A Regra da Cadeia Continuação das notas de aula do mês 11/03 Versão de 20 de Novembro de 2003

Transcrição

1 A Regra a Caeia Continuação as notas e aula o mês /03 Versão e 20 e Novembro e 2003 Agora queremos entener o que acontece com a erivaa e uma composição e funções. Antes e mais naa, lembremos a notação e o significao isso: enotamos f g (x) à composição f (g (x)). Poemos pensar nessa composição como ois passos: y = g (x) e z = f (y). Faça uma figura representano essa composição e inicano as três erivaas presentes nessa iscussão: g (x), f (y) e (f g) (x). A regra a caeia iz precisamente a relação entre essas erivaas. Para obter tal relação vamos novamente fazer uso a iéia e erivaa como aproximação linear. Assim, f (y + y) f (y) + f (y) y, () g (x + x) g (x) + g (x) x, (2) e agora queremos obter estas a aproximação linear e f g (x + x). Usano primeiramente a expressão (2), tem-se f (g (x + x)) f (g (x) + g (x) x), (3) e agora usa-se a expressão () reconheceno y = g (x) e y = g (x) x: e one eve ficar claro que f (g (x + x)) f (g (x)) + f (g (x)) g (x) x, (4) (f g) (x) = f (g (x)) g (x) (5) Em notação e Leibniz, esse resultao poe ser escrito e uma forma até mneomônica: z x = z y y x, (6) que nos lembra como são encaeaas as pequenas variações e x, y e z. O estuante, porém, eve estar atento tanto ao fato e na notação e Leibniz não ser explícito one são calculaas as erivaas, quanto para o fato que o que está escrito na expressão (6) não é um prouto e frações! Agora vamos iscutir algumas conseqüências a regra a caeia. Derivaa e F (x) = e rx, com r constante. Você poe pensar F como uma composição one f (y) = e y e g (x) = rx. Com isso, F (x) = e rx r = re rx. (7)

2 Derivaa e F (x) = a x, one a > 0 é constante. Para isso recorremos à inversa a exponencial, o logaritmo. Basta lembrar que a x = e ln(ax) = e x ln a, (8) e notar que ln a é uma constante, e portanto poemos usar a expressão (7). Assim, F (x) = ln a e x ln a = ln a a x. (9) Vale notar que a expressão acima novamente corrobora a frase que escreve as funções exponenciais: quanto mais tem mais cresce, ou e maneira mais precisa, a taxa e variação é proporcional à própria função. Derivaa e x n, one n é um número inteiro negativo. Vamos escrever n = m, com m inteiro positivo. E note que x m = ( x ) m. Novamente vamos usar a regra a caeia, usano que já sabemos (e maneira justificaa) que x xm = mx m. (0) Temos então x xn = ( x ) m = mx m ( x 2) = ( m) x m = nx n. () x Derivaa e G (x) = x p, one p é inteiro. Agora a estratégia é utilizar a regra a caeia compono G com uma função que sabemos erivar, e tal que o resultao a composição também seja uma função que sabemos erivar. Um exemplo isso é ao por (G (x)) p = x. (2) Como a igualae acima vale para too x em que ela está efinia, as erivaas também everão ser iguais. Calculano esta erivaa: x (G (x))p = x x p (G (x)) p G (x) = G (x) = (G (x)) p p G (x) = p x p, (3) Derivaa e F (x) = x p q, com p e q inteiros. Você é conviao a obter esse resultao usano a regra a caeia. Note que agora temos razão para acreitar na fórmula para a erivaa e x n para qualquer potência racional. Com a estratégia acima, é o melhor que poemos fazer. Sabeno a erivaa o logaritmo você poerá usar novamente a regra a caeia para mostrar que este resultao vale para qualquer potência real. 2

3 Derivaa o logaritmo: f (x) = ln x. A iéia é semelhante ao que foi feito na expressão (2). E nesse caso, usamos a inversa o logaritmo, a exponencial, que já sabemos erivar.assim, poemos então enotar y = e x, e concluir que ln (e x ) = x x ln (ex ) = x x f (e x ) e x =, (4) f (y) = y. (5) Você agora eve fazer um gráfico e f (x) = ln x, esboçar então o gráfico e sua erivaa e possivelmente concorar que se este resultao (a erivaa o logaritmo) não é e too intuitivo, também não é nenhum contra-senso. Foram aina propostos e/ou iscutios em sala os seguintes exercícios (orem em que foram propostos): 4.2: 6, 7, 35, 34,, 2 e 20; 4.3: 9, 3, 37 e 38; 4.4:, 3, 6, 4, 2 e 27. Resolveno estes exercícios, você encontrou algumas funções o tipo F (x) = f(x) g(x) e eve ter conseguio calcular sua erivaa. Algumas pessoas preferem usar a chamaa regra o quociente, que será esenvolvia agora em uas etapas. A minha opinião sincera é que, assim como com várias outras proprieaes, não se eve gastar energia tentano memorizar a regra o quociente. Mais que isso, eve se ter muito cuiao para não confunir o sinal envolvio nela. Uma boa maneira e não errar este sinal é lembrar e one ele vem. A ita regra o quociente será aqui apresentaa como uma conseqüência as uas regras mais importantes que foram iscutias: a regra o prouto e a regra a caeia. Como primeiro passo, vamos calcular a erivaa e f(x) = (f (x)) usano a regra a caeia: ( ) = x f (x) (f (x)) 2 f (x) = f (x) (f (x)) 2, (6) para agora usar a regra o prouto no cálculo a erivaa e F (x) = f(x) g(x) = f (x) g(x), assim: x F = f x g + f x ( ) g 3

4 = f x g g f x g 2 = ou, na notação envolveno linhas: f x g f g x g 2, (7) F = f g fg g 2. (8) Você poe agora refazer os exercícios que envolvem quocientes e funções e recalcular as erivaas utilizano a regra o quociente. Derivaas e Funções Trigonométricas Nosso problema agora é eterminar a erivaa e funções trigonométricas como f (x) = sen (x) e g (x) = cos (x). Isso poe ser feito iretamente no círculo trigonométrico (você é conviao a tentar euzir as fórmulas aqui apresentaas através e construções geométricas), ou com a ajua a fórmula para somas e arcos: sen (a + b) = sen a cos b + cos a sen b. (9) Uma caso particular essa fórmula (b = π 2 ) nos lembra o importante fato que o cosseno poe ser visto como a função seno eslocaa e π 2. Portanto, conheceno a erivaa e sen x conheceremos também a erivaa e cos x. Para obter a erivaa e sen x começamos pela expressão (9), e one, sen (x + x) = sen x cos x + cos x sen x. (20) Precisamos entener o comportamento e cos x e e sen x quano X é muito pequeno. Lembrano o gráfico e cos x, é fácil perceber que a reta tangente ao gráfico em x = 0 é horizontal, portanto a erivaa e cos x em x = 0 vale zero. Ou seja, cos x + 0 x. (2) Para completar esse quaro, evemos aina saber a erivaa e sen x calculaa em x = 0. Em outras palavras, queremos eterminar o limite: lim x 0 sen x. (22) x Para estimar tal limite você poe voltar mais uma vez ao círculo trigonométrico e marcar um segmento e reta vertical que representa sen x e o arco que 4

5 representa 2 x. Feito isso, você poe se convencer que esta razão tene a um quano x tene a zero. Ou seja, ambos os comprimentos tenem a zero, mas a razão entre eles se aproxima e (o arco e o segmento tornam-se quase iênticos). Este é um os limites mais importantes em um curso e cálculo, merece então ser estacao: lim x 0 sen x x =. (23) Agora o cenário está completo, a erivaa e sen x em x = 0 vale. Como sen 0 = 0, temos sen x 0 + x. (24) Finalmente, usano as aproximações (2) e (24) na expressão (20) obtemos sen (x + x) sen x + cos x x, (25) que quano comparaa com a expressão () (que trauz a iéia e erivaa como inclinação a reta tangente) nos leva a concluir que x sen x = cos x. (26) Agora você poe escolher uma e uas alternativas (e por que não seguir as uas?): ou refaz um argumento semelhante ao aqui apresentao para o seno e obtém a erivaa a função cosseno, ou argumenta que translações não afetam a erivaa e translaa e expressão (26) e π 2, obteno cos x = sen x. (27) x Foram aina propostos/iscutios os exercícios: 4.5) 3, 4, 0, 5, 9 e 20. Isso encerra o nosso conjunto e regras e erivação. melhor e se acostumar com elas o que usano-as. Não há maneira 2 Lembre-se que a efinição e raianos é que meimos ângulos como a razão entre o arco e o raio; quano escolhemos o raio igual a, obtemos iretamente a igualae numérica entre ângulo e arco. 5