Regras de Derivação Notas de aula relativas ao mês 11/2003 Versão de 13 de Novembro de 2003

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1 Regras e Derivação Notas e aula relativas ao mês 11/2003 Versão e 13 e Novembro e 2003 Já sabemos a efinição formal e erivaa, a partir o limite e suas interpretações como: f f a + h) f a) a) = lim, 1) Taxa e variação e f próximo e x = a; Inclinação a reta tangente ao gráfico e f no ponto a, f a)); Melhor aproximação linear para o comportamento e f próximo e x = a. Também conhecemos algumas as conseqüências, tanto a efinição como essas interpretações: Se f x) = c, com c uma constante, então f x) = 0 para too valor e x; Se g x) = mx + b, com m e b contantes i.e.: g é uma função linear), então g x) = m para too valor e x. Aqui vamos iscutir a erivaa e somas e proutos, e com isso obter a erivaa e qualquer polinômio. Para isso reinterpretamos a efinição e erivaa a seguinte forma: f é iferenciável em x = a e sua erivaa vale f a) se poemos escrever f a + h) = f a) + f a) h + R a, h), 2) one R a, h) eve ser visto como um resto, e eve obeecer à conição e ser pequeno comparao com h, quano h tene a zero. Formalmente: R a, h) lim = 0. 3) Essa nova efinição é equivalente à primeira, mas tem uas vantagens: é mais aequaa para o assunto essas notas e enfatiza a interpretação a erivaa como aproximação linear: se ignorarmos o resto na expressão 2), o lao ireito escreve uma função linear que vale f a) em a e tem a inclinação f a), e cujo gráfico é a reta tangente ao gráfico e f no ponto a, f a)). Poemos agora entener o que acontece com uma soma e uas funções, f e g. Para isso, escrevemos suas aproximações lineares e somamos: f a + h) = f a) + f a) h + R f a, h), 4) g a + h) = g a) + g a) h + R g a, h), 5) 1

2 obteno f a + h)+g a + h) = f a)+g a)+[f a) + g a)] h+r f a, h)+r g a, h), 6) one reconhecemos que a aproximação linear e f + g, próxima a x = a, é aa pela reta que passa pelo ponto a, f a) + g a)) com inclinação f a) + g a). O resto essa aproximação ou seja, o quanto erramos ao trocar o valor e f + g por esta aproximação linear) é ao por R f a, h) + R g a, h), que também é pequeno comparao com h. Em palavras, obtivemos acima que A erivaa a soma e funções calculaa em x = a) é a soma as erivaas as funções calculaas em x = a). Como fórmula, escrevemos f f + g) = + g. 7) Uma conseqüência simples, mas importante, essa regra e o fato conhecio que a erivaa e uma função constante é zero poe ser expressa assim: suponha g x) = f x) + c, one c é uma constante. Então g x) = f x), para too valor e x. Já havíamos concluío isso pela interpretação que g poe ser vista, nesse caso, como a função f eslocaa verticalmente por c uniaes, e que a erivaa só epene e variações a função e não o valor específico que ela assume. Agora temos esse mesmo resultao obtio a a partir e uma regra e erivação. Agora vamos nos concentrar em entener a erivaa o prouto e funções. Para isso o estuante eve se convencer que segue as expressões 4) e 5) que f a + h) g a + h) = f a) g a)+[f a) g a) + f a) g a)] h+f a) g a) h 2 +R fg a, h), 8) eve eterminar R fg a, h) e explicar porque esse termo é pequeno comparao com h. Também evemos notar que f a) g a) h 2 lim = lim f a) g a) h = 0. 9) r 0 Assim, a aproximação linear e f g é aa pela reta que passa pelo ponto a, f a) g a)) com inclinação f a) g a) + f a) g a). Essa última expressão é, portanto, a erivaa o prouto fg, calculaa em x = a. Para entener melhor o cálculo executao, evemos notar que um prouto e ois fatores varia como a soma e três parcelas: a variação e caa fator, multiplicao pelo valor o outro e o prouto as variações. Quano tratamos e pequenas variações, o prouto as variações é aina menor, e por isso não contribui para a erivaa. 2

3 Como fórmula, poemos escrever a regra o prouto assim f fg) = g + f g. 10) Algumas conseqüências interessantes são listaas a seguir: Se k é contante, k kf) = f + k f = k f, 11) one novamente usamos que a erivaa e uma contante é zero. Esse resultao tem uma interpretação simples e interessante: kf correspone a uma expansão ou contração) a f. Sua taxa e variação expane ou contrai) na mesma proporção. Derivaa a função f x) = x 2 : Derivaa a função f x) = x 3 : x2 = x x) = x + x = 2x. 12) x3 = x2 x ) = 2 x + x2 = 3x2. 13) Estas uas últimas conseqüências parecem poer ser generalizaas. Note que o conhecimento a erivaa e x propiciou obter a erivaa e x 2. Depois, o conhecimento a erivaa e x 2 permitiu obter a erivaa e x 3. O estuante eve usar essa mesma estratégia e obter a erivaa a função x 4, usano o conhecimento a erivaa e x 3. Se tentarmos usar esta mesma estratégia para a função f x) = x n, teremos xn = x n 1 x ) = n 1 x + xn 1, 14) e portanto, se conhecermos a erivaa e x n 1 conheceremos a erivaa e x n. Mas, para um valor arbitrário e n, conhecer a erivaa e x n ou e x n 1 significa a mesma coisa. Assim, a estratégia utilizaa não é mais eutiva. Usaremos uma estratégia conhecia como inução matemática para garantir que a seguinte fórmula é veraeira: xn = nx n 1. 15) Note que já sabemos que esta fórmula é veraeira para os casos n = 1, n = 2 e n = 3. Você foi conviao a mostrar que este também é o caso para n = 4. Agora vamos usar a seguinte estratégia: supomos que tal fórmula é vália para n 1 e 3

4 usano isso obtemos que necessariamente ela será vália para n. Reescreveno a expressão 15) para o caso n 1, temos que quano substituía na equação 14) resulta xn 1 = n 1) x n 2 16) xn = n 1) x n 2 x + x n 1 = nx n 1, 17) que é precisamente a expressão 15) que se queria emonstrar. Quem quiser mais etalhes sobre o métoo e inução matemática eve procurar em livros e matemática, ou consultar seu professor. Resumino, aprenemos nessa aula como calcular erivaas e somas e proutos e funções, e como aplicação isto aprenemos a erivar a função x n, quano n é um inteiro positivo. Note que isso é tuo precisamos para calcular erivaas e polinômios. Em seguia foram iscutios os exercícios 23, 26, 33, 40 e 37 a secção 4.1 o livro texto. Outras Potências E o caso e outras potências: f x) = x p, sem que p seja inteiro positivo? Vejamos como também poemos usar a regra o prouto para obter algumas estas erivaas: Derivaa a função f x) = x 1 : Note que x x 1 = 1. 18) Poemos então tomar a erivaa e caa membro a equação acima, obteno resolveno esta última obtemos x x 1 ) = 1 19) x 1 + x 1 = 0, 20) x 1 = x 2. 21) Não por acaso esta expressão é precisamente a equação 15) aplicaa no caso n = 1. De fato, a valiae essa expressão é geral, mas por enquanto vocês não têm motivos para acreitar nisso em breve terão!). 4

5 Derivaa a função f x) = x 1 2 : Agora note que x 1 2 x 1 2 = x. 22) A mesma estratégia e erivar os ois membros a equação poe ser utilizaa isso equivale a izer: se uas funções são iguais em too ponto, então suas erivas também são iguais). Obtemos ) x x x x = x 23) = 1 24) = 1 2 x ) Ou seja, confirmamos também a valiae a expressão 15) quano n = 1 2. Você poe se ivertir obteno outras erivaas como essas. Também é recomenável fazer alguns exercícios. Por exemplo, aina na secção 4.1, você poe tentar os exercícios 6, 9, 19, 20, 44 e 45. Alguns Limites Especiais e Conseqüências Na iscussão sobre juros compostos vimos que um capital inicial M o reneno juros a uma taxa anual r tem iferentes crescimentos conforme o períoo e capitalização. Para capitalização anual teremos M t) = M o 1 + r) t, 26) one t é o número e anos ese a aplicação inicial. Já se a capitalização for mensal, consieraremos que o capital eve crescer r 12 a caa capitalização, seno 12 capitalizações ao ano. Assim teremos M t) = M o 1 + r ) 12t. 27) 12 Generalizano essa noção, se o períoo e capitalização for iviio em n partes, após t anos o montante será M t) = M o 1 + r n) nt. 28) Como foi iscutio lá, quanto maior a quantiae e capitalizações ao ano, n, maior será o valor M t). Porém esse valor não cresce arbitrariamente. Na liguagem que agora estamos usano, este processo tem limite quano n tene a 5

6 infinito, e esse limite poe ser visto como a efinição a função exponencial e base natural: lim 1 + r nt = e n n) rt, 29) ou, equivalentemente fazeno r = 1 e t = 1), poemos consierar tal limite como a efinição e e: e = lim n. 30) n n) Queremos agora entener o comportamento e f x) = e x próximo o ponto com a = 0. Para isso vamos voltar á expressão 29), agora trocano r por h e consieranoo t = 1. Temos então e h = lim n 1 + h n) n, 31) e one segue que e h 1 + h n) n, 32) com n grane. Usano o binômio e Newton, a + b) n = a n + na n 1 n b + 2 ) a n 2 b ) temos e h 1 + n h n + R n h), 34) que se comparaa com a expressão 2) inica 1 que f 0) = 1. Agora vamos usar que f 0) = 1 para obter a erivaa e f x) = e x para qualquer ponto. Começamos reinterpretano tal resultao, a partir a efinição e erivaa, f f a + h) f a) a) = lim, 35) e one concluímos que 1 = f e h 1 0) = lim. 36) Agora voltamos à efinição 35) para um valor arbitrário e a: f a) = lim h 0 e a+h e a h 1 O argumento aqui apresentao não eve ser levao a sério emais, pois envolve ois processos e limite: o limite com n e o limite com h 0. Um argumento análogo ao aqui apresentao, mas envolveno um limite apenas, poe ser utilizao. Optamos por assim apresentar para que as expressões 2) e 34) sejam mais parecias. 6

7 = lim h 0 e a eh 1 h = e a e h 1 lim = e a 37) one na última passagem usamos a equação 36). Concluímos assim que ou, em notação e Leibniz, que f a) = e a, 38) ex = e x. 39) Esta última maneira e escrever encerra e forma clara a frase que escreve um crescimento exponencial: Quanto mais tem, mais cresce. Essa afirmação poe ser trauzia em conceitos matemáticos como a erivaa e f é proporcional a f. A equação 39) mostra que para a função exponencial com base e, essa proporcionaliae se torna uma igualae. De fato, esta poe ser vista também como uma forma e caracterizar o número e, ou aina a função f x) = e x. Esta poe ser efinia como a função que é sua própria erivaa, e tal que f 0) = 1. O plano e aula incluía a iscussão em sala os exercícios 1, 15, 22, 23 e 31 a secção 4.2. Depois passaríamos à iscussão o limite senx lim x 0 x e suas conseqüências. Como não houve tempo, eixemos isso para epois. 40) 7