Professor Alexandre Assis. Lista de exercícios de Geometria

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1 1. A figura representa três círculos idênticos no interior do triângulo retângulo isósceles ABC. 3. Observando a figura a seguir, determine (em cm): a) o valor de x. b) a medida do segmento AN, sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 46 cm. Tem-se que: - A soma das áreas dos três círculos é 6 cm ; - P, Q, R, S e T são pontos de tangência; - BT é perpendicular a AC. Determine a medida do segmento BC. 2. Na figura, são exibidas sete circunferências. As seis exteriores, cujos centros são vértices de um hexágono regular de lado 2, são tangentes à interna. Além disso, cada circunferência externa é também tangente às outras duas que lhe são contíguas. 4. A figura a seguir mostra quatro rodas circulares, tangentes duas a duas, todas de mesmo raio r e circundadas por uma correia ajustada. Determine o comprimento da correia, em termos de r. Obs.: despreze a espessura da correia. Nestas condições, calcule: a) a área da região sombreada, apresentada em destaque à direita. b) o perímetro da figura que delimita a região sombreada.

2 5. Considere duas circunferências de mesmo centro, uma de raio r e a outra de raio R, sendo r < R. O segmento AB, representado na figura abaixo, é tangente à circunferência menor. Sejam A a área da região exterior ao círculo menor e interior ao maior, e A a área de um círculo cujo diâmetro é igual ao segmento AB. Uma das áreas, citadas acima, é maior que a outra? Justifique sua resposta. 8. Na figura adiante, ABCDE é um pentágono regular. A medida, em graus, do ângulo é: a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) Considere as afirmações sobre polígonos convexos: 6. Uma roda de 10 cm de diâmetro gira em linha reta, sem escorregar, sobre uma superfície lisa e horizontal. Determine o menor número de voltas completas para a roda percorrer uma distância maior que 10 m. 7. I) Existe apenas um polígono cujo número de diagonais coincide com o número de lados. II) Não existe polígono cujo número de diagonais seja o quádruplo do número de lados. III) Se a razão entre o número de diagonais e o de lados de um polígono é um número natural, então o número de lados do polígono é ímpar. a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Apenas (I) e (III) são verdadeiras. c) Apenas (I) é verdadeira. d) Apenas (III) é verdadeira. e) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. 10. Considere a figura a seguir na qual: 1. A área do semicírculo c é quatro vezes a área do semicírculo c. 2. A reta r é tangente a c e a reta s é tangente a c e c. No quadrilátero ABCD da figura anterior, são traçadas as bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo. A soma dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a: a) /4 b) /2 c) d) 2 e) 3 Então podemos afirmar corretamente que: a) = 5 /2 b) = 3 /2 c) = 4 d) = 2 e) = 2 /3

3 11. A figura 1 representa um determinado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes. 13. Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfeitamente nos espaços da figura 1, como indicado na figura 2, é correto dizer que a) 2 são triângulos eqüiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 15. b) 2 são triângulos eqüiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30. c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50 e 4 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30. d) 2 são triângulos eqüiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles. e) 2 são triângulos eqüiláteros e 4 são triângulos escalenos. Se o ângulo X YZ é o dobro do ângulo X WZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é: a) 7,5. b) 5,7. c) 4,7. d) 4,3. e) 3, Na figura abaixo temos um losango, um paralelogramo, um triângulo isósceles e um triângulo retângulo. Sabendo disso, podemos afirmar que os valores, em graus, dos ângulos A e B são, respectivamente: a) 190 e 60. b) 60 e 190. c) 60 e 250. d) 190 e 40. e) 250 e 40. No cubo anterior, cada aresta mede 6cm. Os pontos x e y são pontos médios das arestas AB e GH. O polígono XCYE é um: a) quadrilátero, mas não é paralelogramo. b) paralelogramo, mas não é losango. c) losango, mas não é quadrado. d) retângulo, mas não é quadrado. e) quadrado.

4 15. No triângulo ABC (figura abaixo), os lados AB, AC e BC medem respectivamente 5 cm, 7 cm e 9 cm. Se P é o ponto de encontro das bissetrizes dos ângulos B e C e PQ//MB, PR//NC e MN//BC, a razão entre os perímetros dos triângulos AMN e PQR é: a) 10/9 b) 9/8 c) 7/6 d) 4/3 e) 7/5 16. Um professor de matemática fez, com sua turma, a seguinte demonstração: - colocou um CD sobre uma mesa e envolveu-o completamente com um pedaço de barbante, de modo que o comprimento do barbante coincidisse com o perímetro do CD; - em seguida, emendando ao barbante um outro pedaço, de 1 metro de comprimento, formou uma circunferência maior que a primeira, concêntrica com o CD. Assim, demonstrou a seguinte relação entre essas diferenças, x e y: a) x + y = b) x + y = c) y - x = d) y - x = 17. A ilustração da figura 1 mostra um instrumento, em forma de V, usado para medir o diâmetro de fios elétricos. Para efetuar a medida, basta inserir um fio na parte interna do V e observar o ponto da escala que indica a tangência entre esse fio e o instrumento. Nesse ponto, lê-se o diâmetro do fio, em milímetros. Considere, agora, a ilustração da figura 2, que mostra a seção reta de um fio de 4 mm de diâmetro inserido no instrumento. Veja as figuras adiante. Calculou, então, a diferença entre as medidas do raio da circunferência maior e do raio do CD, chamando-a de x. Logo após, imaginando um CD com medida do raio idêntica à do raio da Terra, repetiu, teoricamente, as etapas anteriores, chamando de y a diferença encontrada. Se o ângulo BÂC do instrumento mede 12, a distância d, em milímetros, do ponto A ao ponto de tangência P é igual a: a) 2/cos 12 b) 6/sen 12 c) 6/cos 6 d) 2/tg A figura a seguir ilustra um triângulo e sete semicircunferências com diâmetros de mesma medida. As semicircunferências adjacentes se interceptam em um dos seus extremos, que também é ponto do triângulo. Se o perímetro do triângulo é

5 28, qual o raio das semicircunferências? a) 7 b) 6 c) 4 d) 2 e) Um polígono circunscreve um círculo, conforme figura abaixo. 19. Considere que a espiral representada na figura abaixo é formada por oito semicírculos cujos centros são colineares. O primeiro semicírculo tem diâmetro 8 e, para cada um dos demais semicírculos, o diâmetro é a metade do diâmetro do semicírculo anterior. Sabendo-se que AB = 4 cm, CD = 5 cm, DE = 6 cm e FA = 3 cm, então, BC - EF é igual a a) 2 cm. b) 1 cm. c) 0 cm. d) 3 cm 21. A figura mostra duas roldanas circulares ligadas por uma correia. A roldana maior, com raio 12 cm, gira fazendo 100 rotações por minuto, e a função da correia é fazer a roldana menor girar. Admita que a correia não escorregue. O comprimento dessa espiral é a). b) 8 /3. c) 24 /7. d) 255 /32. e) 255 /16. Para que a roldana menor faça 150 rotações por minuto, o seu raio, em centímetros, deve ser a) 8. b) 7. c) 6. d) 5. e) 4.

6 GABARITO 1. æè = Ë2 cm Lista de exercícios de Geometria 2. a) 6(Ë3) - 2 unidades de área b) 4 unidades de comprimento 3. a) x = 20 cm b) AN = 3 cm 4. C = 2r (4 + ) 15. [D] 16. [A] 17. [D] 18. [D] 19. [D] 20. [C] 21. [A] 5. Não, as áreas são iguais. 6. Seja S a distância total percorrida pela roda. Temos que S = n. C, onde n indica o número de voltas e C representa o comprimento da circunferência. Calculando C, encontramos: C =. d =. 10/100 = /10 m. E como queremos o menor valor inteiro de n para o qual S > 10, vem: n. ( /10) >10 Ì n > 100/ ë n > 31,83. Portanto, o menor número de voltas completas procurado é [D] 8. [C] 9. [B] 10. [D] 11. [D] 12. [E] 13. [E] 14. [C]

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