os pontos em que f (x) é zero ou não é definida.] 9

10 1. Concavidade Diretrizes para Aplicação do Teste da Concavidade 1. Localizar os valores de x nos quais f (x) = 0 ou f (x) não é definida. 2. Com esses valores de x, estabelecer os intervalos de teste. 3. Testar o sinal de f (x) em cada intervalo de teste. 10

11 1. Concavidade Exemplo 1: Aplicação do teste da convidade a. O gráfico da função f(x) = x 2 é côncavo para cima em toda a reta real porque sua derivada segunda é positiva para todo x. f (x) = 2 11

12 1. Concavidade 12

13 1. Concavidade Exemplo 1: Aplicação do teste da convidade b. O gráfico da função f ( x) = x é côncavo para baixo para x > 0, porque sua derivada segunda 1 f ( x) = x 4 3 '' 2 é negativa para todo x > 0. 13

14 1. Concavidade 14

15 2. Pontos de inflexão Definição de Ponto de Inflexão Se o gráfico de uma função contínua possui uma tangente em um ponto onde sua concavidade muda de sentido, então o ponto é um ponto de inflexão. 15

16 2. Pontos de inflexão Como um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade de um gráfico muda de sentido, deve ser verdade que, em tais pontos, o sinal de f (x) também varia. Assim, para localizar possíveis pontos de inflexão, basta determinar os valores de x para os quais f (x) = 0 ou f (x) não existe. O processo apresenta analogia com o da localização de extremos relativos de f mediante determinação dos pontos críticos de f. 16

17 2. Pontos de inflexão Propriedade dos Pontos de Inflexão Se (c, f(c)) é um ponto de inflexão do gráfico de f, então ou f (c) = 0 ou f (c) não existe. 17

18 2. Pontos de inflexão 18

19 3. O teste da derivada segunda É possível utilizar a derivada segunda para fazer um teste simples quanto a máximos e mínimos relativos. Se f é uma função tal que f (c) = 0 e o gráfico é côncavo para cima em x = c, então f(c) é mínimo relativo de f. Da mesma forma, se f é uma função tal que f (c) = 0 e o gráfico de f é côncavo para baixo em x = c, então f(c) é máximo relativo de f, conforme a figura a seguir. 19

20 3. O teste da derivada segunda 20

21 3. O teste da derivada segunda O Teste da Derivada Segunda Seja f (c) = 0 e suponhamos que f exista em um intervalo que contém c. 1. Se f (c) > 0, então f(c) é mínimo relativo. 2. Se f (c) < 0, então f(c) é máximo relativo. 3. Se f (c) = 0, o teste falha. Neste caso, podemos aplicar o Teste da Derivada Primeira para determinar se f(c) é mínimo relativo ou máximo relativo. 21

22 4. Uma aplicação: retornos decrescentes Em Economia, a noção de concavidade está relacionada com o conceito de retorno decrescente. Consideremos uma função Produto Insumo y = f ( x) onde x mede o insumo (em dólares) e y mede o produto (em dólares). Na figura a seguir, note que o gráfico desta função de insumo-produto é côncavo para cima no intervalo (a, c) e côncavo para baixo no intervalo (c, b). 22

23 4. Uma aplicação: retornos decrescentes 23

24 4. Uma aplicação: retornos decrescentes No intervalo (a, c), obtém-se um retorno maior a cada dólar adicional de insumo, ao contrário do que ocorre no intervalo (c, b), onde o retorno é menor a cada dólar adicional. O ponto (c, f(c)) é chamado ponto de retorno decrescente. Um aumento de investimento além deste ponto é considerado má aplicação de capital. 24

25 4. Uma aplicação: retornos decrescentes Exemplo 2: Aumentando seu gasto x com propaganda (em milhares de dólares), uma empresa constata que pode aumentar as vendas y (em milhares de dólares) de um produto de acordo com o modelo y = ( 300 x x ), 0 x Ache o ponto de diminuição de resultados para este produto. 25

26 4. Uma aplicação: retornos decrescentes Comecemos calculando as derivadas primeira e segunda. ' 1 ( 2 y = 600x 3 x ) Derivada primeira '' 1 y = ( x) Derivada segunda A derivada segunda é zero somente quando x = 100. Testando os intervalos (0, 100) e (100, 200), constatamos que o gráfico acusa um ponto de retorno decrescente quando x = 100, conforme a figura a seguir. 26

27 4. Uma aplicação: retornos decrescentes 27