VESTIBULAR UFPE UFRPE / ª ETAPA NOME DO ALUNO: ESCOLA: SÉRIE: TURMA: MATEMÁTICA 2

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1 VESTIULR UFPE UFRPE / ª ETP NOME DO LUNO: ESOL: SÉRIE: TURM: MTEMÁTI nalise as afirmações: 0-0) = 12 (as raízes quadradas são as positivas) 4 1-1) = 0, log 2-2) 2 = ) n = ) é inteiro 02. Uma formiga (ignore seu tamanho) encontra-se no vértice do paralelepípedo reto ilustrado abaixo. Qual a menor distância que ela precisa percorrer para chegar ao vértice (caminhando sobre a superfície do paralelepípedo)? Escolhendo aleatoriamente um natural no conjunto {1, 2,..., 100} de naturais sucessivos, seja p a probabilidade deste natural ser divisível por 2 ou por. Indique 100p.

2 04. Na figura abaixo calcule 2.E de forma que DE e sejam paralelos. onsidere: D = 9 x D = x 2 DE = x 5 = x E = D E 05. onsiderando a função f : R \ { 0 } R definida por f (x) = x + 1, analise as afirmações: x 0-0) f (x) > 0 se e somente se x > 0 1-1) f é injetora 2-2) Se x > 0 então f (x) 2 -) Se x < 0 então f (x) 2 4-4) f é sobrejetora 06. s cordas e D de uma circunferência se interceptam em P. Se P = x +, P = 7 x, P = x 1, DP = x 11 determine o valor de x. D P 07. ortando-se de um cubo os tetraedros que têm um dos vértices coincidente com um vértice do cubo e os outros três sendo os pontos médios das arestas incidentes neste vértice, obtém-se o sólido ilustrado abaixo. Sabendo que o cubo tem aresta igual a cm, indique o inteiro mais próximo da área da superfície do sólido, em cm 2?

3 08. Para qual valor de a o sistema 4x + ay = -1 + a (6-a) x + 2y = - a possui infinitas soluções racionais x, y? 09. Um empregador paga aos seus diaristas dividindo igualmente entre eles uma quantia fixada. Se faltam diaristas, cada um presente tem seu pagamento acrescido de R$ 4,00. Se são contratados mais 6 diaristas então cada um presente tem seu pagamento reduzido em R$ 6,00. Qual a soma dos dígitos da quantia fixa, em reais, que o empregador gasta diariamente? 10. Interceptando-se um cilindro reto com raio da base igual a 2 cm e altura 5 cm com dois planos que passam pelo eixo do cilindro e formam um ângulo de 6º entre eles, obtém-se o sólido ilustrado abaixo. Indique o inteiro mais próximo do volume deste sólido, em cm.

4 6 º 11. Na ilustração abaixo, um homem em X deseja chegar a Y passando por um ponto da reta r (a margem de um rio). Se X, Y distam de r 6m, m respectivamente, qual o inteiro mais próximo da menor distância que ele precisa percorrer (em metros)? X 5 6 Y r 12. ugusto depositou um total de R$ 90,00 em duas cadernetas de poupança. Uma delas rende juros de 5 ½ % ao mês e a outra de 6 ½ % ao mês. O total de juros obtidos, ao final de um mês, nas duas cadernetas foi de R$ 5,50. Quanto foi depositado, em reais, na caderneta que rende 5 ½ % ao mês? 1. Traçando 10 cordas em um círculo, qual o número máximo de regiões em que o círculo fica dividido?

5 14. Sabendo que 1 + i é raiz da equação x + ax 2 + bx 12 = 0 com a e b reais, qual o valor de a + b? 15. Na pirâmide quadrangular abaixo os planos que passam por,, e D e por E, F, G e H são paralelos. Se VF =, V = 5 e a área de EFGH é 18, qual a área de D? V H E D F G 16. Deseja-se preencher a região delimitada por 0 y 50x 2, 0,1 x 1 utilizando retângulos de base horizontal medindo 0,2, inteiramente contidos na referida região e com altura 2. Qual a área máxima possível de preencher com tais retângulos sem ponto interior comum? Tem-se uma circunferência de raio 5 cm e um ponto P distante cm do seu centro. Por P traçam-se duas retas tangentes à circunferência nos pontos e. Determine o inteiro mais próximo da área do triângulo P. 18. Deseja-se construir um túnel que ligará, em linha reta, as cidades e, separadas por uma montanha. ontornando-se a montanha, encontra-se um ponto visível de ambas as cidades. questão é como calcular o ângulo para se iniciar a escavação na direção correta a partir de. Pondo uma fonte luminosa em, ajusta-se um espelho em para que reflita em. O ângulo entre os raios incidentes e refletidos é 60º. distância de a é de 9,6 km e a de a é de 17 km. alcule o número inteiro mais próximo da tangente do ângulo.

6 19. Um terreno numa planície tem a forma de um trapézio D como ilustrado abaixo. Pretende-se dividir o trapézio em duas regiões de mesma área usando um segmento com origem em e extremidade num ponto P de. Qual o inteiro mais próximo da distância entre e P? D o 20. alcule o coeficiente do termo independente de x no desenvolvimento binomial de 2x x 21. ssinale a soma das coordenadas do ponto da parábola y = 2x 2 mais próximo da reta y = 4x soma de números em progressão geométrica é 119. Três outros números formam uma progressão aritmética. Somando-se os termos correspondentes das duas progressões obtém-se 80, 58 e 5 respectivamente. Qual o maior termo da progressão geométrica? 2. Na ilustração abaixo é um arco de parábola, O é o ponto médio do segmento, O e DE são perpendiculares a. Se =6, O = 2, DE = 16/9, qual a medida de OD? E O D 24. Dos vértices de um triângulo equilátero de lado 8 cm traçam-se circunferências, cada duas delas tendo um único ponto em comum. Seja R a região interior ao triângulo e exterior às circunferências. Se é a área da região R em cm 2, qual o inteiro mais próximo de 10?

7 25. Numeram-se consecutivamente os vértices de uma placa plana pentagonal regular. Girase em 180º em torno do eixo que liga o primeiro vértice ao centro. Em seguida, gira-se em 180º em torno do eixo que liga a posição inicial do segundo vértice ao centro. posição final da placa ao cabo dos dois movimentos coincide com a obtida por uma única rotação no sentido anti-horário, de ângulo α (medido em graus) em torno de um eixo perpendicular à placa e passando por seu centro. Indique o valor em graus de α/ s circunferências α: (x ) 2 + (y - 2) 2 = 4 e β se interceptam somente no ponto (,0). Sabendo que P é um diâmetro de α e que β passa pelo ponto médio de P onde é o centro de α, então: 0-0) o eixo dos x é tangente à β 1-1) o centro de β é o ponto (, 2-2) o raio de β é 2 ) 2 -) β intercepta o eixo dos y 4-4) β passa pelo ponto, Um satélite de telecomunicações S deve ficar em órbita estacionária a uma distância d de um ponto P na superfície de um asteróide T de forma esférica, cujo raio mede 40 km. transmissão / recepção é ótima para um ponto sobre a superfície de T se a inclinação da linha imaginária S com respeito à direção vertical naquele ponto não ultrapassar 60º.

8 alcule a parte inteira do valor mínimo de d, medido em km, para garantir que toda a região situada a uma distância de até 20 km do ponto P (medida sobre a superfície esférica de T) receba ótimo sinal. Faça os cálculos com duas casas decimais e use onde necessário, os valores aproximados. cos (0,5) = 0,88 sen (0,5) = 0,48 cos (1) = 0,54 sen (1) = 0,84 tg (1) = 1,56 tg (1,02) = 1,62 tg (1,04) = 1,70 tg (1,2) = 2, No triângulo abaixo as cevianas E, F, D se interceptam em P. F P E D Para quaisquer pontos X, Y, Z escolhidos na figura denote por XYZ a área do triângulo com vértices nestes pontos. nalise as afirmações: 0-0) D D = D D e DP D = DP D 1-1) P D = P D 2-2) -) D D D D E E E E P = P F = 1 F 4-4) P = 29. Indique o inteiro mais próximo da área (em cm 2 ) de uma coroa circular, sabendo que existe uma corda da circunferência externa que é tangente à circunferência interna e que mede 8 cm. 0. alcule o inverso do quadrado do raio de uma circunferência com centro no ponto (1, 2) sabendo-se que é tangente à reta que passa pelos pontos (2, 2) e (0, ). 1. alcule a soma das coordenadas do pé da perpendicular à reta y = 2x + 6 passando pelo ponto (21, 18).

9 2. figura abaixo ilustra a esfera de maior raio contida no cone reto de raio da base igual a 6 e altura igual a 8, tangente ao plano da base do cone. Qual o inteiro mais próximo da metade do volume da região do cone exterior à esfera?