RESUMO DERIVADAS. A derivada nada mais é do que a inclinação da reta tangente a y=f(x) ou a taxa de variação instantânea de y em relação a x.

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1 RESUMO DERIVADAS DEFINIÇÃO A erivaa naa mais é o que a inclinação a reta tangente a y=f(x) ou a taxa e variação instantânea e y em relação a x. x 0 f(x +h) f(x ) f (x 0 ) = lim h 0 h 0 0 DIFERENCIABILIDADE Para a função f(x) ser iferenciável erivável em x everá existir o limite: f f(x+h) f(x) (x) = lim h 0 h E não esquecer que os limites laterais também evem existir e que evem ser iguais! Poemos ter casos em que a função f(x) é contínua em x 0, porém não é erivável em x 0. Os ois casos mais comuns são o ponto e bico e o ponto e tangência vertical.

2 TÉCNICAS DE DERIVAÇÃO Para facilitar o estuo, aí está uma tabela resumo as erivaas mais legais! x (x n ) = nx n x (sec x ) = s ec x tg x x (C) = 0 x (cotg x) = cossec2 x x (a x ) = ( ln a )ax x (cossec x) = c otg x cossec x x x = (e x ) = e x arc sen x x 2 x(log a x ) = xln a x (ln x ) = x x arc cos x = x arc tg x = +x 2 x 2 x (sen x) = c os x x arc cotg x = +x 2 x (cos x ) = s en x x arc sec x = /( x x 2 )

3 x (tg x) = s ec² x x arc cossec x = x x2 REGRAS DE DERIVAÇÃO Aqui estão aquelas proprieaes e regrinhas básicas as erivaas que não poemos esquecer! Somas e Subtrações x [f(x)±g(x)] [f(x)]± [g(x)] = x x Regra o Prouto [f(x)g(x)] = f(x) [g(x)] + g(x) [f(x)] x x x Regra o Quociente [ ] x f(x) g(x) x[f(x)] f(x) x[g(x)] g(x) = [g(x)]² REGRA DA CADEIA x [f(g(x))] = f (g(x))g (x) Essa regra já é um pouco mais complicaa. Então, segue um exemplo para visualizar melhor como ela funciona.

4 Há outra maneira e fazer a regra a caeia. Primeiro, ientifique quantas funções existem na composição, epois, erive e fora para entro. Dá uma olhaa nos exemplos a seguir e veja se não é mais fácil! DERIVADA IMPLÍCITA Usamos a erivação (iferenciação) implícita quano não conseguimos isolar as variáveis. Exemplo:

5 TAXAS RELACIONADAS Problemas com taxas relacionaas poem ser resolvios seguino os seguintes passos. Passo : Detecte caa quantiae que varia com o tempo e outras que possam ser relevantes para a resolução o problema. Passo 2: Inique as taxas e variação que são conhecias e a taxa e variação que eve ser encontraa. Analise caa taxa como uma erivaa. Passo 3: Encontre uma relação entre essas variáveis e equacione elas. Para tal, geralmente usamos geometria. Passo 4: Derive, através a erivação implícita, ambos os laos a equação em relação ao tempo para obter uma relação entre as taxas conhecias e a taxa esconhecia. Passo 5: Após o passo 4, substitua os valores conhecios as taxas e as variáveis e resolva a equação encontraa para a taxa e variação esconhecia.

6 DERIVADA PRIMEIRA E SEGUNDA + 0 f (x) Acima o eixo x Abaixo o eixo x f (x) Crescente Decrescente Sobre o eixo x Raízes Ponto crítico Máximos/Mínimos Fora o omínio Não iferenciável Bico/Ponto e tangência vertical f (x) Concaviae positiva Concaviae negativa Suspeito e ser um ponto e inflexão Suspeito e ser um ponto e inflexão Obs.: O ponto e inflexão ocorre quano a erivaa seguna mua e sinal! ESBOÇO DE GRÁFICOS Passo : Encontrar pontos e interesse e f(x), se possível, como o valor a função quano x=0 e as raízes a função. Poem ser ifíceis e encontrar, mas não se atenha, vá para o passo 2! Passo 2: Encontrar as assíntotas horizontais. Lembrano que para achar as assíntotas horizontais, temos que: lim x ± f(x) = K (constante) Passo 3: Procurar as assíntotas verticais. Encontramos as nossas assíntotas verticais quano nossa função não existe, por exemplo, ivisão por zero e raízes e números negativos. Passo 4: Buscar pelos máximos e mínimos. Para isso, erivamos a f(x), igualamos a zero e encontramos os pontos críticos, e se analisa o sinal. Passo 5: Analisar a concaviae. Para tanto, eriva-se uas vezes, encontrano a erivaa seguna f (x), iguala-se a zero para obter os suspeitos e inflexão e se analisa o sinal. Passo 6: Traçar o esboço. Para facilitar o teu trabalho, esenhe, abaixo o eixo x, uas linhas, uma para f (x) e outra para f (x), colocano,

7 respectivamente, os pontos críticos e pontos e inflexão, juntamente com as análises e sinais. Dê uma olhaa no esenho abaixo! TEOREMA DO VALOR MÉDIO O teorema iz que, entre ois pontos [a, b] e uma função iferenciável f, há um ponto c no qual a sua erivaa f (c) é a inclinação a reta tangente paralela à reta secante que passa pelos pontos [a, b]. f f(b) f(a) (c) = b a REGRA DE L HÔPITA L LIM X A F(X) G(X) F (X) = LIM X A G (X) Aplicamos a regra e L Hôpital quano o 0 0 f(x) lim x a g(x) resultar em uma ineterminação o tipo ou. Dessa forma, evemos erivar as funções. ± Caso aina resulte em uma ineterminação, eve-se continuar erivano.

8 MÉTODO DE NEWTON Utilizamos este métoo quano queremos achar um valor aproximao a nossa raiz e uma função f(x). Lembrano que quanto maior o número e interações, mais preciso vai ser o valor e r. x n+ = x n f(x n ), n =, 2, 3, f (x ) n