ITA º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
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- Paulo Domingos Vasques
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1 ITA º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
2 Matemática Questão 01 Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos e interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda da circunferência intercepta o segmento no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6, então GF vale A) 1 C) 3 E) 5 B) 2 D) 4 Resposta: D
3 Matemática Questão 02 Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n 1. Seja S um subconjunto de p(u) com a seguinte propriedade: Se A, B S, então A B ou B A. Então, o número máximo de elementos que S pode ter é A) 2 n 1 B) n/2, se n for par, e (n + 1)/2 se n for ímpar C) n + 1 D) 2 n 1 E) 2 n Se U possui n elementos, o conjunto das partes de U, p(u), terá 2 n elementos. O conjunto das partes de U, p(u), terá De cada tipo de conjunto, só podemos escolher 1 para formarmos o conjunto S. Por exemplo, em P(U) temos n conjuntos com 1 elemento. Se escolhermos 1 destes conjuntos para colocarmos em S, automaticamente todos os outros serão eliminados, porque não irão satisfazer a condição A B ou B A. Portanto, posso escolher 1 conjunto com n elementos, 1 conjunto com (n 1) elementos,..., 1 conjunto com 2 elementos, 1 conjunto com 1 elemento e 1 conjunto vazio. Portanto, o número máximo de elementos de S é n + 1. Resposta: C
4 Matemática Questão 03 Sejam A e B subconjuntos finitos de um mesmo conjunto X, tais que n(b\a), n(a\b) e n(a B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r > 0. Sabendo que n(b\a) = 4 e n(a B) + r = 64, então, n(a\b) é igual a A) 12 C) 20 E) 24 B) 17 D) 22 Se n(b\a), n(a\b) e n(a B) formam uma P.A. de razão r, então n(b\a) = a r n(a\b) = a n(a B) = a + r Temos n(b\a) = 4 a r = 4 (I) n(a B) + r = 64 a r + a + a + r + r = 64 3a + r = 64 (II) (I) + (II): 4a = 68 a = 17 n(a\b) = 17 Resposta: B
5 Matemática Questão 04 Seja f: definida por f(x) = sen[5(x + π/6)] e seja B o conjunto dado por B = {x : f(x) = 0}. Se m é o maior elemento de B (, 0) e n é o menor elemento de B (0, + ), então m + n é igual a A) 2π/15 C) π/30 E) 2π/15 B) π/15 D) π/15 Resposta: E
6 Matemática Questão 05 Considere a equação (a x a x )/( a x + a x ) = m, na variável real x, com 0 < a 1. O conjunto de todos os valores de m para os quais esta equação admite solução real é A) ( 1, 0) (0, 1) C) ( 1, 1) E) (, + ) B) (, 1) (1, + ) D) (0, ) a x a x = m (a x + a x ) multiplicando ambos os lados por a x, temos a 2x 1 = m(a 2x + 1) a 2x (m 1) = 1 m p/ x, devemos ter 1 < m < 1 é o intervalo solicitado para m. Resposta: C
7 Matemática Questão 06 Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é A) C) E) B) D) O número de formas possíveis de acertar 7 das 10 questões é Resposta: A
8 Matemática Questão 07 Considere as seguintes afirmações sobre a expressão I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica finita. II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética finita de razão 2/3. III. S = IV. S Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas A) I e III C) II e IV E) III B) II e III D) II Então, temos I. Falsa. Pois os termos estão em P.A de razão II. Verdadeira. III. Verdadeira. IV. Falsa. Pois Resposta: B
9 Matemática Questão 08 Se para todo então, para todo z, é igual a A) 1 C) 2 Re z E) 2 z 2 B) 2z D) 2 Im z Sejam z = a + bi, f(z) = x + yi, f(1) = c + di. Substituindo em (i) e (ii), temos Resposta: c
10 Matemática Questão 09 O conjunto solução de (tg 2 x 1)(1 cotg 2 x) = 4, x kπ/2, k, é A) {π/3 + kπ/4, k } C) {π/6 + kπ/4, k } E) {π/12 + kπ/4, k } B) {π/4 + kπ/4, k } D) {π/8 + kπ/4, k } Resposta: D
11 Matemática Questão 10 Se α [0, 2π) é o argumento de um número complexo z 0 e n é um número natural tal que (z/ z ) n = isen(nα), então, é verdade que A) 2nα é múltiplo de 2π B) 2nα π é múltiplo de 2π C) nα π/4 é múltiplo de π /2 D) 2nα π é múltiplo não nulo de 2 E) nα 2π é múltiplo de π Logo, 2nα π é multiplo de 2π. Resposta: b
12 Matemática Questão 11 A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema linear é A) a b 2 C) 4a 6b = 0 E) a. b = 24 B) a + b = 10 D) a/b = 3/2 Se a = 6 e b = 4, o sistema é compatível e indeterminado. Logo, para que o sistema seja incompatível, devemos ter a = 6 e b 4 a b 2 Resposta: a
13 Matemática Questão 12 Se det, então o valor do det é igual a A) 0 C) 8 E) 16 B) 4 D) 12 Resposta: d
14 Matemática Questão 13 Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1 i como raiz de multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são, respectivamente, 10 e 40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são p(x) tem coeficientes reais e admite 1 i como raiz dupla 1 + i também é raiz dupla de p(x) com multiplicidade 2. Portanto, as raízes de p(x) são 1 + i, 1 + i, 1 i, 1 i, a r, a, a + r. Calculemos a soma S e o produto P das raízes de p(x): S = 4 + 3a = 10 a = 2 P = 2.2 (2 r). 2. (2 + r ) = 40 4 r 2 = 5 r = ± 3 Então, as raízes reais de p(x) são 1, 2 e 5. Resposta: e
15 Matemática Questão 14 Sobre o polinômio p(x) = x 5 5x 3 + 4x 2 3x 2, podemos afirmar que A) x = 2 não é raiz de p. B) p só admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais. C) p admite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira. D) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras. E) p admite somente 3 raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais. p(x) = x 5 5x 3 + 4x 2 3x 2 Note que, igualando a zero o segundo termo do produto, temos uma equação recíproca de 1ª espécie e grau par, cujo processo de resolução é bem conhecido: Resposta: E
16 Matemática Questão 15 Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por Considere as seguintes afirmações: I. O sistema é possível e indeterminado se a = b = 0. II. O sistema é possível e determinado se a e b não são simultaneamente nulos. III. x 2 + y 2 = (a 2 + b 2 ) -1, se a 2 + b 2 0. Então, pode-se afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas A) I C) III E) II e III B) II D) I e II (I) a 2 + b 2 0 a 0 ou b 0 Nesta situação, D 0 e o sistema é possível e determinado. (II) a 2 + b 2 = 0 a = 0 e b = 0 Substituindo-se a = 0 e b = 0 no sistema, tem-se Assim, tem-se I F, II V, III V Resposta: E
17 Matemática Questão 16 Considere o polinômio p(x) = x 3 (a + 1)x + a, em que a Ζ. O conjunto de todos os valores de a, para os quais o polinômio p(x) só admite raízes inteiras, é A) {2n, n Ν } C) {6n 2 4n, n Ν } E) Ν B) {4n 2, n Ν } D) {n(n+1), n Ν} p(x) = x 3 (a + 1) x + a p(x) = x 3 ax x + a p(x) = x 3 x ax + a p(x) = x(x 2 1) a(x 1) p(x) = x(x + 1)(x 1) a(x 1) p(x) = (x 1). (x 2 + x a) = 0 x 1 = 0 x = 1 ou x 2 + x a = 0 (i) Se existir uma raiz inteira x = n para esta equação de 2º grau, tem-se n 2 + n a = 0, logo a = n(n + 1) (ii) Se a = n(n + 1), n Ζ x 2 + x n(n + 1) = 0 cujas raízes são inteiras e valem x 1 = n 1 e x 2 = n Logo, o conjunto é {n(n+1), n Ζ }. Note, entretanto, que o produto de dois quaisquer números negativos consecutivos pode ser expresso como o produto de dois positivos consecutivos e então basta tornar n natural para que n. (n+1) percorra todos os valores possíveis de a, e então o conjunto procurado é {n(n + 1), n }. Resposta: D
18 Matemática Questão 17 Numa circunferência C 1 de raio r 1 = 3 cm está inscrito um hexágono regular H 1 ; em H 1 está inscrita uma circunferência C 2 ; em C 2 está inscrito um hexágono regular H 2 e, assim, sucessivamente. Se A n (em cm 2 ) é a área do hexágono H n, então (em cm 2 ) é igual a No desenho, tem-se as circunferências C 1 e C 2 e o hexágono H 1. Sabe-se que as três diagonais maiores de um hexágono regular dividem-no em 6 triângulos equiláteros. que é a soma de uma P.G. infinita de razão q,. Resposta: B
19 Matemática Questão 18 Sejam a reta s : 12x 5y + 7 = 0 e a circunferência C : x 2 + y 2 + 4x + 2y = 11. A reta p, que é perpendicular a s e é secante a C, corta o eixo Oy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo s: 12x 5y + 7 = 0 p: 5x + 12y + c = 0 x 2 + y 2 + 4x + 2y = 11 x 2 + 4x y 2 + 2y + 1 = (x + 2) 2 + (y + 1) 2 = 16 Vamos obter as retas paralelas a p, tangentes à circunferência d (O, p) = 4 Logo, a ordenada y da reta p secante à circunferência deve pertencer ao intervalo. Resposta: Não há alternativa
20 Matemática Questão 19 Os focos de uma elipse são F 1 (0, 6) e F 2 (0, 6). Os pontos A(0, 9) e B(x, 3), x > 0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices em B, F 1 e F 2 é igual a Resposta: D
21 Matemática Questão 20 Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de 60 com o plano da base. A área total da pirâmide, em cm 2, é V V 30 M O C M O A 3 B Se a diagonal menor do hexágono vale cm, então seu lado mede 3 cm e seu apótema cm. Assim, Ainda A t = A b + A l Resposta: a
22 Matemática Questão 21 Considere A um conjunto não vazio com um número finito de elementos. Dizemos que F = {A 1,...,A m } p(a) é uma partição de A se as seguintes condições são satisfeitas: I. A i, i = 1,...,m II. A i A j =, se i j, para i, j = 1,..., m III. A = A 1 A 2... A m Dizemos ainda que F é uma partição de ordem k se n(a i ) = k, i = 1,..., m. Supondo que n(a) = 8, determine A) as ordens possíveis para uma partição de A. B) o número de partições de A que têm ordem 2. A) A tem 8 elementos. Então, as possíveis ordens para uma partição de A são os divisores naturais de 8: 1, 2, 4 e 8. B) Uma partição de ordem 2 terá 4 subconjuntos de A, cada qual com dois elementos. O número de partições possíveis é: = 105.
23 Matemática Questão 22 Seja f: [0, 1) definida por f(x) = Seja g : ( 1/2, 1/2) dada por g(x) =, com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. RESOLUÇÃO: Seja a [0, 1/2), então calculemos: g(a)1 f(a + 1/2) = 1 [2(a + 1/2) 1] = 2a + 1 e g( a) = f( a + 1/2) = 2( a + 1/2) = 2a + 1 g(a) = g( a) g(x) é par
24 Matemática Questão 23 Determine o coeficiente de x 4 no desenvolvimento de (1 + x + x 2 ) 9. RESOLUÇÃO: No produto (1 + x + x 2 ). (1 + x + x 2 )... (1 + x + x 2 ), para termos x 4 devemos pegar 1 i. x j. (x 2 ) k, em que i + j + k = 9 e j + 2k = 4 Possibilidades: k j i Resulta: Soma: 414 Resposta: o coeficiente de x 4 é 414
25 Matemática Questão 24 Determine para quais valores de x. ( p/2, p/2) vale a desigualdade RESOLUÇÃO: Condições de existência da inequação 1ª. 2ª. 3ª. Fazendo a interseção de (I), (II) e (III), temos (I) (II) (III) π 2 π 3 π 6 0 π + 6 π + 3 π + 2 Resolvendo a inequação: Fazendo a interseção de IV e V, temos
26 Matemática Questão 25 Considere o polinômio p(x) = x 3 + ax 2 + x + 1, com raízes reais. O coeficiente a é racional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte afirmação é verdadeira: Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais. RESOLUÇÃO: Sendo todas as raízes reais, temos as seguintes possibilidades: 1º caso: todas as raízes irracionais. IMPOSSÍVEL, pois, como os coeficientes do polinômio são racionais, as raízes reais se apresentam aos pares. 2º caso: uma raiz irracional e duas raízes racionais. IMPOSSÍVEL, pois isso implicaria, pelas ralações de Girard, que o termo independente fosse irracional. 3º caso: duas raízes irracionais e uma raiz racional. Seja k a raiz racional. As raízes irracionais são da forma p + q e p q, em que p é racional e q é irracional. A diferença entre duas quaisquer dessas três raízes é sempre irracional. Logo, este caso é IMPOSSÍVEL. 4º caso: As três raízes são racionais. POSSÍVEL. E como os casos anteriores se mostraram impossíveis, trata-se da ÚNICA possibilidade. Logo, a afirmação é VERDADEIRA.
27 Matemática Questão 26 As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão 2 metros. Calcule a área total deste cone em m 2. RESOLUÇÃO: H = 8 m R = 6 m g = 10 m A TOTAL = A BASE + A LATERAL = pr (g + R) = p = 96π m 2 Resposta: A TOTAL = 96π m 2
28 Matemática Questão 27 Sejam as matrizes Determine o elemento c 34 da matriz C = (A + B) 1. Substituindo a 1ª linha pela soma da 1ª com a 2ª linha e aplicando o teorema de Chió, calculamos o det(a + B): Resposta:
29 Matemática Questão 28 Seja (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) uma progressão geométrica infinita de razão positiva r, em que a 1 = a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de 3 é 16/13, determine o valor de a + r. A P.G. é (a, ar, ar 2, ar 3,...) Dividindo (I) por (II), temos Substituindo em (I), temos Resposta: a + r = 11
30 Matemática Questão 29 Sabendo que 9y 2 16x 2 144y + 224x 352 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. 9y 2 16x 2 144y + 224x 352 = 0 9y 2 144y (16x 2 224x + 784) = (3y 24) 2 (4x 28) 2 = 144 9(y 8) 2 16(x 7) 2 = 144 ( 144) Distância focal = 2c = 10 Resposta: 10
31 Matemática Questão 30 Considere um losango ABCD cujo perímetro mede 100 cm e cuja maior diagonal mede 40 cm. Calcule a área, em cm 2, do círculo inscrito neste losango. Resposta: 144π cm 2
NOTAÇÕES. Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados
ITA006 NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais i: unidade imaginária; i z = x+ iy, x, y = 1 : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0, 1,, 3,...
Questão 01 EB EA = EC ED. 6 x = 3. x =
Questão 0 Seja E um ponto eterno a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A, e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmento
o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 2005
o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 005 Código: 858006 É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras
Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas
MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0,,, 3,...} * = {,, 3,...} Ø: conjunto vazio A\B =
1 35. b) c) d) 8. 2x 1 8x 4. 3x 3 8x 8. 4 tgα ˆ MAN é igual a 4. . e) Sendo x a medida do segmento CN, temos a seguinte figura:
7. Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo MAN ˆ é igual a a) 5. b) 5.
P (A) n(a) AB tra. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
NOTAÇÕES N = f; ; 3; : : :g i : unidade imaginária: i = R : conjunto dos números reais jzj : módulo do número z C C : conjunto dos números complexos Re z : parte real do número z C [a; b] = fx R; a x bg
ITA 2004 MATEMÁTICA. Você na elite das universidades! ELITE
www.elitecampinas.com.br Fone: () -7 O ELITE RESOLVE IME PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! ITA MATEMÁTICA www.elitecampinas.com.br Fone: () -7 O ELITE RESOLVE ITA MATEMÁTICA GABARITO ITA
Assinale as proposições verdadeiras some os resultados e marque na Folha de Respostas.
PROVA DE MATEMÁTICA a AVALIAÇÃO UNIDADE 8 a SÉRIE E M _ COLÉGIO ANCHIETA-A ELAORAÇÃO DA PROVA: PROF OCTAMAR MARQUES PROFA MARIA ANTÔNIA CONCEIÇÃO GOUVEIA QUESTÕES DE A 8 Assinale as proposições verdadeiras
{ } Questão 1. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Questão 2. Seja o conjunto = { : 0 e 2 2
NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos. : conjunto dos números racionais. : conjunto dos números reais. : conjunto dos números inteiros. = 0,,,,.... { } { } * =,,,.... i : unidade imaginária; i =. z=x+iy,
a k. x a k. : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i 2 = 1 z : módulo do número z z: conjugado do número z M m n
ITA MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {,,,...} : conjunto dos números reais [a, b] = {x ; a x b} [a, b[ = {x ; a x < b} ]a, b[ = {x ; a < x < b} A\B = {x; x A e x B} k a n = a + a +... + a k, k n = k a n x n = a 0
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UPE/VESTIBULAR/00 MATEMÁTICA 01 Os amigos Neto, Maria Eduarda, Daniela e Marcela receberam um prêmio de R$ 1000,00, que deve ser dividido, entre eles, em partes inversamente proporcionais às respectivas
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o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 2008
o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 008 É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua
MATEMÁTICA FORMULÁRIO 11) A = onde. 13) Para z = a + bi, z = z = z (cosθ + i senθ) 14) (x a) 2 + (y b) 2 = r 2
[ MATEMÁTICA FORMULÁRIO 0 o 45 o 60 o cosec x =, sen x 0 sen x sen cos tg sec x =, cos x 0 cos x sen x tg x =, cos x 0 cos x cos x cotg x =, sen x 0 sen x sen x + cos x = ) a n = a + (n ) r ) A = onde
NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.
R N C i z det A d(a, B) d(p, r) AB Â NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : determinante
p a p. mdc(j,k): máximo divisor comum dos números inteiros j e k. n(x) : número de elementos de um conjunto finito X. (a,b) = {x : a < x < b}.
MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {0,,,,...} : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i = Izl: módulo do
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. n(a B) = 23, n(b A) = 12, n(c A) = 10, n(b C) = 6 e n(a B C) = 4,
NOTAÇÕES N = {0, 1, 2, 3,...} i: unidadeimaginária;i 2 = 1 Z: conjuntodosnúmerosinteiros z : módulodonúmeroz C Q: conjuntodosnúmerosracionais z: conjugadodonúmeroz C R: conjuntodosnúmerosreais Re z: parterealdez
1. A imagem da função real f definida por f(x) = é a) R {1} b) R {2} c) R {-1} d) R {-2}
1. A imagem da função real f definida por f(x) = é R {1} R {2} R {-1} R {-2} 2. Dadas f e g, duas funções reais definidas por f(x) = x 3 x e g(x) = sen x, pode-se afirmar que a expressão de (f o g)(x)
Prova 3 Matemática. N ọ DE INSCRIÇÃO:
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Simulado ITA. 3. O número complexo. (x + 4) (1 5x) 3x 2 x + 5
Simulado ITA 1. E m relação à teoria dos conjuntos, considere as seguintes afirmativas relacionadas aos conjuntos A, B e C: I. Se A B e B C então A C. II. Se A B e B C então A C. III. Se A B e B C então
NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos
NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C
NOTAÇOES A ( ) 2. B ( ) 2^2. C ( ) 3. 7 D ( ) 2^ 3- E ( ) 2. Q uestão 2. Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então x10 é igual a
NOTAÇOES R : conjunto dos números reais N : conjunto dos números naturais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i2 = z : módulo do número z E C det A : determinante da matriz A d(a,
A) I e III. B) II e III. C) I e IV. D) IV. E) I.
9 ITA Notações MATEMÁTICA {,,, } "A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo" Galileu Galilei i z : unidade imaginária: i : módulo do número z : conjunto dos números compleos [ a, b ] { ;
Questão 03 Sejam os conjuntos: A) No conjunto A B C, existem 5 elementos que são números inteiros.
Questão 0 Dada a proposição: Se um quadrilátero é um retângulo então suas diagonais cortam-se ao meio, podemos afirmar que: A) Se um quadrilátero tem as diagonais cortando-se ao meio então ele é um retângulo.
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1 (Ita 018) Uma progressão aritmética (a 1, a,, a n) satisfaz a propriedade: para cada n, a soma da progressão é igual a n 5n Nessas condições, o determinante da matriz a1 a a a4 a5 a 6 a a a 7 8 9 a)
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Simulado AFA 1. Uma amostra de estrangeiros, em que 18% são proficientes em inglês, realizou um exame para classificar a sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês,
Se tgx =, então cosx =. 3 3 O valor máximo de y = senx cos 60 + sen 60 cosx é 2.
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