n Programação Dinâmica n Exemplo: Sequência de Fibonnaci n Problemas de Otimização n Multiplicação de Matrizes n Principios de Programação Dinâmica

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1 Proeto e Análise e Algoritmos Altigran Soares a Silva Universiae Feeral o Amazonas Departamento e Ciência a Computação Roteiro Exemplo: Sequência e Fibonnaci Problemas e Otimização Multiplicação e Matrizes Principios e Maior Subsequência Comum Técnicas e Proeto e Algoritmo Nesta isciplina Divisão e Conquista Métoo Guloso Existem iversas outras, mas estão for ao escopo estas isciplina Divisão e Conquista Divisão: Se a entraa é suficientemente grane, ivie-se o problema em ois ou mais problemas menores. Conquista: Divisão recursiva para solução os sub-problemas. Combinação: Tomar as soluções os sub-problemas e combina-las para obter a solução o problema maior.

2 Divisão e Conquista () Métoo Guloso Exemplo: MergeSort Os subproblemas são toos resolvios e forma inepenente. Merge-Sort(A, p, r) if p < r then q (p+r)/ Merge-Sort(A, p, q) Merge-Sort(A, q+, r) Merge(A, p, q, r) Técnica algoritmica para a solução e problemas e otimização Muitas soluções são possíveis e caa uma tem um valor associao Desea-se achar a solução que apresenta um valor ótimo (máximo ou mínimo) Sempre faz a escolha que parece a melhor no momento A hipótese é que uma escolha ótima local levará a uma solução ótima global. Nem sempre é veraeira 5 6 Métoo Guloso () Duas proprieaes são típicas e problemas para os aquais o Métoo Guloso é apropriao: Escolha gulosa Sub-estrutura ótima Assim como D&C resolve os problemas através a combinação as soluções para subproblemas. É aplicável quano os subproblemas não são inepenentes, ou sea, quano subproblemas compartilham subsubproblema D&C: particiona o problema em subproblemas inepenentes 7 8

3 Resolve caa subproblema apenas uma vez e salva a sua resposta em uma tabela, evitano assim a trabalho e recalcular a resposta toa vez que o subproblema é encontrao. Normalmente aplicaa a problemas e otimização. Caa solução tem um valor, e queremos encontrar uma solução com o valor ótimo (mínimo ou máximo). Chamamos tal solução e uma solução ótima para o problema Poem haver várias soluções ótimas 9 0. Caracterizar a estrutura e uma solução ótima.. Definir recursivamente o valor e uma solução ótima.. Calcular o valor e uma solução ótima e forma bottom-up.. Construir uma solução ótima a partir a informação pre-computaa. Em geral, para aplicar PD, alguns aspectos evem ser consieraos:. Sub-estrutura ótima: Uma solução ótima para o problema eve ser composta e soluções ótimas para os seus sub-problemas

4 . Escrever uma recorrência para eterminar o valor a solução ótima M ótima = min sobre toas as escolhas e k {(Soma e M ótima e toos os subproblemas que resultam a escolha e k )+ (custo associao com a escolha e k)} Mostrar que o número e instâncias istintas os subproblemas e limitao por um polinômio.. Computar o valor a solução ótima e maneira bottom-up, e forma que toos os subresultaos á esteam pre-computaos e antemão. Verificar se é possivel reuzir espaço eliminano subresultaos que não são mais necessários. Construir a solução ótima a partir a informação pré-computaa Sequência e Fibonacci Sequência e Fibonacci () F(6) = 8 F n = F n- + F n- F 0 =0, F = F(5) F() 0,,,,, 5, 8,,, F() F() F() F() A solução recursiva (D&C) é extremamente custosa! F() F() F() F() F() F(0) F() F() F() F(0) F() F() F(0) F() F() F(0) Fibonacci(n) F 0 0 F for i to n o F i F i- + F i- F() F(0) Os mesmos válores são re-calculaos repetias vezes 5 6

5 Sequência e Fibonacci () Quantas somas são feitas ao too? Razão e ouro: Portanto F n.6 n Fn φ = F n A árvore e recursão tem somente 0 e nas folhas, portanto são feitas.6 n somas O tempo e execução é exponencial em n Sequência e Fibonacci () F n poe ser calculao em tempo linear se armazenarmos as soluções os subproblemas resolvios Nisso consiste a técnica e programação inâmica A solução é computaa e forma bottom-up Troca e espaço por tempo Neste caso, somente os ois valores a serem utilizaos precisam ser lembraos 7 8 Problemas e Otimização Problemas que apresentam várias soluções, caa uma com um valor (custo) associao. Procura-se a solução com valor ótimo (mínimo ou máximo) Um solução geralmente apresenta uma estrutura: ela é composta e um sequência e escolhas. Quais escolhas evem ser feitas para se chegar à solução ótima. Multiplicação e Matrizes Duas matrizes A:n m e B:m k poem ser multiplicaas usano nmk multiplicações escalares. a a m b b b c = a b a a =... c... b b b l= a a Problema: Computar o prouto e muitas matrizes e forma eficiênte. A multiplicação e matrizes e associativa (AB)C = A(BC) i, i, l l, 9 0

6 Multiplicação e Matrizes () A parentetização afeta o custo a multiplicação Consiere A B C D, one A:0, B : 0, C :0 0, D :0 5 Custos: ((AB)C)D = = 0700 (AB)(CD) = = 00 A((BC)D) = = 00 Procuramos a parentitização ótima A X A X X A n one A i é uma matriz i- X i Multiplicação e Matrizes () Sea M(i,) o número mínimo e multiplicações nessárias Observações importantes: A parentetização mais externa a caeia e matrizes, particiona a sequência em algum k, (i k<): (A i A k )(A k+ A ) A parentização ótima a sequência (i,) é formaa por parentitizações ótimas as uas sub-sequências (i,k) e (k+,) k= i A k Multiplicação e Matrizes () Se toos os k são verificaos. Temos a recorrência: Mii (,) = 0 { } Mi (, ) = min Mik (, ) + Mk ( +, ) + Ω( n ) i k< i k A implementação recursiva ireta é exponencial. Muita computação reunante ocorre. No entanto, o número e subproblemas istintos é consieravelmente menor. M (,) Multiplicação e Matrizes (5) = min k< { M (, k) + M ( k,) +. M (,) + M (,) M (,) = min M (,) + M (,) M (,) + M (,) M (,) = min k< { M (,) + M (,) +.. M (,) = min M (,) + M (,) k. } k = : ( A ).( A. A. A ) k = : ( A. A ).( A. A ) k = M (, k) + M ( k,) +.. k : ( } A. A. A ).( A k = : ( A ).( A. A ) k = : ( A. A ).( A ) )

7 Multiplicação e Matrizes (6) Subproblemas e tam à Subproblemas e tam à Subproblemas e tam à Subproblemas e tam à A,A, A e A Multiplicação e Matrizes (7) Assim, poemos armazenar as soluções ótimas e caa Θ(n ) subproblema é re-usá-las na solução os problemas maiores Estas soluções poem ser armazenaas em um arrano M[..n,..n] A A A A 5 6 Multiplicação e Matrizes (8) Multiplicação e Matrizes (9) Orem( 0 n ) para i até n faça M[i,i] 0 para l até n faça para i até n-l+ faça 5 i+l- 6 M[i,] 7 para k i até - faça 8 q M[i,k]+M[k+,]+ i- k 9 se q < M[i,] então 0 M[i,] q c[i,] k retorne M, c Ao fim a execução M[,n] contêm o valor a solução ótima c as escolhas ótimas e k para caa subproblema Executar para = [0, 0,, 5, 0] 7 8

8 Multiplicação e Matrizes (0) Tempo e Execução : O(n ) Melhoramos e expoencial para polinomial!!!! Memoizaçao Aaptar a solução recursiva para tabular as soluções intermeiárias As chamaas recursivas continuam, mas não precisam necessáriament executar as operações custosas No exemplo as matrizes Inicializar os elementos e M com e executar Busca-Sequência(, i, ) 9 0 Memoizaçao () Busca-Sequência(,i,) se M[i,] < então retorna m[i,] se i= então m[i,] 0 5 senão para k i até - faça 6 q Busca-Sequência(,i,k)+ Busca-Sequência(,k+,)+ i- k 7 se q < M[i,] então 8 M[i,] q 9 retorne M[i,] Maior Subsequência Comum São aas uas caeias e caracteres Desea-se estabelecer o quão semelhante elas são Comparação e sequências e DNA Correção ortográfica Uma meia e semelhança é o comprimento a Maior Subseqência Comum (MSC) entre as uas caeias

9 MSC: Definição Z é uma subsequência e X, se é possível gerar Z removeno alguns caracters e X. X = ACGGTTA Y= CGTAT MSC(X,Y) = CGTA ou CGTT MSC: Subestrutura Ótima Sea X m = x x x m an Y n = y y y n Se x m =y n, inclua este caracter no ínicio e Z e encontre MSC (X m-, Y n- ) Se x m y n, Pular um caracter e X ou e Y Deciir o que fazer comparano MSC(X m, Y n- ) e MSC(X m-, Y n ) MSC: Recorrência MSC: Algoritmo Sea c[i,] = MSC(X, i Y ) 0 c[ i, ] = c[ i, ] + max{ c[ i, ], c[ i, ]} se i = 0 ou se i, se i, > 0 e x > 0 e x i i = 0 = y y MCS(X, Y, m, n) para i até m faça c[i,0] 0 para 0 até n faça c[0,] 0 5 para i até m faça 6 para até n faça 7 se x i = y então 8 c[i,] c[i-,-]+ 9 b[i,] copia 0 então se c[i-,] c[i,-] então c[i,] c[i-,] b[i,] avança x senão c[i,] c[i,-] 5 b[i,] avança y 6 retorne c, b 5 6