CAPÍTULO 7. ( p)= -1 p2. Segue que a reta tangente no ponto de abscissa p é y 1. f( x)- f() Exercícios f( x)= sen px. Exercícios

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1 CAPÍTULO 7 Eercícios 7 8 f 3-9 f sen p Eercícios 73 8 f ' ( p) - p Segue que a reta tangente no ponto e abscissa p é y - - ( - p) p p p Para y, - p e, portanto, p; ou seja, a reta tangente no ponto e abscissa p p intercepta o eio no ponto e abscissa p Eercícios 76 a) Não, pois lim f lim ( + ) 3 e lim f lim Æ Æ Æ + Æ + b) Não, pois f não é contínua em - f f f f a) Sim, pois lim lim, lim lim - - f f e, portanto, lim Æ - Æ - Æ - - ( ) b) Sim, pois f é erivável em - Æ + Æ () f f 3 3 a) Não, pois lim lim Æ Æ - f- f() 3-3 lim lim Æ + - Æ e - 3 b) Sim, pois lim f lim (- + 3), lim f lim ( -3) e, portanto, Æ3 - Æ3 - lim f f() 3 Æ 3 Æ 3 + Æ 3 +

2 Eercícios 79 6 y y Þ - 3 Substituino na equação, tem-se Ê - ˆ Ë + Ê ˆ Ë 3 para Logo, y satisfaz a equação aa 7 y - e y 4 Substituino na equação, resulta Ê - ˆ - Ë - Logo, y satisfaz a equação aa para too 9 ( - 3 )- ( -3 ) -( -3) 3 para too Logo, y 3 satisfaz a equação aa cost cost cost cost Logo, cos t satisfaz a equação aa 3 tet tet tet et tet et tet tet - + ( + )- ( + )+ Logo, y te t satisfaz a equação aa 5 y Ê ˆ Ë + Ê ˆ + Ë Eercícios 7 ( + ) ( + ) g' ( t) f ' t + t tf' t Daí, g' f ' Þ e Þ 9 g fe g' f' e + g'' f'' e e e f' e e 4 4

3 ou seja, [ ] + + g 4e4 f e 4e f e 4e f e e f e ea 4ea ea 4ea ea 4 - a - ( a - ) Como e a π para toos os reais e, everemos ter então 4, ou seja, 4 ea a ea bea ea a ea bea ea a b + + a + a + [ a + a + ], pois, por hipótese, é raiz a equação característica l + al+ b y + Þ y + Derivano em relação a, vem y ( + ) e, portanto, y y Derivano novamente em relação a, resulta Ê y y ˆ y y, ou seja, + y y Ë y e, portanto, y Ê ˆ + y Ë Para too em I, Ê y ˆ Ë ( + y ); aí, y + y De y y y e teno em vista que y + y, resulta y + y + y, ou seja, y + y+ y3 3 a) Seno f erivável em I, [f()] 3 será, também, erivável em I; logo, f erivável em I, ou seja, f eiste para too em I b) f '' + 3[ f ] f ', aí, f ''( ) + 3 f( ) f ' f '( ) + f( ) 3, [ ] resulta f 7 () c) y- f() f' () -, ou seja, y- - 5 [ ] De f() e é

4 6 De y 4 segue que y -4 e, portanto, y -4 b, pois b Derivano novamente em relação a t e lembrano que é constante, obtemos y 4b 4b 8 Ê ˆ 4 4 Ë b 3 ] [ - ; aí, 9 a) Seno f ímpar, para too em -rr, temos f - f [ f( -)] - f Como [ f( -)] f( -) (-) -f (-), resulta f - f rr, Logo, f é uma função par em -rr, para too em ]- [ ] [ Eercícios 73 4 Isolano y na equação y + y + -, resulta y - ± - ( - ) Assim, y , - + e π, ou y , - + e π, são funções aas implicitamente pela equação aa 5 Primeiro vamos eterminar o valor e y corresponente a Substituino por na equação, obtemos y e, portanto, y (lembre-se a conição y > ) Vamos, 4 agora, calcular y para Derivano implicitamente, vem + 8y y e, portanto, y - 4 y Como para temos y y, resulta - A equação a reta tangente no ponto e abscissa é y- - ( -, ) ou seja, y Derivano implicitamente, obtemos y b - Segue que o coeficiente angular m a y b a reta tangente no ponto (, ) é m - A equação a reta tangente no ponto ay b (, y ) é y- y - ( - ) a, ou seja, yy y b - b - a + a Como +, resulta y + Assim, a equação a reta tangente peia é a b a b y + a b 6

5 7 Derivano implicitamente a equação y, obtemos y y - A equação a reta tangente no ponto (, y ) é, então, y- - ( - ) De y, resulta y y que é a equação a reta tangente à curva y, no ponto (, y ) Seno A a interseção essa reta com o eio, temos A Ê Ë Á ˆ,, pois, fazeno y na equação a reta tangente, resulta Por outro lao, a interseção a reta tangente com o eio y é B Ê Ë Á ˆ Ê ˆ, O ponto méio o segmento AB é, então, Á, ; Ë porém, e y resulta e Assim, (, y ) é o ponto méio o segmento AB 9 Derivano implicitamente a equação 3+ y3, obtemos y y - 3 Segue que 3 3 y y- y - y 3 3 ( - 3 ), ou seja, + y y De +, resulta que + é a equação a reta tangente no ponto (, y ) Segue que A, e B y 3, A istância e A a B é 3 3 ( - ) + ( -) Assim, a istância e A a B é, qualquer que seja (, y ), com e y ; logo, a istância e A a B não epene o ponto (, y ) Derivano implicitamente a equação y, obtemos y+ y - e, portanto, y - y - Segue que y- ( - ) é a equação a reta tangente no ponto (, y ) A interseção esta reta com o eio y é B (, -) A área o triângulo e vértices (, ), B e (, y ) é ( - ) - Logo, a área o triângulo e vértices (, ), B e (, y ) inepene o ponto (, y ), Eercícios 75 y 3 - e, portanto, y 6 - Das conições y 3 e π, resulta 3 6, ou seja, 5 6 O ponto peio é aquele cuja abscissa é Derivano em relação a t os ois membros a equação y 4, obtemos y + y e, portanto, y + b, com constante Derivano a última 7

6 equação em relação a t, vem y y + + b e, então, y Teno em vista que y 4 e -b, resulta b 3 y 8 - b 7 Pela lei os co-senos, cos Derivano em relação a t, obtemos - 6 cos + 6 sen Para p, temos 4 Substituino estes valores na equação anterior e lembrano que, obtemos - 3 ( cm s ) 9 Suponhamos que para, a abscissa e P seja m Seno O o centro a circunferência, quano o segmento OP escreve um ângulo e ra,, o ponto e tangência a circunferência com o eio avança m, isto porque a rolagem é sem escorregamento e o raio a circunferência unitário Segue que y cos e m sen Temos, então, y sen e -cos Como, resulta y sen e -cos (Observe que, se para t, teremos t e, portanto, t sen t e y cos t, que são as equações paramétricas a curva enominaa ciclóie) h- y+ h + e; erivano em relação a t, obtemos y Eercícios 76 4 Seja p a abscissa o ponto e tangência Devemos ter 3 Ïbp- p -4p Ì Ób 3p -4 h + Segue que 3p3-4p- p3-4p e, portanto, p 3 Logo, 5 Seja y m n a equação a reta tangente; sejam p e q as abscissas os pontos e tangência com as curvas y e y +, respectivamente Temos Ïmp + n -p Ô mq + n + q Ì Ôm-p Ó Ôm q 8

7 Das uas últimas equações, resulta q p Substituino na seguna equação e somano-a com a primeira, obtemos n 4 Fazeno na primeira equação n e m p, 4 tem-se p e, portanto, p ± 4 Segue que m Logo a equação e r é y- + 4 ou y + 4 Eercícios 77 y y 7 Derivano, em relação a, a equação, obtemos e, portanto, y y - 3 y 3 Segue que o coeficiente angular m a reta tangente no ponto (, y ) é y m - A equação a reta tangente em (, y ) é então y- - ( - ), ou seja, y + y V yz, one, y e z são as arestas o paralelepípeo Temos V yz y z z + + y Assim, no instante em que as arestas meem a, b e c, respectivamente, o volume V estará variano a uma taa e v a bc av b c abv c 5 Pela lei os senos 5 sen a, ou seja, sen 5 sen ( ) sen -- Derivano em relação a t, resulta cos 5 cos ( + ) Ê sen ˆ 5Á - Ë Ê Ë + ˆ cos sen cos Ê Ë + ˆ Segue que No instante em que p 3, teremos,, sen 3, cos e sen a cos a -5 3 Assim, no instante em que p 3, tem-se a - 95 (Atenção: Quano p, pela lei os co-senos tem-se 5 + -cos, one 3 é o comprimento o lao oposto ao ângulo segue que 9 Novamente, pela lei os co-senos tem-se cosa e, portanto, cos a - 9 ) 6 O comprimento o lao oposto ao ângulo é 9 - cos Pela lei os senos, tem-se sen 5sen 9 - cos Teno em vista a hipótese p a p < <, temos 9

8 4- cos+ 5cos 5cos - cosa cos 9 - cos Segue que sen a sen cos a - 5 Observe que a hipótese p < a < p segue aina que 5cos - o lao oposto ao ângulo é menor que o oposto ao ângulo, aí evermos ter 9 - cos 5 e, portanto, cos >, 5 ou seja, 5 cos - > Resulta então sen a sen cos a - 5 Substituino na epressão que aparece no eercício anterior, vem 5cos - a Ê 5sen ˆ a a Á + Ë 5 - Ê + ˆ Ë Ê - cosˆ Á Ë 5 - Ê Ë + ˆ cos cos cos Logo, a 5 - cos cos Para, temos P( ) A Derivano os ois membros a relação aa, em relação a, obtemos P A + A( - )+ 3 A3( - ) Para, temos P( ) A Derivano, em relação a, a epressão anterior, obtemos P A + 3 A3( - ) Para, resulta P( ) A, ou seja, A P ( ) Derivano, em relação a, a epressão anterior, resulta P 3 A 3 Para, obtemos P ( ) 3 A3, ou seja, A3 P ( ) Logo, 3! P( ) P ( ) P P ( )+ P( ) ( - )+ ( - ) + ( - ) 3! 3! 3