= ; a = -1, b = 3. 1 x ; a = -1, b = 0. M > 0 é um número real fixo. Prove que quaisquer que sejam x, y em I temos f ( x) < x.

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA -UFBA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA LIMITES E DERIVADAS MAT B a LISTA DE EXERCÍCIOS Prof a Graça Luzia Dominguez Santos. Prove que entre duas raízes consecutivas de uma função polinomial f eiste pelo menos uma raiz de f.. Suponha que f é derivável em R. Prove que entre duas raízes consecutivas de f há, no máimo uma raiz de f.. Sejam f e g contínuas em [a,b], deriváveis em ]a,b[, com g() 0 em [a,b]. Suponha, ainda, que f(a) = g(a) e f(b) = g(b). Prove que eiste c ] a, b[ tal que f ( c) g( c) = f ( c) g ( c).. Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, determinar um número c em ]a,b[, tal que f ( c) =. f ( b) f ( a) b a a) f ( ) = ; a =, b = b) f ( ) = ; a = -, b =. c) f() = cos(); a = 0 e b = π / d) f ( ) ; a = -, b = 0. Sejam I um intervalo, f uma função contínua em I e tal que f ( ) M para todo no interior de I, com M > 0 é um número real fio. Prove que quaisquer que sejam, y em I temos f ( ) f ( y) M y.. Mostre que quaisquer que sejam s, t [, + [ temos ln( s) ln( t) s t. b a e e b 7. Sejam a < b dois números reais dados. Mostre que: < e. b a 8. Prove que para quaisquer que sejam a e b, a < b, arctg( b) arctg( a) < b a. Conclua que para todo > 0, arctg ( ) <. 9. Calcular os seguintes limites, usando as regras de L Hospital: sen( π ) a) lim b) lim c) lim (sec tg) d) lim 0 π / + / e e) lim f) ( / ln lim ) π g) lim ln 0 + ( ). tg( ) h) lim ( ln) + 0 sen / i) lim ( tg) j) lim l) π / ( + sen ) 0 + sen( / ) lim + m) lim + + arctg( / ) ln( ) e + sen + + / n) lim o) lim p) lim q) lim ( e + ) / tg( π) 0 ln( + ) a + 0. Se lim = 9, determinar a. + a [ ( ) ]. Sabe-se que f é definida e contínua em R, g é definida e contínua em R-{-,},e que os gráficos a seguir representam, respectivamente, as derivadas de f e g. Determine, para as funções f e g,

2 a) as abscissas dos pontos críticos; b) as abscissas dos pontos de máimo e de mínimo; c) os intervalos de crescimento e decrescimento; d) os intervalos onde a concavidade é voltada para cima e onde a concavidade é voltada para baio; e) as abscissas dos pontos de infleão; g) esboce o gráfico da função g no intervalo [-,], considerando g (-) = 0, g (0) =, g () = a, para um a conveniente, g (/) =, g () = e g () =. Gráfico de f Gráfico de g 7. Determine as constantes nas funções abaio, de modo que: a) f ( ) = a e tenha um máimo em = ; a b) f ( ) = +, > 0, tenha um mínimo em = ;

3 c) f ( ) = + a + b + c tenha pontos críticos em = - e =. Qual é o de máimo e qual é o de mínimo? d) f ( ) = a + b + c tenha um máimo relativo no ponto P (, 7) e o gráfico de y = f ( ) passe pelo ponto Q (,-); e) f ( ) = + a + b + c tenha um etremo em = e um ponto de infleão em = ; f) f ( ) = a + b + c tenha um ponto de infleão P (, ) e a inclinação da reta tangente nesse ponto seja -.. Determine os etremos absolutos das funções: a) y = ln, e e ; ( e,788) b) y = sen( ) + cos(), π.. Para cada função a seguir, determine (se possível): o domínio, as interseções com os eios, as assíntotas, as interseções com as assíntotas, os intervalos de crescimento e de decrescimento, os máimos e mínimos, os intervalos onde o gráfico é côncavo e onde o gráfico é conveo, os pontos de infleão, o esboço gráfico. a) f() = b) f ( ) = c) f ( ) = d) + f ( ) = e e) f ( ) = f) g) ( + ) f ( ) = e f ( ) = h) f ( ) = ln ( + ) i) f ( ) = j) f ( ) = + + k) f ( ) = ( ) l) f ( ) = + ( ) ln m) f ( ) = 9 n) f ( ) = ( + ). PROBLEMAS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS a) Prove que se o produto de dois números positivos é constante, a soma é mínima quando os dois números são iguais. b) Molde um fio de arame de comprimento L em forma de um retângulo cuja área seja a maior possível. c) Uma reta variável passando por P (,) intersecta o eio O em A (a,0) e o eio Oy em B (0,b). Determine o triângulo OAB de área mínima para a e b positivos. d) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máimo. e) Dentre os retângulos com base no eio O e vértices superiores sobre a parábola y =, determine o de área máima. f) Considere uma barraca na forma de um cone. Encontre a razão entre a medida do raio e a medida da altura para que uma tal barraca de volume dado V eija a menor quantidade de material. (Não considere o piso da barraca).

4 g) Um caia com fundo quadrado e sem tampa deve ser forrada com couro. Quais devem ser as dimensões da caia que requerem a quantidade mínima de couro, sabendo que a sua capacidade é litros? h) Um cartaz deve conter 0cm de matéria impressa com duas margens de cm em cima e embaio e duas margens laterais de cm cada. Determine as dimensões eternas do cartaz de modo que a sua área total seja mínima. i) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes; com uma das partes faz-se uma circunferência e com a outra um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima? j) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve possuir uma certa área A, qual o comprimento da menor cerca necessária? b b b a a k) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter cm. O custo, por metro quadrado, para a base é de R$8,00 e para os lados R$,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. l) Um cocho de fundo plano e lados igualmente inclinados deve ser construído dobrando-se um pedaço comprido de metal com largura a. Se os lados e o fundo têm largura a/, qual a inclinação dos lados que fornecerá a maior seção reta? m) Uma ilha situada a 0km de uma costa relativamente reta deve organizar um serviço de barcas para uma cidade que dista 0km, contados como na figura abaio. Se a barca tem uma velocidade de km/h e os carros têm uma velocidade média de km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas, ao longo da costa, a fim de tornar a viagem mais rápida possível? Cidade 0 km 0 km n) Desejamos fazer uma caia retangular aberta com um pedaço de papelão de 8cm de largura e cm de comprimento, cortando um pequeno quadrado em cada canto e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões da caia de volume máimo. o) Considere dois pontos A e B, diametralmente opostos, situados na margem de um lago circular. Um homem vai do ponto A a um ponto C, também situado na margem do lago entre os pontos A e B, nadando em linha reta com a velocidade de / m/s. Do ponto C até o ponto B ele vai correndo pela margem, com a velocidade de 0/ m/s. Determine o ângulo θ, igual ao ângulo BÂC, que corresponde ao π menor tempo de percurso, considerando o círculo de raio r constante, θ [0, ], e sabendo que o comprimento do arco CB é igual a θ. AB. p) Qual o triângulo isósceles de maior área que se pode inscrever num círculo dado? Ilha

5 . Determinar o polinômio de Taylor de ordem n, no ponto c dado, das seguintes funções: / a) f() = e ; c = 0, ; n = b) f() = ln(-); c = 0 e c = ½; n = c) f() = cos ; c = 0 e π /; n = 7. Encontrar o polinômio de Taylor de grau n no ponto c e escrever a função que define o resto da forma de Lagrange, das seguintes funções: a) y = tg ; n = e c = π b) y = ; n = e c = c) y = e ; n = e c = 0 8.Usando o resultado encontrado no eercício 9b),com c = 0, determine um valor aproimado para ln 0,. Fazer uma estimativa para o erro. 9. Determinar o polinômio de Taylor de grau da função f() = +cos no ponto c = π. Usar este polinômio para determinar um valor aproimado para cos(π / ). Fazer uma estimativa do erro. 0. Determine os máimos e mínimos das seguintes funções: f() = ( ) 0 b) f() = ( + ) 7 c) f() = d) f() = - RESPOSTAS DA a LISTA. a) b) / c) arcsen(/π ) d) / 9. a) ln( ) b) π c) 0 d) e) f) e g) π h) 0 i) j) e l) e m) n) 0 o) p) 9 q) e 0. ln. Para f : a) -, -, 0,,,, b) ma = e ; min = - e + ) c) crescente em [-, ] ; [, ] ; [, ]; decrescente em (-, -]; [, ]; [,+ ) d) concavidade para cima em (-,, -) ; (0, ) ; (, ); concavidade para baio em (-,- ); (-,0); (, ); (, e) -, 0,,, Para g: a) -, -, -, 0,, b) ma =, min = -, min =

6 c) crescente em (-, -) ; [-, ] ; [, ); decrescente em (-, -] ; [, ] ; (, + ). d) concavidade para cima em (-, -) ; (-,-) ; (-, 0) ; (/, ); concavidade para baio em (-,-) ; (-, -) ; (0, /) ; (, ) ; (, + ). e) -, -, -, 0, /, f) gráfico da g em [-, ]: /.a) a IR * + b) a = c) a = -/, b= -8 e c IR, ma = -, min = ; d) a = -9, b=8, c=- e) a = -, b = -, c R; f) a =, b = -, c = 0..a) má: -e em = e; mín: -e em = e b) má:, em =π / e = π /; mín: - em = π /. a) D(f)=IR; interseção com Oy: P(0, 0); não tem assíntotas; crescente em [-, ]; decrescente em (-, -] e em [, + ); má. em Q(, 7); mín. em R(-, -0); concavidade para cima em (-, -/); concavidade para baio em (-/, + ); ponto de infleão M(-/, 7/). b) D ( f ) = IR ; intersecta os eios na origem; assíntota: y = 0; interseção com a assíntota em (0,0); crescente em [-, ]; decrescente em (-, -] e em [,+ ); má. em Q (,) ; mín. em P (, ) ; concavidade para baio em (, ) e em ( 0, ) ; concavidade para cima em (,0) e em (, + ) ; pontos de infleão: M (, ), O ( 0, 0) e N (, / ). c) D(f)=IR *; interseção com O: P(,0) e Q(,0); assíntotas: =0 e y=; interseção com a assíntota horizontal: R(/,); f é crescente em (-,0) e em [/,+ ) e f é decrescente em (0,/]; mín =/ e y mín =-/, não tem máimo; concavidade para cima em (-,0) e em (0,9/) e concavidade para baio em (9/,+ ); ponto de infleão S(9/, -/7). d) D ( f ) = IR { ± } ; interseção com os eios na origem; assíntotas: = -, = e y = ; tem interseção com a assíntota y = na origem, O(0,0); crescente se (, ] e em [, + ) ; decrescente [, ];],[;], ] ; má. em (, / ) Q, / ; concavidade para baio em (,0) (-, -)e em (0, ); concavidade para cima em P ; mín. em ( ) e em (,+ ); ponto de infleão O(0,0). e) D(f)=IR-{-}; interseção com os eios: O(0,0); assíntotas: = - e y = 0; interseção com as assíntotas: O(0,0); f é crescente em (-,] e decrescente em (-,-) e em [,+ ); má em R(, ¼), não tem mínimo;

7 concavidade para cima em (,+ ) e concavidade para baio em (-,-) e em (-,); ponto de infleão: P(,/9). f ) D(f)=IR; interseção com Oy: N(0, ); asssíntota: y = 0; não tem interseção com a assíntota; crescente em (-, 0]; decrescente em [0, + ); má. em N(0, ); não tem mín.; concavidade para cima em e em ( /, + ) ; concavidade para baio se /, / ) ( /, e / ) Q. (, / ) / ( ; pontos de infleão ( /, e ) P e g) D ( f ) = IR { 0} ; não tem interseção com os eios; assíntotas: = 0 e y = 0: não tem interseção com as assíntotas; crescente em [, + ); decrescente em (-, 0) e em (0, ]; mín. em P(, e) ; não tem má.; concavidade para cima em (0, + ); concavidade para baio em (-, 0) ; não tem ponto de infleão. h) D ( f ) = IR ; interseção com os eios na origem; não tem assíntotas; crescente em [0,+ ); decrescente em (-, 0]; mín. em M(0, 0); não tem má.; concavidade para cima em (-,); concavidade para baio em (,) e em (,+ ); ponto de infleão em P (, ln ) e Q (, ln ). i) D( f ) = (0,) (,+ ) ; não tem interseção com os eios; assíntota: = ; não tem interseção com a assíntota; crescente em [e, + ); decrescente em (0, ) e em (, e]; mín. em N(e, e/); não tem má.; concavidade para cima em (, e ); concavidade para baio em (0, ) e em (e, + ); ponto de infleão em M(e, e /). j) D(f)=IR; interseção com Oy: P(0, ); assíntotas: y = + e y = ; não tem interseção com as assíntotas; crescente em [,+ ); decrescente em (-, -]; mín. em Q(-, ); não tem ponto de má.; concavidade para cima em IR; não tem ponto de infleão. k) D ( f ) = IR ; interseção com Oy: R ( 0, ) ; interseção com O em M (, 0) e N(, 0) ; não tem assíntotas; crescente em [,0] e em[, + ) ; decrescente em (, ] e em[0,] ; má. em R(0, ); mín. em M(-, 0) e N(, 0); concavidade para cima em (-, - ) e em (, + ); concavidade para baio em (-, -), (-, ) e em (, ); pontos de infleão (, ) e Q(, ) ( ( 0, + ) P. l) D f ) = IR ; interseção com Oy: S ; não tem assíntotas; crescente em [, + ); decrescente em (-, ); mín. em Q(,) ; não tem má.; concavidade para baio em (-, ) e em (, + ); não tem ponto de infleão. 7

8 m) D ( f ) = [, ] ; interseção com eios em O(0, 0), P (, 0), Q (, 0) ; não tem assíntotas; crescente em [ /, / ] ; decrescente em [, / ] e em /, ] P (, 9 ) O(0, 0). [ ; má. em R (,9 ) ; min em concavidade para cima em (-, 0); concavidade para baio em (0, ); ponto de infleão n) + 8 f '( ) = e ( ) f ''( ) = ; D ( f ) = IR; interseções com o eio O: P(-, 0) e O( 0, 0); interse- 9 ção com eio Oy: O( 0, 0 ); não tem assíntotas; f é crescente nos intervalos ], 8/ ] e 8 [0, + [; f é decrescente no intervalo [ - 8/, 0 ] ; o gráfico de f tem máimo no ponto Q (, ), onde a reta tangente é horizontal ( f '( 8/) = 0 ); o gráfico de f tem mínimo no ponto O( 0, 0 ), onde a reta tangente é vertical; o gráfico de f tem concavidade voltada para baio no intervalo ], /[ ; o gráfico de f tem concavidade voltada para cima no intervalo [ /, + [ ; ponto de infleão R (, ). Gráficos da a questão a) b) c) d) e) f) 8

9 g) 7 h) i) j) 7 k) l) 7 m) n) 7. b) área = L / c) base =, altura = ; d) raio = H /, altura = H / e) base =, altura = 8 f) r / h = / ; g) dm h) 9 8 8) i) área mínima se raio = L ( π +, lado do quadrado = L( + π) - ; j) A ; k) base: cm e altura: cm. 9

10 l) θ = π / rd m) 0 Km n) /cm, /cm, /cm π o) θ = rd, isto é, o homem deve apenas caminhar sobre a margem. p) lado = R, altura R/ (triângulo eqüilátero). a) c = 0, P () = !!!! c =, P () = b) c = 0, P () = c =, P () = e / + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( )!!!!!!!. ln!!! c) c = 0, P () = +!!! c = π /, P () = π π π + +!!! ( π ) (sec z. tgz + 8sec z. tg z)( π ) 7. a) P () = π + ; R () =! b) P () = + ( ) + ( ) + ( ) ; R () =. ( ) 8 z z c) P () = + ; R () = e z (0z 0z z ) ,78; R (0,) < 0, π π 9. P () = ( π ) ( π ) + ( π ) ; cos -0,80; R 0, a) min em = b) / c) ma em = 0; min em = ± d) ma em = -; min em =. 0

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