3 Cálculo Diferencial. Diferenciabilidade

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Brian de Santarém
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1 3 Cálculo Diferencial Diferenciabiliae EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Para caa uma as seguintes funções etermine o omínio e iferenciabiliae e calcule as respectivas erivaas: a, b e, c ln, e. a f ( = é iferenciável em R\{0} por ser o prouto e uas funções iferenciáveis em R \ {0}. Em = 0, temos f 0 f e 0 = 0 = 0. Como f (0 = f e (0, a função é também iferenciável para = 0, ou seja é iferenciável em R, com erivaa f ( =, se > 0, f (0 = 0, f ( =, se < 0. b f ( = e é iferenciável em R \ {0} por ser aa pela composição a função eponencial que é iferenciável em R e, que é iferenciável em R \ {0}. Em = 0, tem-se f e (0 = e f (0 = (justifique, logo f não é iferenciável em 0. c f ( = ln é iferenciável no seu omínio, R \ {0}, por ser aa pela composição e ln, que é iferenciável no seu omínio R + e que é iferenciável em R \ {0}. f ( = e é iferenciável em R \ {0} (como em b. Em = 0, f (0 = 0, f e (0 = (justifique, logo f não é iferenciável em 0.. Calcule as constantes a e b por forma a que seja iferenciável em 0 a função f efinia em R por { a + b se 0 f ( = + sen ( se > 0. 39

2 Justifique a iferenciabiliae e f em R, calcule a sua erivaa, e etermine a equação a recta tangente ao gráfico e f em caa ponto a 0. Em primeiro lugar, para f ser iferenciável em 0, f tem que ser contínua em 0. Logo, como f (0 = a e lim f ( + sen ( sen ( = + lim = + 0 =, resulta que f é contínua em 0 sse a =. Quanto à iferenciabiliae, e f e f ( f (0 b = b f f ( f (0 + sen ( sen ( =. Logo f é iferenciável em 0 sse b = (e a =. Neste caso, f (0 = e a tangente ao gráfico em (0, f (0 é aa por y = f (0+ f (0( 0 = +. Se a < 0, então (numa vizinhança e a f é aa pela função polinomial (linear +, logo f é iferenciável em ], 0[ e f (a = para a < 0, vino a tangente ao gráfico em (a, f (a aa por y = f (a + f (a( a = + a + ( a = + (ou seja, é a própria recta. Se a > 0, então (numa vizinhança e a f é aa pela função + sen ( que é iferenciável em a, já que é aa por soma e proutos e funções iferenciáveis. Logo, f é iferenciável em ]0, + [ e para a > 0, f (a = sen a + a a sen a cos a = ( sen a a sen a a + cos a. 3. Determine as erivaas laterais no ponto 0 a função f contínua em R e cujos valores para 0 são aos por f ( = + e, 0. + e Para calcularmos as erivaas laterais, é necessário eterminar primeiro f (0. Como f é contínua em 0, f 0 f (. Temos lim e = +, lim e = 0, 40

3 logo e portanto f (0 = 0. (Também poíamos calcular: lim f ( + e 0 + e = 0 = 0, Agora, lim f ( + e + e e f f ( f (0 + e + e + e + = 0 = 0. e + e + =, f e f ( f (0 (Nota: f é contínua mas não iferenciável em 0. + e + e =. 4. Sejam f e g uas funções em R tais que f é iferenciável em R, verifica f (0 = f (π = 0, e g é aa por g( = f (sen + sen f (. Obtenha o seguinte resultao: g (0 + g (π = f (0 + f (π Usano o teorema a erivação a função composta, uma vez que f é iferenciável em R e sen também: g ( = f (sen cos + cos( f ( f (. Logo, ao que f (0 = f (π = 0, temos g (0 = f (sen 0 cos 0 + cos( f (0 f (0 = f (0 + f (0 = f (0 e g (π = f (sen π cos π + cos( f (π f (π = f (0 + f (π. Então, g (0 + g (π = f (0 f (0 + f (π = f (0 + f (π. 5. Seno g : R R uma função uas vezes iferenciável, consiere a função ϕ : ]0, + [ R efinia por ϕ( = e g(ln. Supono conhecios os valores e g, g e g em pontos convenientes, etermine ϕ ( e ϕ (e. Do teorema e erivação a função composta, para ]0, + [, ϕ ( = e g(ln ( g(ln = e g(ln g (ln. 4

4 Logo, ϕ ( = e g(0 g (0. Derivano ϕ, temos ϕ ( = e g(ln ( (g (ln g (ln + g (ln. Logo, ϕ (e = e g( ( ( g ( g ( + g (. 6. Seno f : R R tal que f ( = 4 e para too o, e seno g : R R iferenciável, calcule (g f ( em termos a função g. Usano o teorema a erivação a função composta, uma vez que f, g são iferenciáveis em R (g f ( = g ( f ( f ( = g ( 4 e (4 3 e 4 e = g ( 4 e 3 e (4. 7. Consiere uma função f : R ], [ iferenciável e bijectiva, tal que f ( = 0 e f ( =. Seja g a função efinia por g( = arcos ( f (. a Justifique que g é injectiva e, seno g a função inversa e g, etermine g ( e (g ( π. b Determine o omínio e g e justifique que g não é limitaa. a Uma vez que arcos é iferenciável em ], [ e f é iferenciável em R com contraomínio ], [, a função composta será também iferenciável em R. Por outro lao, f é bijectiva, logo injectiva, e arcos é também injectiva. Conclui-se que a composta será uma função injectiva. Temos g ( = f ( f (. Logo g ( = f ( f ( =. 4

5 Do Teorema e erivação a função inversa, temos agora que ( π (g = g ( g (. π Como g( = arcos( f ( = arcos(0 = π, temos g ( π g ( =. =, ou seja (g ( π = b O omínio e g é ao pelo contraomínio e g. Como f é sobrejectiva, f (R = ], [ e D g = g(r = arcos(], [ =]0, π[. Uma vez que g é injectiva e contínua, será monótona, e portanto g (0 + < g ( < g (π e g não terá máimo nem mínimo. Aliás, o contraomínio e g é o omínio e g, ou seja, R, e assim g não é limitaa. 43

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