CEM CINEMA ACAFE/UDESC. Adriano Baiano Dé Erivaldo Piu

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1 CEM CINEMA ACAFE/UDESC Adriano Baiano Dé Erivaldo Piu

2 Questão 01 Sobre um número natural formado por dois algarismos, sabe-se que o algarismo das unidades excede o triplo do algarismo das dezenas em 1 unidade, e a inversão da ordem dos algarismos produz um número que excederá o dobro do original em 18 unidades. A soma dos algarismos do número que atende as condições acima, é: a) 10 b) 12 c) 20 d) 27 MATEMÁTICA BÁSICA

3 01) Sobre um número natural formado por dois algarismos, sabe-se que o algarismo das unidades excede o triplo do algarismo das dezenas em 1 unidade, e a inversão da ordem dos algarismos produz um número que excederá o dobro do original em 18 unidades. A soma dos algarismos do número que atende as condições acima, é 12. ab b = 3a + 1 ba = 2.(ab) b + a = 2.(10a + b) + 18 MATEMÁTICA BÁSICA

4 01) A soma dos algarismos do número que atende as condições acima, é ab b = 3a + 1 ba = 2.(ab) b + a = 2.(10a + b) b + a = 20a + 2b b = 19a (3a + 1) = 19a + 18 MATEMÁTICA BÁSICA

5 01) A soma dos algarismos do número que atende as condições acima, é ab b = 3a (3a + 1) = 19a + 18 b = 3.(2) + 1 b = 7 24a + 8 = 19a a = 10 a = 2 27 Gabarito: d MATEMÁTICA BÁSICA

6 Função exponencial f(x) = a x C.E.! a > 0 e a 1 0 < a < 1 a >1 0 decrescente 1 crescente a 0 < a < 1 y f(x) = a x a > 1 y 1 x 1 x EXPONENCIAL

7 Questão 02 O domínio e a imagem da função f(x) = 5 x + 3, são: a) D = R e Im = [ 5, + [ b) D = R + e Im = ] 3, + [ c) D = R - e Im = [ 3, + [ d) D = R e Im = ] 3, + [ e) D = R e Im = ] 5, + [ EXPONENCIAL

8 Questão 02 O domínio e a imagem da função f(x) = 5 x + 3, são: Resolução: f(x) = 5 x + 3 Domínio: D = R Imagem: Im = ] 3, [ y 5 x Gabarito: d EXPONENCIAL 0 x

9 Questão 03 Infelizmente, durante a ocupação do Brasil, a maior parte de sua vegetação, principalmente na região sudeste, foi sendo derrubada para a extração da madeira e, depois, plantio de diversas culturas como o café.(...) A saída então, uma vez que não podemos voltar no tempo e reverter a situação, é tentar recuperar a região devastada através do reflorestamento. E zelar para que ninguém mais destrua. Suponha que trinta agricultores reflorestam uma área de três hectares em 16 horas de trabalho. Quantos agricultores são necessários, no mínimo, para que uma área de quatro hectares seja reflorestada em 10 horas de trabalho? A 50 B 46 C 84 D 64 MATEMÁTICA BÁSICA

10 Questão 03 Suponha que trinta agricultores reflorestam uma área de três hectares em 16 horas de trabalho. Quantos agricultores são necessários, no mínimo, para que uma área de quatro hectares seja reflorestada em 10 horas de trabalho? A 50 C 84 B 46 D 64 Resolução: = x Agricultores MATEMÁTICA BÁSICA Área 30 3 x 4 1 = 1 x 64 Hrs/Trabalho x = 64 agricultores Gabarito: d

11 Questão 04 Professor ERIVALDINHO queria resgatar o seu franguinho de estimação que tinha fugido e voado pro alto de uma árvore de 8,5 m, sabendo Erivaldinho possui 1,70 m de altura e a sombra da árvore, em uma determinada hora do dia, mede 10 m, qual a distância que o pequeno pônei estaria da árvore no momento em que o sol não o atingisse mais H = 8,5 10 Resolucão: h=1,7 h b B =10 Como a inclinacão(ângulo) dos raios solares é a mesma nas duas situacões, podemos usar semelhanca de triângulos. h H = b B 1,7 8,5 = b 10 GEOMETRIA PLANA b = 17 8,5 8,5= H b = 2 1,7= Distância : 8

12 Questão 05 O número (1101) 2 corresponde a qual dos números abaixo: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 MATEMÁTICA BÁSICA

13 Questão 05 O número (1101) 2 corresponde a qual dos números abaixo: Resolução: (1101) 2 = (1101) 2 = (1101) 2 = (13) 10 MATEMÁTICA BÁSICA Gabarito: c

14 06)(UDESC) Se x é solução da equação 3 4x x = 6, então x x é igual a: 2 2 a. ( ) b. ( ) 1 4 c. ( ) 1 d. ( ) 1 e. ( ) 27 2 EXPONENCIAL

15 Resolução: x x =? 3 4 x x = x + 3 2x = 6 x (3) x x = 18 (3 2x ) (3 2x ) 18 = 0 3 2x = z ( z ) ( z ) 18 = 0 z 2 + 3z 18 = 0 z = 3 ou z = 6 3 2x = 3 1 ou 3 2x = 6 2x = 1 S = x R / x = 1 2 EXPONENCIAL

16 06)(UDESC) Se x é solução da equação 3 4x x = 6, então x x é igual a: S = x R / x = 1 2 x x = x x = x x = 1 2 x x = 2 2 Gabarito: a EXPONENCIAL

17 Questão 07 Filho mais velho do Erivaldinho resolveu anotar os valores diários que seu pai lhe dava para se alimentar na escola durante 8 dias seguidos e para ter uma análise mais matemática dos valores pediu ao tio Baiano encontrar a média, a mediana e a moda destes números, que foram : Resolução: 2, 4, 6, 4, 5, 6, 2 + Média: 3, X = = = Rol: Mediana: Posição da mediana: n a = = 4,5 2 2 d = MATEMÁTICA BÁSICA M = 4 2 Moda: M o = 2, 4, 6 Trimodal Frequência : 2

18 Questão 08 Num terreno triangular de lados 13, 14 e 15 será construído um galinheiro no formato circular de maneira a estar inscrito no terreno, calcule quantos frangos cabem neste galinheiro sabendo que teremos 3 animais por m 2. (considere π = 3 ) 13 r r 14 r 15 S=p.a A = 84 m 2 A = π.r m 2 S = p.a A = (3).4 2 x m 2 84 = 21.r A = 48m 2 x= 144 animais r = 4 m GEOMETRIA Revisão PLANA p= 2 42 = 2 = 21 A = p(p-a)(p-b)(p-c) A= 21(21-13)(21-14)(21-15) A= 21(8)(7)(6) A = A = 84 m 2

19 Questão 09 O Conjunto solução da equação x log(x 3) = 6x 9 é: { } a) S = x R / x > 3 b) S = R c) S = x R / x >1 d) S = R + e) S = x R / x > 7 { } { } MATEMÁTICA BÁSICA

20 09) A solução da equação x log(x 3) = 6x 9 é: x log( x 3) = 6x 9 b log b a = a x 2 (10 2 ) log( x 3) = 6x 9 x log( x 3) = 6x 9 x 2 10 log( x 3)2 = 6x 9 x 2 (x 3) 2 = 6x 9 x 2 (x 2 6x + 9) = 6x 9 x 2 x 2 + 6x 9 = 6x 9 MATEMÁTICA BÁSICA

21 09) A solução da equação x log(x 3) = 6x 9 é: Gabarito: a x 2 x 2 + 6x 9 = 6x 9 0.x = 0 Equação possível e indeterminada x log(x 3) = 6x 9 Condição de existência: x 3 > 0 x > 3 S = { x R / x > 3} MATEMÁTICA BÁSICA

22 EXPONENCIAL Inequação exponencial 7 5 x > x 4 > > base > x > x 4 > < 0 < base < 1

23 10)(ACAFE) O conjunto S é formado pela solução da inequação dada a seguir, com x Z. 1 5 x.( x+5) 1 25 x+5 0 O número de conjuntos de 3 elementos cada um, que podemos formar com os elementos obtidos em S é igual a: a) 10 b) 120 c) 64 d) 20 MATEMÁTICA BÁSICA

24 10) O número de conjuntos de 3 elementos cada um, que podemos formar com os elementos obtidos em S é igual a: a) 10 b) 120 c) 64 d) x.( x+5) 1 25 x x.( x+5) x x.( x+5) 1 25 x x.( x+5) 1 5 2x+4 MATEMÁTICA BÁSICA

25 10) O número de conjuntos de 3 elementos cada um, que podemos formar com os elementos obtidos em S é igual a: a) 10 b) 120 c) 64 d) x.( x+5) 1 5 2x+4 x 2 + 3x 4 0 x 2 + 5x 2x + 4 x 2 + 3x x Z S = { 4, 3, 2, 1,0,1 } MATEMÁTICA BÁSICA

26 10) O número de conjuntos de 3 elementos cada um, que podemos formar com os elementos obtidos em S é igual a: a) 10 b) 120 c) 64 d) 20 S = { 4, 3, 2, 1,0,1 } C 6 3 = C 6 3 = 6! 3!.3! 6! 3!.(6 3)! C 6 3 = ! 3.2.1!.3! C 6 3 = 20 Gabarito: d MATEMÁTICA BÁSICA

27 Questão 11 Bruno e Amanda são dois adolescentes que recolhem latinhas de cerveja e refrigerante para ajudar no orçamento da família do pai Erivaldo. Enquanto Amanda trabalha 4 horas por dia, Bruno trabalha 5 horas por dia. Ao final do dia recolhem 180 latinhas. Se a divisão das latinhas for proporcionalmente às horas trabalhadas, com quantas latas Bruno ficará? Resolução: A 4 = B 5 = K A+ B =180 4 K + 5K = 180 A = 80 A 4 = K A = 4k B 5 = K B = 5k MATEMÁTICA BÁSICA 9 K =180 K = 20 B =100

28 Questão 12 As arestas da base de um prisma triangular oblíquo medem 5cm, 12 cm e 13 cm, sua aresta lateral mede 20, e sua projeção ortogonal sobre o plano da base mede 4 cm. Calcule o volume ) 2 + h 2 = ( 20) 2 h = 2 cm h V = A b.h V = 30.2 A b = p.(p a).(p b).(p c) V = 60 cm 3 A b = 15.(15 13).(15 12).(15 5) A b = A b = 30 cm 2 GEOMETRIA ESPACIAL

29 13)(ACAFE) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta. I Os números inteiros pares compreendidos entre 9 e são todos aqueles da forma 2n, com 9 3 n Ze 5 n 7. MATEMÁTICA BÁSICA

30 I Os números inteiros pares compreendidos entre 9 e 9 3 são todos aqueles da forma 2n, com n Ze 5 n 7. Resolução: 9 < 2n < < 2n < 9.(1,7) 9 < 2n < 15,3 2n = 10 ou 2n = 12 ou 2n = 14 n = 5 ou n = 6 ou n = 7 Item correto MATEMÁTICA BÁSICA

31 13)(ACAFE) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta. II Um número é inteiro. A soma de seu cubo com o quíntuplo de seu quadrado e mais o seu dobro resulta no número -10. Então, esse número inteiro é menor que 5. EQUAÇÃO ALGÉBRICA

32 II Um número é inteiro. A soma de seu cubo com o quíntuplo de seu quadrado e mais o seu dobro resulta no número -10. Então, esse número inteiro é menor que 5. Resolução: x x x = 10 EQUAÇÃO ALGÉBRICA x 3 + 5x 2 + 2x + 10 = 0 Possíveis raízes: divisores de 10 d(10) = { ±1, ± 2, ± 5, ±10 }

33 II Um número é inteiro. A soma de seu cubo com o quíntuplo de seu quadrado e mais o seu dobro resulta no número -10. Então, esse número inteiro é menor que 5. Resolução: 1.x x x + 10 = 0 Possíveis raízes: { ±1, ± 2, ± 5, ±10 } não é raiz EQUAÇÃO ALGÉBRICA

34 II Um número é inteiro. A soma de seu cubo com o quíntuplo de seu quadrado e mais o seu dobro resulta no número -10. Então, esse número inteiro é menor que 5. Resolução: 1.x x x + 10 = 0 Possíveis raízes: { ±1, ± 2, ± 5, ±10 } = 0 5 é raiz EQUAÇÃO ALGÉBRICA

35 II Um número é inteiro. A soma de seu cubo com o quíntuplo de seu quadrado e mais o seu dobro resulta no número -10. Então, esse número inteiro é menor que 5. Item correto Resolução: 1.x x x + 10 = 0 x = 0 x 2 = 2 x = ±i. 2 EQUAÇÃO ALGÉBRICA x 2 + 0x + 2 = 0 S = { 5, i 2,i 2}

36 13)(ACAFE) Analise as afirmações a seguir e assinale a alternativa correta. III O número possui 70 divisores naturais. MATEMÁTICA BÁSICA

37 III O número possui 70 divisores naturais. Resolução: Número de divisores: 2 3.(2.5) (9 + 1).(6 + 1) (10).(7) = 70 Item correto MATEMÁTICA BÁSICA

38 Questão 14 O tribunal concedeu a uma certa categoria profissional aumento de 100% sobre o salário, descontadas as antecipações. Se os trabalhadores já haviam recebido um aumento antecipado de 20% em setembro, receberão agora um aumento, sobre o salário de setembro de um valor entre de? Resolução:. 1,2 X = 2 X = 1,67 Aumento de 67% MATEMÁTICA BÁSICA

39 MATEMÁTICA Revisão BÁSICA Questão 15 Um cristal de rocha foi achado e o seu valor varia de acordo com o número de vértices que ele possui. Sabendo que este cristal é formado por seis faces quadrangulares e duas faces hexagonais e que cada vértice representa um ganho de R$ 50,00, calcule o seu valor. + F = 8 6F4 2F6 A = 6(4) + 2(6) 2 A = A = 18 V + F = A + 2 V + 8 = V = R$600,00

40 Questão 16 Sobre o número a) é maior que 10. b) é racional. c) é irracional. d) é par. e) é menor que -10. é correto afirmar que: MATEMÁTICA BÁSICA

41 16) O número é: Gabarito: b ( ) duas vezes o primeiro pelo segundo MATEMÁTICA BÁSICA

42 Logaritmo Definição: Exemplos: 1. log b a = x b x = a 1)log 0,25 32 = x 2 2x = 2 5 Condição de Existência: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 0,25 x = x = 32 2x = 5 x = 5 2 LOGARITMO

43 Logaritmo Definição: 1. log b a = x b x = a Condição de Existência: Base: b > 0 e b 1 Logaritmo: x é real Logaritmando: a > 0 Exemplos: 2) 5.log ( x 2) (3x 8) = 10 (5) log ( x 2) (3x 8) = 2 (x 2) 2 = 3x 8 x 2 7x +12 = 0 S = { 4 } x = 3 ou x = 4 LOGARITMO

44 Logaritmo 1) log b 1 = 0 2) log b b n = n 3) log x = log 10 x 4) ln x = log e x (Logaritmo natural) e = 2, ) ln e7 = log e e 7 = 7 6) b log b a = a 7) 5 log57 = 7 8) e ln9 = 9 LOGARITMO

45 Logaritmo Propriedades: I) log b (a.c) = log b a + log b c log b (a.c) = log b a + log b c II) log b (a/c) = log b a log b c log b (a/c) = log b a log b c III) log b ( a n ) = n.log b a log b ( a n ) = n.log b a LOGARITMO

46 Questão 17 Aplicando um capital no sistema de juros compostos a uma taxa de 7% ao mês, se levará quantos meses para duplicar o seu valor? Se Resolução necessário : use : log 2 = 0,30 e log 1,07 = 0,03 M = C.( 1 + i ) t 2C = C.( 1 + 0,07 ) t 2 = 1,07 t log 2 = log 1,07 t MATEMÁTICA BÁSICA log 2 = t.log1,07 0,3 = t. 0,03 t = 0,3/0,03 t = 10

47 Questão 18 A área total de um paralelepípedo reto retângulo é de 10 m² e suas dimensões são inversamente proporcionais aos números 3, 4, 5. Determine doze vezes o volume desse paralelepípedo. c a b a.3= b.4 = c.5 = k k a= = k b= = k c= = 1 5 A t = 2.(a.b + a.c + b.c) 10 = 2.(k 2 /12 + k 2 /15 + k 2 /20) 5 = 12k² /60 k² = 25 k = 5 V P = V P = V P = a.b.c V P = 25 m³ GEOMETRIA ESPACIAL Revisão

48 19)(ACAFE) Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x N * / x < 200} B={x A / x é múltiplo de 8} C = { x A / x é m ú l t i p l o d e 3} I) O conjunto BUC possui 90 elementos. II) O conjunto C possui 65 elementos. III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a CONJUNTOS

49 19)(ACAFE) Sobre os conjuntos abaixo, analise as afirmações a seguir. A={x N * / x < 200} B={x A / x é múltiplo de 8} C = { x A / x é múltiplo de 3} Resolução: A = { 1, 2, 3, 4,..., 199 } B = { 8, 16, 24,..., 192? } n(b) = 24 C = { 3, 6, 9,..., 198? } n(c) = 66 CONJUNTOS = = 198

50 19)(ACAFE) I) O conjunto BUC possui 90 elementos. Resolução: B = { 8, 16, 24,..., 192 } n(b) = 24 C = { 3, 6, 9,..., 198 } n(c) = 66 n(buc) = n(b) + n(c) n(b C) Incorreto = 192 B C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24} B C = { 24, 48, 72,..., 192? } n(b C) = 8 CONJUNTOS

51 19)(ACAFE) II) O conjunto C possui 65 elementos. Incorreto Resolução: B = { 8, 16, 24,..., 192 } n(b) = 24 C = { 3, 6, 9,..., 198 } n(c) = 66 CONJUNTOS

52 19)(ACAFE) III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. Resolução: B C = { múltiplos de 3 e de 8 } = { múltiplos de 24} B C = { 24, 48, 72,..., 192? } n(b C) = 8 Correto CONJUNTOS

53 19)(ACAFE) IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a Resolução: A = { 1, 2, 3, 4,..., 199 } B = { 8, 16, 24,..., 192 } AUB = { 1, 2, 3, 4,..., 199 } ( P.A. de razão 1) Incorreto S = (a 1 + a n ).n 2 CONJUNTOS S = (1+199) S = 19900

54 19)(ACAFE) I) O conjunto BUC possui 90 elementos. Incorreto II) O conjunto C possui 65 elementos. Incorreto III) O conjunto dos múltiplos naturais de 3 e 8 menores que 200 possui 8 elementos. Correto IV) A soma dos elementos contidos em AUB é igual a Incorreto Assinale a alternativa correta. A Todas as afirmações são verdadeiras. B Apenas II e III são verdadeiras. C Apenas a afirmação III é verdadeira. D Apenas III e IV são verdadeiras. Gabarito: c MATEMÁTICA BÁSICA

55 Se A =, então o traço de ( A + A -1 A t ) 2 vale : Resolução: A -1 = A t = Traço : 23 Questão 20 MATRIZES

56 Questão 21 Um frasco de xampu no formato de um cilindro circular reto, após um aumento de 30% em seu raio e uma redução de 20% em sua altura, quanto iria afetar o seu comprimento da base, a sua área da base e o seu volume? V= π. r². h A b = π. r² C b = 2.π. r 1. r 1. h GEOMETRIA ESPACIAL V= π.(1,3 r)². (0,8)h V= π.1,69 r².0,8h V= 1,352π. r².h 135,2 % Aumento de 35,2% A b = π. (1,3r)² A b = 1,69.π.r² 169 % Aumento de 69% C b = 2.π.(1,3) r 130 % Aumento de 30%

57 Questão 22 No período que precede o Natal, o comércio faz muitas promoções visando incrementar suas vendas e, com esse objetivo, um Atacadista fez uma promoção, vendendo o quilo da bala a R$ 4,00. Além disso, a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto, e, a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60%. De acordo com as informações, pede-se: FUNÇÃO

58 Questão 22 a) O valor V a ser pago por um cliente que comprou x quilos de bala nessa promoção, 0 x 100, é dado pela função V(x). Encontre a lei de formação e faça o gráfico desta função. b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática? FUNÇÃO

59 Questão 22 o quilo da bala a R$ 4,00 a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60% Resolução: a) V(x), para 0 x 60. x = 5 V(x) = 4.(5) FUNÇÃO.(4.5)

60 Questão 22 Resolução: a) V(x), para 0 x 60. x = 5 V(x) = 4.(5) (4.5) x = V(x) = 4.(37) 100.(4.37) FUNÇÃO

61 Questão 22 o quilo da bala a R$ 4,00 a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60% Resolução: a) V(x), para 0 x 60. xkg V(x) = 4.(x) FUNÇÃO x 100.(4.x)

62 Questão 22 Resolução: a) V(x), para 0 x 60. xkg V(x) = 4.(x) V(x) = 4x 4x2 100 x 100.(4.x) FUNÇÃO

63 Questão 22 o quilo da bala a R$ 4,00 a cada x quilos adquiridos, x 60, o cliente teria x% de desconto a partir dessa quantidade, ele teria um desconto de 60% Resolução: a) V(x), para 60 x 100. x = 60 FUNÇÃO 60 V(x) = 4.(60) 100.(4.60)

64 Questão 22 Resolução: a) V(x), para 60 x 100. x = 60 x = V(x) = 4.(60) 100.(4.60) 60 V(x) = 4.(70) 100.(4.70) FUNÇÃO

65 Questão 22 Resolução: a) V(x), para 60 x 100. xkg V(x) = 60 4.(x) 100.(4.x) V(x) = 4x (0,6).4x V(x) = 1,6x FUNÇÃO

66 Questão 22 Resolução: a) V(x), para 0 x 100. V(x) = 4x 4x2 100, se 0 x 60 1,6.x, se 60 < x 100 FUNÇÃO

67 Questão 22 a) Gráfico de V(x) = 4x2 4x, se 0 x ,6.x, se 60 < x 100 Raízes: 4x 4x2 100 = x x 2 = 0 x V = x V = 50 x 1 = 0 ou x 2 = 100 y V = 100 FUNÇÃO

68 a) Gráfico de Raízes: x 1 = 0 x 2 = 100 Vértice: V(50,100) V(x) = V 160 4x2 4x, se 0 x ,6.x, se 60 < x x FUNÇÃO

69 Questão 22 Resolução: b) Alfredo, Beatriz, Carlos e Daniel compraram 10, 15, 30 e 40 quilos de bala, respectivamente. Qual deles poderia ter comprado mais balas e gasto a mesma quantia, se empregasse melhor seus conhecimentos de Matemática? FUNÇÃO

70 b) Alfredo 10kg Beatriz 15kg V Carlos 30kg Daniel 40kg x FUNÇÃO

71 b) V Daniel poderia ter comprado 60kg de balas e pago os mesmos R$ 96, x FUNÇÃO

72 Questão 23 Sendo uma matriz quadrada inversível de ordem 3, tal que o resultado da soma (A A 3 ) é uma matriz de elementos nulos. O valor do determinante da matriz A A A 3 =0 A 4 =-3.A 3 A 4 = -3.A 3 A. A. A. A = ( 3) 3 A. A. A A =-27 DETERMINANTE

73 Questão 24 O projeto de uma vela decorativa no formato de uma pirâmide quadrangular regular com altura x e à partir dela são produzidas duas outras, uma no formato de uma nova pirâmide e outra na forma de um tronco, ambas são geradas no mesmo instante por uma secção transversal a 4 cm do seu vértice e a base tem uma área igual a 4 vezes a área da secção, calcule x X 4 y Ab 4.A b GEOMETRIA ESPACIAL h H 2! 4 $ # & " y + 4% 2 = A b A B = A b 4.A b! 4 $ # & " y + 4% 2! 4 $ # & " y + 4% 4 = y + 4 = 1 2 = 1 4

74 Questão 24 O projeto de uma vela decorativa no formato de uma pirâmide quadrangular regular com altura x e à partir dela são produzidas duas outras, uma no formato de uma nova pirâmide e outra na forma de um tronco, ambas são geradas no mesmo instante por uma secção transversal a 4 cm do seu vértice e a base tem uma área igual a 4 vezes a área da secção, calcule x Resolucão: 4 y + 4 = = y + 4 y = 4 x = y + 4 x = 4+4 x = 8 cm X 4 y Ab 4.A b GEOMETRIA ESPACIAL

75 Questão 25 A equação C 2x 1 x+9 11 = C 11 possui: a) Duas soluções reais. b) Três soluções reais. c) Somente uma solução real. d) Quatro soluções reais. e) Infinitas soluções reais. BINÔMIO DE NEWTON

76 C 11 2x 1 = C 11 x+9 25) A equação possui: C 2x 1 x+9 11 = C x 1 = 11 x + 9 BINÔMIO DE NEWTON

77 C 11 2x 1 = C 11 x+9 25) A equação possui: 11 2x 1 = 11 x + 9 2x 1 = x + 9 ou (2x 1)+(x + 9) = 11 x = 10 ou x = 1 BINÔMIO DE NEWTON

78 C 11 2x 1 = C 11 x+9 25) A equação possui: Gabarito: c 11 2x 1 = 11 x + 9 x = 10 ou x = = S = { 1 } 11 1 = BINÔMIO DE NEWTON

79 Geometria Analítica Distância entre dois pontos: (d AB ) 2 = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 A( 7, 5 ) B( 3, 2 ) d 2 = ( 4 ) 2 + ( 3 ) 2 d = 5 P( 5, 2 ) Q( 3, 4 ) d 2 = ( 8 ) 2 + ( 6 ) 2 d = 10 GEOMETRIA ANALÍTICA

80 Questão 26 Determine a soma das coordenadas do baricentro do triângulo de vértices nos pontos A(0, 1), B(1, 4) e C(2, 1). A G C B Coordenadas do Baricentro: G(x G, y G ) x G = y 3 G = 3 x G = 1 y G = 2 G( 1, 2 ) Soma das coordenadas: = 3. GEOMETRIA ANALÍTICA

81 Questão 27 Calcule ( a m ), para que o sistema seja S.P.I " 2x y = 3 # $ mx + 2y = a " + 2x y = 3 % # (. 2 ) & $ m.x + 2y = a' (4 + m).x + oy = 6 a S.P.I 0.x + 0.y = 0 m = - 4 e a = 6 a m = 10 SISTEMAS LINEARES

82 Questão 28 Seja S uma seção de uma esfera determinada pela intersecção com um plano, conforme Figura 2. Se S está a 3 cm do centro da esfera e tem área igual a 16π cm 2, então o volume desta esfera é: A = 4. d = 3 Área π.r 2 r = 4 R = 5 A secção = π.r 2 16π = π.r 2 r = 4 Volume V = 4. GEOMETRIA ESPACIAL π.r 3 3 Volume V = 4. π V = 500. π 3

83 Questão 29 A soma das coordenadas do ponto de intersecção da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2), com o eixo das ordenadas é: a) 2/3 b) 8/3 c) 2/3 d) -2/3 e) 1 GEOMETRIA ANALÍTICA

84 Resolução: Pontos da reta: A(1,2), B(7,-2) e C(x,y) A B C (r) A(1,2), B(7,-2), C( x, y ) A, B e P são colineares Determinante = zero x y 1 2 = 0 GEOMETRIA ANALÍTICA

85 Resolução: x 1 = y y + 2x x y = 0 4x + 6y 16 = 0 ( 2) Equação na forma Geral 2x + 3y 8 = 0 ax + by + c = 0 GEOMETRIA ANALÍTICA

86 Resolução: 2x + 3y 8 = 0 Forma Geral y 3y = 2x + 8 y = 2 3.x + 8 Forma Reduzida 3 Coeficiente angular: m = Coeficiente linear: b = 3 3 8/3 α x tgα = -2/3 Gabarito: b GEOMETRIA ANALÍTICA

87 Questão 29 A soma das coordenadas do ponto de intersecção da reta que passa pelos pontos A(1,2) e B(7,-2), com o eixo das ordenadas é: A( 1, 2 ) B( 7, -2 ) A( 1, 2 ) B( 7, -2 ) -6. y = 4. x y - 4x + 16 = 0 (-2) 3y + 2x - 8 = 0 y = 2 3.x GEOMETRIA ANALÍTICA

88 Progressão Aritmética Notação especial: P.A. de 3 termos Progressão Geométrica ( x r, x, x + r ) Notação especial: P.G. de 3 termos x, x, x.q q PROGRESSÕES

89 Progressão Aritmética Termo Geral da P.A.: I) a 6 = a 1 + 5r II) a 6 = a 4 + 2r III) a 6 = a 10 4r Progressão Geométrica Termo Geral da P.G.: I) a 10 = a 3. q 7 II) a 10 = a 7. q 3 III) a 10 = a 12. q -2 PROGRESSÕES

90 Progressão Aritmética Média Aritmética e Termo Médio: ( a, b, c ) P.A. b = a+ c 2 Progressão Geométrica Média Geométrica e Termo Médio: ( a, b, c ) P.G. b 2 = a.c PROGRESSÕES

91 Questão 30 A reta que passa pelo ponto P(3,2) e possui coeficiente angular igual a 5 é paralela a reta: a) 2x + 3y 1 = 0 b) x 2y + 1 = 0 c) 5x + y 12 = 0 d) 5x y + 15 = 0 e) 2x 3y + 7 = 0 GEOMETRIA ANALÍTICA

92 Resolução: Ponto P(3,2) e coeficiente angular igual a 5: y y 0 = m.(x x 0 ) y 2 = 5.(x 3) 5x y 13 = 0 A(3,2) y = a.x + b y = 5.x + b 2 = 5.(3) + b b = 13 y = 5x 13 5x y 13 = 0 GEOMETRIA ANALÍTICA

93 Resolução: Ponto P(3,2) e coeficiente angular igual a 5: Reta: 5x y 13 = 0 Gabarito: d Qual é a reta paralela: a) 2x + 3y 1 = 0 b) x 2y + 1 = 0 c) 5x + y 12 = 0 d) 5x y + 15 = 0 e) 2x 3y + 7 = 0 GEOMETRIA ANALÍTICA

94 Geometria Analítica Retas paralelas: Mesmo coeficiente angular r / /s m r = m s (r) 3x 4y + 2 = 0 (s) 3x 4y + c = 0 Retas perpendiculares: Coeficientes angulares inversos e opostos r s m r = 1 m s (r) 5x + 2y 3 = 0 (s) 2x 5y + c = 0 GEOMETRIA ANALÍTICA

95 Questão 31 Analisar a função f(x) = cos(3x), quanto ao domínio, imagem, período, paridade e gráfico. D(f) = R Im(f) = [-2-1, -2+1] Im(f) = [-3, -1] -2π/3-2π/6 0 2π/6 2π/3-1 P = 2π 3 = 2π 3-2 Paridade = par - 3 TRIGONOMETRIA

96 Geometria Analítica Circunferência: Dados : Centro C(a, b) e Raio r (x a) 2 + (y b) 2 = r 2 Exemplo: C( 3, -2) e r = 5 (x 3)2 + (y + 2) 2 = 25 GEOMETRIA ANALÍTICA

97 Geometria Analítica Circunferência: x 2 + y 2 6x + 4y 12 = 0 (-2) (-2) C ( 3, -2 ) GEOMETRIA ANALÍTICA (3) 2 + (-2) 2 (-12) = r = r 2 r = 5

98 32) Analisar a função f(x) = 3.sen x + π, quanto ao 6 domínio, imagem, período, paridade e gráfico. D(f) = R 3 Im(f) = [0-3, 0+3] = [-3, 3] P = 2π 1 = 2π -13π/6 -π/6-3 Paridade = Sem paridade Começo: x + π/6 = 0 Final: x + π/6 = 2π x = -π/6 x = 11π/6 11π/6 TRIGONOMETRIA

99 Questão 33 O valor da expressão 5 BINÔMIO DE NEWTON a 5 5a 4 b +10a 3 b 2 10a 2 b 3 + 5ab 4 b 5 para a = 2500 e b = 2401 é: a) 55 b) 100 c) 99 d) 83 e) 4901

100 33) O valor da expressão 5 a 5 5a 4 b +10a 3 b 2 10a 2 b 3 + 5ab 4 b 5 para a = 2500 e b = 2401 é: 5 a 5 5a 4 b +10a 3 b 2 10a 2 b 3 + 5ab 4 b 5 meu Deus!!!! é um binômio desenvolvido BINÔMIO DE NEWTON

101 33) O valor da expressão 5 a 5 5a 4 b +10a 3 b 2 10a 2 b 3 + 5ab 4 b 5 para a = 2500 e b = 2401 é: 5 a 5 5a 4 b +10a 3 b 2 10a 2 b 3 + 5ab 4 b 5 5 ( a b ) 5 = a b = = 99 Gabarito: c BINÔMIO DE NEWTON

102 Questão 34 Em uma empresa, para reaproveitar os materiais que sobram, eles são fundidos e moldados com formas diferentes da original. Numa determinada sobra, alguns cones de geratriz 10 cm e raio 6cm, serão transformados em esferas. Sabe-se que a cada três cones, consegue-se construir um esfera. Calcule o raio da esfera Resolução: GEOMETRIA ESPACIAL 3V c 3 c = = Ve πr ²h 4πr e³ π6²8 = 4πr ³ e r³=6³ e r e =6

103 Questão 35 Considere uma urna contendo 10 bolas idênticas. Em cada bola foi gravado um único número do conjunto 3 2 1, 2, 5, 2, π, 3 8, e, 3, Φ, A probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que está gravado um número racional é: a) 20% b) 45% c) 60% d) 70% PROBABILIDADE

104 35) Considere uma urna contendo 10 bolas idênticas. Em cada bola foi gravado um único número do conjunto 3 2 1, 2, 5, 2, π, 3 8, e, 3, Φ, A probabilidade de se retirar dessa urna, ao acaso, uma bola em que está gravado um número racional é: Gabarito: c 6 Probabilidade: P = 10 P = 60% ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

105 Questão 36 Um casal deseja ter quatro filhos a probabilidade de ter exatamente dois meninos é: a) 25% b) 37,5% c) 50% d) 62,5% PROBABILIDADE

106 36) Um casal deseja ter quatro filhos a probabilidade de ter exatamente dois meninos é: Gabarito: b H e H e M e M H e H e M e M x x x P 4 2,2 = 4! 2!.2! = PROBABILIDADE = 0,375 37,5%

107 01.( V ) Se A = (aij) mxn e B = (bij) nxp, então A.B é de ordem m x p. 02.( F ) Se A. B = 0 n, então ou A = 0 ou B = ( F ) O determinante da matriz A = (aij)mxn sempre existe. ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

108 04.( ) V! " # $ % 05.( V ) Todo número inteiro, todo decimal finito e todas as dízimas periódicas pertencem ao conjunto dos números racionais. 06.( ) F! = " # ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

109 07.( F ) A. B = B. A, sendo A e B matrizes de ordem n. 08.( V ) O determinante da matriz A nxn é igual ao valor do determinante da sua transposta. 09.( V ) Quando o produto de duas matrizes quadradas de mesma ordem, é igual a matriz unidade, dizemos que uma é o inverso da outra. ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

110 10.( ) V! ("!) = 11.( ) V x! x " x < 0 12.( ) V x! x " x 0 ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

111 13.( V ) Se A = (aij) mxn e B = (bij) mxp, então A + B existe quando n = p. 14.( F ) Sejam A, B, C matrizes de ordem n. Se A. B = A. C então B = C. 15.( ) Se A² = On então A = O n. F ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

112 16.( F ) x! y ("!) x.y ("!) 17.( ) V x! y ("!) x + y "! ( ) 18.( ) F x! y! x y! ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

113 19.( V ) Se A. B e B. C existe então (AB)C = A(BC). 20.( F ) (A B)² = A² 2AB + B², sendo A e B matrizes de ordem n. 21.( ) (A.B) t = A t. B t, sendo que A.B existe. F ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

114 22.( ) Sejam a e b números reais positivos, então o valor de a/b que satisfaz a igualdade a+ b é chamado a = a b número de ouro ou número áureo. a+ b a = a b 1+ b a = a b 1+ 1 x = x a a + b a = a b Seja x = a/b x +1= x 2 ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

115 22.( ) Sejam a e b números reais positivos, então o valor de a/b que satisfaz a igualdade a+ b é chamado a = a b número de ouro ou número áureo. x +1= x 2 x 2 x 1= 0 x = ( 1 )± 1 x = 1± 5 2 ( ) ( 1) ( ). 1 ( ) ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

116 22.( V ) Sejam a e b números reais positivos, então o valor de a/b que satisfaz a igualdade a+ b é chamado a = a b número de ouro ou número áureo. x 2 x 1= 0 x = 1± 5 2 x 1 = x 2 = = Φ ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

117 23.( V ) det (2.A 2x2 ) = 4.det A 24.( ) (A.B) -1 = B -1. A -1, sendo que A.B existe. V 25.( V ) det A = 1/det A -1 ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

118 26.( V ) O gráfico da função f(x) = 10 5x é uma reta que passa pelos pontos (0, 10) e (2,0). f(x) = 10 5x Raiz: 10 5x = 0 x = 2 10 y 2 x ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

119 27.( V ) Traço da matriz corresponde a soma dos elementos da diagonal principal, o traço de uma matriz é igual ao traço da sua transposta. 28.( V ) Nas matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal. 29.( V ) O determinante não se altera quando se faz uma troca de filas paralelas de posição. ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

120 30.( V ) O volume de um tanque, com uma pequena rachadura, decresce a uma taxa constante de 2 litros por hora. Se o volume inicial deste tanque era de 100 litros, então a lei que fornece o volume em função do tempo é dada por V = t. ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

121 31.( V ) Duas filas iguais, proporcionais ou uma fila nula garante que o determinante da matriz seja nulo. 32.( ) det (A. B) = det A. det B V 33.( F ) det (A + B) = det A + det B ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

122 34.( V ) A = (- A ) t logo a matriz A é anti-simétrica. 35.( V ) Se o determinante da matriz for igual a zero ela é uma matriz singular. 36.( F ) Toda função ímpar é injetora. ASSINALE (V) OU (F) NA PROPOSIÇÃO ACIMA

123 BOA PROVA!!! CENTRO DE ESTUDOS MATEMÁTICOS