MATEMÁTICA 3 ( ) A. 17. Sejam f(x) = sen(x) e g(x) = x/2. Associe cada função abaixo ao gráfico que. 2 e g.f 3. O número pedido é = 75

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1 MATEMÁTICA Sejam f() sen() e g() /2. Associe cada função abaio ao gráfico que melhor a representa. Para cada associação feita, calcule i k, onde i é o número entre parênteses à direita da função, e k é o número entre parênteses à direita do gráfico associado. Indique a soma dos três números assim obtidos. (O símbolo denota composição de funções e. o produto). f g g f (2) (3) (0) g. f (4) (1) (2) (3) Resposta: 75 Observe que g.f é uma função par que não é periódica nem limitada. f g e g f são ímpares periódicas e limitadas. O período de f g é o dobro do período de g f. A melhor correspondência é, portanto, f g 1 g f 2 e g.f 3. O número pedido é Seja f() Quando a variável varia de A a A+ ( 0), a variável dependente varia de B a B+. Seja L. Analise as afirmações: 0-0) Para cada valor fio de A, L diminui quando aumenta. 1-1) Para cada valor fio de, L aumenta quando A aumenta. f( A + ) f(a) 2-2) L A + ( ) A

2 3-3) L é a tangente do ângulo que o gráfico de f faz com o eio das abcissas. 4-4) Quando A 0, L Resposta: FFVVF f(a + ) f(a) 52 (A+ ) 36 (52A - 36) 52. Assim, L é constante e igual a 52, logo 0-0, 1-1 e 4-4 são falsas. 2-2 segue de f(a + ) f(a). 3-3 é verdadeira, pois L é o coeficiente angular da reta A cada uma das seis igualdades abaio está associado um número, que aparece entre parênteses abaio do sinal de igualdade. Indique a soma dos números correspondentes às igualdades que se verificam para quaisquer números reais positivos e. Caso nenhuma igualdade se verifique, indique ln() 2) ln() + ln(1) ln(+1) ln + 1 ( ( 3) ( 4) ) (20 ln( 3 +1) ln( 2 +1) ln( 3 ) - ln( 2 ) ln() ( 30) ( 40) Resposta: 62 ln (1) 0, logo, 2 se verifica, e 3 não. 4 não se verifica para se verifica, pois ln (a/b) ln (a) ln (b) para quaisquer a e b positivos. 30 não se verifica para 1 e 2, pois, neste caso, o lado esquerdo é ln (9/5), e o lado direito é ln (2). 40 se verifica, pois ln ( 3 ) - ln ( 2 ) ln () + 3ln() (ln () + 2ln()) ln (). 20. Seja n 1 o número de raízes da função sen( ) no intervalo [0, 10], e seja n 2 o número de raízes da função sen( 2 ) no intervalo [0,10]. Indique n 1 +n 2. Dado: (3,1)π<π 2 <10<(3,2)π<4π 2 Resposta: 34 π 2 <10<4π 2 π < 10 < 2 π, logo n 1 2. (3,1)π < 10 < (3,2)π 31π <10 2 <32π, logo n O conjunto dos números reais tais que é formado por dois intervalos. Indique a soma dos comprimentos destes. Resposta: 32 Se 8 a desigualdade dada torna-se ou 12 28; se 8 temos ou Logo, o conjunto em questão é [12, 28] U [-12, 4] 22. Seja K um número natural da forma K(n+1)(n+2)(n+3)(n+4), onde n é um número natural. Analise as afirmações: 0-0) K é par, para todo natural n. 1-1) K é múltiplo de 3, para todo natural n. 2-2) K é múltiplo de 4, para todo natural n. 3-3) K é múltiplo de 9, para todo natural n. 4-4) 4! divide K, para todo natural n. Resposta: VVVFV Dentre 4 números naturais consecutivos, um deles é par e outro, é múltiplo

3 de 4; e um deles é múltiplo de 3; logo 0-0, 1-1, 2-2 e 4-4 são verdadeiras. Para n1, 3-3 é falsa. 23. Seja ABCDEF um heágono regular situado em um plano com um sistema de coordenadas cartesianas de maneira que A (4, 2) e B (10, 2). O heágono encontra-se no primeiro quadrante do sistema de coordenadas. Considerando estes dados, analise as afirmações a seguir. 0-0) C (3, ) 1-1) O heágono tem lado medindo ) A circunferência inscrita no heágono tem centro no ponto (7, ). 3-3) A circunferência circunscrita no heágono tem equação ( 7) 2 + ( ) ) A diagonal AD está contida na reta 4 3 ( 2). Resposta: FVVVF O lado BC, que mede o mesmo que AB 6, forma com a reta passando por A e B um ângulo de 60 o ; portanto, a abscissa de C é cos 60 o 13 e a ordenada é 2 + 6sen 60 o Segue que 0-0 é falsa e 1-1 é verdadeira. A circunferência inscrita no heágono tem centro no ponto de interseção G, entre as diagonais AD e BE; logo ABG é eqüilátero e G (7, ), portanto, 2-2 é verdadeira. A circunferência circunscrita ao heágono tem centro em G e raio 6, logo sua equação é ( 7) 2 + ( ) 2 6 2, e 3-3 é verdadeira. A reta contendo a diagonal AD tem inclinação tg e passa pelo ponto A (4,2); logo tem equação 2 3 ( 4) e 4-4 é falsa. 24. Considerando as funções f 1, f 2, f 3 : IR - {0, 1} IR - {0, 1}, com IR sendo o conjunto dos números reais e f 1(), f 2() ( 1)/ e f 3() 1/(1 ), analise as afirmações a seguir. A composição de funções será denotada por. 0-0) f 1, f 2 e f 3 são funções bijetoras. 1-1) f 2 é a função inversa de f ) f 2 f 2 f 3 3-3) f 3 f 3 f 2 4-4) f 3 f 3 f 3 f 1 Resposta: VVVVV f 1, f 2, f 3 têm inversas f 1, f 3, f 2 respectivamente, daí 0-0 e 1-1 são verdadeiras. f 2 f 2() f 2(f 2()) [( - 1)/ 1]/[( 1)/] 1/(1 ) f 3(). Segue que f 3 f 3 f 2 e, portanto, 2-2 e 3-3 são verdadeiras. f 3 f 3 f 3 f 2 f 3 f 1 e 4-4 é verdadeira. 25. Considerando as matrizes 0 1 A, 1 0 B e I, analise as afirmações seguintes: 0-0) A 4 I 1-1) B 3 I ) AB 3-3) (AB) 12 I 4-4) AB BA Resposta: VVVFF

4 1 0 Temos A 2 e A 4 I, logo 0-0 é verdadeira Temos B 2 e B I, logo 1-1 é verdadeira. Temos AB e portanto 2-2 é verdadeira. Entretanto, BA e BA AB e 4-4 é falsa. 1 1 Temos n 1 n (AB),(AB),(AB),...,(AB), portanto, 3-3 é falsa. 26. Uma estrada retilínea deve ser construída entre os pontos A e B. Uma elevação na direção conectando estes pontos força a construção de um túnel entre os pontos C e D. Para descobrir os pontos C e D dos etremos do túnel, utilizamos um ponto E, tal que são conhecidos a distância entre E e A, a distância entre E e B e o ângulo AEB. Sabendo que AE10(1+ 3 ) km, BE20 km e que o ângulo AEB mede 60 o, indique a medida, em graus, do ângulo EAB. E A C D B Resposta: 45 Usando a lei dos cosenos temos AB 2 100(4+2 3 ) (1+ 3 ).20.1/ e AB Usando a lei dos senos 20/sen(EAB) 10 6 /sen(60 o ) e segue que sen(eab) 2.( 3 /2)/ 6 2 / 2 e EAB mede 45 o. 27. O polinômio p() 2 + a + b, com a e b números reais, divide os polinômios f() e g() Determine a e b e indique p(7). Resposta: 59 Dividindo f() por g() obtemos quociente + 4 e resto ( ). Então p() divide 9( ) e tem coeficiente líder 1, logo p() e p(7) Efetuadas n medidas de certos objetos foram obtidos os resultados abaio para o percentual de objetos correspondendo a cada uma das medidas. Medida Percentual 12,4cm 12,25% 12,6cm 25% 12,8cm 50% 13,0cm 12,75% Se os resultados para os percentuais são eatos, determine o menor valor possível para n e indique n/10.

5 Resposta: 40 Temos 12,25/ / /400 e 12,75/ / /400. O número n de medidas é divisível por 400, seu menor valor é 400 e n/ A ilustração abaio representa parte do gráfico de uma função f() a + b.cos (π/c) com período 8, sendo a, b e c números reais. O gráfico da função passa pelos pontos (0,12) e (4,2). Calcule a, b e c e indique abc/ Resposta: 14 Como a função tem período 8, temos 2π/(π/c) 8 e c 4. De f(0) 12 segue que a + b 12; de f(4) 8 segue que a + bcos π 2 ou a b 2. Resolvendo o sistema, obtemos a 7 e b A hipérbole de equação e a circunferência de equação se interceptam em três pontos não colineares. Determine a área A do triângulo com vértices nestes três pontos e indique A 2. Resposta: 27 Subtraindo as equações das cônicas, obtemos que eqüivale a que tem soluções 2 e -1. Para 2 temos 0 e para -1 temos ± 3. Os vértices do triângulo são (0,2) e ( ± 3,-1). O triângulo tem base 2 3 e altura correspondente 3; logo, A 2 3.3/2 3 3 e A Um depósito de cereais é composto de um cilindro circular reto de raio da base medindo 4m e altura 6m e de um tronco de cone com raios das bases medindo 4m e 1m e altura 1,5m, como ilustrado na figura abaio. 6m 1,5m Calcule o volume do depósito, em m 3, aproime para o inteiro mais próimo e indique a soma dos seus dígitos. Dado: use a aproimação π 3,14.

6 Resposta: 10 Seja h a altura do cone retirado para obtermos o tronco. Temos 4/(1,5+h) 1/h e daí h 1,5/3 0,5m. O volume do depósito é π π( ,5)/3 334,41m O segredo de um cofre é formado de uma seqüência de quatro dígitos distintos. Se o quarto dígito é o dobro do primeiro, determine o número N de possíveis segredos. Indique a soma dos dígitos de N. Resposta: 08 O segredo é um número da forma 1 2, 2 4, 3 6, 4 8 e o número de formas de escolher os dois dígitos do meio é