Matemática Básica. Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, =

Transcrição

1 Erivaldo UDESC

2 Matemática Básica Fração geratriz e Sistema de numeração 1) 0, = ) 2, = Decimal (Indo-Arábico): 2107 = Número de três algarismos: abc = a b c.10 0 abc = 100a + 10b + c 4 Binário: (10101) 2 = = = (21)

3 Matemática Básica Equação do 1º grau 0.x = 9 Equação impossível S = { } 2x = 10 Equação possível e determinada S = { 5 } 0.x = 0 Equação possível e indeterminada S = R

4 Matemática Básica Equação do Segundo Grau ax 2 + bx + c = 0 Forma parcelada a 0 a. ( x - x 1 ).( x - x 2 ) = 0 Forma fatorada x = b ± 2.a Δ Bhaskara Δ = b 2 4.a.c (discriminante) Δ > 0 : 2 raízes reais e distintas Δ = 0 : 2 raízes reais e iguais Δ < 0 : Não possui raízes reais Equação dada as raízes: x 2 S.x + P = 0 Soma Produto

5 Potênciação Propriedades: P 1 ) a m.a n = a m+n P 2 ) a m a n = a m n P 3 ) (a m ) n = a m.n P 4 ) (a.b) n = a n.b n P 5 ) (a b) n = a n b n P 6 ) n a m m = n a Importante: ( 5 2 ) N o de Algarismos algarismos

6 Radiciação n a n : índice a : radicando = b b : raiz : radical Classifique em Verdadeiro ou Falso, cada item: a) ( V ) 64 = 4 d)( V ) 2. 4 = 2 b)( V ) x 2 = x c)( V ) x ( ) 2 = x 6 e)( V ) 6 6 f )( F ) 64 R = ( 2) 6 6 = 2

7 Fatoração Fator comum em evidência Agrupamento Diferença de dois quadrados Trinômio quadrado perfeito Trinômio do segundo grau Diferença de dois cubos Soma de dois cubos

8 Análise Combinatória Questão: Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S). 01. Com os algarismos do sistema decimal é possível formar 320 números pares de três algarismos distintos. Resolução: Algarismos: { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Etapas:.. par 1º caso: O zero está na casa das unidades 9p. 8p. 0 = 72 fixo 2º caso: O zero não está na casa das unidades INCORRETO 8p. 8p. 4p = 256 Resposta: = 328

9 Análise Combinatória 02. Uma equipe de saúde tem 4 médicos e 6 enfermeiras. O número de comissões de cinco profissionais, médicos e enfermeiras, que podem ser formadas contendo, no máximo, dois médicos, é 186. Resolução: (2M e 3E) ou (1M e 4E) ou (5E) C 4 2 x C 6 3 C 4 1 C x + C 6 5 4! 2!.2! x 6! 3!.3! + 4! 1!.3! x 6! 4!.2! + 6! 5!.1! 6 x x = 186 CORRETO

10 Análise Combinatória 04. Dos 120 anagramas da palavra FORMA, 36 possuem as consoantes juntas. Resolução: Anagramas = Permutação F R M O A P 3. P 3 3!. 3! 6. 6 = 36 CORRETO

11 Análise Combinatória 08. Dos 120 anagramas da palavra FORMA, 30 possuem as consoantes em ordem alfabética. Resolução: Maneiras distintas de colocarmos as Vogais: Total de espaços: O A Vogais: O e A A 5 2 = 5! (5 2)! = 20 INCORRETO Outro modo: Permutação de todas as letras Permutação das consoantes = P 5 P 3 = 5! 3! = 20

12 Análise Combinatória 16. A equação x + y + z = 5 possui 42 soluções naturais. Resolução: x y z x+y+z Solução Representação ( 1, 2, 2 ) 1 / 1 1 / ( 2, 1, 2 ) 1 1 / 1 / 1 1 Cada solução é composta de: P n α,β, ( 3, 0, 2 ) / / 1 1 = cinco 1 e duas barras n! α!.β!... P 5,2 7 = 7! 5!.2! P 5,2 7 = 7.6.5! 5!.2.1 = 21 Gabarito: 06 INCORRETO

13 Conjuntos Numéricos Naturais: N = { 0, 1, 2, 3,... } Inteiros: Z = {..., -2,-1,0, 1, 2,... } N * = { 1, 2, 3,... } Z + = { 0,1, 2, 3,... } Racionais: Q = x / x = p, p Z e q Z* q Q Inteiros Decimais finitos Dízimas periódicas Irracionais: ( R Q ) { dízimas não-periódicas } π = 3, e = 2, Φ = 1,

14 Conjuntos Numéricos R Reais: R = (Racionais)U(Irracionais) R Q = Irracionais Q Z N R Q Assinale V ou F: x Z x N x < 0 (Verdadeiro) x Z x N x 5 (Verdadeiro) x Q y (R Q) x.y (R Q) (Falso) x Q y (R Q) x + y (R Q) (Verdadeiro)

15 Probabilidade Questão Considere uma urna contendo 10 bolas idênticas. Em cada bola foi gravado um único número do conjunto 1, 1, 2, 0, 3 2, 5, 4, 5 4, 3, 7 3 Qual é a probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que está gravado um número racional? Resolução: Números Racionais: 1,1, 0, 3 2, 5, 4, 5 4, 7 3 Probabilidade: P = 8 10 P = 80%

16 Função Afim f(x) = a.x + b y y y b b (x,0) x b (x,0) x x a < 0 b > 0 x: raiz ou zero da função a > 0 b < 0 x: raiz ou zero da função a = 0 b > 0

17 Função Quadrática y c f(x) = a.x 2 + b.x + c Sinal do a: a > 0 Parábola côncava para cima Sinal do b: b < 0 Parábola passa por y descendo (x 1,0) (x 2,0) x 1 e x 2 : zeros da função ou raízes x Sinal do c: c > 0 Parábola toca y no positivo Sinal do Δ: Δ > 0 Parábola toca x em dois pontos

18 Função Quadrática y y V f(x) = a.x 2 + b.x + c vértice x V = b 2.a y V = Δ 4.a x V x 1 x 2 x V = x 1 + x 2 2 x O Vértice da parábola será: - O ponto máximo ( a<0 ) - O ponto mínimo ( a>0 )

19 Função Composta Questão Dadas as funções f(x) = x 2 6x + 1 e g(x) = a função gof(x). x + 8, encontre Resolução: gof(x) = g(f(x)) g(f(x)) = (x 2 6x +1) + 8 g(f(x)) = x 2 6x + 9 g(f(x)) = (x 3) 2 g(f(x)) = x 3

20 Função Composta Questão Dadas as funções fog(x) = x e f(x) = x + 3 x a função g(x). Resolução:, encontre fog(x) = f(g(x)) g + 3 = g.x g g.(x 2 + 4) = 3 fog(x) = g + 3 g g + 3 g = x = g.x g g 3 = g.x g g = g(x) = 3 x x 2 + 4

21 Função Inversa Encontre as inversas das seguintes expressões: a) f(x) = 3x + 5 4x x f 1 (x) = 4.x f 1 (x) = 7x + 5 4x 3 b) f(x) = 7 9x + 2 f(x) = 0x + 7 9x + 2 f 1 (x) = 2x + 7 9x 0

22 Função Inversa O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I. y f B.Q.I. f -1 fof -1 (x) = x f -1 of(x) = x x A composta de uma função com a sua inversa sempre resultará na função identidade

23 Função Exponencial f(x) = a x C.E. è a > 0 e a 1 0 < a < 1 a >1 decrescente 0 1 crescente a 0 < a < 1 y f(x) = a x a > 1 y 1 x 1 x

24 Exponencial Inequação 7 5 x > x 4 > > base > x > x 4 > < 0 < base < 1

25 Logaritmo Definição: log b a = x b x = a Condição de Existência: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 Propriedades: Mudança de base: log b (a.c) = log b a + log b c log b (a/c) = log b a log b c log b (a n ) = n.log b a log b a = log log c c a b

26 Questão 03 Uma importância R$ ,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendose que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de: A) R$ 3.200,00 B) R$ 3.600,00 C) R$ 3.800,00 D) R$ 4.800,00 E) R$ 2.200,00 Boa Prova Logaritmo

27 Resolução: Uma importância R$ ,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendose que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de: Boa Prova Logaritmo M = C.(1 + i) t M = (1+0,04) 10 M = (1,04) 10

28 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? M = (1,04) 10 log M = log [10000.(1,04) 10 ] log M = log log(1,04) 10 log M = log(1,04) Boa Prova Logaritmo

29 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? log M = log(1,04) log M = (0,017) log M = 4 + 0,17 log M = 4 + log 1,48 Boa Prova Logaritmo

30 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? log M = 4 + log 1,48 log M log 1,48 = 4 log M 1,48 = 4 Boa Prova Logaritmo

31 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? ,48 = M M log 10 1,48 = 4 M = C + J = = M 1, J = J = 4800 Gabarito: D Boa Prova Logaritmo

32 Polinômios Teorema do resto: Encontre o resto da divisão de P(x) = x 3 4x 2 + 5x 7 por D(x) = x 2. Resolução: P(x) = x 3 4x 2 + 5x 7 D(x) = x 2 P( 2 ) = ( 2 ) 3 4( 2 ) 2 + 5( 2 ) 7 P(2) = Raiz: x 2 = 0 x = 2 P(2) = 5 R(x) = 5 P(raiz do divisor) = resto divisor de primeiro grau

33 Polinômios Briot - Ruffini divisor de primeiro grau Encontre o quociente e o resto da divisão de P(x) = x 3 4x 2 + 5x 7 por D(x) = 3x 6. Resolução: P(x) = 1x 3 4x 2 + 5x 7 D(x) = 3x Raiz: 3x 6 = 0 x = 2 (3) Resto: R(x) = 5 Quociente: Q(x) = 1 3.x2 2 3.x + 1 3

34 Polinômio Complete: P(x) é divisível por (x 4) P( 4 ) = 0 P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 P( -1 ) = 3 P(x) é divisível por (x 1).(x + 4) P( 1 ) = 0 e P( -4) = 0 P(x) é divisível por (x 2 5x + 6) P( 2 ) = 0 e P( 3 ) = 0 As raízes do divisor são raízes do dividendo quando o resto for zero (divisível)

35 Equações Polinomiais Girard: Equação do terceiro grau: ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 x 1 + x 2 + x 3 = b a + c x 1.x 2 + x 1.x 3 + x 2.x 3 = a x 1.x 2.x 3 = d a

36 Geometria Analítica Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) B( 3, 2 ) d 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 d = 5 P( 5, 2 ) Q( 3, 4 ) d 2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2 d = 10

37 Geometria Analítica Questão Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(0, 1), B(1, 4) e C(2, 1). C Coordenadas do Baricentro: G(x G, y G ) G B x G = y G = A x G = 1 y G = 2 G( 1, 2 )

38 Geometria Analítica Equação da reta: Dois pontos: A(3,-2) e B(4,1) 3 4 x y 2 = 0-3x + y +11 = 0 ( Equação Geral ) y = 3x - 11 ( Equação Reduzida ) Coeficiente angular : 3 Coeficiente linear : -11

39 Geometria Analítica Equação da reta: Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5 y y 0 = m.(x x 0 ) y 2 = 5.(x +3) 5x y + 17 = 0 A(-3,2) y = a.x + b y = 5.x + b 2 = 5.(-3) + b b = 17 y = 5x + 17

40 Geometria Analítica Retas paralelas: Mesmo coeficiente angular r//s è m r = m s (r) 3x 4y + 2 = 0 (s) 3x 4y + c = 0 Retas perpendiculares: Coeficientes angulares, inversos e opostos r s m r = 1 m s (r) 5x + 2y 3 = 0 (s) 2x 5y + c = 0

41 Geometria Analítica Equação da circunferência: Dados : Centro C(a, b) e Raio r (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Exemplo: C( 3, -2) e r = 5 (x 3)2 + (y + 2) 2 = 25

42 Geometria Analítica Equação da circunferência: x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 (-2) (-2) C ( 3, -2 ) (3) 2 + (-2) 2 (-12) = r = r 2 r = 5

43 Questão 02 Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x 2) 2 + (y 2) 2 4 e seja P a região definida por x 2 ou y 2. A área da região intersecção entre C e P é: A) π B) 2π C) 3π D) 4π E) 5π Boa Prova Polinômios

44 Resolução: C: (x 2) 2 + (y 2) 2 4 Centro: C(2,2) Raio: r = 2 P: x 2 ou y 2. y 2 Intersecção entre C e P: 2 x Boa Prova Polinômios

45 Resolução: Área da intersecção entre C e P: A = 3. π.r2 4 y A = 3. π.(2)2 4 2 A = 3π 2 x Boa Prova Polinômios Gabarito: C

46 Que Deus o acompanhe!!!

47 Erivaldo FIM