UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

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1 CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA TERCEIRA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a Regra de L Hôpital, que será utilizada para solucionar indeterminações de ites de qualquer tipo. Sejam f) e g) funções tais que. O que é um ite indeterminado? f) = F e g) = G a a Não excluímos a possibilidade de que F ou G seja. Em geral, o ite de alguma operação envolvendo f) e g) fica completamente determinado a partir de F e G. Porém, para alguns valores de F e G, isto não ocorre. Nestes poucos casos, o valor do ite depende das funções envolvidas. Quando isto acontece, diremos que este ite é da forma indeterminada ou simplesmente é indeterminado. Qualquer técnica que permite o cálculo de um ite desta forma fica conhecida como um método para resolver a indeterminação. Nesta aula, discutiremos tais métodos. Por exemplo, considere o cálculo do seguinte ite f) a g) Este ite será igual a F quando F e G são finitos e G. Se G = e F é finito, com G F, então o valor deste ite é. No caso em que F = G =, temos um ite do tipo, que é indeterminado. O valor deste ite depende das funções envolvidas. Agora, podemos assumir que F ou G é. Se F é finito, então o ite é. Se G é finito, então o ite é. No caso em que F = G =, temos um ite do tipo, que é indeterminado. Nesta aula, apresentamos a Regra de L Hôpital que resolve indeterminações do tipo ou No caso do ite f)g) a temos uma indeterminação apenas quando {F, G} = {, }. Neste caso, diremos que o ite é do tipo. Isto ocorre porque Quando F e G são finitos, este ite é igual a F G. Quando F ou G é, digamos F, este ite é, desde que G. Outros ites indeterminados serão considerados ao longo da aula e seus tipos não serão listados no momento. Estas notas foram escritas pelo professor da disciplina, Manoel Lemos.

2 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 2. Indeterminações do tipo Para funções f) e g), diremos que o ite ) a f) g) é do tipo quando 2) a f) = a g) = Limites deste tipo são indeterminados porque, dependendo das funções f) e g) envolvidas, podem resultar em qualquer valor. Já consideramos ites deste tipo anteriormente, para os quais conseguiamos resolver a indeterminação, pois as funções consideradas eram polinomiais. Para este caso específico, a condição 2) se traduz como a sendo raiz comum aos polinômios f) e g). Portanto, estes são divisíveis por a. Em geral, fatorando-se a no numerador e denominador, e cancelando-se este fator, resolve-se a indeterminação. Nesta seção, desenvolveremos uma técnica que pode ser empregada para quaisquer funções f) e g) desde que satisfaçam algumas condições de diferenciabilidade. Para estabelecer esta técnica necessitados do Teorema do Valor Médio Generalizado TVMG) que demonstramos a seguir. Teorema. Sejam f) e g) funções contínuas em um intervalo [a, b]. Se f ) e g ) existem, para todo em a, b), e g ), para todo em a, b), então existe c em a, b) tal que 3) fb) fa) gb) ga) = f c) g c) Observe que o TVM é uma conseqüência do TVMG quando, no último, tomamos g) =. Para estabelecer o TVMG, considere a seguinte função r) = [f) fa)][gb) ga)] [fb) fa)][g) ga)] Note que r) é contínua em [a, b] porque f) e g) são contínuas neste intervalo. r) possui derivada no intervalo a, b) porque f ) e g ) existem neste intervalo e r ) = f )[gb) ga)] [fb) fa)]g ) ra) = rb) = Portanto, r) satisfaz as hipóteses do Teorema de Rolle. Logo existe c em a, b) tal que r c) =, ou seja, r c) = f c)[gb) ga)] [fb) fa)]g c) = que pode ser reescrita como 3), já que g C) e gb) ga). Caso gb) ga) =, isto é, gb) = ga), existe, pelo Teorema de Rolle, um d em a, b) tal que g d) =, o que é contrário as hipóteses. Conseqüentemente gb) ga).) De posse deste resultado podemos facilmente estabelecer a primeira versão da Regra de L Hôpital. Faremos as outras ao longo desta aula. Caso a indeterminação não seja resolvida, temos que a é uma raiz do numerador e do denominador com multiplicidade de pelo menos 2. Repetindo-se este procedimento eventualmente a indeterminação será resolvida porque, após cada etapa, os graus dos numerador e denominador caem de.

3 MANOEL LEMOS 3 Regra 2. Para um número real a, sejam f) e g) funções contínuas em algum intervalo aberto J que contém a. Assuma que, para todo em J, com a, f ) e g ) existam, e g ). Se a f) = a g) = e existe, então f ) a g ) f) a g) = f ) a g ) Escolha em J, com a. Seja I o intervalo fechado tendo a e como extremos. Pelo TVMG aplicado ao intervalo I, existe c entre a e tal que 4) Como f) é contínua em J, temos que f) fa) g) ga) = f c) g c) fa) = a f) = De maineira análoga, estabelecemos que gb) =. Conseqüentemente, ao substituirmos estes valores em 4), temos que 5) f) g) = f c) g c) Como c, que depende de, está entre a e, temos que c a quando a. De 5), obtemos que f) a g) = f c) c a g c) e a regra segue. Esta regra permite calcular todos os ites indeterminados que foram considerados na segunda aula todos eram do tipo. Faremos um exemplo: Exemplo 3. Calcule o seguinte ite L = Note que este ite é do tipo. Sejam f) = e g) = 2 4. Logo f ) = e g ) = 2. Aplicando a Regra de L Hôpital, temos que = f) 2 g) = f ) 2 g ) = O ite à direita desta identidade é fácil de ser obtido: = 2 4 = 2 Logo L =. Aplicando esta regra, não necessitamos decompor o fator +2 do numerador 2 e do denominador que depois seria cancelado, assim, einando a indeterminação. Calcularemos apenas mais um ite utilizando esta regra. O próximo ite é complexo o suficiente, servindo para ilustrar o poder desta regra em sua plenitude.

4 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Exemplo 4. Calcule o seguinte ite L = e 6 6 cos4) Note que este ite é do tipo. Estamos em condições de aplicar a Regra de L Hôpital que acabamos de enunciar para f) = e 6 6 e g) = cos4). Como f ) = 6e 6 6 e g ) = 4 sen4), temos que, pela Regra de L Hôpital, f) L = g) = f ) g ) = 6e sen4) Mais uma vez, este ite é do tipo e necessitamos aplicar novamente a Regra de L Hôpital. Ao substituirmos o numerador por sua derivada e realizar o mesmo para o denominador, pela Regra de L Hôpital, temos que 36e 6 L = 6 cos4) = 36 6 = 9 4 Necessitamos aplicar duas vezes a Regra de L Hôpital para o cálculo deste ite. A sua aplicação uma única vez não foi suficiente para einar a indeterminação. Exercício 5. Calcule os seguintes ites: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) tg5) sen7) 2 4 e 3 5 e cos 2 sen 2 3) π + cos e sen Exercício 6. Enuncie a Regra de L Hôpital para o cálculo de ites laterais do tipo Faremos mais um exemplo. Resolveremos uma indeterminação do tipo + através da redução a uma indeterminação do tipo para a qual podemos aplicar a Regra de L Hôpital.

5 Exemplo 7. Calcule o seguinte ite MANOEL LEMOS 5 + sen Note que este ite é do tipo +. Logo indeterminado. Ao subtrairmos as duas frações, temos que + sen = sen + sen O ite à direita é do tipo. Aplicando a Regra de L Hôpital a este ite, chegamos a sen + sen = cos + sen + cos Mais uma vez, o ite à direita é do tipo, logo indeterminado. Aplicando a Regra de L Hôpital a este ite, obtemos que + cos sen + cos = + Portanto, o valor do ite proposto é. sen 2 cos sen = 2 = Finalizamos esta seção, estabelecendo a Regra de L Hôpital para o cálculo de ites do tipo quando a variável tende a, digamos +, já que, para, a abordagem é análoga. Regra 8. Sejam f) e g) funções diferenciáveis no intervalo aberto M, +), para algum número real M. Assuma que g ), para todo no intervalo M, +). Se + f) = + g) = e existe, então Observe que f ) + g ) f) + g) = f ) + g ) f) + g) = + f ) g ) Aplicando a Regra 2 ao ite da direita 2, obtemos que f) + g) = f ) ) ) + g ) f = 2 ) ) + g 2 Simplificando o fator que multiplica o numerador e o denominador, obtemos que 2 f) + g) = f ) + g ) O resultado segue porque f ) + g ) = + f ) g ) 2 Para aplicar a Regra de L Hôpital, necessitamos extender as funções f ) e g ) para = de forma que fiquem contínuas basta tomarmos estes valores iguais a.

6 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 3. Indeterminações do tipo Na próxima regra iremos permitir que a assuma o valor de +. Regra 9. Sejam f) e g) funções diferenciáveis no intervalo aberto M, a), para algum número real M tal que M < a. Assuma que g ), para todo no intervalo M, a). Se a f) = a g) = e existe, então f ) a g ) f) 6) a g) = f ) a g ) Não faremos a demonstração desta regra porque foge do espírito deste curso. Contudo, mostraremos que, caso os dois ites que aprarecem na igualdade 6) existam, estes têm de ser iguais. Por hipótese, assumimos apenas que o que fica à direita existe. Suponha que Note que L = a f) g) L = a f) g) = a e L = a f ) g ) g) f) Note que o ite à direita é do tipo. Aplicando a Regra de L Hôpital para o cálculo deste ite 3, obtemos que que pode ser reescrita como L = a g) f) = a L = a g )f) 2 f )g) 2 = a g ) f ) g ) g) 2 f ) f) 2 ) 2 f) = L2 a g) L Portanto, L = L. Temos problemas neste argumento quando L for ou. Isto não importa, já que não estamos estabelecento formamente esta regra, como deixamos claro antes. A demonstração formal é sofisticada e envolve a construção de uma seqüência que se aproxima de a com determinadas propriedades.) Antes de aplicar esta regra, apresentamos a sua versão para o cálculo do ite lateral pela direita, sem nenhuma justificativa, por ser semelhante. Na próxima regra, podemos tomar a para ser. Regra. Sejam f) e g) funções diferenciáveis no intervalo aberto a, M), para algum número real M tal que M > a. Assuma que g ), para todo no intervalo a, M). Se a + f) = a + g) = e f ) a + g ) 3 No caso em que a +, para aplicar esta regra, necessitamos estender as funções f) e g) para = a de forma que fiquem contínuas fazemos isto tomando os seus valores em = a como sendo.

7 existe, então MANOEL LEMOS 7 f) a + g) = f ) a + g ) Podemos aplicar a Regra de L Hôpital para analisar o comportamento de funções racionais no infinito abordamos este tópico na aula passada. Vejamos um exemplo: Exemplo. Calcule o seguinte ite Como este ite é do tipo, podemos utilizar a Regra de L Hôpital para o seu cálculo. Por esta regra, temos que = Como o ite à direita desta identidade é do tipo, necessitamos aplicar a Regra de L Hôpital mais uma vez para resolver a indeterminação. Portanto, = Exemplo 2. Calcule o seguinte ite = e 2 6 = 3 Note que este ite é do tipo. É um ite que pode ser calculado através da Regra de L Hôpital. Aplicando esta regra, temos que = + e + e O ite que está à direita desta igualdade continua sendo do tipo. Aplicando mais uma vez a Regra de L Hôpital, chegamos à = = + e + e + e À direita da igualdade, ainda temos um ite do tipo. Pela Regra de L Hôpital, = = e + e + O ite à direita desta identidade é igual a. Portanto, o ite proposto vale. e = + De maneira similar, podemos mostrar que o quociente de uma função polinomial pela exponencial na base e tende a zero quando a variável tende a +. Isto é, a exponencial na base e cresce muito mais rápidamente que qualquer função polinomial. Na verdade, isto também ocorre quando tomamos a exponencial em qualquer base a satisfazendo a >. Mais precisamente, caso p) seja um polinômio e a um número real tal que a >, temos que p) + a = Para obter esta igualdade, aplique a Regra de L Hôpital tantas vezes quanto seja o grau de p).) 6 e

8 8 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Exercício 3. Calcule os seguintes ites: i) ii) iii) iv) v) vi) vii) ln + e 2 tg3) π + tg5) 2 lnsen ) + cotg ln + 4. Indeterminações do tipo Suponha que f) e g) sejam funções satisfazendo 7) a f) = e a g) = Qual o valor do ite do produto destas funções quando a variavel tende a a? Isto é, como calcular L = f)g) a quando existir? Diremos que L é do tipo. Limites deste tipo são ditos indeterminados porque o seu valor depende das funções envolvidas. Podemos transformar este ite em um ite do tipo ou do tipo para os quais podemos utilizar a Regra de L Hôpital. Para transformar em um ite do tipo utilizamos a identidade 8) a)b) = a) b) Isto é, passamos b) para o denominador dividindo. Para transformar em um ite do tipo consideramos a igualdade 9) a)b) = b) a) Qual das duas identidades devemos adotar ao utilizar a Regra de L Hôpital para o cálculo deste ite? Depende da situação, que terá de ser considerada cuidadosamente.

9 Exemplo 4. Calcule o seguinte ite MANOEL LEMOS 9 ln + Note que este ite é do tipo porque + ln =. Temos duas possibilidades de obter este ite utilizando a Regra de L Hôpital. Podemos transformar em um ite do tipo ou do tipo Primeiro, transformaremos em um ite do tipo. Note que ln ln = + + Aplicando a Regra de L Hôpital ao ite à direita, que é do tipo, temos que Portanto, ln + = + 2 ln ln = + + = + 2 = + 2 = + = Com esta abordagem foi fácil calcular este ite, já que aplicamos a Regra de L Hôpital uma única vez. Agora, transformaremos em um ite do tipo. Observe que ln = + + Aplicando a Regra de L Hôpital ao ite à direita, que é do tipo, obtemos que ln = + + ln = ln + ln 2 = + ln2 Logo o ite que resultante ficou muito mais complexo do que o original. Conseqüentemente esta escolha deve ser evitada. Caso, originalmente, a tivéssemos feito, deveríamos abortá-la. Exercício 5. Calcule os seguintes ites: i) ii) iii) ) 5 sen + ) 6 π π 3 tg 2 ln5 4) ln6 2) 3

10 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO 5. Indeterminações do tipo ou ou Para funções f) e g), temos, por definição, que f) g) g) ln f) = e Portanto, como a função exponencial é contínua, obtemos que ) a f) g) = e a g) ln f) Logo, por ), reduzimos o cálculo do ite a f) g) ao de encontrar o ite ) g) ln f) a que chamaremos de L. Quando L tiver uma forma indeterminada, isto é, o seu valor dependerá das funções envolvidas, diremos que a f) g) também assume uma forma indeterminada. Quando isto ocorre? Caso L seja do tipo. Isto irá acontecer nos seguintes casos: a g) = e a f) =. Neste caso, diremos que a f) g) é do tipo. a g) = e a f) = +. Neste caso, diremos que a f) g) é do tipo. a g) = e a f) =. Neste caso, diremos que a f) g) é do tipo. Reduzimos qualquer ite de qualquer um destes tipos a um que é uma indeterminação do tipo através da identidade ). Calcularemos apenas um ite nesta forma que é um clássico. Estabeleceremos a seguinte identidade, que é um dos ites fundamentais do cálculo, 2) + juntamente com + ) = e sen 3) = que foi utilizado para o cálculo da derivada do seno e conseqüentemente de todas as funções trigonométricas. Note que o ite encontrado na identidade 2) é do tipo. Por ), 4) + ) = e + ln+ ) + Portanto, reduzimos o cálculo deste ite ao seguinte 5) L = ln + ) + Observe que L é do tipo. Transformamos este ite em um do tipo usando a identidade ln + ) = + Logo L = + ln + ) = + +

11 MANOEL LEMOS Aplicando a Regra de L Hôpital ao ite à direta desta identidade, obtemos que + L = + Substituindo o valor de L em 4), temos que e obtemos 2). + + = 2 + = 2 ) = e + ln+ ) = e = e 6. Assíntotas inclinadas Uma reta r é uma assíntota para o gráfico de uma função f quando, ao percorrermos r em uma determinado sentido, o gráfico de f vai ficando cada vez mais próximo de r. As assíntotas podem ser de três tipos: verticais, horizontais ou inclinadas. Já discutimos como determinar as assíntotas horizontais e verticais. Vamos discutir como obter as assíntotas inclinadas. Nos próximos dois parágrafos resumimos o que sabemos sobre as assíntotas verticais e horizontais. Uma assíntota vertical tem equação = a. Como o gráfico de f fica muito próximo desta reta quando a percorremos em algum sentido, temos que 6) f) = ou f) = a a + Quando 6) é satisfeita para um número real a, vimos que = a é uma assíntota vertical para o gráfico de f. Uma assíntota horizontal tem equação Y = a. Como o gráfico de f fica muito próximo desta reta quando a percorremos em algum sentido, temos que 7) f) = a ou f) = a + Quando 7) é satisfeita para um número real a, vimos que Y = a é uma assíntota horizontal para o gráfico de f. Agora, suponha que r seja uma assítota inclinada para o gráfico de f. Portanto, existem números reais m e b, com m, tais que a equação de r é Y = m +b. Ao percorrermos esta reta em um determinado sentido, fazemos as abscissas de seus pontos ficarem muito grandes ou pequenas, isto é, tendem a, que pode ser + ou. Como o gráfico de f fica muito próximo de r, temos que f) fica muito próximo de m + b, quando. Em particular, f) m + b = Dividindo o numerador e o denominador por, temos que = f) m + b = f) m + b = f) m + b = f) m Portanto, f) m = Aplicando a Regra de L Hôspital para o cálculo deste ite, chegamos à m = f )

12 2 UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Determinado o valor de m, passamos a calcular o valor de b. próximo de m + b, quando, concluímos que = f) m + b) = [f) m] b = Conseqüentemente b = f) m Como f) fica muito [f) m] b Exemplo 6. Determine a equação de todas as retas que são assíntotas ao gráfico da função dada por f) = 3 + e e 3 Note que o gráfico desta função não possui assíntota vertical porque f) é uma função contínua para todo real. Passamos a analisar o comportamento desta função no infinito, de maneira quantitativa, ficando a formalização matemática com exercício para o leitor. Quando tende a +, 2 e 3 tendem para e conseqüentemente e 2 e e 3 tendem a. Portanto, o numerador da expressão de f) se aproxima de 3 e o denominador de 2 e daí f) se aproxima de 3 =. Logo Y = é 2 uma assíntota inclinada para o gráfico de f) quando tende a +. Quando tende a, 2 e 3 tendem para +. Como a exponencial na base e cresce muito mais rapidamente que qualque polinômio, e 2 domina o munerador e e 3 o denominador. Portanto, o ite de f) quando tende a é o mesmo de e 2 = e e que vale. Logo Y = é uma assíntota horizontal e 3 para o gráfico de f) quando tende a. Fizemos a escolha desta função para que possuisse simultaneamente uma assíntota horizontal e outra inclinada. 7. Respostas dos exercícios 5. i) 9 ii) iii) 5 iv) 2 v) vi) 8 vii) + 3. i) ii) iii) + iv) e 2 v) 5 vi) vii) + 5. i) 5 ii) 6 iii) 3 π Conteúdo da décima terceira aula da disciplina Cálculo L, oferecida para os cursos de licenciatura em Física, Matemática e Química e o bacharelado em Química Idustrial, no segundo semestre de 28 na Universidade Federal de Pernambuco, tendo como professor Manoel Lemos