Simulado ITA. 3. O número complexo. (x + 4) (1 5x) 3x 2 x + 5

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1 Simulado ITA 1. E m relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: I. Se A B e B C então A C. II. Se A B e B C então A C. III. Se A B e B C então A C. Estão corretas: (A) nenhuma das alternativas (B) somente a alternativa I (C) somente as alternativas I e II (D) somente as alternativas II e III (E) todas as alternativas. Seja S o subconjunto de IR cujos elementos são todas as soluções de log1 x+ 3 > log1 4x (x + 4) (1 5x) 3x x + 5 Podemos afirmar que S é um subconjunto de (A) ], 5[ ]1, + [ (B) ], 3[ ]3, + [ (C) ], 5[ ]3, + [ (D) ], 3[ ], + [ (E) ], [ ]4, + [ 3. O número complexo 1 cos α z = sen α cos α α ]0, /[ tem argumento /4. Neste caso, α é igual a: (A) 6 1 cos α + sen α + i, sen α (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 9.

2 4. Seja A = ( 3 + i) α, onde α é um número real, inteiro e positivo. Sendo A um número real, calcule o valor de α para que as raízes da equação (α + i) x + (3 + i) y = 0 sejam também reais. (A) 1 (B) 10 (C) 1 (D) 4 (E) 3 5. Seja (a 1, a,..., a n ) uma progressão geométrica com um número ímpar de termos e razão q > 0. O produto de seus termos é igual a 5 e o termo do meio é 5. Se a soma dos (n 1) primeiros termos é igual a (1 + q) (1 + q ), então: (A) a 1 + q = 16 (B) a 1 + q = 1 (C) a 1 + q = 10 (D) a 1 + q + n = 0 (E) a 1 + q + n = Sejam f, g, h: R R funções tais que a função composta h o g o f : R R é a função identidade. Considere as afirmações: I A função h é sobrejetora. II Se x o R é tal que f(x 0 ) = 0, então f(x) 0 para todo x R com x x 0. III A equação h(x) = 0 tem solução em R. Então: (A) Apenas a afirmação (I) é verdadeira. (B) Apenas a afirmação (II) é verdadeira. (C) Apenas a afirmação (III) é verdadeira. (D) Todas as afirmações são verdadeiras. (E) Todas as afirmações são falsas. 7. Seja S o conjunto de todas as soluções da equação Então (A) S = 0/ (B) S = R (C) S [1, ] (D) S [ 1, 1] (E) S = [ 1, [. sec 1 arctg 1+ c x arctg (1 c x ) = Seja p(x) um polinômio de grau 3 tal que p(x) = p(x + ) x, para todo x R. Se é uma raiz de p(x), então o produto de todas as raízes de p(x) é: (A) 36 (B) 18 (C) 36 (D) 18 (E) 1.

3 9. Sejam p 1 (x), p (x) e p 3 (x) polinômios na variável real x de graus n 1, n e n 3, respectivamente, com n 1 > n > n 3. Sabe-se que p 1 (x) e p (x) são divisíveis por p 3 (x). Seja r(x) o resto da divisão de p 1 (x) por p (x). Considere as afirmações: (I) r(x) é divisível por p 3 (x). (II) p 1 (x) - 1 p (x) é divisível por p 3 (x) (III) p 1 (x) r(x) é divisível por [p 3 (x)] 3. Então: (A) apenas (I) e (II) são verdadeiras. (B) apenas (II) é verdadeira. (C) apenas (I) e (III) são verdadeiras. (D) todas as afirmações são verdadeiras. (E) todas as afirmações são falsas. 10. Considere o polinômio P(x) = x + a x a n x n, cujos coeficientes, a,..., a n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de 1 razão q > 0. Sabendo que é uma raiz de P e que P() = 5 460, tem-se que o valor de 3 n q 4 q é igual a: 5 (A) 4 (B) 3 (C) (D) 6 15 (E) As raízes da equação x x 16 = 0 são r e s, (r > s). O valor da expressão 19 (A) 17 (B) (C) 17 4 (D) 19 4 (E) impossível calcular. 4 r s r + r s+ rs + r 3 3, é

4 1. Uma urna contém cinco bolas numeradas de 1 a 5. Retiram-se, com reposição, 3 bolas desta urna, sendo α o número da primeira bola, β o da segunda e λ o da terceira. Dada a equação quadrática αx + βx + λ = 0, a alternativa que expressa a probabilidade das raízes desta equação serem reais é 19 (A) 15 3 (B) 60 6 (C) 15 6 (D) 60 5 (E) Considere as matrizes A = 0 0 e B = Sejam λ 0, λ 1 e λ as raízes da equação det(a λ I 3 ) = 0 com λ 0 λ 1 λ. Considere as afirmações (I) B = A λ 0 I 3 (II) B = (A λ 1 I 3 )A (III) B = A(A λ I 3 ) Então (A) todas as afirmações são falsas. (B) todas as afirmações são verdadeiras. (C) apenas (I) é falsa. (D) apenas (II) é falsa. (E) apenas (III) é verdadeira. 14. Seja A uma matriz real x. Suponha que α e β sejam dois números distintos, e V e W duas matrizes reais x 1 nãonulas, tais que AV = αv e AW = βw. Se a, b R são tais que av + bw é igual à matriz nula x 1, então a + b vale (A) 0 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (E) 1.

5 15. Para todo x IR, a expressão [cos(x)] [sen(x)] sen x é igual a: (A) -4 [sen(x) + sen(5x) + sen(7x)]. (B) -4 [sen x + sen(7x) sen(9x)]. (C) -4 [ sen(x) + sen(3x) + sen(7x)]. (D) -4 [ sen x + sen(5x) sen(9x)]. (E) -4 [sen x + sen(3x) + sen(5x)]. 16. Um triângulo ABC apresenta lados a, b e c. Sabendo que Bˆ e Ĉ são, respectivamente, os ângulos opostos aos lado b e tg Bˆ c, o valor de é tg Ĉ a b + c c (A) a + b c b a + b c (B) a b + c a b + c (C) a + b c a + b c c (D) a b + c b b (E) c 17. Seja m R * + tal que a reta, x 3y m = 0 determina, na circunferência (x 1) + (y + 3) = 5, uma corda de comprimento 6. O valor de m é (A) (B) + 3 (C) 5 (D) (E) Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 360 cm 3, e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de 54 3 cm, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm, (A) (B) 7 47 (C) (D) (E)

6 19. Pelo ponto C : (4, 4) são traçadas duas retas que tangenciam a parábola y = (x 4) + nos pontos A e B. A distância do ponto C à reta determinada por A e B é: (A) 6 1 (B) 1 (C) 1 (D) 8 (E) Em um triângulo ABC, sabe-se que o segmento AC mede cm. Sejam α e β, respectivamente, os ângulos opostos aos segmentos BC e AC. A área do triângulo é (em cm ) igual a (A) sen α cotg β + sen α (B) sen α tg β sen α (C) cos α cotg β + sen α (D) cos α tg β + sen α (E) sen α tg β cos α. 1. Em uma pesquisa realizada entre 500 pessoas foram obtidos os seguintes dados: 00 pessoas gostam de música clássica; 400 pessoas gostam de música popular; 75 pessoas gostam de música clássica e de música popular. Verifique a consistência ou inconsistência dos dados desta pesquisa.. Um quadrado de lado igual a um metro é dividido em quatro quadrados idênticos. Repete-se esta divisão com os quadrados obtidos e assim sucessivamente por n vezes. A figura abaixo ilustra as quatro primeiras etapas desse processo. Quando n, a soma em metros dos perímetros dos quadrados hachurados em todas as etapas é:

7 3. Considere uma função L : IR + IR que satisfaz: 1. L é crescente, isto é, para quaisquer 0 < x < y tem-se L(x) < L(y);. L(x. y) = L(x) + L(y) para quaisquer x, y > 0. Mostre que: a) L(1) = 0; b) L(1/x) = - L(x) para todo x > 0; c) L(x/y) = L(x) L(y) para quaisquer x, y > 0; d) L(x n ) = nl(x) para todo x > 0 e natural n; e) L ( ) n 1 x = L(x) para todo x > 0 e natural n; n f) L(x) < 0 < L(y) sempre que 0 < x < 1 < y. 4. Seja f : IR IR bijetora e par. Mostre que a função inversa f 1 : IR IR também é par. 5. O polinômio de grau 4 (a + b + c)x 4 + (a + b + c)x 3 (a b)x + (a b + c)x + (a + c), com a, b, c IR, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a? 6. Sejam A e B eventos de um mesmo experimento aleatório de Espaço Amostral Ω. Prove que: P A B = P A + P B P A B ( ) ( ) ( ) ( ) 7. A soma de todos os valores de a [0, [ que tornam o sistema possível e indeterminado é: x + y + z = 0 x sen a + y cos a + z ( sen a + cos a) = 0 x sen a + y cos a + z(1 + 3 sen a + sen a) = 0 8. A soma das raízes da equação que pertencem ao intervalo [0, ], é: 9. 3 tg x - 3 sen x + cos x = 0, y y = x 3 y = x x x + y = 1 x + y = 4 A área da região hachurada na figura acima é igual a:

8 30. Uma esfera de raio r é seccionada por n planos meridianos. Os volumes das respectivas cunhas esféricas contidas em r uma semi-esfera formam uma progressão aritmética de razão 3 r. Se o volume da menor cunha for igual a 3, então n é igual a:

9 Gabarito 1. B. C 3. A 4. C 5. E 6. D 7. D 8. C 9. D 10. C 11. A 1. C 13. E 14. A 15. B 16. B 17. A 18. A 19. C 0. A 1. O Problema é impossível Demonstração 4. Demonstração Demonstração

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