A Regra da Cadeia. 14 de novembro de u(x) = sen x. v(x) = cos x. w(x) = x 5

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1 A Regra a Caeia 4 e novembro e 0. As operações algébricas entre funções (soma, prouto, etc) fornecem uma grane iversiae e novas funções para os iferentes casos que vimos até agora. Porém, existe uma outra operação que aparece já nas relações entre conjuntos, a composição e funções. Por exemplo, sejam as funções u(x) = sen x v(x) = cos x w(x) = x 5 então a composição e f, g e h (nessa orem) gera uma nova função u efinia como f(x) := u(v(w(x))) f(x) = sen(cos x 5 ). Agora, o nosso objetivo é erivar esta nova função. Para isso usamos a chamaa Regra a Caeia. A iéia a erivação é a seguinte: começamos erivano as funções na orem que aparecem, começano a esquera, com respeito aos valores que aparecem à ireita e caa função, x f(x) = (v w) u(v(w(x))) w v(w(x)) w(x). () x No nosso exemplo, o primeiro a fazer é ientificar a erivaa e caa função (v w) u(v(w(x))) = sen(v(w(x))) = cos(v(w(x))) (v w) cos(w(x)) = sen(w(x)) w w v(w(x)) = x w(x) = x x5 = 5x 4 Depois, colocamos os valores as erivaas na igualae () e obtemos () x f(x) = [cos(v(w(x)))][ sen(w(x))][5x4 ]

2 Finalmente, colocano os valores as funções v e w obtemos x f(x) = 5x4 cos(cos x 5 )sen x 5. Teorema. (A Regra a Caeia). Se a função g for erivável em x e a função f for erivável em g(x), então a função composta f g será erivável em x e (f g) (x) = f (g(x))g (x) O exemplo anterior foi uma generalização a Regra a Caeia para três funções.. Exemplos. Achar a erivaa a função f(x) = sen(cos(tg x)). Ientificamos a erivaa e caa função: sen u = cos u ; u cos v = sen v ; v e escrevemos as erivaas na orem inicaa na Regra a Caeia x tg x = sec x x sen(cos(tg x)) = [cos(cos(tg x))][ sen(tg x)][sec x] x sen(cos(tg x)) = cos(cos(tg x))sen(tg x)sec x.. Achar a erivaa a função f(x) = sen(x + sen x), one x [0, π]. Neste caso temos uma soma entro e uma função trigonométrica, então aqui usamos a Regra a Caeia e a erivação a soma e funções: sen(x + sen x) = x u sen u (x + sen x) = cos u[x x x + sen x] = cos u[ + sen x] x x Para obter a erivaa e sen x com respeito a x é necessário aplicar a Regra a Caeia, já que temos a função x entro a função trigonometrica: Finalmente temos x sen x = v sen v x = cos v[] = cos x x sen(x + sen x) = cos u[ + cos x] x sen(x + sen x) = cos(x + sen x)[ + cos x]. x. Quano temos uma função real e variável real que tem inversa, é possível saber quem é a erivaa a inversa através a função original. Isto é feito usano a Regra a Caeia. Primeiro é importante lembrar alguns fatos e funções inversas.

3 (a) Uma função é ita injetiva (ou -) quano verifica a seguinte conição: f(x ) = f(x ) x = x (b) Seja f uma função - com ominio A e imagem B. Então essa função possui uma função inversa f com ominio B e imagem A, seno efinia como f (y) := x y = f(x) e é a única função que verifica a igualae f(f (x)) = f (f(x)) = x. Por exemplo, seja a função f(x) = x +. Observe que f(x ) = f(x ) x + = x + x = x x = x e one f é -, então tem inversa. Calculano a sua inversa obtemos y = x + y = x y = x então f (y) = y. () Para obter a erivaa esta função poemos seguir uas ireções: a primeira será erivar ela iretamente com respeito a y, usano a Regra a Caeia e a seguna será usano a relação a seguinte forma e se escrevemos y = f(x), temos y f (y) = (y ) = (y ) [] = (y ) f (f(x)) = x x f (f(x)) = x x f f (f(x)) x f(x) = y f (y) x y = y f (y) =. y x Neste processo está implicita a conição que a função original e a função inversa possuem erivaa. No inicio, assumimos que aa um função f, ela é erivável, porém, não temos informação se a função inversa é erivável. Esse caso mais geral é resolvio pelo seguinte teorema:

4 Teorema.. Sejam a, b ois números, a < b. Seja f uma função que é iferenciável no intervalo (a, b) e tal que a sua erivaa f (x) é maior o que 0 para too x nesse intervalo aberto. Então a função inversa f existe, e y f (y) = f (x) = f (f (y)) Vamos a usar o teorema na função e também f(x) = x +. f (x) = x y = x Como e temos f (y) = f (x) ; f (x) = x x = ( y ) ( y ) = (y ) = (y ) (y ). f (y) = (y ), que foi o resultao obtio anteriormente, quano foi erivaa iretamente a função inversa. Neste exemplo o cálculo a erivaa a função inversa foi mais rápio no caso ireto o que aplicano o teorema, porém, o teorema oferece uma visão mais abrangente a situação: para conhecer a erivaa a inversa e uma função é necessário conhecer só a erivaa a função original e o sinal ela. 4. Exemplos 4. Achar a erivaa a função inversa e y = 4 x. e como y x = (4 x) [ ] = (4 x) x = 4 y 4

5 então [ y x = 4 ( 4 y )] = (y ) = y Na ultima igualae, o valor obtio foi y e não y evio ao sinal e y: o valor e y é efinio por uma raiz quaraa, que é não negativa sempre, e como consequencia, o valor e y será sempre também não negativo. Finalmente, o valor e y x temos f (y) = y x = y = y. 4. Achar o valor a erivaa a função inversa a função y = x x +, efinia em (, + ), no ponto y = 0. f (x) = x Neste caso, não é ireto saber quem é a função inversa e f, mas o importante é saber o valor a função no ponto y = 0. Isso poe ser obtio a maneira seguinte: se y = 0, então x =, e one f () =. =, e o teorema y f (0) = =. 5