Análise Matemática I 1 o Semestre de 2004/05 LEAero, LEBiom, LEFT e LMAC Exercícios para as aulas práticas

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1 Análise Matemática I o Semestre de 2004/05 LEAero LEBiom LEFT e LMAC Eercícios para as aulas práticas I Elementos de Lógica e Teoria dos Conjuntos (20-24/9/2004) (Eercício 2 de [3]) Prove que quaisquer que sejam as proposições p q e r são verdadeiras as proposições: a) [(p q) (q p)] (p q) b) (p q) [( q) ( p)] c) [p (p q)] q d) [(p q) (q r)] (p r) e) [p (q r)] [(p q) (p r)] f) [p (q r)] [(p q) (p r)] 2 (Eercício 3 de [3]) Indique quais das seguintes proposições são verdadeiras e quais são falsas supondo que as variáveis intervenientes têm por domínio a) o conjunto dos reais e b) o conjunto dos naturais não nulos Negue as proposições usando as segundas Leis de De Morgan a) 2 + > b) > 2 > c) y y = 2 d) y y = 2 e) y z = yz f) y ( y) 2 = 2 y 2 g) y ( y) 2 = 2 y 2 3 (Eercício 4 de [3]) Verifique que no conjunto dos reais as condições y = 2 e y 0 são (formalmente) equivalentes Observe bem que o quantificador eistencial em converteu a condição com duas variáveis y = 2 numa condição equivalente a y 0 que tem apenas uma variável A variável y diz-se variável não quantificada ou livre Na mesma ordem de ideias verifique as equivalências formais: a) y = 0 y > 0 em R b) y y = em N \ {0} c) y < y = y + em N \ {0} d) z = y + z > y em N \ {0} 4 (Eercício 24 de [3]) Indique quais das proposições seguintes são verdadeiras: a)

2 b) {} c) {} { 2 3} d) {2} e) {} { {2 3}} f) = { N : = + } g) R h) {R} 5 (Eercício 25 de [3]) Quantos elementos têm os conjuntos seguintes: { } { { }} {{ }}? Indique algumas proposições verdadeiras que eprimam relações de inclusão e relações de pertença entre os conjuntos dados 6 (Eercício 26 de [3]) Indique dois conjuntos A e B para os quais seja verdadeira a proposição (A B) (A B) Seja agora A um conjunto arbitrário Construa um conjunto B para o qual a proposição anterior seja verdadeira 7 Prove por indução que (2n ) = n 2 8 (Eercício 27 de [3]) Sendo A um conjunto arbitrário chama-se conjunto das partes de A e designa-se por P (A) o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A Por eemplo se A = { 2} é P (A) = { {} {2} { 2}} a) Quantos elementos têm os conjuntos P ( ) e P (P ( ))? b) Verifique que A {} P (A) c) Prove por indução que sendo A um conjunto com n elementos o número de elementos de P (A) é 2 n II Teoria dos Conjuntos Indução Matemática (27/9-/0/2004) (Eercícios 29 e 20 de [3]) Interprete geometricamente os seguintes conjuntos: a) { : < } b) { : < 0} c) { : a < ɛ} onde ɛ > 0 d) { : a > L} onde L > 0 e) { : > 0} f) { : = 5 } g) { : } h) { : a = b 2 } i) { : 2 4 } 2

3 j) { : ( ) 2 4} k) { : ( a)( b) < 0} onde a < b l) { : 3 > } m) { : 6/} 2 Mostre que para todos y R se tem y y 3 *(Eercício 22 de [3]) Um conjunto X e duas operações designadas (por eemplo) pelos símbolos e constituem uma álgebra de Boole sse forem verificados os seguintes aiomas: abc X i) a b X a b X ii) (a b) c = a (b c) (a b) c = a (b c) iii) a b = b a a b = b a iv) a (b c) = (a b) (a c) a (b c) = (a b) (a c) v) eistem dois elementos que designaremos por 0 e tais que a 0 = a e a = a vi) a X a a = a a = 0 Prove que sendo A um conjunto arbitrário o conjunto X = P (A) e as operações de reunião e intersecção de conjuntos constituem uma álgebra de Boole Quais são os elementos 0 e dessa álgebra? 4 *(p 34 de [3]) Seja A um conjunto não vazio Uma relação G no conjunto A diz-se uma relação de equivalência sse i) A G (refleividade) ii) y A Gy yg (simetria) iii) y z A (Gy ygz) Gz (transitividade) São relações de equivalência por eemplo a relação de igualdade num dado conjunto a relação de paralelismo no conjunto das rectas do espaço a relação de semelhança de triângulos a relação de equipotência entre subconjuntos de um dado conjunto Não são relações de equivalência a relação de perpendicularidade de rectas do espaço a relação de divisor entre números naturais de contido entre conjuntos e a de maior entre números reais Fiada uma relação de equivalência G num conjunto A diz-se que dois elementos a e b de A são equivalentes segundo G sse agb Sendo c A chama-se classe de equivalência de c e designa-se por [c] o conjunto de todos os elementos de A que são equivalentes a c: [c] Gc Mostre que: a) a [a] b) agb [a] = [b] c) ( (agb)) [a] [b] = 5 (Eercícios 7 8 e 9 de [5]) Demonstre pelo princípio de indução matemática que: 3

4 a) (n!) 2 > 2 n n 2 para todo o natural n 4 b) n(n+) = n n+ para todo o natural n c) n! 2 n para todo o natural n d) n 2 = n(n+)(2n+) 6 para todo o natural n 6 (Eercício 20 de [5]) Demonstre a desigualdade de Bernoulli: Sendo a > e n N ( + a) n + na III Indução Matemática Aiomas dos Números Reais (4-8/0/2004) Considere a sucessão (u n ) dos números de Fibonacci: u 0 = 0 u = u n+ = u n + u n para n N Prove por indução que para n N u n = [( ) n ( ) n ] *(Eercício 2 de [5]) Demonstre pelo princípio de indução matemática o binómio de Newton: (a + b) n = ( ) n Recorde que p ( ) n + que = p n p=0 = n! p!(n p)! ( n p ) + ( n p ) a n p b p n N ab R e que desta igualdade se tira imediatamente ( n p ) 3 (Eercício I de [4]) Deduza a partir dos aiomas dos números reais: a) 0 = 0 = b) ( ) = 0 ( ) = c) ( y) = ( )y = (y) ( )( y) = y d) (y = z 0) (y = z) e) y 0 z = yz f) u yv 0 y u v = u yv 4 *Verifique que (Z 3 + ) é um corpo onde Z 3 = {0 2} + é a adição módulo 3 e é a multiplicação módulo 3 5 *(p 39 de [3]) Diz-se que G é uma relação de ordem no conjunto S sse satisfaz as seguintes propriedades: a) S (G) (propriedade anti-refleiva) b) y S (Gy) [ (yg)] (propriedade anti-simétrica) 4

5 c) yz S [(Gy) (ygz)] (Gz) (propriedade transitiva) Se além destas três G satisfizer a propriedade da tricotomia y S = y (Gy) (yg) diz-se que G é uma relação de ordem total Verifique que a relação de menor no conjunto dos números reais é uma relação de ordem total e que a relação inclusão estrita é uma relação de ordem (em geral não total) no conjunto das partes de um determinado conjunto A 6 (Eercício I2 de [4]) Deduza as propriedades: a) + z < y + z < y b) > 0 > 0 c) > ]0 [ 7 Verifique que a>0 a + a 2 8 Verifique que 0<a<b a < ab < a+b 2 < b 9 (Eercício I3 de [4]) Prove que se é um racional diferente de zero e y um irracional + y y y e y/ são irracionais; mostre também que sendo e y irracionais a sua soma diferença produto e quociente podem ser ou não ser irracionais 0 (Eercício I8 de [4]) Seja A um subconjunto de R majorado e não vazio e seja m um majorante de A distinto do supremo desse conjunto Mostre que eiste ɛ > 0 tal que V ɛ (m) A = (Eercício I9 de [4]) Sendo A um subconjunto majorado e não vazio de R e α = sup A prove que para qualquer ɛ > 0 o conjunto V ɛ (α) A é não vazio Na hipótese de α não pertencer a A o conjunto V ɛ (α) A pode ser finito? Justifique 2 (Eercício I5 de [4]) Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A B e suponha que A é não vazio e B é majorado Justifique que eistem os supremos de A e B e prove que se verifica sup A sup B 3 *(Página 56 de [4]) Seja X um conjunto e P (X) o conjunto das partes de X Porve que #X < #P (X) Sugestão: Suponha que eistia uma bijecção ϕ de X em P (X) Designe por M o conjunto definido por M = { X : ϕ()} e por m o elemento de X tal que ϕ(m) = M Prove que não se pode ter nem m M nem m M 4 *(Eercício I7 de [4]) Prove que o conjunto de todas as aplicações de {0 } em N tem a potência do numerável e que o conjunto de todas as aplicações de N em {0 } tem a potência do contínuo Prove ainda que o conjunto de todas as aplicações de um intervalo [a b] (com a < b) em {0 } tem potência superior à do contínuo 5

6 IV Sucessões (-5/0/2004) (Eercício II de [4]) Indique quais são majoradas minoradas limitadas de entre as sucessões definidas do modo seguinte: a) u n = n+( )n n b) u n = ( ) n n 2 c) u n = n ( )n d) u n = n e) u = 0 u 2 = u n+2 = un+un+ 2 f) u = u n+ = 2u n 2 (Eercício II2 de [4]) Baseando-se directamente na definição de limite mostre que a) 2n n+ 2 b) n 2 n V Sucessões (8-22/0/2004) (Eercício II5 de [4]) Determine se eistirem os limites das sucessões que têm por termo de ordem n: a) 2n+3 3n b) n2 n 4 +3 c) 2 n + 2 n+ d) n 3 + n 2 +2n e) ( )n n 3 + n 2 +2 f) n(n )(n 2) (n+)(n+2) g) n(n )(n 2)(n p) (n+)(n+2)(n+q) onde pq N h) np n! onde p N i) n + n j) a n b n a n +b n onde ab R + 6

7 VI Sucessões (25-29/0/2004) (Eercício IIg) de [4]) Seja (u n ) a sucessão definida por recorrência por u = u n+ = 2 + u n a) Prove por indução que u n < 2 para todo o n N b) Verifique que u n+ u n = (2 un)(un+) u n+ 2+u n c) Justifique que (u n ) é convergente e mostre que (u n ) é crescente d) Aplicando limites a ambos os membros da epressão de recorrência determine o limite de (u n ) 2 (Eercício 83 de [2]) Seja (a n ) a sucessão definida por recorrência por a = 3 a n+ = 3(+an) 3+a n a) Verifique que a n+ 3 = (3 3)(a n 3) 3+a n Prove por indução que a n > 3 para todo o n N b) Prove que (a n ) é decrescente c) Justifique que (a n ) é convergente d) Aplicando limites a ambos os membros da epressão de recorrência determine o limite de (a n ) 3 (Página 96 de [4]) Prove que se c < então c n 0 Sugestão: Use a desigualdade de Bernoulli: ( + k) n + nk para qualquer n N e k > 4 *(Página 0 de [4]) Seja p N e u n 0 para todo o n N Prove que se u n a então p u n p a Sugestão: Para a > 0 use p u n p a = u n a ( p u n) p + p a( p u n) p ( p a) p 2 p u n + ( p a) p un a ( p a) p 5 (Página 02 de [4]) Prove que para todo a > 0 lim n n a = Sugestão: Use a desigualdade de Bernoulli: ( + k n ) n + nk n para qualquer n N e qualquer sucessão (k n ) cujos termos sejam maiores do que Suponha em primeiro lugar que a > e defina k n := n a 6 *(Página 35 de [4]) Seja u uma sucessão de termos positivos Prove que ( se un+ limite u n ) 7 Mostre que lim n n = converge em R então ( n u n ) também converge e para o mesmo 8 Seja p > 0 e a > Mostre que 7

8 a) lim np a n = 0 Sugestão: lim n n p a n = a b) lim an n! = 0 Sugestão: Se n > C(a) então an n! a n ac(a) onde C(a) designa a característica de a c) lim n! n n = 0 Sugestão: n! n n n 9 *(Página 32 de [4]) Seja u uma sucessão convergente em R e seja v n a média dos n primeiros termos da sucessão u: v n = u+u2++un n Prove que nestas condições v também é convergente e lim v = lim u VII Sucessões (-5//2004) (Eercício II5 de [4]) Determine se eistirem os limites das sucessões que têm por termo de ordem n: a) 2n n 2 b) n n 2 +n c) n+3 n 2n + d) n n! e) ( + n 2 ) n 3 f) ( n!) n! g) ( + n 3 ) n 2 2 Calcule se eistirem ( a) lim n 2 n n) b) lim n 2 n2 5 n 3 (Eercício II3 de [4]) Seja A um subconjunto de R com supremo s Prove que eiste uma sucessão ( n ) de termos em A convergente para s Prove ainda que se A não tem máimo a sucessão ( n ) pode ser escolhida por forma que seja estritamente crescente 4 (Eercício II4 de [4]) Sendo ( n ) uma sucessão monótona e (y n ) uma sucessão limitada verificando n y n < /n para todo o n N prove em primeiro lugar que ( n ) é limitada e depois que as duas sucessões são convergentes para o mesmo limite 5 (Página 9 de [4]) Seja (u n ) limitada e ɛ > 0 Prove que é finito o conjunto das ordens n para as quais u n > lim u n + ɛ 6 Seja ( n ) uma sucessão tal que n 2 65 n + 99 Prove que ( n ) tem uma subsucessão convergente 8

9 7 Considere a sucessão ( n ) obtida por truncatura da dízima que representa π com n casas decimais Considere também a sucessão (y n ) em que y n se obtém de n por uma troca da ordem dos seus dígitos: = 3 y = 3 2 = 34 y 2 = 43 3 = 34 y 3 = 43 4 = 345 y 4 = = 3459 y 5 = 9543 (a) Diga se o conjunto { n : n N } tem ínfimo supremo mínimo e máimo (b) A sucessão ( n ) converge? Qual o seu limite? Justifique (c) Determine lim inf n e lim sup n (d) Prove que (y n ) tem pelo menos dois sublimites 8 *(Eercício II de [4]) Dê um eemplo de uma sucessão cujo conjunto de sublimites seja o conjunto: a) R Poderá haver uma sucessão cujo conjunto de sublimites seja Q? Justifique VIII Séries (8-2//2004) (Eercício II2 de [4]) Calcule a soma das séries: a) n= 2 n b) c) n= d) n= n=0 3 (5n+) n 2 +2n n(n+)(n+2) 2 (Eercício II3 de [4]) Prove que qualquer número representado por uma dízima periódica é racional Sugestão: = ( ) 3 (Eercício II4 de [4]) Determine a natureza das séries: a) n=0 b) n=0 n 3 +4 n n4 +n 2 + c) n=0 n + n d) n=0 n2n e n e) n=0 f) n=2 n! n 2 +2 n n2 g) (n!) 2 n=0 (2n)! 9

10 h) n=0 i) n=0 2 n +3 n j) n=0 n! e n k) n= n 000 (00) n n 3 n+ 4 n+2 l) 35(2n+) n=0 369(3n+3) m) [(2n)!] 2 n=0 n!(3n)! n) n=0 ( n + n) 3 IX Séries (5-9//2004) (Eercício II7 de [4]) Determine se são absolutamente convergentes simplesmente convergentes ou divergentes as séries: a) ( ) n n= n b) ( ) n n n=0 n 2 + c) ( ) n n n=0 n+2 d) ( ) n n=0 3 n 2 (Eercício II8 de [4]) Determine os intervalos de convergência das séries: a) ( ) n (n+)! n= 246(2n) n+ b) n=0 2n (2n+)! c) ( ) n n=0 2n+ 2n+ d) ( ) n n=0 3 n + e) (+a) n n=0 a onde a 0 n+ f) (5+) 2n n=0 n 2 + g) n=0 [3 + ( )n ] n n 3 (Página 247 de [4]) Esboce o gráfico da função eponencial 4 (Página 268 de [4]) Esboce os gráficos das funções seno hiperbólico coseno hiperbólico e tangente hiperbólica 5 (Página 26 e 250 de [4]) Prove a fórmula fundamental da trigonometria 0

11 X Continuidade e Limite (22-26//2004) (Eercício 326 de [5]) Considere f : R R definida por f() = + D() 2 onde D designa a função de Dirichlet a) Indique o contradomínio de f A função é majorada? E minorada? b) Quais são os limites lim f() e lim + f() caso eistam c) Em que pontos é f contínua 2 (Página 30 de [4]) Defina os limites laterais de f no ponto a e os limite de f() quando tende para a por valores distintos de a 3 (Páginas 265 e 266 de [4]) Defina as funções trigonométricas inversas arcsin arccos e arctan e esboce os seus gráficos 4 (Eercício 327 de [5]) Seja f : R R contínua em no ponto dada por 0 se f() = arcsin se < < K sin ( π 2 ) se a) Determine K b) Estude f do ponto de vista da continuidade c) Indique o contradomínio de f e se tem supremo ínfimo máimo mínimo d) Quais são os limites lim f() e lim + f() caso eistam 5 *(Página 282 de [4]) Seja n=0 a n n uma série de potências com raio de convergência r 0 Prove que n= a n n é contínua em ] r r[ 6 (Eercício 426 de []) Seja A R e c A Sejam f g : A R com f limitada e lim c g() = 0 Mostre que lim c [f()g()] = 0 7 (Eercício 427 de []) a) Dê uma definição rigorosa de lim c f() = + e use-a para provar que lim 0 = + 2 b) Dê agora uma definição de lim + f() = L Mostre que lim + = 0 c) Qual a definição rigorosa de lim + f() = +? Dê um eemplo de um tal limite 8 (Eercício 438 de []) a) Mostre que se uma função é contínua em R e nula em todos os racionais então a função é identicamente nula

12 b) Se f e g estão definidas em R e coincidem nos racionais têm que coincidir em R? 9 Calcule se eistirem: a) lim 0 sin b) lim 0 [ sin ] c) lim + [ sin ] d) lim 0 e 2 e) lim 0 tanh f) lim 0 [ 2 ( cos )] g) lim + [ 2 ( cos )] 0 *(Eercício 439 de []) Seja f uma função definida em R e assuma que eiste uma constante c tal que 0 < c < e para todos y R a) Mostre que f é contínua em R f() f(y) c y b) Escolha um ponto y R e considere a sucessão (y f(y ) f(f(y )) ) Em geral se y n+ = f(y n ) (para n N ) mostre que a sucessão (y n ) é de Cauchy Podemos portanto definir y = lim y n c) Mostre que y é um ponto fio de f ie f(y) = y e que f não tem mais nenhum ponto fio d) Mostre que para qualquer R a sucessão ( f() f(f()) ) converge para y XI Continuidade e Limite (29/-3/2/2004) (Eercício III2 de [4]) Prove que todo o polinómio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real 2 Prove que se f : [0 ] [0 ] é contínua então tem um ponto fio 3 Prove que se f : R R é contínua e tem limites finitos no infinito então é limitada 4 (Eercício 329 de [5]) Sejam φ e ψ : R \ {0} R definidas por φ() = e /2 ψ() = sin cos a) Estude φ e ψ quanto à continuidade 2

13 b) Averigue se φ e ψ são prolongáveis por continuidade à origem c) Mostre que φ e ψ são limitadas 5 Será limitada toda a função contínua em R satisfazendo f(n) = 0 para todo o n inteiro? 6 (Eercício III6 de [4]) Supondo f contínua no intervalo semi-fechado ]a b] não pode provar-se a eistência de pelo menos um etremo de f nesse intervalo Justifique 7 (Eercício 340 de [5]) a) Sendo g : [0 + [ R contínua no seu domínio mostre que a função ϕ : [ ] R definida por tem máimo e mínimo ϕ() = g( 2 ) b) Se na alínea anterior considerássemos g definida em [0 + [ e contínua em ]0 + [ poderíamos continuar a garantir a eistência de máimo e mínimo para ϕ? Justifique 8 *(Eercício III8 de [4]) Mostre que para que uma função monótona definida em ]a b[ possa prolongar-se por continuidade aos pontos a e b é necessário e suficiente que seja limitada 9 (Eercício IV de [4]) Calcule as derivadas das funções: a) tan b) +cos sin c) e arctan d) e log2 e) sin tan f) 2 ( + log ) g) h) (log ) XII Diferenciabilidade (6-0/2/2004) Calcule pela definição as derivadas de a) b) 2 c) e d) sin 2 (Eercício IV3 de [4]) Determine o domínio de diferenciabilidade e calcule as derivadas de 3

14 a) b) e c) log d) e e) ( ) C() 3 Considere a função φ : R R definida por { e / 2 se 0 φ() = 0 se = 0 a) Mostre que φ é diferenciável b) Determine a equação da recta tangente ao gráfico de φ no ponto (a φ(a)) 4 Seja f : R R diferenciável Calcule (arctan f() + f(arctan )) 5 Prove que se f : R R é de classe C e se anula numa sucessão de pontos estritamente decrescente e convergente para zero então todas as derivadas de f se anulam na origem 6 (Eercício 43 de [5]) Seja f uma função contínua num intervalo aberto que contenha os pontos 0 e e tal que para todo o n N ( ) f = 3 n n 2 a) Calcule f(0) b) Prove que o contradomínio de f contém o intervalo [2 3] c) Supondo agora suplementarmente que f é indefinidamente diferenciável nalguma vizinhança da origem determine f (k) (0) para todo o k N Indique se o ponto 0 é ou não ponto etremo de f Sugestão: Poderá ser-lhe útil considerar a função ϕ() = f() Prove que se f : R R é duas vezes diferenciável e o seu gráfico cruza a recta y = em três pontos então f tem pelo menos um zero 8 Prove que a equação 3 2 e = 0 tem eactamente três zeros 9 Prove que se f : R + 0 R é diferenciável e satisfaz f(n) = ( )n para n N então a sua derivada não tem limite no infinito 0 *Prove que se f é duas vezes diferenciável em R com segunda derivada limitada em módulo por c e f(0) = f (0) = 0 então para todo o R f() c 2 2 Sugestão: Considere g() = f() c 2 2 e h() = f() + c 2 2 Prove que se f é de classe C em R e a equação f() = 2 tem três soluções sendo uma negativa uma nula e outra positiva então f tem pelo menos um zero 2 Use o Teorema de Lagrange para mostrar a) y R sin sin y y b) n N 0 y ny n ( y) n y n n n ( y) 4

15 XIII Diferenciabilidade (3-7/2/2004) (Eercício IV2 de [4]) Calcule os limites: a) lim 0 a b b) lim + log(+e ) c) lim (log log log ) d) lim 0 + e / e) lim 0 e / 2 (Eercício IV9 de [4]) Mostre que entre todos os rectângulos com um dado perímetro é o quadrado que tem área máima e que entre todos os rectângulos com uma dada área é o quadrado que tem o perímetro mínimo 3 (Eercício IV0 de [4]) Determine o cilindro de area total mínima de entre todos os cilindros circulares rectos com um dado volume 4 (Eercício IV2 de [4]) Estude as funções definidas pelas epressões seguintes (no maior subconjunto de R onde cada uma delas faz sentido) e esboce os respectivos gráficos: a) 3 4 b) 5 c) + / d) ( 3 8)/( 2 9) e) f) log log 5 Esboce o gráfico da função f : R + R definida por f() = 5

16 Sumários Nas datas abaio indicadas foram discutidos os eercícios das 3 fichas acima: Turmas Quarta-feira 8:00-0:00 C22 Turma 30 Turmas Seta-feira 0:00-2:00 C9 Quarta-feira 4:00-6:00 P2 Aula n o 22/09/ /09/2004 Aula n o 2 29/09/2004 0/0/2004 Aula n o 3 06/0/ /0/2004 Aula n o 4 3/0/2004 5/0/2004 Aula n o 5 20/0/ /0/2004 Aula n o 6 27/0/ /0/2004 Aula n o 7 03// //2004 Aula n o 8 0//2004 2//2004 Aula n o 9 7//2004 9//2004 Aula n o 0 24// //2004 Aula n o 06/2/2004 4:00-6:00 V26* 03/2/2004 Aula n o 2 09/2/2004 5:00-7:00 Pa** 0/2/2004 Aula n o 3 5/2/2004 7/2/2004 *Substitui a Aula do feriado 0/2/2004 **Substitui a Aula do feriado 08/2/2004 Referências [] S Abbott Understanding Analysis Springer Undergraduate Tets in Mathematics 200 [2] TM Apostol Mathematical Analysis Second edition Addison Wesley 974 [3] J Campos Ferreira Lições de Análise Real IST 200 [4] J Campos Ferreira Introdução à Análise Matemática Fundação Gulbenkian 6 a ed 995 [5] DMIST Eercícios de Análise Matemática I e II IST Press