UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

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1 CÁLCULO L1 NOTAS DA QUINTA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Iniciamos a aula definindo as funções trigonométricas e estabelecendo algumas de suas propriedades básicas. A seguir, calcularemos um ite fundamental para a obtenção da derivada da função seno. Por fim, cegaremos a derivada da função cosseno. 1. Funções trigonométricas Iremos definir as funções seno e cosseno de um ângulo que mede α radianos. No plano cartesiano, seja c uma circunferência de raio 1 com centro na origem e seja P o ponto de coordenadas 1, 0. Iniciando em P, percorra um arco na circunferência de comprimento α no sentido anti-orário, quando α 0, ou no sentido orário, quando α < 0, e seja Q o ponto terminal deste arco. Diremos que as coordenadas do ponto Q são cos α, sen α. Isto é, O seno do ângulo medindo α radianos é igual a ordenada do ponto Q. O cosseno do ângulo medindo α radianos é igual a abscissa do ponto Q. Como o ponto Q depende da medida α do ângulo, representa-lo-emos por Q α para enfatizar esta dependência. Veja a figura a seguir. Y c sen α Q α cos α P Dois ângulos, medindo α e β radianos, são ditos congruentes quando Q α = Q β. Isto é, α β é um múltiplo inteiro de π ou seja 1 α β = kπ, para algum k Z Conseqüentemente ângulos congruentes possuem o mesmo seno e cosseno. Portanto, para todo número real α e número inteiro k, temos que senα + kπ = sen α cosα + kπ = cos α Como cos α, sen α são as coordenadas do ponto Q α que pertence à circunferência de raio 1 e centro na origem, cuja equação é + Y = 1, temos a seguinte relação fundamental 3 sen α + cos α = 1 Estas notas foram escritas pelo professor da disciplina, Manoel Lemos. 1

2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Mais ainda, 4 1 sen α 1 1 cos α 1 Note que a ordenada de Q α coincide com a abscissa de Q α π porque Q α é obtido a partir de Q α π após uma rotação do plano de π no sentido anti-orário tendo a origem como centro. Esta rotação leva o eixo das abscissas no das ordenadas. Logo 5 sen α = cos α π Esta rotação leva o eixo das ordenadas no das abscissas, com a orientação invertida, e daí 6 cos α = sen α π Como Q α e Q α são pontos simétricos com relação ao eixo das abscissas, temos que 7 sen α = sen α cos α = cos α Exercício 1. Os pontos Q α e Q π α são simétricos com respeito a reta de equação Y =. Quais identidades para o sen α e cos α, similares as listadas em 7, podem ser obtidas utilizando esta simetria? É possível afirmar, a partir de 3 e do cálculo de alguns de seus valores, que as funções sen e cos possuem período igual a π. Portanto, o gráfico de qualquer uma destas funções é obtido pela repetição do seu gráfico no intervalo [0, π]. De 5, concluímos que o gráfico de sen é obtido a partir do de cos após uma translação orizontal de π para a direita. Nas figuras seguintes, ilustramos os gráficos destas funções. Y π Y = sen Y Y = cos Salientamos que os valores máximo e mínimo assumidos por estas funções são 1 e 1. De 7, temos que sen é uma funão ímpar e cos é uma função par. Para quaisquer números reais α e β, estabeleceremos que 8 cosα + β = cos α cos β sen α sen β Considere os pontos Q α+β, Q α, P e Q β em c. Ao realizarmos uma rotação de β radianos no sentido orário com centro na origem, o ponto Q α+β é levado no ponto Q α e ponto P é levado no ponto Q β. Logo o segmento Q α+β P é levado no segmento Q α Q β e daí Veja ilustração a seguir. Q α+β P = Q α Q β

3 MANOEL LEMOS 3 c Q α+β Y Q α P Q β Substituindo as coordenadas dos Q α+β, P, Q α e Q β, que são respectivamente cosα + β, senα + β, 1, 0, cos α, sen α e cos β, sen β = cos β, sen β com a igualdade seguindo de 7, na fórmula da distância entre pontos, cegamos à cosα + β 1 + senα + β 0 = cos α cos β + sen α sen β Elevando ambos os membros desta igualdade ao quadrado, temos que cosα + β 1 + sen α + β = cos α cos β + sen α + sen β Esta identidade pode ser transformada em [cos α + β cosα + β + 1] + sen α + β = [cos α cos α cos β + cos β] Reagrupamos esta relação como + [sen α + sen α sen β + sen β] [cos α + β + sen α + β] + 1 cosα + β = [cos α + sen α] + [cos β + sen β] Utilizando 3 três vezes, concluímos que [cos α cos β sen α sen β] cosα + β = [cos α cos β sen α sen β] Note que 8 segue imediatamente desta igualdade. Vamos estabelecer uma relação para o seno da soma similar a do cosseno. Por 5, senα + β = cos α + β π que pode ser reescrita como Por 8, temos que senα + β = cos senα + β = cos α cos Aplicando 5 e 6, concluímos que Conseqüentemente α + β π β π sen α sen β π senα + β = cos α sen β sen α cos β 9 senα + β = sen α cos β + cos α sen β

4 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO O seno da diferença é dado por 10 senα β = sen α cos β cos α sen β De fato, por 9, senα β = senα + β = sen α cos β + cos α sen β e 10 segue de 7. De maneira análoga, temos que 11 cosα β = cos α cos β + sen α sen β Exercício. Decida quais das seguintes identidades são válidas para todos os números reais α: i senα = sen α cos α ii cosα = cos α 1 iii cosα = 1 sen α iv sen3α = 3 sen α 4 sen 3 α Subtraindo 10 de 9, obtemos que senα + β senα β = cos α sen β Se fizermos A = α + β e B = α β, então A + B A B 1 sen A sen B = cos sen porque A + B = α e A B = β A expressão 1, que é a diferença de dois senos, será utilizada para o cálculo da derivada da função seno. Exercício 3. Encontre uma expressão para: i a soma de dois senos; ii a diferença de dois cossenos; e iii a soma de dois cossenos. Nesta seção estabeleceremos que. Um ite fundamental 13 α 0 sen α α = 1 Este ite é fundamental para o cálculo da derivada da função seno e conseqüentemente das demais funções trigonométricas. Como será suficiente concluir que sen α α = sen α α 14 α 0 + sen α α = 1 Como α se aproxima de 0 por valores maiores que 0, vamos assumir que α não é muito grande. Isto é, vamos supor que α está no intervalo 0, π. Seja Qα como definido na seção anterior. Logo é o ponto de coordenadas cos α, sen α. Note que Q α está no primeiro quadrante. Denotamos por O a origem do sistema cartesiano. Seja S o ponto pertencente

5 MANOEL LEMOS 5 a interseção da reta que contém O e Q α com a reta passando por P e perpendicular ao eixo das abscissas. Seja R o ponto com coordenadas cos α, 0. Veja a ilustração a seguir. Y S Q α O R P Considere as seguintes regiões do plano: F 1 é o triângulo retângulo ORQ α cuja área A 1 é a metade do produto do comprimento de seus catetos OR e RQ α. Portanto, A 1 = cos α sen α. F é o setor circular OP Q α cuja área A é a metade do produto do comprimento do arco P Q α pelo raio OP. Logo A = α. F 3 é o triângulo retângulo OP S cuja área A 3 é a metade do produto do comprimento de seus catetos OP e P S. Conseqüentemente A 3 = P S. Como F 1 está contida propriamente em F e F está contida propriamente em F 3, temos que A 1 < A < A 3 e daí 15 cos α sen α < α < P S Necessitamos encontrar uma expressão para P S em termos de α. Como os triângulos ORQ α e OP S são semelantes, temos que RQ α OR = P S OP Para evitar confusão, a lina em cima do par de pontos utilizada para denotar o comprimento do segmento entre estes pontos será sempre einada quando estivermos em uma fração. Conseqüentemente sen α cos α = P S 1 = P S Substituindo este valor em 15, cegamos a cos α sen α < α < sen α cos α Dividindo esta expressão por sen α, temos que Tomando os inversos, obtemos que cos α < α sen α < 1 cos α 16 cos α < sen α α < 1 cos α Iremos analisar estas desisgualdades quando α 0 +.

6 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Quando α 0 +, temos que Q α P e R P. Portanto, cos α = OR OP = 1. Isto é, cos α = 1 α 0 + Como o ite do quociente é o quociente dos ites, quando o denominador não tende a 0, temos que 1 α 0 + cos α = 1 α 0+ α 0 + cos α = 1 1 = 1 Conseqüentemente o lado direito e o lado esquerdo das desigualdades 16 tendem a 1 quando α 0 +. Não resta uma outra alternativa para o termo intermediário que não seja se aproximar de 1 porque está sendo itado inferiormente e superiormente por quantidades que se aproximam de 1. Isto é, sen α α 0 + α = 1 Logo 14 segue. O conecimento do valor do ite 13 permite o cálculo de inúmeros outros ites do tipo 0. Não faremos isto agora, pois todos estes ites podem ser calculados através 0 da regra de L Hôspital, que será abordada mais a frente. Contudo, reduziremos o ite considerado no próximo exemplo ao ite fundamental que acabamos de calcular, já que será utilizado para o cálculo da derivada da função cosseno. Exemplo 4. Calcule o seguinte ite 1 cos 0 Multiplicando o numerador e o denomidar da fração por 1 + cos temos que 1 cos 0 Como sen = 1 cos, temos que 1 cos 0 = 0 1 cos 1 + cos 1 + cos = 0 sen 1 + cos = sen 0 1 cos = cos sen 1 + cos Mas o ite do produto é o produto dos ites e, quando o quociente não tende a 0, o ite do quociente é o quociente dos ites, 1 cos 0 = 0 sen 0 sen 1 + cos = sen 0 Como 0 sen = 0 e cos =, cegamos a 1 cos 0 0 sen cos sen 0 sen = cos = 1 0 = 0 Note que o cálculo do ite foi reduzido ao cálculo do ite fundamental e mais alguns outros ites que são simples de serem estabelecidos. Em geral, esta redução pode ser muito engenosa e por este motivo não daremos ênfase a este processo.

7 MANOEL LEMOS 7 3. A derivada do seno Na próxima regra, apresentaremos a derivada da função seno. Regra 5. Se f = sen, então f = cos Pela definição da derivada, 17 f f + f sen + sen = = A diferença dos senos no numerador, por 1, pode ser transformada em sen + sen = cos sen = cos + sen Substituindo esta identidade em 17, concluímos que f cos + sen = = cos 0 Como o ite do produto é o produto dos ites, temos que f sen = cos sen Vamos substituir a variável no segundo ite para cegarmos ao ite fundamental abordado na seção anterior. Tomando = t, observamos que t 0 quando 0, e daí f = cos + sen t 0 t 0 t Note que o primeiro ite, da esquerda para a direita, é igual a cos e o segundo é o ite fundamental calculado na seção anterior sendo igual a 1. Portanto, f = cos Exemplo 6. Determine as equações das retas tangentes à curva de equação Y = sen que são orizontais indicando os seus pontos de tangência. Esta curva é o gráfico da função f = sen. O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico desta função no ponto de abscissa é f, que é igual cos pela Regra 5. Necessitamos encontrar todos os tais que f = 0. Isto é, 18 cos = 0 As soluções de 18 no intevalo [0, π são = π e = 3π. Como cos é uma função periódica, com período π, obtemos as outras soluções de 18 somando a cada uma destes dois valores todos os possíveis múltiplos inteiros de π. Isto é, as soluções de 18 são = π + kπ, para k Z 19 = 3π + kπ, para k Z Note que 19 pode ser resumida da seguinte forma = π + kπ, para k Z

8 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Quando = π + kπ, para k Z, o valor de f é igual a f π = 1. Logo Y = 1 é tangente á curva Y = sen nos pontos π + kπ, 1, para k Z. Isto é, Y = 1 é tangente a esta curva em infinitos pontos. De maneira similar, concluímos que Y = 1 é tangente á curva Y = sen nos pontos 3π + kπ, 1, para k Z. Exercício 7. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função f = sen no ponto com abscissa i = 0 ii = π 6 iii = π 3 iv = π v = 41π 4 Exercício 8. Encontre as retas normais à curva de equação Y = sen que são paralelas à reta de equação + Y + 10 = 0. Para cada uma destas retas, indique as coordenadas do ponto de tangência. Exercício 9. Considere a função dada por f = sen i Calcule f ii Qual o menor e o maior valor assumidos por f? iii Existe número real a tal que a reta de equação 5 + 1Y + a = 0 é tangente à curva de equação Y = sen? 4. A derivada do cosseno Estabeleceremos, com uma outra abordagem, a regra para derivar o cosseno. Qualquer uma das duas abordagens serve para encontrar a derivada das funções seno e cosseno. Você é capaz de permutar as abordagens? Regra 10. Se f = cos, então f = sen Pela definição da derivada, f = 0 f + f = 0 cos + cos Utilizando 8, que é uma relação para o cosseno da soma de ângulos, cegamos a f = 0 [cos cos sen sen ] cos Podemos reescrever esta expressão da seguinte forma [ cos 1 f = cos Pelas propriedades básicas de ites, obtemos que = 0 cos cos 1 sen sen sen ] sen f cos 1 sen = cos 0 sen 0 Mas 0 cos = cos e 0 sen = sen. Portanto, [ ] [ ] f cos 1 sen = cos sen Como o primeiro ite, da esqueda para a direita, foi calculado no Exemplo 4 e vale 0 e o segundo ite é o ite fundamental e vale 1, temos que f = 0 cos 1 sen = sen

9 MANOEL LEMOS 9 Exemplo 11. A derivada de ordem n de f = sen é dada por sen se o resto da divisão de n por 4 é 0 0 f n cos se o resto da divisão de n por 4 é 1 = sen se o resto da divisão de n por 4 é cos se o resto da divisão de n por 4 é 3 Observe que a seqüência de funções é dada por f, f, f, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7, f 8... sen, cos, sen, cos, sen, cos, sen, cos, sen,... pois o termo seguinte é igual a derivada do anterior. Note que esta seqüência tem período 4. Isto é, f k = f k+4, para todo número natural k. Esta é a propriedade descrita em 0. Exercício 1. Encontre uma expressão para a derivada de ordem n da função f = 5 cos Exercício 13. Decida a veracidade de cada uma das seguintes afirmações sobre a função f = 5 sen 4 cos. i f 9 não é itada. ii f 134 = f 18 iii f 18 nunca se anula. iv f 317 = 4 sen + 5 cos v f, f, f, f 3, f 4, f 5,... é uma seqüência de período 4. vi f k = 5 1 k sen k 1 cos, para todo natural k. Exercício 14. Para a função f = cos sen determine: i O seu maior domínio possível. ii A sua derivada. iii Os pontos para os quais a reta tangente ao seu gráfico é orizontal, caso existam. iv Os intervalos para os quais a sua derivada é negativa. 5. Respostas dos exercícios 1. sen α = cos π α e cos α = sen π α. i V ii V iii V iv V 3. i sen A + sen B = sen A+B cos A B ii cos A cos B = sen A+B sen A B iii cos A + cos B = cos A+B cos A B 7. i Y = 0 ii 6 3 1Y + 6 3π = 0 ii 3 + 6Y 3 3 π = 0 iv Y + 1 = 0 v 4 8Y + 4 π = Y 3 π kπ = 0 no ponto de coordenadas π + kπ, 3, para k Z; e Y π kπ = 0 no ponto de coordenadas π + kπ, 3, para k Z i 1 cos ii 0 e iii não 1. f n = 5 cos se o resto da divisão de n por 4 é 0; f n = 5 sen se o resto da divisão de n por 4 é 1; f n = 5 cos se o resto da divisão de n por 4 é ; f n = 5 sen se o resto da divisão de n por 4 é i

10 10 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO F ii V iii F iv V v V vi V 14. i { R : kπ, k Z} ii 5+ cos +5 cos sen 3 iii não existem iv kπ, kπ + π, para k Z Conteúdo da quinta aula da disciplina Cálculo L1, oferecida para os cursos de licenciatura em Física, Matemática e Química e o bacarelado em Química Idustrial, no segundo semestre de 008 na Universidade Federal de Pernambuco, tendo como professor Manoel Lemos