a) Represente na forma de um intervalo ou de uma união disjunta de intervalos o domínio D da função definida pela expressão: f(x) = log 1 x 1 )

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1 Instituto Superior Técnico Departamento e Matemática Secção e Álgebra e Análise o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LMAC, MEFT, MEBiom o Sem. 20/2 2//20 Duração: h30mn.,5 val.) a) Represente na forma e um intervalo ou e uma união isjunta e intervalos o omínio D a função efinia pela epressão: f) = log ). 2 Res: D = { R :, 2 > 0} = { R :, + > 0} = { R :, > 0} { R : < } =], [ ]0, [ ], + [. ii) Inique, caso eistam em R, o supremo, ínfimo, máimo e mínimo o conjunto: A := { ) n sennπ/2), n N }. n Res: Distinguino os casos n é par ou ímpar, isto é: n = 2k, k N ou n = 2k, n N, temos que: A = { senkπ) 2k, k N } { sen [2k )π/2], k N } 2k = {0} { ) k 2k, k N} = {0} {, /3, /5, /7,...}, pelo que sup A = /3 = ma A e inf A = = min A.

2 2. val.) Recorreno ao métoo e inução, mostre que para too o n N, o natural n 3 + 2n é ivisível por 3. Res: Para n =, temos que = 3 pelo que a afirmação é veraeira. Amitino como hipótese que para um ao n N a afirmação é veraeira, ou seja, que se tem temos que verificar que n 3 + 2n = 3k, para algum k N, n + ) 3 + 2n + ) = 3k, para algum k N. Epanino a potência e pela hipótese e inução temos que: n + ) 3 + 2n + ) = n 3 + 3n 2 + 3n + + 2n + ) = n 3 + 2n) + 3n 2 + 3n ) = 3k + 3n 2 + n + ) = 3k, one k = k + n 2 + n + ). 3., 5 val.) Calcule os seguintes ites caso eistam em R): 0 arctan, + 2 sen2 3 ), Res: Como a função arctan é iferenciável em R e arctan0) = 0, o ite requerio é o valor a erivaa e arctan no ponto = 0. Ou seja, Como arctan 0 = + 2 =0 =. 2 sen2 3 ) + 2 = 0, 0 + pelo Teorema as funções enquaraas o ite peio é igual a zero = ) e log = 0 + e2 log = e log 2

3 visto a eponencial ser uma função contínua. Temos então que: log 2 log = = = 2 3 = 0, pela Regra e Cauchy as funções f) = log e g) = 2 ]0, + [ e g ) 0 em ]0, + [). Concluímos então que são iferenciáveis em = e 0 =. 4.,5 val) Calcule a erivaa as funções efinias pelas seguintes epressões: + senh, 2/3 log sen π 2 )), arctan ) e Res: ) e + senh = cosh )e + + senh ) e + = cosh )e + + senh )e ) 2 2/3 log sen π 2 ))) = 2 3 /3 log sen π 2 )) + 2/3 log sen π 2 ))) = 2 3 /3 log sen π 2 )) + 2/3 π 2 2 cos π 2 ) sen π 2 ) = 2 3 /3 log sen π 2 )) π 2 4/3 cot π 2 ) 3

4 arctan ) ) = + ) 2 = ) = 2 + ) val) Consiere a função efinia em R\{} pela epressão: f) = ) log. i) Mostre que f é prolongável por continuiae ao ponto. Res: Como se tem aplicano a Regra e Cauchy) que y 0 + y log y = 0, temos trivialmente que a função poe ser prolongaa por continuiae a = seno o valor esse prolongamento em =, igual a zero. ii) Designano por F o prolongamento eterminao na alínea anterior, etermine o omínio e iferenciabiliae e F e calcule F. Res: Temos que ) log ) se > F ) = 0 se = ) log ) se <. e F é iferenciável em R\{} visto resultar, quer para > quer para <, o prouto e a composição e funções iferenciáveis. Para, a erivaa F é aa por: Como log ) + se > f ) = log ) + se < F ) F ) + a função F não é iferenciável em =. = + ) log ) =, iii) Determine os intervalos e monotonia, etremos, concaviaes, infleões e contraomínio e F. 4

5 Res: Do cálculo a primeira erivaa concluímos que: F ) < 0 se ], + e [, F ) = 0 em = + e e F ) > 0 para ] + e, + [ F ) < 0 se [ e, [, F ) = 0 em = e e F ) > 0 para ], e [. Consequentemente, visto f estar nas conições e aplicação o Teorema e Lagrange em qualquer intervalo itao e fechao [a, b] ], ] ou [a, b] [, + [), a função é: i) estritamente crescente em ], e [, tem um máimo local no ponto = e e é estritamente ecrescente em ] e, + e [; ii) tem um mínimo local em = + e e é estritamente crescente em ] + e, + [. A seguna erivaa a função é aa por: F ) =,, que é positiva se > e negativa se <. Como F é uma função contínua em ], [ e em ], + [ ou seja, F C 2 ], [) e F C 2 ], + [)), concluímos que F é côncava em ], [ e convea em ], + [. O ponto = é um ponto e infleão o gráfico a função. O gráfico a fun aão não tem assíntotas verticais, visto F ser contínua em R. Como f) ± = log + ) = +, ± por aplicação a Regra e Cauchy), concluímos que também não há assíntotas oblíquas á ireita ou á esquera. Como + f) = + e f) =, ateneno aina ao teorema o valor interméio aplicao a intervalos itaos e fechaos que são transformaos por F em intervalos a forma [m, M] com m arbitráriamente pequeno e M arbitráriamente grane), concluímos que F R) = R. iv) Justifique que eiste c ], + /e[ tal que f c) =. 5

6 Res: A função f está nas conições e aplicação o Teorema e Lagrange no intervalo [, + /e] pelo que eiste c ], + /e[ tal que f c) = f + e ) f) e = e loge ) e =. v) Justifique que F restringia ao intervalo ]3/2, + [ é invertível e inique o omínio e iferenciabiliae a respectiva função inversa. Calcule a erivaa a função inversa no ponto F 2). Res: Na alínea anterior vimos que F é estritamente crescente em ] + e, + [ e como + e < + /2 = 3/2, concluímos que F restringia ao intervalo ]3/2, + [ é estritamente crescente pelo que é injectiva e amite inversa. Como F é iferenciável em ]3/2, + [ e F nunca se anula nesse intervalo, poemos concluir pelo Teorema a iferenciabiliae a função inversa que F é iferenciável em F ]3/2, + [). Pelo estuo esenvolvio anteriormente poemos aina concluir que F ]3/2, + [) =]F 3/2), + [=] log 2 2, + [. A erivaa e F no ponto F 2) é então aa por: F F F 2)) = 0) = F 2) = log2 ) + =. 6. val) Seja f : R R uma função três vezes iferenciável em a R. Consiere o polinómio Mostre que se tem: p) = fa) + f a) a) + f a) a) 2. 2 f) p) = 0. a a) 2 Sugestão: Use o Teorema e Lagrange. Res: Comecemos por notar que, seno por hipótese f três vezes iferenciável em a, será uas vezes iferenciável nalguma vizinhança o ponto a esignaa no que se segue por V ɛ a)). Como temos uma ineterminação o tipo 0 e estamos nas conições 0 e aplicação a Regra e Cauchy, as funções efinias por h) := f) p) e g) := a) 2 são ambas iferenciáveis numa vizinhança o ponto a e g ) = 2 a) 0 para a), 6

7 f) p) h ) = a a) 2 a a a) = a f ) p ) 2 a) f ) f a) f a) a) =, a 2 a) ese que este último ite eista em R). Por outro lao, aplicano o Teorema e Lagrange a h no intervalo e etremos a e com V ɛ a) e notano que h a) = 0) temos que eiste c = c) estritamente entre a e, tal que: f ) f a) f a) a) a 2 a) = 2 a f c)) f a)) = 0, uma vez que, quano a, se tem que c) a e f é contínua no ponto a como eiste terceira erivaa no ponto a, temos que a f ) f a) = 0). 7