Função Exponencial. f(x) = a x. C.E.! a > 0 e a 1. 0 < a < 1 y. a > 1 y. 1 x. 0 < a < 1 a >1. crescente. decrescente

Transcrição

1 CEMCINEMA

2 Função Exponencial f(x) = a x C.E.! a > 0 e a 1 0 < a < 1 a >1 decrescente 0 1 crescente a 0 < a < 1 y f(x) = a x a > 1 y 1 x 1 x

3 Função Exponencial Ex. : f(x) = 5 x + 3 Domínio: D = R y 5 x Imagem: Im = (3, ) x

4 (UDESC) Se x é solução da equação 3 4x x = 6,então x x é igual a: a. ( ) 2 b. ( ) 2 c. ( ) 1 d. ( ) 1 2 e. ( )

5 (UDESC) Se x é solução da equação 3 4x x = 6,então x x é igual a: Resolução: 3 4 x x = 6 y 2 + 3y 18 = x x = 6 x (3) z = 3 ou z = x x = x = 3 1 ou 3 2x = 6 (3 2x ) (3 2x ) 18 = 0 2x = 1 3 2x = z ( z ) ( z ) 18 = 0 S = x R / x = 1 2

6 (UDESC) Se x é solução da equação 3 4x x = 6,então x x é igual a: S = x R / x = 1 2 x x = x x = x x = 1 2 x x = 2 2 Gabarito: a

7 Exponencial Inequação 7 5 x > x 4 > > base > x > x 4 > < 0 < base < 1

8 POLÍGONOS Diagonais d = n.(n-3)/2 Diagonais passam pelo centro(regular) d c = n/2 Diagonais não passam pelo centro D nõo centro = d - n/2

9 POLÍGONOS ê ˆf ĉ ˆd Soma dos ângulos externos S e = Ângulo externo polígono regular a e = /n Soma dos ângulos internos Ângulo interno polígono regular S i = (n-2) a i + a e = 180 0

10 Geometria Plana Um cliente encomendou a um joalheiro um pingente especial, sendo a sua unica exigência, apenas o fato de ser um polígono regular e possuir 30 diagonais que não passam pelo centro. O formato do pingente seria exatamente qual poligono regular Solução : Diagonais que não passam pelo centro : diagonais diagonais passam centro d = d dc 0 = n 2 4n 60 d = n.(n 3)/2 - n/2 30 = (n 2 3n n)/2 60 = n 2 4n n`= 10 e n``= - 6 DECÁGONO

11 Logaritmo Definição: 1. log b a = x b x = a Condição de Existência: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 Exemplos: 1) log 0,25 32 = x 1 4 x = x = 2 5 x = 5 2 0,25 x = x = 2 5 2x = 5 log 0,25 32 = 5 2

12 Logaritmo Definição: 1. log b a = x b x = a Condição de Existência: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 Exemplos: ( ) = 10 3) 5.log ( x 2) 3x 8 log ( x 2) ( 3x 8) = 2 (5) ( x 2) 2 = 3x 8 x 2 4x + 4 = 3x 8 x 2 7x + 12 = 0 S = { 4 } x 1 = 3 ou x 2 = 4

13 Logaritmo 1) log b 1 = 0 5) ln e7 = log e e 7 = 7 2) log b b n = n 6)b log b a = a 3) log x = log 10 x 4) ln x = log e x (Logaritmo natural) e = 2, )7 log 7 5 = 5 8)e ln9 = 9

14 UDESC Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japão. b. ( ) aproximadamente igual à do Japão. c. ( ) 0,5 vezes a do Japão. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão.

15 UDESC Os pontos nesta escala são um logaritmo na base 10 da quantidade de energia liberada. O terremoto ocorrido no Nordeste do Japão em 11 de março de 2011 atingiu 9 pontos nesta escala, enquanto o terremoto mais intenso registrado na história, ocorrido no Chile em 1960, atingiu 9,5 pontos nesta escala. É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: Resolução: P = log 10 (E) Japão: 9 = log 10 (E J ) Chile: 9,5 = log 10 (E C )

16 UDESC É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japão. b. ( ) aproximadamente igual à do Japão. c. ( ) 0,5 vezes a do Japão. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão. Resolução: log 10 (E J ) = = E J E C = x. E J 10 9,5 = x log 10 (E C ) = 9,5 10 9,5 = E C x = 109,5 10 9

17 UDESC É correto afirmar que a quantidade de energia liberada no sismo do Chile foi: a. ( ) 5 vezes a do Japão. b. ( ) aproximadamente igual à do Japão. c. ( ) 0,5 vezes a do Japão. d. ( ) aproximadamente 0,3 vezes a do Japão. e. ( ) aproximadamente 3 vezes a do Japão. Resolução: x = 109, x = 10 0,5 x = 10 3,16. Gabarito: e

18 Triângulos B Pontos notáveis dos triângulos aricentro! Medianas mediana I ncentro C ircuncentro!! O rtocentro! Bissetrizes Mediatrizes Alturas mediatriz bissetriz altu ra RevisaCOC

19 Geometria Plana Ângulos: Circunferência Central Inscrito Segmento tangente secante A A x x x 2x x O 2x x B B

20 Geometria Plana Polígono regular l r R l 30 r l l/2 l l l 45 R l/2 l a = r R 60 l/2

21 Áreas: Triângulos: A equilátero = l 2 3/4 A lados = p.(p-a).(p-b).(p-c) S rainho = p. a A raião = a. b. c/4r A ângulo = a. b. senc/2 Quadriláteros A trapézio = A losango = (B+b).h/2 (D.d)/2

22 Geometria Plana Num terreno triangular de lados 13, 14 e 15 será construído um galinheiro no formato circular de maneira a estar inscrito no terreno, calcule quantos frangos cabem neste galinheiro sabendo que teremos 3 animais por m 2. (considere π = 3 ) 13 r r 14 r S=p.a 15 A = π.r m 2 A = 84 m 2 A = (3).4 2 x m 2 S = p.a A = 48m 2 84 = 21.r x= 144 animais r = 4 m p= 2 42 = 2 = 21 A = p(p-a)(p-b)(p-c) A= 21(21-13)(21-14)(21-15) A= 21(8)(7)(6) A = A = 84 m 2

23 Logaritmo Propriedades: I) log b (a.c) = log b a + log b c log b (a.c) = log b a + log b c II) log b (a/c) = log b a log b c log b (a/c) = log b a log b c III) log b ( a n ) = n.log b a log b ( a n ) = n.log b a

24 Logaritmo Treinando as propriedades: 1) log log 3 2 = log ) log 26 log 13 = log 2 3) log (x2.y)= 2.log x + log y 4) log (a5 /b 2 )= 5.log a 2.log b 5) 3.log a + 2.log b = log (a 3.b 2 )

25 Logaritmo Treinando as propriedades: 6) ln ( ) = 3.ln ln 2 7) log 72 = log ( ) = 3.log log 3 8) log a2.b 3 c 5 = 2.loga+ 3.logb 5.logc

26 ESPM Uma importância R$ ,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendo-se que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de: a) R$ 3.200,00 b) b) R$ 3.600,00 c) R$ 3.800,00 d) R$ 4.800,00 Boa Prova e) R$ 2.200,00 Logaritmo

27 Resolução: Uma importância R$ ,00 foi aplicada a juros compostos de 4% ao mês durante 10 meses. Sabendose que log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17, podemos concluir que os juros obtidos nessa aplicação foram de: M = C.(1 + i) t M = (1+0,04) 10 M = (1,04) 10

28 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? M = (1,04) 10 log M = log [10000.(1,04) 10 ] log M = log log(1,04) 10 log M = log(1,04) Boa Prova Logaritmo

29 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? log M = log(1,04) log M = (0,017) log M = 4 + 0,17 log M = 4 + log 1,48 Logaritmo

30 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? log M = 4 + log 1,48 log M log 1,48 = 4 Boa Prova Logaritmo log M 1, 48 = 4

31 Resolução: Dados: log 1,04 = 0,017 e log 1,48 = 0,17 Juros:? (10000).(1, 48) = M log 10 M 1, 48 = = M 1, 48 M = C + J = J = J = Gabarito: d

32 Mudança de base log b a = log log c c a b log 2 5 = log log log b a = 1 log a b log ( b n ) a = 1 n.log b a

33 UDESC 4) Sejam a, b e c números reais positivos tais que log 2 a+ log 1 4 b log 1 2 c = 3 Então b é igual a: a. ( ) ac b. ( ) 8 c. ( ) a+ c d. ( ) 32 a 2 + c 2 64 a 2 c 2 64 e. ( ) ac 32

34 UDESC Sejam a, b e c números reais positivos tais que log 2 a+ log 1 4 b log 1 2 c = 3 Então b é igual a: Resolução: log 2 a+ log 1 4 b log 1 2 c = 3 log 2 a+ log (2 2 ) b log (2 1 ) c = 3

35 UDESC log 2 a+ log (2 2 ) b log (2 1 ) c = 3 log 2 a+ 1 2.log 2 b 1 1.log 2 c = 3 log 2 a log 2 b 2 + log 2 c = 3 x(2) 2.log 2 a log 2 b + 2.log 2 c = 6

36 UDESC 2.log 2 a log 2 b + 2.log 2 c = 6 log 2 a 2 + log 2 c 2 log 2 b = 6 a 2.c 2 log 2 b = 6 Gabarito: d 2 6 = a2.c 2 b b = a2.c 2 64

37 Matemática Básica Um professor, criador de galinhas, calcula que se 12 animais, comendo 12 horas por dia, em 12 dias, consomem 12 kg de ração, então em 24 dias, 24 galinhas, comendo 24 horas por dia, consumirão quantos kg de ração. Resolução: Kg DE COMIDA Animais x =.. =.. x x HRS/DIA DIAS = x x = 96 x = 96

38 Matemática Básica AULA 3 PORCENTAGEM Professor Erivaldo, para tirar um dinheirinho a mais, passou a nos fins de semana, vender roupas femininas colocando uma margem de 150% nas peças Com era aniversário da sua esposa, ele como presente lhe vendeu algumas peças a preço de custo. Calcule o desconto dado sobre as peças para que o preço volte ao que era antes. Resolução: 2,5.X = 1 X = 0,4 DESCONTO DE 60% 1 2, ,4

39 Função Composta Questão Dadas as funções f(x) = x 2 6x + 1 e g(x) = x + 8, encontre a função gof(x). Resolução: gof(x) = g(f(x)) gof(x) = (x 2 6x +1)+ 8 gof(x) = x 2 6x + 9 gof(x) = (x 3) 2 gof(x) = x 3 x 2 = x

40 Função Composta Questão Dadas as funções fog(x) = x e f(x) = x + 3 x a função g(x). Resolução:, encontre fog(x) = f(g(x)) g + 3 = g.x g g.(x 2 + 4) = 3 fog(x) = g + 3 g g + 3 g = x = g.x g g 3 = g.x g g = g(x) = 3 x x 2 + 4

41 Função Inversa Encontre as inversas das seguintes expressões: a) f(x) = 3x + 5 4x x f 1 (x) = 4.x f 1 (x) = 7x + 5 4x 3 b) f(x) = 7 9x + 2 f(x) = 0x + 7 9x + 2 f 1 (x) = 2x + 7 9x 0

42 Função Inversa O gráfico de uma função e o gráfico da sua inversa sempre serão simétricos em relação as B.Q.I. y f B.Q.I. f -1 fof -1 (x) = x f -1 of(x) = x x A composta de uma função com a sua inversa sempre resultará na função identidade

43 Geometria Espacial T H O D Poliedros de Platão ETRAEDRO EXAEDRO CTAEDRO ODECAEDRO I COSAEDRO 20

44 Teorema de Euler V + F = A + 2 Poliedros Fechados Soma dos Ângulos Internos das Faces S = 360º (V 2)

45 Geometria Espacial + Um cristal de rocha foi achado e o seu valor varia de acordo com o número de vértices que ele possui. Sabendo que este cristal é formado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais e que cada vértice representa um ganho de R$ 50,00, calcule o seu valor. F = 8 6F4 2F6 A = A = V + F = A + 2 V + 8 = V = 12 6(4) + 2(6) 2 A = R$600,00 Baiano ENEM 2013

46 SBM No período que precede o Natal, o comércio faz muitas promoções visando incrementar suas vendas e, com esse objetivo, um Atacadista fez uma promoção, vendendo o quilo da bala a R$ 4,00. Além disso, a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%. De acordo com as informações, pede-se: UFSC Discursiva

47 SBM a) O valor V a ser pago por um cliente que comprou x quilos de bala nessa promoção, 0 x 100, é dado pela função V(x). Encontre a lei de formação e faça o gráfico desta função. b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de UFSC Matemática? Discursiva

48 SBM o quilo da bala a R$ 4,00 a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60% Resolução: a) V(x), para 0 x 60. x = 5 V(x) = 4.(5) (4.5)

49 SBM Resolução: a) V(x), para 0 x 60. x = 5 V(x) = 4.(5) (4.5) x = V(x) = 4.(37) 100.(4.37) Discursiva

50 SBM o quilo da bala a R$ 4,00 a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60% Resolução: a) V(x), para 0 x 60. x kg V(x) = 4.(x) x 100.(4.x)

51 SBM Resolução: a) V(x), para 0 x 60. x kg V(x) = 4.(x) x 100.(4.x) V(x) = 4x 4x2 100

52 Questão 01: o quilo da bala a R$ 4,00 a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60% Resolução: a) V(x), para 60 x 100. x = V(x) = 4.(60) 100.(4.60)

53 SBM Resolução: a) V(x), para 0 x 60. x = 5 V(x) = 4.(5) (4.5) x = V(x) = 4.(70) 100.(4.70) Discursiva

54 SBM Resolução: a) V(x), para 60 x 100. x kg V(x) = 60 4.(x) 100.(4.x) V(x) = 4x (0,6).4x V(x) = 1,6.x

55 SBM Resolução: a) V(x), para 0 x 100. V(x) = 4x 4x2 100, se 0 x 60 1,6.x, se 60 < x 100 UFSC Discursiva

56 a) Gráfico de V(x) = 4x2 4x, se 0 x ,6.x, se 60 < x 100 Raízes: 4x 4x2 100 = x x 2 = 0 x V = x V = 50 x 1 = 0 ou x 2 = 100 y V = 100 UFSC Discursiva

57 a) Gráfico de Raízes: x 1 = 0 x 2 = 100 Vértice: V(x) = V x2 4x, se 0 x ,6.x, se 60 < x 100 V(50,100) UFSC Discursiva x

58 SBM Resolução: b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática? UFSC Discursiva

59 b) Alfredo 10kg Beatriz 15kg Carlos 30kg V Daniel 40kg x UFSC Discursiva

60 b) V Daniel poderia ter comprado 60kg de balas e pago os mesmos R$ 96, x UFSC Discursiva

61 Prismas Área Lateral A l = 2P b.h Área Total A t = 2A b + A l Volume V = A b.h Proporcionais a x = b y = c z = k PA - (x r, x, x + r) PG x -,x,x.q q

62 Geometria Espacial Prismas Especiais UDESC A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 10 m² e suas dimensões são inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5. Determine doze vezes o volume desse paralelepípedo. a b c a.3= b.4 = c.5 = k k a= = k b= = k c= = 1 5 A t = 2.(a.b + a.c + b.c) 10 = 2.(k 2 /12 + k 2 /15 + k 2 /20) 5 = 12k² /60 k² = 25 k = 5 V P = V P = V P = a.b.c V P = 25 m³

63 (ACAFE) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14, analise as afirmações a seguir. 1m 3 = 1000L x m 3 = 1570L 1570L = 1,57m 3 Em 1h o volume será: V = (1,57.1)m 3

64 (ACAFE) Uma piscina cilíndrica, cujas medidas são indicadas na figura abaixo, é cheia com uma mangueira a uma taxa de 1570 L por hora. Com base nestes dados, e considerando π = 3,14, analise as afirmações a seguir. Em 1h o volume será: V = (1,57.1)m 3 Em 2h o volume será: V = (1,57.2)m L = 1,57m Em th o volume será: V = (1,57.t)m 3

65 (ACAFE) I) A função h(t), onde h indica a altura alcançada pela água dentro da piscina em metros e t o tempo em horas, é uma função do segundo grau. V = (1,57.t)m 3 V = A b.h 12,56.h = 1,57.t h = 0,125.t Função polinomial do primeiro grau. V = π.r 2.h V = 3,14.(2) 2.h V = 12,56.h Incorreto

66 (ACAFE) II) O enchimento da piscina será interrompido quando a piscina estiver completamente cheia; neste caso, pode-se dizer que a função h(t) tem como domínio o conjunto D = {t R / 0 x 12,56}. Função h(t): h = 0,125.t Domínio de h(t): 1,57 = 0,125.t t = 12,56h D = {t R / 0 t 12,56}. Correto

67 (ACAFE) III) O tempo total de enchimento desta piscina será de 12 horas e 56 minutos. Função h(t): h = 0,125.t Domínio de h(t): 1,57 = 0,125.t t = 12,56h D = {t R / 0 t 12,56}. Incorreto D Apenas a afirmação II é verdadeira.

68 Cilindro Secções Secção Meridiana Corte que passa pelo eixo h = g Cilindro Equilátero g = 2r 2r

69 PIRÂMIDES Áreas de uma Pirâmide Área Lateral Área Total a p A t = A b + A l Volume da Pirâmide A l = 2p b.a p 2 A.h b V= 3 Pirâmides

70 PIRÂMIDES Secções Secção Transversal Corte Paralelo à Base h 1 h 2 = a b1 a b2 h 1 h 2 = 2 a p1 a p2 = A b1 A b2 = k a b1 = a b2 3 V 1 V 2 A l1 = A l2 3 2 V 1 V 2 Pirâmides

71 Geometria Espacial O projeto de uma vela decorativa no formato de uma pirâmide quadrangular regular com altura x e à partir dela são produzidas duas outras, uma no formato de uma nova pirâmide e outra na forma de um tronco, ambas são geradas no mesmo instante por uma secção transversal a 4 cm da sua base e esta base tem uma área igual a 4 vezes a área da secção, calcule x Resolucão: h 4 Ab 4.A b! # " h H h h = 2 $ & % A A b B = A b 4.A b! # " h h $ & % h 1 = h h = h + 4 h= 4 x = 4+ 4 = 8 = 1 4

72 (ACAFE) Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x N * / x < 200} B={x A / x é múltiplo de 8} C = { x A / x é m ú l t i p l o d e 3} I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos. III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a 8169.

73 (ACAFE) Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x N * / x < 200} B={x A / x é múltiplo de 8} C = { x A / x é múltiplo de 3} = 192 Resolução: A = { 1, 2, 3, 4,..., 199 } B = { 8, 16, 24,..., 192? } n(b) = 24 C = { 3, 6, 9,..., 198? } n(c) = = 198

74 (ACAFE) I) O conjunto BUC possui 90 elementos. Incorreto Resolução: B = { 8, 16, 24,..., 192 } n(b) = 24 C = { 3, 6, 9,..., 198 } n(c) = 66 n(buc) = n(b) + n(c) n(b C) = 192 B C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24} B C = { 24, 48, 72,..., 192? } n(b C) = 8

75 (ACAFE) II) O conjunto C possui 65 elementos. Incorreto Resolução: B = { 8, 16, 24,..., 192 } n(b) = 24 C = { 3, 6, 9,..., 198 } n(c) = 66

76 (ACAFE) III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. Resolução: B C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24} B C = { 24, 48, 72,..., 192? } n(b C) = 8 Correto

77 (ACAFE) IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a Resolução: A = { 1, 2, 3, 4,..., 199 } B = { 8, 16, 24,..., 192 } AUB = { 1, 2, 3, 4,..., 199 } ( P.A. de razão 1) ( S = a 1 + a n ).n 2 ( S = ) S = Incorreto

78 (ACAFE) I) O conjunto BUC possui 90 elementos. Incorreto II) O conjunto C possui 65 elementos. Incorreto III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. Correto IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a Incorreto Assinale a alternativa correta. A Todas as afirmações são verdadeiras. B Apenas II e III são verdadeiras. C Apenas a afirmação III é verdadeira. D Apenas III e IV são verdadeiras. Gabarito: c

79 CONE CONE Secções Secção Transversal Corte paralelo a base r R r R = h H h H 2 = = A b A B g G A b r R 3 = A B 3 = V menor V maior V menor V maior 2

80 CONE Secções Secção Meridiana Corte que passa pelo eixo g h Cone Equilátero g = 2r 2r Secção meridiana é um triângulo equilátero. CONE

81 Geometria Espacial Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera. Resolução: V = C A.h π.r.h = 3 V C = b π =12π cm r V = A b.h = π. r². h 3 r 2 = 16 cm r = 4 cm V 6 copos = 12π. 4 = 48π 48π = r 2. π.3

82 Geometria Espacial Um recipiente, que tem o formato de um cilindro reto foi enchido com água por 4 copos no formato de um cone invertido (vértice voltado para baixo) com geratriz 5cm e altura 4cm, fazendo o nível de água alcançar a altura de 3 cm no cilindro. Em seguida colocou-se uma esfera dentro do recipiente cilíndrico, fazendo com que a altura da água do recipiente suba mais 2 cm, calcule o volume da esfera. Resolução: V ESFERA = V CILINDRO DESLOCADO V ESFERA = π. r². h 4 r = 4 cm 2 3 x r Área V ESFERA V ESFERA Volume = π. 4². 2 = 32π cm A = π.r V = π.r 3

83 (ACAFE) Uma família sai de férias da cidade A para a cidade C. Para isso, precisam passar obrigatoriamente pela cidade B. Existem três rodovias (D, E e F) que ligam as cidades A e B e outras duas rodovias (G e H) que ligam as cidades B e C. As distâncias e os valores de pedágio dos trajetos estão no quadro abaixo.

84 (ACAFE) Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. I) Partindo da cidade A, existem seis percursos e seis valores distintos de pedágio para chegar até a cidade C. A até B B até C A até C Distância Valor D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45 Incorreto

85 (ACAFE) Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. II) Existem percursos de igual distância e com valores iguais de pedágio para ir de A até C. Correto A até B B até C A até C Distância Valor D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45

86 (ACAFE) Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. III) O maior valor total pago no pedágio é de R$ 2,45. Correto A até B B até C A até C Distância Valor D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45

87 (ACAFE) Em relação ao enunciado, analise as afirmações a seguir. IV) A menor distância total percorrida não corresponde ao menor valor do pedágio pago. A até B B até C A até C Distância Valor D G DG 145 2,30 D H DH 146 2,35 E G EG 149 2,35 E H EH 150 2,40 F G FG 150 2,40 F H FH 151 2,45 Todas as afirmações corretas estão em: C II III Incorreto

88 Geometria Analítica Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) B( 3, 2 ) d 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 d = 5 P( 5, 2 ) Q( 3, 4 ) d 2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2 d = 10

89 Geometria Analítica Questão Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(0, 1), B(1, 4) e C(2, 1). C Coordenadas do Baricentro: G(x G, y G ) G B x G = y G = A x G = 1 y G = 2 G( 1, 2 )

90 (UDESC) Dadas as matrizes A = e B =, encontre a relação entre x e y tal que a igualdade det(a -1 B t A) = -8 seja verdadeira. Resolução: det x y = + x y = + x y x y det = x y x y det -5x 1 + 3y = 8 y = 9+5x 3 MATRIZES

91 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r) A(1,2), B(7,-2), P( x, y ) A B P A, B e P são colineares Determinante = zero x y 1 2 = 0

92 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). (r) 1 7 x 1 = y 2 P B A y + 2x x y = 0 4x + 6y 16 = 0 ( 2) Equação na forma Geral 2x + 3y 8 = 0 ax + by + c = 0

93 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). 2x + 3y 8 = 0 Forma Geral y 3y = 2x + 8 y = 2 3.x Forma Reduzida Coeficiente angular: m = Coeficiente linear: b = 3 8/3 tgα = -2/3 α x

94 Geometria Analítica Encontre a equação da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2). A( 1, 2 ) B( 7, -2 ) A( 1, 2 ) B( 7, -2 ) -6. y = 4. x y - 4x + 16 = 0 (-2) -16 3y + 2x - 8 = 0

95 Determinante a d g (UDESC) Sabendo que : b c e f h i = 4 Calcule o determinante de : 2a 6b 2c d 3e f 5g 15h 5i = = 120

96 Geometria Analítica Equação da reta: Um ponto e o coeficiente angular: A(-3,2) e m = 5 y y 0 = m.(x x 0 ) y 2 = 5.(x +3) 5x y + 17 = 0 A(-3,2) y = a.x + b y = 5.x + b 2 = 5.(-3) + b b = 17 y = 5x + 17

97 Geometria Analítica Retas paralelas: Mesmo coeficiente angular r//s! m r = m s (r) 3x 4y + 2 = 0 (s) 3x 4y + c = 0 Retas perpendiculares: Coeficientes angulares, inversos e opostos r s m r = 1 m s (r) 5x + 2y 3 = 0 (s) 2x 5y + c = 0

98 SISTEMAS LINEARES Discuta o sistema: " 2x y = 3 (. 2 ) " 4x 2y = 6 # # $ mx + 2y = a $ mx + 2y = a ( 4 + m ).x + 0.y = ( 6 a ) + S.P.I 0.x + 0.y = 0 m = - 4 e a = 6 S.I 0.x + 0.y = R* m = - 4 e a 6 S.P.D m - 4

99 TÁ na HORA, TÁ na HORA Tá na hora, tá na hora De sistemas estudar Se for S.P.D Uma solução eu vou achar Mas se for S.P.I Infainite vai dar E se for o S.I. Ninguém consegue calcular S.P.D., S.P.I. 3x ÔH, ÔH, ÔH S.P.D não vai dar zero S.P.I. Todos vão dar S.I. primeiro membro, ninguém consegue calcular S.P.D., S.P.I. 3x ÔH, ÔH, ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir S.P.D., S.P.I. 3x ÔH, ÔH, ÔH Se você for bem tanço você vai se confundir Se você for bem tanço você vai se confundir

100 Geometria Analítica Equação da circunferência: Dados : Centro C(a, b) e Raio r (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Exemplo: C( 3, -2) e r = 5 (x 3)2 + (y + 2) 2 = 25

101 Geometria Analítica Equação da circunferência: x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 (-2) (-2) C ( 3, -2 ) (3) 2 + (-2) 2 (-12) = r = r 2 r = 5

102 Questão 02 Seja C a região do plano cartesiano definida pela desigualdade (x 2) 2 + (y 2) 2 4 e seja P a região definida por x 2 ou y 2. A área da região intersecção entre C e P é: A) π B) 2π C) 3π D) 4π E) 5π Boa Prova Polinômios

103 Resolução: C: (x 2) 2 + (y 2) 2 4 Centro: C(2,2) Raio: r = 2 P: x 2 ou y 2. y 2 Intersecção entre C e P: 2 x Boa Prova Polinômios

104 Resolução: Área da intersecção entre C e P: π.r 2 A = 3. 4 π.2 2 A = 3. 4 A = 3π y 2 2 x Boa Prova Polinômios Gabarito: C

105 SISTEMAS LINEARES " $ $ $ $ $ # a % ' ' ' ' ' & S.P.I S.I S.P.D

106 (ACAFE) Segundo estudos realizados em um centro de pesquisas geológicas, a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar de certa cidade é de 70%, e a probabilidade de ocorrer em terra é de 30%. Em ambos os casos podem ou não ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre no mar há 60% de chances de ocorrer danos à cidade. Se o terremoto ocorre em terra, a probabilidade de ocorrer danos é de 82%. Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade? A 57,4% B 12,6% C 42% D 28%

107 (ACAFE) Terremoto no mar: P(M) = 70% Terremoto na terra: P(T) = 30% Terremoto no mar com danos: P(D) = 60% Terremoto na terra com danos: P(D) = 82% Qual é a probabilidade de um terremoto ocorrer no mar e não haver danos à cidade? Resolução: P(M) e P(ND) (0,70) x (0,40) = 0,28 D 28%

108 TRIGONOMETRIA 1: Analisar a função f(x) = cos(3x), quanto ao domínio, imagem, período, paridade e gráfico. Df = R Imf = [-2-1, -2+1] = [-3, -1] P = 2π 3 2π = 3 Paridade = par

109 Função Tangente x π 3) Dada a função y = 2 + tg +, calcular: 3 2 Resolução: Dy: x π π + +kπ D y : x 3kπ Imy = R Py = π 13 =3π

110 Equação Exponencial 2 x x = 3 x x x 2 x+5 2 x+2 2 x = 3 x+2 3 x 2 x x x = 3 x x 2 x.( ) = 3x.( 9 1 ) 2 x.27 = 3 x.8 2 x 3 = 8 x 27 x = 2 3 x = 3 S = { 3 }

111 PROGRESSÃO ARITMÉTICA Notações Especiais PA de 3 termos (x-r,x,x+r) a 3 + a 7 = a 4 + a 6 P.A. (a,b,c) b = a + c 2 Relacionamento Juros X P.A.

112 PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Notações Especiais PG de 3 termos x,x,xq q a 3. a 7 = a 4. a 6 P.G. (a,b,c) b² = a.c Relacionamento Juros X P.G.

113 Erivaldo CEMCINEMA