ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE 2017

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1 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE 2017 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Equações iferenciais são equações (algébricas) one figuram funções e erivaas e várias orens e funções. As incógnitas estas equações são funções, por isso as soluções as equações iferenciais vão ser sempre funções. Escreveremos em geral as funções como y = y(t) e não como f(x). A variável inepenente é t, por analogia com o tempo a Física (e one surgem inúmeros exemplos e aplicação as equações iferenciais.) Exemplos: = 3y2 sen (t + y) 3 y 3 = e y + t + 2 y 2 A orem e uma equação iferencial é efinia como a maior orem e erivaa que figure na equação (1 e 3 nos exemplos anteriores.) Sabemos resolver analiticamente poucas classes e equações. Por exemplo, nunca vamos chegar a saber resolver nenhuma as uas equações anteriores. Mesmo equações simples, que se escrevam com coeficientes aparentemente inocentes, poem ser impossíveis e resolver analiticamente. Muitas vezes, não é necessário saber resolver analiticamente as equações e obter uma expressão explícita para y(t), mas interessa sim euzir, a partir as equações, se vai haver uma ou várias soluções para o problema e, haveno-as, qual será o seu comportamento - se serão funções limitaas, se estarão efinias em too o R, ou apenas num seu subconjunto, se serão contínuas, etc. Vamos procurar certos tipos e equações que consigamos resolver, e efinir para caa tipo um métoo e resolução. 1

2 2 Veremos primeiro apenas equações e primeira orem (ou seja, só figuram t, y e na equação.) = t tem como soluções (irectamente) y(t) = t2 2 que são as primitivas e t. + c (com c R), Mais geralmente, qualquer equação a forma soluções toas as primitivas e f(t). = f(t) tem como (únicas) = y tem como solução y(t) = et (por inspecção irecta.) Outras soluções possíveis são y(t) = k e t, com k R. Estas são e facto toas as soluções a equação, como veremos abaixo. A equação anterior faz parte a primeira classe e equações que iremos aprener a resolver. Equações Diferenciais Lineares e Primeira Orem Uma equação iferencial e primeira orem é linear se for a forma + a(t) y = b(t) Ou seja, há uma epenência linear em relação a y e. Note-se que nenhuma as equações aas como exemplo no início a secção era linear. Se b(t) = 0, a equação é homogénea. Caso contrário, iz-se não homogénea. y = 0 tem a(t) = 1 e b(t) = 0.

3 3 É uma equação e primeira orem, linear e homogénea. Para resolver: y Obtemos: log y = 1 = 1 (se y 0) log y = t + c, c R y = e t+c, c R y = ±ke t, k R + Poemos ver irectamente (substituino na equação inicial) que y = 0 também é solução. Por isso, a solução geral a equação é y(t) = ke t, com k R. Em geral, quano temos + a(t) y = 0, obtemos y = a(t) (y 0) log y = a(t) log y = a(t) + c, c R. Por isso, y(t) = ke a(t), para k R, é a solução geral a equação. + ty = 0

4 4 y = t (y 0) log y = t log y = t2 2 + c, c R y(t) = k e t2 /2, k R Ou, pela fórmula, y(t) = k e t = k e t2 /2, k R. Em geral, estaremos interessaos em problemas e valor inicial, que são a forma: + a(t) y = 0 (equação) y(t 0 ) = y 0 (conição inicial) Por exemplo, com a equação anterior: + ty = 0 y(0) = 2 A conição inicial fixa a constante a solução geral e á-nos então uma solução particular. Como y(t) = ke t2 /2, y(0) = 2 2 = ke 0 k = 2, e y(t) = 2e t2 /2 é a única solução o problema e valor inicial.

5 5 Equações Lineares e Primeira Orem Não Homogéneas + a(t) y = b(t) O lao esquero a equação sugere a erivaa e um prouto. Em geral não o será, mas poemos tentar transformar a equação e moo a que isso já aconteça. + 1 y = 3t (para t 0) t O lao esquero não é a erivaa e um prouto mas, multiplicano toa a equação por t, já passa a ser. t + y = 3t2 [ty] = 3t2 ty = t 3 + c, c R. y(t) = t 2 + ct 1, c R. Esta é a solução geral a equação (vália, tal como a equação, para t 0.) + 1 t 2 y = 3 t 2, t 0. O lao esquero também não é a erivaa e um prouto, e neste caso não é tão irecto como no exemplo anterior eterminar a expressão que, após multiplicação, transforma o lao esquero na forma esejaa. Introuzimos uma função auxiliar µ(t), a que se chama factor integrante, que tornará o lao esquero a equação a erivaa e um prouto.

6 6 Ficamos com: µ(t) + µ(t) 1 t 2 y = µ(t) 3 t 2, t 0. O lao esquero é a forma esejaa quano µ(t) satisfaz: µ = 1 t 2 µ(t). Esta equação µ 1 t 2 µ(t) = 0 é linear e homogénea (com a(t) = 1/t2.) De acoro com o que fizemos antes, obtemos: µ(t) = ke a(t) = ke 1/t 2 = ke 1/t (k R) Procuramos apenas um factor integrante, e não toas as soluções possíveis, por isso poemos escolher k = 1. A equação original fica então: 1/t e + 1 e 1/t t 2 y = 3 e 1/t t 2. Como o lao esquero se tornou a erivaa e um prouto, obtemos: [e 1/t y] = e 1/t 3 t 2. e 1/t y = 3e 1/t + c, c R. Ou seja, a solução geral é y(t) = 3 + c e 1/t, c R, que é vália para t 0. Notamos que y(t) = 3 é uma solução constante, que é portanto vália para t R. Caso Geral: Se tivermos + a(t) y = b(t),

7 7 obtemos µ(t) + µ(t) a(t) y = µ(t) b(t). Esta equação fica [ ] µy = µb se µ = µa (ou seja, se µ = a(t) e = e a(t).) Assim, a equação original fica e [ a(t) y = e ] a(t) b(t) + c, c R. y = e a(t) [ e a(t) b(t)] + c e a(t), c R. + 2 t y = 2 t, t 0. µ(t) + µ(t)2 t y = µ(t)2 t. µ = µ(t)2 t µ(t) = e 2/t = e 2 log t = t 2 A equação original fica [ ] t 2 y = 2t t 2 y = t 2 + c y(t) = 1 + c t 2, c R. Esta solução geral é vália para t 0. Nota: neste caso, ar uma conição inicial não basta para fixar unicamente a solução. Para fazer isso, é preciso apresentar ois valores iniciais, um para caa ramo one y é contínua (por exemplo, y(1) = 1 e y( 1) = 2.)