DERIVADAS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL

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1 BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL DERIVADAS DE FUNÇÕES REAIS DE UMA VARIÁVEL 1 a Eição Rio Grane Eitora a FURG 2016

2 Universiae Feeral o Rio Grane - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO Instituto e Matemática, Estatística e Física - IMEF Bárbara Roriguez Cinthya Meneghetti Cristiana Poffal sites.google.com/site/calculofurg 2 Notas e aula e Cálculo - FURG

3 Sumário 1 Derivaas e Funções Reais e Uma Variável Definição e Derivaa Derivaas laterais em um ponto O Problema a Reta Tangente Taxa e variação instantânea e méia Diferenciabiliae e continuiae Regras Elementares e Derivação Derivaa a função constante Derivaa e uma potência Derivaa a multiplicação e uma função por uma constante Derivaa a função exponencial e base a Derivaa a função logaritmo e base a Derivaa a função seno Derivaa a função cosseno Derivaa a soma algébrica e funções Derivaa o prouto e funções Derivaa para o quociente e funções Derivaa a função inversa Derivaa e Função Composta - Regra a Caeia Regras e Derivação Derivaas e Funções Implícitas Derivaa as funções trigonométricas inversas Derivaa a função arco seno Derivaa a função arco cosseno

4 SUMÁRIO Derivaa a função arco tangente Derivaa a função arco cotangente Derivaa a função arco secante Derivaa a função arco cossecante Lista e Exercícios - Parte 1 e Parte Derivaas e Funções Reais e uma Variável Derivaas Sucessivas Derivaas e Funções Paramétricas Lista e Exercícios Proprieaes as Funções Deriváveis Cálculo os Limites Ineterminaos Formas 0 0 e Formas +, +, Formas 1, 0 0, Lista e Exercícios Estuo e Máximos e Mínimos as Funções Noções Preliminares Teste para eterminar intervalos e crescimento e ecrescimento e uma função (sinal a 1 a erivaa) Extremos e uma função (Máximos e Mínimos) Extremos locais ou relativos Conição necessária para extremos relativos Extremos Absolutos Critérios para eterminação e extremos relativos ou locais Concaviae e pontos e inflexão Teste para a concaviae e um gráfico Lista e Exercícios Exercícios Complementares Análise geral o comportamento e uma função - construção e gráficos Lista e Exercícios Problemas e Otimização - Maximização e Minimização Lista e Exercícios Notas e aula e Cálculo - FURG

5 SUMÁRIO 4.10 Taxas Relacionaas Lista e Exercícios Notas e aula e Cálculo - FURG

6 Capítulo 1 Derivaas e Funções Reais e Uma Variável Neste capítulo, estua-se o conceito e erivaa e uma função real e uma variável. A erivaa envolve a variação ou a muança no comportamento e vários fenômenos. Para melhor compreener a efinição e erivaa, aboram-se três problemas o Cálculo que envolvem variação e movimento: O problema a reta tangente: sejam f : D(f) R R uma função real e x 0 D(f), como obter a equação a reta tangente ao gráfico e f que passa pelo ponto (x 0, f(x 0 ))? O problema a velociae e a aceleração: seja s : D(s) R R uma função real que escreve o eslocamento e um objeto no plano e t 0 D(s), como eterminar a velociae e a aceleração o objeto em t = t 0? O problema e máximos e mínimos: seja f : D(f) R R uma função real qualquer. Como encontrar os pontos extremos o gráfico e f? Tais problemas são efinios a partir o conceito e limite que foi aborao anteriormente. É importante observar que para uma função real f : D(f) R R, o que chamaremos e erivaa a função f será também uma função. A função erivaa a função f é obtia através o cálculo e um limite que será estuao na seção

7 1.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA 1.1 Definição e Derivaa Seja f : D(f) R R uma função real. Definição A erivaa e f no ponto e abscissa x = x 0 é efinia como o número f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ), (1.1.1) x supono que o limite exista. Quano o limite (1.1.1) existir, iz-se que a função é erivável em x = x 0. Poe-se pensar em f como uma função cuja entraa é o número x 0 e cuja saía é o valor f (x 0 ). Portanto, ao substituir-se x 0 por x em (1.1.1), tem-se f (x), ou seja, a erivaa a função f em relação à variável x, efinia por, O processo para calcular uma erivaa é chamao erivação ou iferenciação. f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x). (1.1.2) x Notações para a erivaa: Existem iversas maneiras e representar a erivaa e uma função y = f(x), one a variável inepenente é x e a epenente é y. Algumas as notações mais usuais para a erivaa são: Notação linha (Joseph Lagrange): f (x), y. Notação e Leibniz: Notação e operaor: D x [y]. Notação e Newton: ẏ. utilizam-se as notações y x, f x, x [f(x)]. Para inicar o valor e uma erivaa em um eterminao ponto x = x 0, f (x 0 ) = y = f = x x=x0 x x=x0 x [f(x)]. x=x0 7 Notas e aula e Cálculo - FURG

8 1.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA Exemplo Mostre que a erivaa e f(x) = x 2 + 3x é f (x) = 2x + 3. Sabeno que f(x) = x 2 + 3x, eve-se mostrar que f (x) = 2x + 3. Para isso aplica-se a efinição e erivaa, representaa por (1.1.2). Primeiramente eve-se calcular f(x + x): f(x + x) = (x + x) 2 + 3(x + x) f(x + x) = x 2 + 2x x + ( x) 2 + 3x + 3 x. (1.1.3) Substituino a equação (1.1.3) em (1.1.2), tem-se: f (x) = x 2 + 2x x + ( x) 2 + 3x + 3 x [x 2 + 3x] lim x 0 x = x 2 + 2x x + ( x) 2 + 3x + 3 x x 2 3x lim x 0 x = x lim + 2x x + ( x) 2 +3x + 3 x x 3x x 0 x = lim x 0 = lim x 0 = lim x 0 f (x) = lim x 0 2x x + ( x) x x x(2x + x + 3) x x(2x + x + 3) x 2x + x + 3. Como x tene a zero, a erivaa e f(x) = x 2 + 3x é f (x) = 2x + 3. Exemplo Aplicano a efinição, etermine a erivaa as funções: a) f(x) = e ax Sabeno que f(x) = e ax e aplicano (1.1.2), tem-se: f (x) = e ax+a x (e ax ) lim x 0 x = e ax (e a x 1) lim x 0 x f (x) = lim x 0 eax lim x 0 e a x 1 Como lim x 0 a x a ( e a x 1 ) a x é o limite funamental exponencial, tem-se: f (x) = e ax ln e a f (x) = e ax a. 8 Notas e aula e Cálculo - FURG.

9 1.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA b) g(x) = sen(ax). Seja g(x) = sen(ax), aplicano (1.1.2), tem-se: g (x) = lim x 0 Utilizano a ientiae trigonométrica: sen(ax + a x) sen(ax). (1.1.4) x sen(ax + a x) = sen(ax) cos(a x) + cos(ax)sen(a x), reescreve-se a equação (1.1.4) como: g (x) g sen(ax) cos(a x) + cos(ax)sen(a x) sen(ax) (x) = lim x 0 x Aplicano as proprieaes para o cálculo e limites: sen(ax)[cos(a x) 1] = lim x 0 x ( = lim x 0 1 cos(a x) x e os limites funamentais, tem-se: cos(ax)sen(a x) + lim x 0 x ) ( ) lim sen(ax) + lim cos(ax) x 0 x 0 g (x) = 0 sen(ax) + cos(ax) a. Portanto a erivaa a função g(x) é representaa por: g (x) = a cos(ax). lim x 0 Exemplo Consiere a função m(x) = x, etermine a erivaa e m(x). Por (1.1.2), tem-se: m (x) = lim x 0 x + x x. x Tem-se uma ineterminação o tipo 0 0. sen(a x) x Como a função é irracional, eve-se multiplicar e iviir a função pelo conjugao (o numeraor) para levantar a ineterminação. Assim, 9 Notas e aula e Cálculo - FURG

10 1.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA m (x) = ( x + x x) lim ( x + x + x) x 0 x ( x + x + x) = (x + x) (x) lim x 0 x( x + x + x) = x lim x 0 x( x + x + x) = 1 lim x 0 x + x + x = 1 2 x. Portanto, a erivaa e m(x) = x é m (x) = 1 2 x. Exercício Determine a erivaa e f(x) = cos(ax) pela efinição f (x) = a sen(ax) Resposta o exercício Teorema (Forma alternativa para a erivaa): Seja f : D(f) R R uma função e x 0 D(f). Então: f (x 0 ) = lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0, ese que o limite exista. Se o limite não existir ou for infinito, iz-se que a função f não tem erivaa em x 0. Demonstração: A erivaa e f(x) em x = x 0 é aa por: f (x 0 ) = lim x 0 f(x 0 + x) f(x 0 ). x Se x = x 0 + x, então x x 0 quano x 0. Logo, substituino x 0 + x por x, obtém-se: f (x 0 ) = Derivaas laterais em um ponto f(x) f(x 0 ) lim. (1.1.5) x x0 x x 0 Definição Uma função y = f(x) tem erivaa lateral à ireita e um ponto e abscissa x = x 0 se o limite lateral à ireita e x = x 0 a razão incremental f (x + 0 ) = lim x x + 0 f(x) f(x 0 ) x x 0, existir. Neste caso, iz-se que a função f é erivável à ireita em x = x Notas e aula e Cálculo - FURG

11 1.1. DEFINIÇÃO DE DERIVADA Definição Uma função y = f(x) tem erivaa lateral à esquera e um ponto e abscissa x = x 0 se existir o limite lateral à esquera e x = x 0 a razão incremental f (x f(x) f(x 0 ) 0 ) = lim. x x x x 0 0 Neste caso, iz-se que a função f é erivável à esquera em x = x 0. Uma proprieae importante, que relaciona a erivaa com as erivaas laterais e uma função f(x) em x = x 0, afirma que f é iferenciável em x 0 se, e somente se, as erivaas laterais em x 0 existem e são iguais. Neste caso, tem-se que f (x 0 ) = f (x + 0 ) = f (x 0 ). Exemplo Mostre que a função f(x) = x 2 não possui erivaa em x = 2. x 2, se x 2 Note que f(2) = 0 e f(x) = 2 x, se x < 2. Para mostrar que f não possui erivaa em x = 2, basta mostrar que as erivaas laterais são iferentes. De fato, pela Definição 1.1.2: f (2 + ) = (x 2) 0 lim x 2 + x 2 Por outro lao, pela Definição 1.1.3, f (2 ) = (2 x) 0 lim x 2 x 2 = 1. = 1. Portanto, como f (2 + ) f (2 ), tem-se que f (2) não existe. Exemplo Verifique se a função f(x) = sen(x) possui erivaa em x = 0. De fato, pela Definição 1.1.2: f (0 + ) = sen(x) 0 lim x 0 + x 0 Por outro lao, pela efinição 1.1.3, f (0 ) = sen(x) 0 lim x 0 x 0 = lim x 0 + sen(x) x = lim x 0 sen(x) x = 1. = 1. Note que nos ois limites emprega-se o limite funamental trigonométrico para obter o resultao. Como as erivaas laterais existem e são iguais, temos que a função é erivável em x = 0 e f (0) = 1. Exercício Mostre que a função m(x) = x não é erivável em x = Notas e aula e Cálculo - FURG

12 1.2. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE 1.2 O Problema a Reta Tangente O objetivo esta seção é entener o que significa izer que uma reta é tangente a uma curva em um eterminao ponto P. Primeiro, consiera-se que esta curva seja uma circunferência. Neste caso, a reta tangente no ponto P é a reta perpenicular à raial que passa por P (observe Figura 1.1 (a)). Para uma curva qualquer esta caracterização é mais ifícil (observe Figura 1.1 (b-)). (a) (b) (c) () Figura 1.1: Retas tangentes à f(x) no ponto P. O problema em eterminar a reta tangente em um ponto P consiste, basicamente, na eterminação a inclinação (ou ecliviae) a reta procuraa. Esta inclinação poe ser aproximaa utilizano-se uma reta que passa pelo ponto e tangência e por outro ponto pertencente à curva. Tal reta é chamaa e reta secante. Sejam P e Q ois pontos pertencentes ao gráfico a função f(x). Fazeno Q aproximar-se e P (Figura 1.2(a)), poem ocorrer uas situações: 12 Notas e aula e Cálculo - FURG

13 1.2. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE Situação 1) A reta P Q tene a uas posições limites, t 1 e t 2, obtias respectivamente ao fazer o ponto Q se aproximar e P pela esquera e pela ireita. Neste caso, a reta tangente ao gráfico não existe. A Figura 1.2(c) ilustra esta situação one P (x 0, f(x 0 ))é um ponto anguloso (bico) no gráfico a função. Situação 2) A reta P Q tene a uma única posição limite t. Neste caso, a reta t é chamaa e reta tangente ao gráfico a função f(x) no ponto P, ese que ela não seja vertical. É importante salientar que o ponto Q eve aproximar-se e P tanto pela esquera quanto pela ireita, e em ambos casos a reta P Q eve tener à reta t. Nas Figuras 1.2(a) e 1.2(b), respectivamente, mostram-se instantâneos e Q escorregano ao longo o gráfico e f(x), em ireção à P pela esquera e pela ireita. (a) (b) (c) Figura 1.2: Retas secantes à f(x) no ponto P. Sejam P (x 1, y 1 ) e Q(x 2, y 2 ) ois pontos a curva y = f(x), então a ecli- 13 Notas e aula e Cálculo - FURG

14 1.2. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE viae a reta secante que passa por estes ois pontos é escrita como: reta secante, a saber: m sec = y x = y 2 y 1 x 2 x 1. Figura 1.3: Cálculo a ecliviae. Outras notações poem ser utilizaas para representar a ecliviae a one x = x 2 x 1. Ou, m sec = f(x 2) f(x 1 ), x m sec = f(x 1 + x) f(x 1 ). (1.2.1) x Observação Note que y representa a inclinação a reta secante (que x intercepta a curva nos pontos P e Q como mostra a Figura 1.3). Se x é muito pequeno, isto é, x 0, então o ponto Q tene para o ponto P e a inclinação a reta secante P Q, tene a inclinação m tg a reta tangente a função f no ponto P. Definição Se P (x 0, y 0 ) é um ponto a função f, então a reta tangente ao gráfico e f em P é efinia como a reta que passa por P com ecliviae (coeficiente angular) efinia por m tg = lim x 0 ese que o limita exista. Poe-se escrever (1.2.2) como: Logo, se h = x tem-se: m tg = lim x 0 f(x) f(x 0 ), (1.2.2) x f(x 0 + x) f(x 0 ). x f(x 0 + h) f(x 0 ) m tg = lim, (1.2.3) h 0 h 14 Notas e aula e Cálculo - FURG

15 1.2. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE ese que o limita exista. Observe que as fórmulas (1.2.2) e (1.2.3) são maneiras e expressar a inclinação e uma reta tangente como um limite e inclinações e retas secantes. Elas permitem concluir que m tg = f (x 0 ). Importante: A equação e uma reta não vertical que passa pelo ponto P (x 0, y 0 ) com coeficiente angular m poe ser escrita como: Equação a Reta Tangente P (x 0, f(x 0 )) é y f(x 0 ) = m(x x 0 ). (1.2.4) A equação geral a reta tangente ao gráfico e uma função f no ponto y f(x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ), (1.2.5) one f (x 0 ) é ito coeficiente angular a reta tangente m tg. Exemplo Seno f(x) = x 2, calcule a inclinação a reta tangente ao gráfico a função f(x) no ponto e abscissa 5. A inclinação a reta tangente é f (5). Primeiramente calcula-se a função f e epois substitui-se x = 5. O ponto a curva f(x) = x 2, cuja abscissa é 5, é o ponto P (5, f(5)) = (5, 25). Desse moo, se f(x) = x 2, para eterminar a inclinação a curva no ponto (5,25), escreve-se: f(x + x) = (x + x) 2 Com a equação (1.2.6) tem-se: = x 2 + 2x x + ( x) 2. (1.2.6) m tg = x 2 + 2x x + ( x) 2 x 2 lim x 0 x x(2x + x) = lim x 0 m tg = lim x 0 x x(2x + x) x. 15 Notas e aula e Cálculo - FURG

16 1.2. O PROBLEMA DA RETA TANGENTE Como x tene a zero, a inclinação a reta tangente poe ser representaa por: é m tg = 10. Para x = 5, m tg = 2x. (1.2.7) m tg = 2x = 2 (5) = 10. Portanto, a inclinação a reta tangente ao gráfico e f(x) = x 2 em x = 5 Equação a Reta Normal Definição Chama-se reta normal ao gráfico e uma função f no ponto P (x 0, f(x 0 )), a reta perpenicular à reta tangente neste ponto. A equação a reta normal é escrita como: y f(x 0 ) = 1 m tg (x x 0 ), m tg 0. (1.2.8) Exemplo Seno f(x) = x 3 + 2x, escreva a equação a reta tangente e a reta normal ao gráfico e f(x) no ponto e abscissa 1. O ponto pertencente à curva f(x) = x 3 + 2x, cuja a abscissa é 1, é o ponto P (1, f(1)) = (1, 3). equação (1.2.5). A equação a reta tangente em um ponto (x 0, y 0 ) é representaa pela Se f(x) = x 3 + 2x, então: f(x + x) = (x + x) 3 + 2(x + x) = x 3 + 3x 2 x + 3x( x) 2 + 2x + 2 x. (1.2.9) Substituino a equação (1.2.9) na equação (1.2.5) tem-se: m tg = x 3 + 3x 2 x + 3x( x) 2 + 2x + 2 x x 3 2x lim x 0 x 2x + 2 x x 3 2x x = lim 3 + 3x 2 x + 3x( x) 2 + x 0 x = lim x 0 x(3x 2 + x + x 2 + 2) x m tg = lim x 0 (3x2 + x + x 2 + 2). 16 Notas e aula e Cálculo - FURG

17 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA E MÉDIA Como x tene a zero, escreve-se a inclinação a reta tangente como Logo, para x = 1, m tg = 3 (1) = 5. m tg = 3x (1.2.10) Utilizano a equação (1.2.5) é possível escrever a equação a reta tangente à curva f(x) = x 3 + 2x no ponto P (1, 3), como: escrita como y y 0 = m tg (x x 0 ) y 3 = 5(x 1) y 3 = 5x 5 5x y 2 = 0. Portanto, a equação a reta tangente ao gráfico e f(x) é 5x y 2 = 0. A equação a reta normal à curva f(x) = x 3 + 2x no ponto P (1, 3) é y f(x 0 ) = 1 m tg (x x 0 ) y 3 = 1 (x 1) 5 y 3 = 1 5 x x + y = 0 x + 5y 16 = 0. Portanto, a reta normal à curva f(x) é x + 5y 16 = Taxa e variação instantânea e méia O conceito e erivaa está intimamente relacionao à taxa e variação instantânea e uma função. Em nosso ia-a-ia, poe-se pensar muitas vezes na taxa e variação e certas granezas, como por exemplo, a taxa e variação o crescimento e uma certa população, ou a taxa e variação a temperatura num ia específico, ou aina, a velociae e corpos ou objetos em movimento. A velociae, por exemplo, poe ser entenia como uma taxa e variação: a taxa e variação a posição (s) em função o tempo (t). 17 Notas e aula e Cálculo - FURG

18 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA E MÉDIA Consiere um ponto móvel eslocano-se ao longo e uma reta, e moo que sua posição seja eterminaa por uma única coorenaa s (observe a Figura 1.4). Figura 1.4: Posição o objeto O movimento é totalmente conhecio quano se sabe a localização o ponto móvel em caa momento, isto é, uma vez conhecia a posição s como uma função o tempo t : s = f(t). O tempo é normalmente meio a partir e algum instante inicial, em geral este instante é t = 0. A ieia e velociae está presente no cotiiano as pessoas, como um número que mee a taxa na qual uma istância está seno percorria. Frequentemente também estuam-se velociaes méias. Se um carro percorre a istância e 480 km em 6 horas, então a velociae méia é e 80 km/h. A velociae méia v m é obtia calculano-se v m = s, one s é a istância percorria e t é o t intervalo e tempo gasto. Para eterminar a velociae o objeto num ao instante t, consiera-se um intervalo e tempo t = [t 1, t 2 ], one t 1 = t e t 2 = t + t e o objeto eslocanose a posição inicial s 1 = f(t) até a posição final s 2 = f(t+ t). A velociae méia nesse intervalo é o quociente: v m = s 2 s 1 t 2 t 1 = s t. (1.3.1) Para valores pequenos e t, o valor a velociae méia aproxima-se a velociae exata v, no começo o intervalo, isto é, v = s t, one = lê-se: é aproximaamente igual a. Além isso, quanto menor o valor e t, melhor a aproximação para a velociae v. Assim tem-se s v(t) = lim t 0 t v(t) = lim t 0 v(t) = lim t 0 s 2 s 1 t f(t + t) f(t). (1.3.2) t 18 Notas e aula e Cálculo - FURG

19 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA E MÉDIA A velociae v é conhecia como velociae instantânea. Nessa terminologia, a velociae é simplesmente a taxa e variação a posição com relação ao tempo. Poe-se aina efinir a aceleração e um móvel como uma taxa e variação e sua velociae em relação ao tempo t, ou seja, v a(t) = lim t 0 t. (1.3.3) Exemplo Determine a velociae e a aceleração no instante t = 1 s e t = 2 s e um objeto em quea livre cuja função posição é aa por s(t) = 16t , one s está meio em metros e t em segunos. Calcule também a velociae méia no intervalo [1,2]. s é aa por: A velociae méia o objeto no intervalo e tempo entre t = 1 s e t = 2 v m = Como s(t) = 16t , tem-se: s(2) s(1). 2 1 v m = [ 16(2) ] [ 16(1) ] 2 1 v m = ( ) ( ) 1 v m = v m = 48 m/s. Para eterminar o valor a velociae o objeto no instante t = 1 s, primeiramente, calcula-se s(t + t). Para s(t) = 16t , tem-se s(t + t) igual a s(t + t) = 16(t + t) = 16[t 2 + 2t t + ( t) 2 ] s(t + t) = 16t 2 32t t 16( t) (1.3.4) 19 Notas e aula e Cálculo - FURG

20 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA E MÉDIA Substituino a equação (1.3.4) na equação (1.3.2), tem-se: v(t) = 16t 2 32t t 16( t) [ 16t ] lim t 0 t = 16t lim 32t t 16( t) t t 0 t = lim t 0 = lim t 0 = lim t 0 32t t 16( t) 2 t t( 32t 16 t) t t( 32t 16 t) t v(t) = lim 32t 16( t). t 0 Calculano-se o limite quano t tene a zero, tem-se: v(t) = 32t. Portanto, no instante t = 1 s, a velociae instantânea é v(1) = 32(1) = 32 m/s. E para o instante t = 2 s, a velociae instantânea é igual a v(2) = 32(2) = 64 m/s. A aceleração em um instante e tempo t é efinia como para v(t) = 32t, tem-se o movimento. a(t) = lim t 0 v(t + t) v(t), (1.3.5) t v(t + t) = 32(t + t) v(t + t) = 32t 32 t. (1.3.6) Substituino a equação (1.3.6) em (1.3.5), tem-se: 32t 32 t ( 32t) a = lim t 0 t 32t 32 t +32t = lim t 0 t = 32 t lim t 0 t a = 32. Desse moo, a(t) = 32m/s 2, ou seja, a aceleração é constante urante Portanto, nos instantes t = 1 s e t = 2 s, a aceleração é e 32 m/s Notas e aula e Cálculo - FURG

21 1.3. TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA E MÉDIA Exemplo A área e um círculo está relacionaa com seu iâmetro pela equação A = π 4 D2. Calcule a taxa na qual a área varia em relação ao iâmetro, quano o iâmetro é igual a 10 m. Deseja-se eterminar a que taxa a área mua em relação ao iâmetro, isto é, A D. Se A = π 4 D2, então A(D + D) será: A(D + D) = π (D + D)2 4 = π 4 [D2 + 2D D + ( D) 2 ] A(D + D) = π 4 D2 + π 2 D D + π 4 ( D)2. (1.3.7) A variação a área em relação ao iâmetro poe ser calculaa como: A D = lim D 0 A(D + D) A(D). (1.3.8) D Substituino a equação (1.3.7) na equação (1.3.8), tem-se: π A D = lim 4 D2 + πd D + π 2 4 ( D)2 π 4 D2 D 0 D π = lim 4 D2 + πd D + π 2 4 ( D)2 π 4 D2 D 0 D = lim D 0 = lim D 0 = lim D 0 A D = lim D 0 Como D tene a zero, π D D + π 2 4 ( D)2 D D( πd + π( D) 2 4 D D( πd + π D) 2 4 D π 2 D + π 4 D. Logo para D = 10 m, tem-se: A D = π D. (1.3.9) 2 A D = π 2 (10) A D = 5π. Desse moo, a área varia em relação ao iâmetro a uma taxa e 5π m. 21 Notas e aula e Cálculo - FURG

22 1.4. DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE Exercício Supõe-se que uma população e inivíuos (no instante t = 0) cresce e acoro com a fórmula N(t) = t 2, one t é o tempo meio em ias. Determine: a) a taxa méia e crescimento e t = 0 a t = 2; b) a taxa méia e crescimento e t = 2 a t = 10; c) a taxa méia e crescimento e t = 0 a 10; ) a taxa e crescimento em t = 2; e) a taxa e crescimento em t = 10. a) 90 inivíuos/ia. b) 540 inivíuos/ia. c) 450 inivíuos/ia. ) 180 inivíuos/ia. e) 900 inivíuos/ia. Respostas o exercício Diferenciabiliae e continuiae Teorema Se a função f(x) é iferenciável em x = x 0, então ela é contínua em x = x 0. Demonstração: Pela hipótese, f(x) é iferenciável em x = x 0, logo, existe e é igual a f (x 0 ). f(x) f(x 0 ) lim, x x 0 x x 0 Deve-se mostrar que f(x) é contínua em x = x 0, isto é: lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 22 Notas e aula e Cálculo - FURG

23 1.4. DIFERENCIABILIDADE E CONTINUIDADE Para x x 0, tem-se f(x) f(x 0 ) = f(x) f(x 0) (x x 0 ), assim, x x 0 calculano o limite para x teneno a x 0. portanto: lim [f(x) f(x 0 )] x x 0 = f(x) f(x 0 ) lim lim (x x 0 ) x x0 x x 0 x x0 lim [f(x) f(x 0 )] x x 0 = f (x 0 ) 0 lim [f(x) f(x 0 )] = 0, (1.4.1) x x 0 lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 Observação Segue o Teorema que se f(x) não for contínua em x = x 0, então f(x) não poerá ser erivável em x = x 0. x 2, x 1 Exemplo Consiere as funções f(x) = 2, x > 1 respona: a) As funções f(x) e g(x) são contínuas em x = 1? b) As funções f(x) e g(x) são iferenciáveis em x = 1? a) A função f(x) é contínua em x = 1 se: lim f(x) = f(1). x 1 x 2, x 1 e g(x) = 1, x > 1 Note que f(1) = 1. No entanto, lim 2 = 2, e lim x2 = 1. Portanto, f x 1 + x 1 não é contínua em x = 1. A função g(x) é contínua em x = 1 se: lim g(x) = g(1). x 1 Note que g(1) = 1. No entanto, lim 1 = 1, e lim x2 = 1. Portanto, g é x 1 + x 1 contínua em x = 1. b) Como f não é contínua em x = 1, pelo Teorema temos que f não é iferenciável em x = 1. Quanto a função g, tem-se que é iferenciável em x = 1 se as erivaas laterais existem e são iguais. De fato, g(x) g(1) lim x 1 + x 1 = lim x x 1 = 0 23 Notas e aula e Cálculo - FURG,

24 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO e g(x) g(1) lim x 1 x 1 = lim x 1 x 2 1 x 1 = lim x 1 x + 1 = 2. Portanto, g não é iferenciável em x = 1. Exemplo Verifique se a função f(x) = x é contínua e se possui erivaa em x = 0. A função f(x) é contínua em x = 0 se: lim f(x) = f(0). x 0 Note que f(0) = 0. Além isso, lim x = 0, e lim x = 0. Portanto, f x 0 + x 0 é contínua em x = 0. Tem-se que f é iferenciável em x = 0 se suas erivaas laterais existem e são iguais. No entanto, e f(x) f(0) lim x 0 + x 0 = lim x 0 + x 0 x 0 = 1 x 0 lim x 0 x 0 = 1. Portanto, f não é iferenciável em x = Regras Elementares e Derivação Na seção anterior, efiniu-se a erivaa e uma função f como um limite. Este limite poe ser utilizao para calcular erivaas e qualquer função. No entanto, é um processo cansativo mesmo para funções pouco complexas. A partir esta seção, one estuam-se algumas regras que permitem erivar uma grane varieae e funções, a erivação e uma função ocorrerá e forma mais eficiente e prática. Será assumio que toos os limites que corresponem as erivaas as funções avaliaas foram eviaemente calculaos e seus resultaos serão chamaos e Regras e Derivação o resultao eles. iferenciáveis. Sejam c um número real, n um número racional, f(x) e g(x) funções 24 Notas e aula e Cálculo - FURG

25 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Derivaa a função constante Seja f(x) = c. A erivaa a função constante é nula, isto é: [c] = 0. x Geometricamente, poe-se afirmar que a reta horizontal y = f(x) = c tem o coeficiente angular igual a zero. Demonstração: Através a efinição e erivaa, tem-se: f f(x + x) f(x) (x) = lim x 0 x f (x) = lim x 0 c c x Portanto, f (x) = 0 se f(x) = c. = 0. (1.5.1) Exemplo Calcule a erivaa as seguintes funções em relação a x: a) f(x) = 9 b) g(x) = π. a) Analisano a função f(x) = 9, percebe-se que 9 é uma constante. Portanto pela regra a erivaa a função constante, a erivaa a função f(x) é nula. b) Analisano a função g(x) = π, percebe-se que π é uma constante. Portanto pela regra a erivaa a função constante, a erivaa a função g(x) é nula Derivaa e uma potência Demonstração: Para qualquer constante racional n, a erivaa a função f(x) = x n é x [xn ] = nx n 1. Seja f(x) = x n. Utilizano a forma alternativa a efinição e erivaa f (x) = [f(x)] = lim x z x f(z) f(x), z x 25 Notas e aula e Cálculo - FURG

26 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO e a expansão z n x n = (z x)(z n 1 + z n 2 x zx n 2 + x n 1 ), então: f (x) = z n x n lim z x z x = lim z n 1 + z n 2 x + zx n 2 + x n 1 z x f (x) = nx n 1. (1.5.2) Portanto, se f(x) = x n, então f (x) = nx n 1. Exemplo Seja f(x) = x 3. a) Determine a erivaa e f(x). b) Escreva a equação a reta tangente ao gráfico e f(x) no ponto e orenaa 8. a) Pela análise a função f(x) = x 3, percebe-se que a potência e x é igual a 3 e pela regra a erivaa a potência a função, com n = 3, tem-se: f (x) = 3 x (3 1) = 3x 2. b) O ponto e orenaa 8 tem abscissa 2. Logo, a inclinação a reta tangente é f (2) = = 12 e a equação a reta tangente é escrita como y 8 = 12(x 2) y 8 = 12x 24 12x y + 16 = 0. (1.5.3) Derivaa a multiplicação e uma função por uma constante. Seja c uma constante e u = f(x) uma função erivável em x, então: x [cf(x)] = cf (x). 26 Notas e aula e Cálculo - FURG

27 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Demonstração: Pela hipótese, existe, f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x). x Seja g uma função efinia por g(x) = cf(x). Logo, tem-se para g (x) = [g(x)] que, x g g(x + x) g(x) (x) = lim x 0 x cf(x + x) cf(x) = lim x 0 [ x ] f(x + x) f(x) = lim c x 0 x [ ] f(x + x) f(x) = c lim x 0 x g (x) = cf (x). (1.5.4) Exemplo Determine a erivaa as seguintes funções em relação a x: a) f(x) = 4x 3 2 b) g(x) = 7x. a) Pela análise a função f(x) observa-se que c = 4 e f(x) = x 3 2, logo f(x) tem como potência 3. Desse moo a erivaa é igual a 2 x [f(x)] = 4 = 6x 1 2. ( ) 3 x b) Analisano a função g(x), observa-se que c = 7 e u(x) = x, logo a erivaa é igual a [g(x)] = 7 1 = 7. x Derivaa a função exponencial e base a então Seja a função exponencial f(x) = a x, efinia x R, a > 0, a 1, 27 Notas e aula e Cálculo - FURG

28 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Demonstração: x [ax ] = a x ln(a). Aplicano a efinição e erivaa, tem-se para x [f(x)] = f (x) : f (x) = lim x 0 Efetuam-se as evias substituições: f(x + x) f(x). x f a (x+ x) a x (x) = lim x 0 x f (x) = lim x 0 a x (a x 1). (1.5.5) x a x 1 Sabe-se que lim = ln(a), a > 0 e a 1. x 0 x Calculano o limite, poe-se reescrever (1.5.5) como: x [f(x)] = f (x) = a x ln(a) Logo, poe-se afirmar que, se f(x) = a x então: f (x) = a x ln(a). Caso particular: Derivaa a função exponencial natural f(x) = e x. Se f(x) = e x, então x [ex ] = e x ln(e) = e x. Exemplo Calcule a erivaa e f(x) = 4e x. Aplicano-se as regras a erivaa a multiplicação e uma função por uma constante seguia a erivaa a função exponencial 1.5.4, tem-se: f (x) = 4 (ex ) x = 4 e x ln e. (1.5.6) Portanto, a erivaa a função f(x) = 4e x é f (x) = 4e x. 28 Notas e aula e Cálculo - FURG

29 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Derivaa a função logaritmo e base a Demonstração: A erivaa a função logaritmo e base a > 0 e a 1 é: x [log a(x)] = ( ) 1 log x a e = 1 x ln(a). Seja f(x) = log a (x). Pelo conceito e erivaa tem-se: f (x) = lim x 0 Substituino f(x) = log a (x), tem-se: f (x) = lim x 0 f(x + x) f(x). x log a (x + x) log a (x). x Através a proprieae os logaritmos, one a iferença os logaritmos é igual ao logaritmo o quociente os logaritmanos, tem-se: ( f log x+ x ) a x (x) = lim x 0 x e one vêm que f (x) = lim x 0 1 x log a ( ) x + x Por meio a proprieae os expoentes os logaritmos, tem-se: f (x) = lim x 0 log a Aplicano-se a muança e variável x x = t, x = x t. ( x + x x x ) 1 x. (1.5.7) Observa-se que quano x 0, t 0, essa muança é equivalente e não altera o resultao o limite. Então: ( f (x) = lim log a 1 + x ) 1 x x 0 x f (x) = lim log a (1 + t) 1 x t t 0 f (x) = lim log a [(1 + t) 1 1 t ] x. (1.5.8) t 0 29 Notas e aula e Cálculo - FURG

30 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Sabe-se que lim t 0 (1 + t) 1 t = e, logo: f (x) = log a (e 1 x ) f (x) = 1 x log a(e). Como log a e = ln(e) ln(a) = 1, poe-se escrever ln(a) f (x) = 1 x ln(a). Caso particular: se a = e tem-se ln(e) = 1, portanto: f (x) = 1 x. Portanto, se f(x) = ln(x), tem-se: f (x) = 1 x. Exemplo Determine as erivaas: a) b) a) b) t [log 2(t)] z [ln(z)] t [log 2(t)] = 1 t log 2(e) = 1 t ln(2) z [ln(z)] = 1 z ln(e) = 1 z Derivaa a função seno Demonstração: A erivaa a função seno é: Seja f(x) = sen(x). Tem-se: f (x) = lim x 0 [sen(x)] = cos(x). x sen(x + x) sen(x). (1.5.9) x 30 Notas e aula e Cálculo - FURG

31 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Utilizano a ientiae trigonométrica: reescreve-se a equação (1.5.10): f (x) sen(x + x) = sen(x) cos( x) + cos(x)sen( x), f (x) = lim x 0 sen(x) cos( x) + cos(x)sen( x) sen(x). x Aplicano as proprieaes para o cálculo e limites: = lim [ = x 0 sen(x)[cos( x) 1] x 1 cos( x) x lim x 0 cos(x)sen( x) + lim x 0 x [ ] [ ] lim sen(x) + x 0 Dos limites funamentais, tem-se: Portanto, f (x) = 0 sen(x) + cos(x) 1. f (x) = cos(x) Derivaa a função cosseno Demonstração: A erivaa a função cosseno é efinia por Seja f(x) = cos(x). Tem-se: [cos(x)] = sen(x). x f (x) = lim x 0 Utilizano a ientiae trigonométrica: reescreve-se a equação (1.5.10): f (x) ] [ lim cos(x) lim x 0 x 0 ] sen( x). x cos(x + x) cos(x). (1.5.10) x cos(x + x) = cos(x) cos( x) sen(x)sen( x), f (x) = lim x 0 cos(x) cos( x) sen(x)sen( x) cos(x). x Aplicano as proprieaes para o cálculo e limites: = lim [ = x 0 cos(x)[cos( x) 1] x 1 cos( x) x lim x 0 sen(x)sen( x) lim x 0 x [ ] [ ] lim cos(x) x 0 ] [ lim sen(x) lim x 0 x 0 ] sen( x). x 31 Notas e aula e Cálculo - FURG

32 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Dos limites funamentais, tem-se: Portanto, f (x) = 0 cos(x) sen(x) 1. f (x) = sen(x) Derivaa a soma algébrica e funções Demonstração: Sejam u = f(x) e v = g(x) uas funções e x, então: [f ± g] = x x [f] ± x [g]. Através a efinição e erivaa, tem-se: [f(x + x) + g(x + x)] [f(x) + g(x)] [f ± g] = lim x x 0 x [f(x + x) g(x)] + [g(x + x) g(x)] = lim x 0 = lim x 0 f(x + x) f(x) x x + lim x 0 g(x + x) g(x) x [f ± g] = x x [f] ± [g]. (1.5.11) x Exemplo Calcule a erivaa as funções: a) f(x) = 5x 4 + 6x 3 20 b) z(x) = 5x 5 + x 3 x 3 5 c) g(x) = 1 3 x x 3 3 x. a) Analisano a função f(x) e consierano u = 5x 4, v = 6x 3 e p = 20. O cálculo e u, v será feito aplicano a regra a erivaa a função potência, logo tem-se: Empregano-se (1.5.8) tem-se: u = 20x 3 v = 18x 2 p = 0. f (x) = 20x x Notas e aula e Cálculo - FURG

33 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO b) Analisano z(x) e consierano u = 5x 5, v = x 3 e p = x 3 5. O cálculo e u, v e p será feito aplicano a regra a erivaa a função potência, logo tem-se: Por meio e (1.5.8) tem-se: u = 25x 4 v = 3 x 2 p = 3 5 x 2 5. z (x) = 25x x x 2 5. c) Analisano g(x) e consierano u = 1 3 x15, v = 1 x e p = 3 3 x. O cálculo e u, v e p será feito por potências, logo tem-se: Por meio e (1.5.8) tem-se: u = 5x 14 v = 1 2 x 3 2 p = x 4 3. g (x) = 5x x 3 2 x 4 3. Exercício Calcule a erivaa as funções hiperbólicas: a) f(x) = senh(x) b) g(x) = cosh(x). Exercício Em um experimento a massa M e glicose ecresce e acoro com a fórmula M(t) = 4, 5 0, 03t 2, one t é o tempo e reação em horas. Calcule: a) a taxa e reação em t = 0; b) a taxa e reação em t = 2; c) a taxa méia e reação no intervalo e t = 0 h a t = 2 h. Respostas os Exercícios a) cosh(x) b) senh(x) a) 0 b) 0, 12 c) 0, Notas e aula e Cálculo - FURG

34 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Derivaa o prouto e funções u e v é: Demonstração: Sejam u = f(x) e v = g(x) funções e x, então a erivaa o prouto e [u v] = u x x [v] + v x [u]. Através a efinição e erivaa, tem-se: [u v] = lim x x 0 f(x + x) g(x + x) f(x) g(x). x Para transformar essa fração em uma equivalente que contenha razões incrementais para as erivaas e f e g, efetua-se a subtração e aição e f(x + x)g(x) ao numeraor. [u v] = x f(x + x) g(x + x) f(x + x)g(x) + f(x + x)g(x) f(x)g(x) = lim x 0 = lim x 0 [ g(x + x) g(x) f(x + x) = lim f(x + x) lim x 0 x 0 x ] f(x + x) f(x) + g(x) x x [ ] [ g(x + x) f(x) f(x + x) f(x) + g(x) lim x x 0 x À meia que x tene a zero, f(x + x) aproxima-se e f(x) logo: x [u v] = f(x) x [g(x)] + g(x) x [f(x)] = u x [v] + v [u]. (1.5.12) x Exemplo Determine a erivaa as funções: a) f(x) = x 3 e x b) g(x) = (x 2 + 1) 5 x. a) Consierano u = x 3 e v = e x, e aplicano a regra o prouto e funções: Tem-se: [u v] = uv x x + v u x. x [u ]v = x3 e x + e x 3x 2 = e x x 2 (x + 2). ]. 34 Notas e aula e Cálculo - FURG

35 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO b) Consierano u = (x 2 + 1) e v = 5 x, e fazeno: Tem-se: [u v] = uv x x + v u x. x [u v] = (x2 + 1) 5 x ln(5) + 2x 5 x. Exercício Determine a erivaa as funções e uas maneiras. a) f(x) = 35x 101 (x 2 + 1) b) g(x) = 2x(x 2 + 4) c) m(x) = (x2 + x) ( 2 x 3x ). a) f (x) = 35x 100 (103x ) b) g (x) = 6x c) m (x) = 1 2 ( 5x 3/2 9x 2 + 3x 1/2 6x ). Resposta o Exercício Derivaa para o quociente e funções Sejam u = f(x) e v = g(x) funções e x. Se u e v existem, então a erivaa o quociente e u por v é [ u ] = v u u v, v 0. x v v 2 Exemplo Obtenha as erivaas as funções: a) f(x) = x + 1 2x + 1 b) g(x) = x2 1 x c) h(x) = 8ex 1 x ) v(x) = log π Notas e aula e Cálculo - FURG

36 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO a) Sejam u = x + 1 e v = 2x + 1, aplicano a regra a erivaa para o quociente e funções: [ u ] x v [ u ] x v [ u ] x v [ u ] x v = (2x + 1)(x + 1) (x + 1)(2x + 1) (2x + 1) 2 (2x + 1) (2x + 2) = (2x + 1) 2 (2x + 1) 2x 2 = (2x + 1) 2 1 = (2x + 1). 2 b) Para u = x 2 1 e v = x 2 + 1, aplicano a regra a erivaa para o quociente e funções, tem-se [ u ] x v [ u ] x v [ u ] x v [ u ] x v = (x2 + 1)(x 2 1) (x 2 1)(x 2 + 1) (x 2 + 1) 2 = (x2 + 1)2x (x 2 1)2x (x 2 + 1) 2 = 2x3 + 2x 2x 3 + 2x (x 2 + 1) 2 4x = (x 2 + 1) 2 c) Sejam u = 8e x 1 e v = x 2 +1 e aplicano a regra a erivaa para o quociente e funções tem-se: ) [v] = 0. x [ u ] x v [ u ] x v = (x2 + 1)(8e x 1) (8e x 1)(x 2 + 1) (x 2 + 1) 2 = (x2 + 1)(8e x ) (8e x 1)2x (x 2 + 1) 2 = 8ex x 2 + 8e x 16xe x + 2x (x 2 + 1) 2 Exemplo (Derivaa a Tangente). Calcule, usano a regra o quociente, a erivaa a função f(x) = tg(x). 36 Notas e aula e Cálculo - FURG

37 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Consierano f(x) = tg(x) = sen(x), pela regra a erivaa o quociente (1.5.10), cos(x) tem-se: Portanto, f (x) = cos(x) [sen(x)] sen(x) [cos(x)] cos 2 (x) = cos(x) cos(x) sen(x)[ sen(x)] cos 2 (x) = cos2 (x) + sen 2 (x) cos 2 (x) = 1 cos 2 (x) f (x) = sec 2 (x). x [tg(x)] = sec2 (x). Exemplo (Derivaa a Cotangente). Calcule, usano a regra o quociente, a erivaa a função f(x) = cotg(x). Consierano f (x) = cotg(x) = cos(x), aplicano a regra a erivaa sen(x) o quociente (1.5.10), tem-se: f (x) = sen(x) [cos(x)] cos(x) [sen(x)] sen 2 (x) = sen(x) [ sen(x)] cos(x) cos(x) sen 2 (x) = sen2 (x) cos 2 (x) sen 2 (x) = 1 sen 2 (x) f (x) = cosec 2 (x). x [cotg(x)] = cosec2 (x). Exemplo (Derivaa a Secante). Calcule, usano a regra o quociente, a erivaa a função f(x) = sec(x). 37 Notas e aula e Cálculo - FURG

38 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Consierano f(x) = sec(x) = 1, aplicano a regra a erivaa o cos(x) quociente (1.5.10), tem-se: Logo, f (x) = cos(x) 1 1 [cos(x)] cos 2 (x) = sen(x) cos 2 (x) = sen(x) cos(x) 1 cos(x) f (x) = tg(x) sec(x). [sec(x)] = tg(x) sec(x). x Exemplo (Derivaa a Cossecante). Mostre que se f(x) = cosec(x) então f (x) = cosec(x) cotg(x). Consierano f(x) = cosec(x) = o quociente (1.5.10), tem-se: Logo, f (x) = sen(x) 1 1 [sen(x)] sen 2 (x) = cos(x) sen 2 (x) = 1 sen(x) cos(x) sen(x) f (x) = cosec(x) cotg(x). [cosec(x)] = cosec(x) cotg(x). x Derivaa a função inversa 1, aplicano a regra a erivaa sen(x) Seja y = f(x). Suponha que f(x) amite uma função inversa x = f 1 (y) contínua. Se x [f(x)] existe e é iferente e zero, então a erivaa e x = f 1 (y) é [ f 1 (y) ] = y 1. x [f(x)] 38 Notas e aula e Cálculo - FURG

39 1.5. REGRAS ELEMENTARES DE DERIVAÇÃO Poe-se reescrever a regra a forma ou seja, y [x] = 1 = x [f(x)] x y = 1. y x 1 x [y], Exemplo Se y = f(x), calcule x y = y [f 1 (y)] nos seguintes casos: a) f(x) = 3x + 4 b) f(x) = x 3 + 3x 2 + x. a) Pela regra a erivaa a função inversa, tem-se y [f 1 (y)] = 1 f (x) = 1 3. b) Pela regra a erivaa a função inversa, tem-se 1 3x 2 + 6x + 1. y [f 1 (y)] = 1 f (x) = Exemplo Se y = f(x) = a x tem-se que x = f 1 (y) = log a y. Determine y [f 1 (y)] e uas formas: primeiramente erivano iretamente a função f 1 (y) e epois usano a regra a erivaa a função inversa. Primeiramente, pela regra a erivaa o logarítmo e base a tem-se que y [f 1 (y)] = y [log a y] = 1 y ln(a) = 1 a x ln(a). Pela regra a erivaa a função inversa, tem-se y [f 1 (y)] = 1 x [ax ] = 1 a x ln(a). 39 Notas e aula e Cálculo - FURG

40 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA 1.6 Derivaa e Função Composta - Regra a Caeia A regra a caeia permite erivar funções complicaas utilizano erivaas e funções mais simples. Teorema Se y = f(u), u = g(x) e as erivaas y u e u existem, então a x função composta f g possui erivaa representaa por ou ou aina y x = y u u x (1.6.1) y (x) = f (u) g (x) (1.6.2) y (x) = f (g(x)) g (x). Observação Seja a função composta f g, tal que (f g)(x) = f[g(x)]. Neste caso, a função g poe ser chamaa e função interna e f e função externa, evio às posições que ocupam na expressão f[g(x)]. Então, a regra a caeia poe ser estabelecia como: a erivaa a composta e uas funções é a erivaa a função externa tomaa no valor a função interna vezes a erivaa a função interna. Exemplo Seja y = u 3 e u = 2x 2 + 4x 2, calcule y x. Pela Regra a Caeia tem-se y x = y u u Portanto, y x = y u Exemplo Calcule a erivaa as funções: a) f(x) = e x3 +4x b) y = (x 2 2) 4 (x 2 + 2) 10 c) h(x) = x 2 (9 x 2 ) 2. ) f(x) = (3x 2 + 4) 4 e) g(x) = 2x + 1 u x, one y u = 3u2 e u x = 4x+4. x = 3u2 (4x + 4) = 3(2x 2 + 4x 2) 2 (4x + 4). f) y = 1 3 3x g) h(x) = (x 2 + 2x) 1 2 ( ) 5x h) m(x) = Notas e aula e Cálculo - FURG

41 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA a) Seja u(x) = x 3 + 4x. Então u (x) = 3x Como f(x) = e u(x), tem-se pela regra a caeia f (x) = u (x)e u(x). Portanto, f (x) = (3x 2 + 4)e x3 +4x. b) Sejam u(x) = x 2 2 e v(x) = x Então u (x) = 2x e v (x) = 2x. A função f(x) poe ser escrita como f(x) = u 4 (x)v 10 (x). Pela regra o prouto, tem-se Pela regra a caeia, Portanto, f (x) = u 4 (x) x [v10 (x)] + x [u4 (x)]v 10 (x). x [v10 (x)] = 10v 9 (x)v (x) e f (x) = u 4 (x)10v 9 (x)v (x) + 4u 3 (x)u (x)v 10 (x). Substituino as funções u, u, v e v obtém-se x [u4 (x)] = 4u 3 (x)u (x). f (x) = (x 2 2) 4 10(x 2 + 2) 9 2x + 4(x 2 2) 3 2x(x 2 + 2) 10 = 4x(x 2 2) 3 (x 2 + 2) 9 (7x 2 6). A solução os próximos ítens será feita e maneira resumia: c) Pelas regras a erivaa o prouto e a caeia, tem-se: Portanto, ) Pela regra a caeia tem-se: Portanto, h (x) = 2x (9 x 2 ) 2 + x 2 ( 2)(9 x 2 ) 3 ( 2x). h (x) = 2x(9 x 2 ) 2 + 4x 3 (9 x 2 ) 3. f (x) = 4(3x 2 + 4) 3 (6x). f (x) = 24x(3x 2 + 4) Notas e aula e Cálculo - FURG

42 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA e) Pela regra a caeia tem-se: Portanto, f) Pela regra a caeia tem-se: Portanto, g) Pela regra a caeia, tem-se: Portanto, h) Pela regra a caeia, tem-se: Portanto, g (x) = 1 2 (2x + 1) 1 2 (2), g (x) = 1 2x + 1. y = 1 3 (3x) 4 3 (3), y = 1. (3x) 4 3 h (x) = 1 2 (x2 + 2x) 3 2 (2x + 2). h x + 1 (x) = (x2 + 2x). 3 ( ) 5x m 3 3 ( ) (x) = x2. m (x) = 60 7 x2 ( ) 5x Exercício Escreva a equação a reta normal ao gráfico a função y = e x no ponto A(0, 1). Exercício Sejam f e g funções iferenciáveis tais que g(7) = 1 4, g (7) = 2 ( ) 3 e 1 f = 10. Seja h = f g, calcule h (7) y = x h (t) = 20 3 Respostas os Exercícios Exemplo Determine as erivaas: 42 Notas e aula e Cálculo - FURG

43 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA a) b) c) t [ln(2t)] z [ln(z2 + 5)] [ ( )] x + 1 ln. x x 1 a) Seja u(t) = 2t. Então u (t) = 2. ) f(x) = 2 x3 +4x x 4 e) g(x) = 5 x + 1 Como f(t) = ln(u(t)), tem-se t [ln(u(t))] = 1 u(t) u (t). Portanto, b) Seja u(z) = z Então u (z) = 2z. t [ln(2t)] = 1 2t 2 = 1 t. Como f(z) = ln(u(z)), tem-se z [ln(u(z))] = 1 u(z) u (z). Portanto, z [ln(z2 + 5)] = 1 z z =. 2z z c) Primeiramente, usano ( uma ) proprieae os logarítmos poe-se reescrever a x + 1 função f(x) = ln como x 1 f(x) = ln(x + 1) ln(x 1). Sejam u(x) = x + 1 e v(x) = x 1. Então u (x) = 1 e v (x) = 1. Como f(x) = ln(u(x)) ln(v(x)), pela regra a caeia juntamente com a regra a erivaa a função logarítmica natural tem-se x [f(x)] = 1 u(x) u (x) 1 v(x) v (x), one substituino u, u, v e v obtém-se x [f(x)] = 1 x x 1 = 2 x Notas e aula e Cálculo - FURG

44 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA ) Seja u(x) = x 3 + 4x, então u (x) = 3x Como f(x) = 2 x3 +4x, tem-se x [2u(x) ] = 2 u(x) u (x). Portanto, e) Seja u(x) = 5 (x + 1) 2. ( ) x 4 x + 1 x [2x3 +4x ] = (3x 2 + 4)2 x3 +4x. então pela regra a erivaa o quociente u (x) = Como g(x) = 5 ( x 4 x+1), tem-se x [5u(x) ] = 5 u(x) u (x). Portanto, Diferenciação Logarítmica g (x) = 5 x 4 5( x+1) (x + 1) 2 = 5 2x 3 x+1 (x + 1) 2. Uma forma mais rápia e calcular a erivaa e funções que envolvem um prouto e vários fatores, quocientes e potências é a iferenciação logarítmica. O processo e iferenciação logarítmica consiste nos seguintes passos: 1) Aplicar o logaritmo natural em ambos os membros a equação y = f(x). (Antes e erivar!) 2) Usar as proprieaes os logaritmos para simplificar a equação. 3) Derivar a expressão obtia no passo 2 implicitamente em relação a x. (Ou seja: erive ambos os laos a igualae, usano a regra a caeia no lao esquero a equação) 4) Resolver para y. 5) Substituir y por f(x). Observe o exemplo. Exemplo Calcule a erivaa e f(x) = x x. 44 Notas e aula e Cálculo - FURG

45 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA 1) Aplicar o logaritmo natural em ambos os membros a equação: ln(f(x)) = ln(x x ). 2) Usar as proprieaes os logaritmos para simplificar a equação: ln(f(x)) = x ln(x). 3) Derivar a equação obtia no passo 2 em relação a x, usano a regra a caeia no lao esquero a igualae. 4) Resolver para f (x). 5) Substituir f(x) por x x. 1 f(x) f (x) = ln(x) + x 1 x. f (x) = f(x) (ln(x) + 1). f (x) = x x (ln(x) + 1). Atenção! A iferenciação logarítmica poe ser utilizaa para calcular a erivaa e funções em que há variável na base e no expoente, one não é possível aplicar as regras e erivação anteriores. Exemplo Calcule a erivaa as funções: a) f(x) = x x ) Aplicar o logaritmo natural em ambos os membros a equação: ( ln(f(x)) = ln x ) x ) Usar as proprieaes os logaritmos para simplificar a equação: ln(f(x)) = x ln(x). 3) Derivar a equação obtia no passo 2 em relação a x, usano a regra a caeia no lao esquero a igualae. 1 f(x) f (x) = 2x x2 + 4 ln(x) + x x. 45 Notas e aula e Cálculo - FURG

46 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA 4) Resolver para f (x). ( ) f 2x (x) = f(x) x2 + 4 ln(x) + x x 5) Substituir f(x) por x x ( ) f (x) = x x x x2 + 4 ln(x) + x x b) f(x) = x x. 1) Aplicar o logaritmo natural em ambos os membros a equação: ln(f(x)) = ln ( x 1/x). 2) Usar as proprieaes os logaritmos para simplificar a equação: ln(f(x)) = 1 x ln(x). 3) Derivar a equação obtia no passo 2 em relação a x, usano a regra a caeia no lao esquero a igualae. 1 f(x) f (x) = 1 x ln(x) x 1 x. 4) Resolver para f (x). f (x) = f(x) ( 1x ln(x) + 1x ) ) Substituir f(x) por x x. ( f (x) = x 1 x x ln(x) + 1 ). 2 x 2 Exercício Mostre que x ax = a x ln(a). Exercício Suponha que g(x) é uma função erivável. Utilizano a regra a caeia, mostre que: a) x [eg(x) ] = e g(x) g (x) 46 Notas e aula e Cálculo - FURG

47 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA b) x [ln g(x)] = g (x) g(x). Exemplo Diferencie as funções: a) f(x) = log(3x + 1) b) f(x) = sen(3x 3 + 5x 2 + 6) c) g(x) = sen(x 2 + 1) a) Seja u(x) = 3x + 1. Então u (x) = 3. Como f(x) = log(u(x)) tem-se pela regra a caeia f 1 (x) = u(x) ln(10) u (x). Substituino u e u obtém-se: f (x) = 3 (3x + 1) ln(10). b) Seja u(x) = 3x 3 + 5x Então u (x) = 9x x. Como f(x) = sen(u(x)) tem-se pela regra a caeia f (x) = [cos(u(x))] u (x). Substituino u e u obtém-se: f (x) = [ cos(3x 3 + 5x 2 + 6) ] (9x x). c) Seja u(x) = sen(x 2 + 1). Então u (x) = [cos(x 2 + 1)] 2x. Como f(x) = u(x) tem-se pela regra a caeia f (x) = 1 2 u 1/2 (x)u (x). Portanto, f (x) = 1 2 [sen(x2 + 1)] 1/2 [ cos(x 2 + 1) ] 2x = [cos(x2 + 1)] x sen(x2 + 1). Exercício Obtenha a erivaa as funções: a) f(x) = tg(3x) b) g(x) = e 5x tg(2x) c) h(x) = sen(4x) tg(x) ) f(x) = cotg(6x + 8) e) g(x) = ln(x) cotg(x) f) h(x) = x 2 cotg(x 3 ) 47 Notas e aula e Cálculo - FURG

48 1.6. DERIVADA DE FUNÇÃO COMPOSTA - REGRA DA CADEIA g) f(y) = sec(y 2 + 8y) h) g(y) = sen(3y) sec(3y) i) h(y) = y sec( y) a) f (x) = 3 sec 2 (3x) b) g (x) = e 5x [2 sec 2 (2x) + 5tg(2x)] j) f(x) = cosec(2x 2 ) l) f(x) = 3 cosec(3x) m) f(x) = ln[cosec(x + 4)]. Respostas o Exercício c) h (x) = 4tg(x) cos(4x) sen(4x) sec2 (x) tg 2 (x) ) f (x) = 6cosec 2 (6x + 8) e) g (x) = cotg(x) x ln(x)cosec 2 (x) f) h (x) = 2xcotg(x 3 ) 3x 4 cosec 2 (x 3 ) g) f (y) = (2y + 8) sec(y 2 + 8y)tg(y 2 + 8y) h) g (y) = 3 sec 2 (3y) i) h (y) = y sec( y)tg( y) 2 + sec( y) j) f (x) = 4xcosec(2x 2 )cotg(2x 2 ) l) f (x) = 3 cosec(3x)cotg(3x) m) f (x) = cotg(x + 4). 48 Notas e aula e Cálculo - FURG

49 Capítulo 2 Regras e Derivação 2.1 Derivaas e Funções Implícitas Quano não é possível escrever uma equação o tipo F (x, y) = 0 na forma y = f(x) para erivá-la e maneira usual, poe-se eterminar y por interméio o x processo e erivação chamao erivação implícita. O processo e erivação implícita consiste: 1. Derivar os ois membros a equação em relação a x, consierano y como uma função epenente e x. 2. Agrupar os termos que contém y x 3. Determinar y x. em um membro a equação. Observação É importante lembrar que se y = f(x), então ao longo o texto a erivaa a função f(x) será enotaa por: y = y x = x [f(x)]. Exemplo Derivano implicitamente, etermine y x se y2 = x. Derivano y 2 = x implicitamente em relação a x, obtém-se: Isolano y x 2y y x em (2.1.1), tem-se: y x = 1 2y. 49 = 1. (2.1.1)

50 2.1. DERIVADAS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS Como y = ± x, então: y x = 1 2 x ou y x = 1 2 x. Observação Para erivar uma função na forma implícita, basta lembrar que y é uma função e x e aplicar a regra a caeia. Exemplo Derivano implicitamente, etermine a erivaa inicaa as funções: a) y x, x2 + y 2 25 = 0 b) y x, x3 + y 3 3axy = 0 c) y x, xy = y x. a) Para erivar implicitamente x 2 + y 2 25 = 0 em relação a x, segue-se o processo: 1. Derivar os ois membros a equação em relação a x, consierano y como uma função epenente e x. 2x + 2y y x 0 = Agrupar os termos que contém y = y x 3. Determinar y x. 2y y x = 2x. y x = x y. em um membro a equação. b) Para erivar implicitamente x 3 + y 3 3axy = 0 em relação a x, segue-se o processo: 1. Derivar os ois membros a equação em relação a x, consierano y como uma função epenente e x. 3x 2 + 3y 2 y 3a[y + xy ] = Notas e aula e Cálculo - FURG

51 2.1. DERIVADAS DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS 2. Agrupar os termos que contém y = y x 3. Determinar y = y x. [3y 2 3ax]y = 3x 2 + 3ay. y = 3x2 + 3ay 3y 2 3ax. em um membro a equação. c) Para erivar implicitamente x y = y x em relação a x, segue-se o processo: 1. Derivar os ois membros a equação em relação a x, consierano y como uma função epenente e x. Neste caso precisa-se usar a iferenciação logarítmica. y ln(x) = x ln(y) y ln(x) + y x = ln(y) + xy y. 2. Agrupar os termos que contém y = y em um membro a equação. x ( y ln(x) x ) = ln(y) y y x. 3. Determinar y = y x. y y ln(y) x = ln(x) x. y Exercício Derivano implicitamente, etermine as erivaas as funções: a) y x, b2 + y 2 2xy = 0 b) y x, (x + y)2 (x y) 2 = x 4 + y 4. Exercício Determine os coeficientes angulares as retas tangente e normal à curva x 3 + y 3 xy 7 = 0 no ponto A(1, 2). Exercício Escreva a equação a reta tangente ao gráfico as funções implícitas efinias por: a) Folium Descartes: x 3 + y 3 = 6xy no ponto (3, 3). 51 Notas e aula e Cálculo - FURG