(a) f(x) = x 3 x (b) f(x) = x (c) f(x) = 3 x (d) f (x) = 1 x x se x < 1 (1 x) 2 se 1 x. f f(a + h) f(a h) (a) = lim. = f(x 1 ) x 1 f (x 1 ).

Transcrição

1 Ministério a Eucação Universiae Tecnológica Feeral o Paraná Campus Campo Mourão Wellington José Corrêa ā Lista e Cálculo Diferencial e Integral I Curso: Bacharelao em Ciências a Computação DAMAT, 205 Nome: Definição e Derivaa. Recorreno a efinição e erivaa aa por limite, encontre f () nos itens a seguir: (a) f() = (b) f() = (c) f() = () f () = + 2 Faça o que se pee: (a) Ache a inclinação a reta tangente à curva = aa no ponto ( 2, 7). Faça um esboço a curva com a reta tangente e a reta normal. (b) Iem, para = 2 no ponto ( 2, 4). (c) Encontre uma equação a reta tangente à curva = que é paralela à reta 8 + = 0. () Encontre uma equação a reta tangente à curva = 2 2 que é perpenicular à reta = 0. Seja f efinia por Do eposto, (a) Faça um esboço o gráfico e f. f() = { se < ( ) 2 se (b) Determine se f é contínua em =. (c) Determine se f () e f +() eistem e se f é erivável em. 4 Prove as afirmações abaio: (a) se f (a) eiste, prove que (b) Calcule com enlevo lim 00. (c) Se f ( ) eistir, prove que f f(a + h) f(a h) (a) = lim. h 0 2h f( ) f() lim = f( ) f ( ). () O Teorema o Resto em Álgebra Elementar afirma que, se P () é um polinômio em e se r é um número real qualquer, então eiste um polinômio Q(), tal que P () = Q() ( r) + P (r). Qual é o limite lim Q()? r Na situação acima, se P () = , calcule lim Q()?

2 Regras e Derivação. 5 Calcule as erivaas abaio: (a) = (b) w = z z (c) f() = 2 e () f() = e 2 (e) g() = ( + 2)( ) (f) h() = ( 2 + )( + ) (g) f() = (h) = ( 2 )( + ) (i) = 2 sen (j) f() = cossec + 7 (k) g() = cos sen (l) = sec tg (m) = e cos (n) f() = cos ln (o) = 2 log 45 6 Se Galileu tivesse eiao cair uma bala e canhão a Torre e Pisa, 79 pés acima o solo, sua altura t segunos epois e cair teria sio s(t) = 79 6 t 2. (a) Quais teriam sio a velociae, o móulo a velociae e a aceleração a bala no instante t? (b) Quanto tempo a bala teria levao, aproimaamente, para atingir o chão? (c) Qual teria sio a velociae a bala no momento o impacto? Regra a Caeia. 7 Calcule as erivaas as funções abaio utilizano a Regra a Caeia. (a) f() = (sen + cos ) sen k (b) g(k) = e (c) h(t) = cos 5t sen 2t () f(t) = t e t (e) f() = [ln( 2 + )] (f) = cos (g) f(z) = 2+ + log 2 ( 2 + ) sen (h) f() = (i) = (j) = π + π (k) = 2 4 (l) = 8 Prove que a erivaa e uma função par é uma função ímpar e a erivaa e uma função ímpar é uma função par, ese que tais erivaas eistam. 9 Use a Regra a Caeia para mostrar que, se θ for meio em graus, então (sen θ) = π θ 80 cos θ (Isso á uma razão par que a convenção e que a meia em raianos é sempre usaa quano tratamos o cálculo e funções trigonométricas: as fórmulas e erivação não seriam tão simples se usássemos a meia em graus). 0 A leitura a escala ( Richter, ) R, utilizaa para meir a magnitue e um terremoto com intensiae I é ln I I0 eterminaa por R = ln 0 one I 0 é um limiar mínimo parão e intensiae. Se I 0 =, qual é a taa e variação a leitura a escala Richter em relação à intensiae? 2

3 Derivação Implícita. Nos eercícios abaio, encontre t (a) + 2 = + 4 por erivação implícita. () = cos( ) (b) = 0 (c) e + cos = (e) ( + ) 2 ( ) 2 = + (f) + ln( ) = 0. 2 Encontre (a) = ( 2 + ) sen (b) = + 2 usano iferenciação logarítimica. (c) = 5 + () = sen cos tg (e) = (2 8) / Taas Relacionaas. Resolva os problemas abaio: (a) Uma pera cai livremente em um lago parao. Onas circulares se espalham e o raio a região afetaa aumenta a uma taa e 6cm/s. Qual a taa seguno a qual a região está aumentano quano o raio for e 4cm? (b) Dois carros iniciam o movimento e um mesmo ponto. Um viaja para o sul a 60 mi/h, e o outro para o oeste a 25 mi/h. A que taa está cresceno a istância entre os carros uas horas epois? (c) Um tanque com a forma e um cone invertio está seno esvaziao a uma taa e 6m /min. A altura o cone é e 24m e o raio a base é e 2m. Ache a velociae com que o nível e água está abaiano, quano a água estiver a uma profuniae e 0m. () Enche-se um reservatório, cuja forma é a e um cone circular reto, e água a uma taa e 0, m /s. O vértice está a 5 m o topo e o raio o topo é e 0 m. Com que velociae o nível h a água está subino no instante em que h = 5 m. (e) Uma viatura e polícia, vino o norte e se aproimano e um cruzamento em ângulo reto, persegue um carro em alta velociae, que no cruzamento, toma a ireção leste. Quano a viatura está a 0,6 milha ao norte o cruzamento e o carro fugitivo a 0,8 milha a leste, o raar a polícia etecta que a istância entre a viatura e o fugitivo aumenta a 20 milhas/h. Se a viatura se esloca a 60 milhas/h no instante a meição, qual é a velociae o fugitivo? (f) Um balão e ar quente, que sobe na vertical a partir o solo, é rastreao por um telêmetro colocao a 500 pés e istância o ponto a ecolagem. No momento em que o ângulo e elevação o telêmetro é π/4, o ângulo aumenta a uma taa e 0,4 ra/min. A que velociae o balão sobe nesse momento?

4 Derivaas e Orem Superior. 4 Calcule as erivaas e orem superior. (a) D ( 9 ) (b) 2 t 2 (t2 sen t) 5 Obtenha uma fórmula para encontrar a n ésima erivaa as seguintes funções: (a) = n (b) = (c) = ln () = 2 (e) = sen (f) = cos Derivaas e funções trigonométricas inversas 6 Usano erivação implícita, mostre que (a) [arc sen ] = 2 (b) [arc tg ] = Recorreno ao eercício anterior e assumino a veraciae as seguintes erivaas (o métoo para euzir tais erivaas é análogo ao feito no eercício 8) [arc cos ] = 2 [arc sec ] = 2 calcule as seguintes erivaas: [arc cotg ] = + 2 [arc cossec ] = 2 (a) = arc sen(2 + ) (b) = arc tg (c) H() = ( + 2 ) arc tg () = arc sec(e ) Linearização (aproimação linear). 8 Determine a aproimação linear (linearização) e: (a) f() = + em =. (b) f() = cos quano = π/2. (c) f() = sen para = 0. Use esta aproimação linear para aproimar sen 2. () f() = ( + ) k, one k R em = 0. Use esta linearização para estimar (, 0002) 50 e,

5 Teorema o Valor Méio. 9 Use o teorema o valor méio para provar que (a) sen a sen b a b, a, b R (c) sec + cossec = π 2 (b) tg + cotg = π 2 20 Às uas horas a tare o velocímetro e um carro mostrava 0 mi/h, e às 2h 0 mostrava 50 mi/h. Mostre que em algum instante entre 2h e 2h 0 a aceleração é eatamente 20 mi/h 2. Etremos Relativos. 2 Encontre os etremos relativos as funções usano o teste a seguna erivaa, quano aplicável. Em caso contrário, use o teste a erivaa primeira. Determine também, os pontos e infleão, bem como one o gráfico é côncavo para cima e côncavo para baio. Também, encontre as assíntotas horizontal, vertical e oblíqüa, caso eistam. Por fim, faça o esboço o mesmo. (a) f() = (b) f() = (c) f() = 4 /2 + 4 /2 () F () = cos( ), [ π 6, π 2 (e) f() = e (f) f() = 2 ] (g) f() = (h) f() = 2/ 2 Otimização. 22 Resolva os seguintes problemas e otimização: (a) Encontre ois números positivos cujo prouto seja 00 e cuja soma seja a menor possível. (b) Se 200 cm 2 e material estiverem isponíveis para fazer uma caia com uma base quaraa e sem tampa, encontre o maior volume possível a caia. (c) Encontre o ponto sobre a reta = que está mais próimo a origem. () Uma janela normana tem a forma e um retângulo teno em cima um semicírculo. (O iâmetro o semicírculo é igual à largura o retângulo). Se o perímetro a janela for 0 pés, encontre as imensões a janela que eiam passar a maior quantiae possível e luz. 5

6 (e) Uma caia aberta eve ser feita e uma folha e papelão meino 6 por 0 cm, estacano - se quaraos iguais os quatro cantos e obrano - se os laos conforme figura abaio: Qual é o tamanho os quaraos para se obter uma caia com o maior volume? (f) Um retângulo eve ser inscrito em um triângulo retângulo com laos e comprimento 6, 8 e 0 cm. Encontre as imensões o retângulo com a maior área, supono que ele está posicionao conforme a figura a seguir. 0 cm 8 cm (g) Mostre que, entre toos os retângulos com perímetro p, o quarao é o que tem área máima. 6 cm Regra e L Hôspital. 2 Calcule os limites abaio: (a) (b) lim + e ln lim + (c) () ln lim + lim + (e) (f) lim + ( + 2) lim. 0 +(sen)2 Derivaas e funções inversas. Para os eercícios a seguir, temos o seguinte resultao: Teorema (Derivaa e uma função inversa) Suponha que o omínio e uma função f seja o intervalo aberto I que f seja erivável nesse intervalo. Então, f é iferenciável em qualquer ponto a imagem e f no qual f (f ()) 0 e sua erivaa é Se = f(), uma fórmula alternativa para () é [f ()] = f (f ()). () =. (2) 6

7 24 Nos eercícios a seguir, calcule ( f ) (). (a) f() = + ; =. (b) f() = 2 6, 0; = 9. (c) f() = 5 + 2, 0; = 5. () f() = 2 cos2, 0 π 2 ; = 4. Derivaa e funções hiperbólicas. As funções hiperbólicas são efinias como segue: Seno hiperbólico senh = e e 2 Cosseno hiperbólico Tangente hiperbólica cosh = e + e 2 tgh = senh cosh Cotangente hiperbólica cotgh = cosh senh Secante hiperbólica sech = cosh Cossecante hiperbólica cossech = senh 25 Do eposto acima, mostre que (a) cosh 2 senh 2 = (b) A função cosh é uma função par. (c) A função senh é uma função ímpar. () (e) senh = cosh cosh = senh (f) (g) (h) (i) tgh = sech2 cotgh = cossech2 sech = sech tgh cossech = cossech cotgh 7

8 26 Uma linha e telefone é penuraa entre ois postes separaos a 4 m na forma e catenária = cosh ( 20) 5 em que e são aos em metros. (a) Encontre a inclinação essa curva quano ela encontra o poste à ireita. (b) Encontre o ângulo θ entre a reta e o poste. 5 θ Derivaas e funções hiperbólicas Inversas 27 Mostre que as seguintes relações valem para too no omínio as funções hiperbólicas inversas aas. ( (a) arc senh = ln + ) 2 + (b) arc tgh = ( ) + 2 ln 28 Derivano os itens (a) e (b) o eercício anterior ou fazeno uso e erivação implícita, mostre (a) [arc senh ] = + 2 (b) [arc tgh ] = 2 Sucesso!!! 8

9 Respostas (a) f () = 2 (b) f () = 2 2 (a) -8 (c) f () = () f () = 2 ( + ) 2 (c) 8 5 = 0 (b) -0 () = 0 (b) Sim; (a) 0 (c) Eistem, mas f não é erivável em =. 4 (a) Use o fato que f(a + h) f(a h) = f(a + h) f(a) + f(a) f(a h) (b) Use a efinição e erivaa. (c) Note que f( ) f() = f( ) f( ) + f( ) f() P () P (r) () Perceba com eleite que Q() = ; 8. r 5 (a) = (f) h () = (b) w = 9z 4 + z 2 (c) f () = 2 e + 2e () f () = 2 e 2e 4 (e) g () = 2 + (g) f 9 () = ( 2) 2 (h) (i) = 2 cos (j) f () = cossec cotg (k) g () = sen (l) = sec + sec tg 2 (m) = e cos e sen (n) f () = sen ln + cos (o) = 2 ln ln 45 6 (a) Velociae: v(t) = 2 t pés/s; móulo a velociae: v(t) = 2 t pés/s; aceleração: a(t) = (b) t = 6, segunos. (c) t = pés/s. 7 (a) (sen + cos ) 2 (cos sen ) (b) k 2 cos(k sen k ) e (c) 5 sen 2t sen 5t 2 cos 2t cos 5t (sen 2t) 2 () t 2 e t ( + t ) (e) 6 [ln(2 + )] (f) 9 cos 2 ( ) sen( ) 2 (g) ( 2 + ) ln 2 ( (h) sen() cos() ln + sen() 8 Use as efinições e função par e ímpar e a Regra a Caeia. 0 R I = ln 0 I. 9 (i) 2 ln ln 2 (j) π π + ln π π (k) = 2 (2 4) ) 2 4 (l) =

10 = (b) (a) = + (c) = e e sen 2 (a) = (2 + ) sen (b) = [ [ 2 sen (cos ) ln(2 + ) 2 ( + 2 ) (c) = [ ] + () = sen cos [ tg cotg tg + sec2 tg [ + (e) = (2 8) / (a) 28 cm 2 /s (b) 65 mi/h ] () 2 = (e) sen( ) = sen( ) (f) = ] ] 2 2 ( 2 8) + 2 2( + ) (c) () 6 25 π m/min π m/s ] (e) 70 milhas/h (f) 40 pés/min 4 (a) (b) 2sent + 4t cos t t 2 sent 5 (a) n! cos, para n =, 5, 9,... (b) ( )n n! (e) D(sen n sen, para n = 2, 6, 0,... ) = cos, para n =, 7,,... n+ sen, para n = 4, 8, 2,... (c) ( )n+ (n )! n n. () 2 n n! ( 2) n+ 7 (a) = 2 sen, para n =, 5, 9,... (f) D(cos n cos, para n = 2, 6, 0,... ) = sen, para n =, 7,,... cos, para n = 4, 8, 2,... (c) H () = + 2 arc tg (b) = 2 ( + ) 8 (a) L() = 2 + ( ) 4 (b) L() = + π 2 () = e 2 (c) L() = ; 0, () L() = + k ;, 0;, Sugestão: Use o teorema o valor méio. 0

11 ( 2 (a) f ) = 2 mínimo relativo; f( ) = 5 máimo relativo; 27 ( ponto e infleão em 5 ) [, 7 ; ecrescente em, ] e crescente em (, ] e 27 [ ), + ; côncavo para cima para > 5 e > ; côncavo para baio em < 5. 5 f() - ( 5, 7 ) (b) f( ) = 7 2 e f(2) = 5 mínimos relativos; f(0) = máimo relativo; pontos e infleão em = ( ± 7); ecrescente em (, ] e [0, 2]; crescente em [, 0] e [2, + ); côncavo para cima para < ( 7) e > ( + 7); côncavo para baio em ( 7) < < ( + 7) (c) f() = 8 mínimo relativo; ponto e infleão em (, 6 ) ; ecrescente em (, ]; crescente em [, + ); côncavo para cima para 0 < < ; côncavo para baio em > (, 6 ) 5 0

12 ( π ) () f infleão em = mínimo relativo; f(0) = máimo relativo; ponto e ( π ) 6, 0 ; ecrescente em (, ] e [0, 2]; crescente em π 6 π 6 π π 2 [, 0] e [2, + ); côncavo para cima para π 6 < < π ; côncavo para 2 baio em π 6 < < π - 6. e 2 ( 2, 2 e 2 ) (e) f() = e máimo relativo; ponto e infleão em ( 2, 2 e 2) ; ecrescente em [, + ); crescente em (, ]; côncavo para cima para > 2 ; côncavo para baio em < 2. 4 = + (f) f(0) = 0 mínimo relativo; f(2) = 4 máimo relativo; não há ponto e infleão ; ecrescente em [0, ) e (, 2]; crescente em (, 0] e [2, + ); côncavo para cima para > ; côncavo para baio em < ; assíntota vertical: = ; assíntota oblíqua: =

13 (g) f(0) = mínimo relativo; não há ponto e infleão ; ecrescente em [0, ) e (, 2]; crescente em (, ) e (, + ); côncavo para cima para < e > ; côncavo para baio em < < ; assíntotas verticais: = e = ; assíntota horizontal: = (h) f(0) = 0 mínimo relativo; f() = máimo relativo; não há ponto e infleão; ecrescente em (, 0] e [, + ); crescente em [0, ]; côncavo para baio em < 0 e > (a) 0 e 0 (b) 4000 cm (c) ( 28 ) 7, (a) 0 (b) 0 (c) 0 () () = π, = π (e) 0 cm (f) = cm e = 4 cm (e) (f) 24 (a) 2 (b) 0 (c) 2 () 2

14 26 (a) ( ) 7 = sinh 0, 572. =7 20 (b) Denotamos α é o ângulo entre a reta tangente e o eio, então, tg α = 0, 572. Deste moo, α = arc tg(0, 572) 0, 4 ra 9, 66. Então, o ângulo entre a reta e o poste é θ = 90 9, 66 = 70, Sugestão: Para o item (a), escreva e resolva a equação e 2 e = 0 em termos e. = senh = e e 2 4