NOTAÇÕES. Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados

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1 NOTAÇÕES C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária ;i = 1 Q : conjunto dos números racionais z=x+iy; x;y R R : conjunto dos números reais ¹z : conjugado do númerozc Z : conjunto dos números inteiros jzj : módulo do númeroz C N=f0;1;;;:::g Rez : parte real dezc N = f1;;;:::g Imz : parte imaginária dezc ; : conjunto vazio [a;b]=fx R : a x bg AnB= fx A : x =Bg (a;b)=fx R : a<x<bg deta : determinante da matriza [a;b)=fx R : a x<bg AB : segmento de reta unindo os pontosaeb (a;b]=fx R : a<x bg a : combinação deaelementos,bab, ondeaebsão inteiros maiores ou iguais a zero b P(X) : conjunto de todos os subconjuntosde X n(x) : número de elementos do conjuntox (X nito) Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados Questão 1. SejaE um ponto externo a uma circunferência. Os segmentos EA e ED interceptamessa circunferência nos pontos B e A, e,c e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o segmentoed no pontog: SeEB=5,BA=7,EC =4, GD= eag=6, entãogf vale A ( ) 1 B ( ) C ( ) D ( ) 4 E ( ) 5 Questão. Seja U um conjunto não vazio com n elementos, n 1: Seja S um subconjunto de P(U) com a seguinte propriedade: SeA;B S, entãoa ½B oub ½A: Então, o número máximo de elementos ques pode ter é A ( ) n 1 B ( )n=, senfor par, e(n+1)= senfor ímpar C ( )n+1 D ( ) n 1 E ( ) n 1 +1 Questão. SejamA e B subconjuntos nitos de um mesmo conjunto X, tais que n(bna),n(anb) en(a \B) formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão r>0. Sabendo quen(bna)=4 en(a [B)+r=64, então,n(anb) é igual a A ( ) 1 B ( ) 17 C ( ) 0 D ( ) E ( ) 4

2 Questão 4. Sejaf : R! R de nida porf(x)= p 77 sen[5(x+¼=6)] e sejab o conjunto dado porb= fx R:f(x)=0g: Seméomaior elemento deb\( 1;0) enéomenor elemento deb \(0;+1), entãom+n é igual a A ( ) ¼ 15 B ( ) ¼ 15 C ( ) ¼ 0 D ( ) ¼ 15 E ( ) ¼ 15 Questão 5. Considere a equação (a x a x )=(a x +a x ) = m, na variável real x, com 0<a6=1. O conjunto de todos os valores dempara os quais esta equação admite solução real é A ( ) ( 1;0) [(0;1) B ( ) ( 1; 1) [(1;+1) C ( )( 1;1) D ( ) (0;1) E ( ) ( 1;+1) Questão 6. Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5 alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é 7 10 A ( )4 4 0 B ( )4 60 C ( )5 60 D ( ) 4 E ( ) 7 Questão 7. Considere as seguintes a rmações sobre a expressãos= P 101 k=0 log 8 4 k p : I. S é a soma dos termos de uma progressão geométrica nita II. S é a soma dos termos de uma progressão aritmética nita de razão= III. S=451 p IV. S 44+log 8 Então,pode-se a rmarque é(são) verdadeira(s) apenas A ( ) I e III B ( ) II e III C ( ) II e IV D ( ) II E ( ) III Questão 8. Se para todoz C, jf(z)j=jzj e jf(z) f(1)j=jz 1j, então, para todo z C,f(1)f(z)+f(1)f(z)é igual a A ( ) 1 B ( ) z C ( )Rez D ( )Imz E ( ) jzj

3 Questão 9. O conjunto solução de(tg x 1)(1 cotg x)=4,x 6=k¼=,k Z, é ½ ¾ ½ ¾ ½ ¾ ¼ ¼ ¼ A ( ) +k¼ 4 ;k Z B ( ) 4 +k¼ 4 ;k Z C ( ) 6 +k¼ 4 ;k Z ½ ¾ ½ ¾ ¼ ¼ D ( ) 8 +k¼ 4 ;k Z E ( ) 1 +k¼ 4 ;k Z Questão 10. Se [0;¼) é o argumento de um número complexo z 6= 0 e n é um número natural tal que(z= jzj) n =isen(n ), então, é verdade que A ( ) n é múltiplo de¼ B ( )n ¼ é múltiplo de¼ C ( )n ¼=4 é múltiplo de¼= D ( ) n ¼ é múltiplo não nulo de E ( )n ¼ é múltiplo de¼ Questão A condição para que as constantes reais a e b tornem incompatível o sistema < x+y+z = linear x+y+5z = 1 é : x+y+az = b A ( ) a b 6= B ( ) a+b=10 C ( ) 4a 6b=0 D ( ) a b = E ( ) a b=4 Questão 1. Sedet é igual a 4 a b c p q r x y z 5= 1, então o valor dodet 4 A ( ) 0 B ( )4 C ( ) 8 D ( ) 1 E ( ) 16 a b c p+x q+y r+z x y z 5 Questão 1. Seja p um polinômio com coe cientes reais, de grau 7, que admite 1 i como raiz de multiplicidade. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes dep são, respectivamente, 10 e 40. Sendo a rmado que três raízes de p são reais e distintas e formam uma progressão aritmética, então, tais raízes são A ( ) p p 19 19,, 6 + B ( ) 4 p 1,, +4 p 1 6 C ( ) 4,, 8 D ( ),, 8 E ( ) 1,, 5

4 Questão 14. Sobre o polinômiop(x)=x 5 5x +4x x podemos a rmar que A ( ) x= não é raiz dep B ( )psó admite raízes reais, sendo uma delas inteira, duas racionais e duas irracionais C ( )padmite uma única raiz real, sendo ela uma raiz inteira D ( ) p só admite raízes reais, sendo duas delas inteiras E ( )padmite somente raízes reais, sendo uma delas inteira e duas irracionais Questão 15. Seja o sistema linear nas incógnitas x e y, com a e b reais, dado por ½ (a b)x (a+b)y = 1 (a+b)x+(a b)y = 1 Considere asseguintes a rmações: I. O sistema é possível e indeterminado sea=b=0 II. O sistema é possível e determinado seaebnão são simultaneamente nulos III. x +y 1 = a +b, sea +b 6=0 Então,pode-se a rmarque é(são) verdadeira(s) apenas A ( ) I B ( ) II C ( ) III D ( ) I e II E ( ) II e III Questão 16. Considere o polinômiop(x)=x (a+1)x+a, ondeaz. O conjunto de todos os valores dea, para os quais o polinômiop(x) só admite raízes inteiras, é A ( ) fn;n Ng B ( ) f4n ;n Ng C ( ) f6n 4n;n Ng D ( ) fn(n+1);n Ng E ( ) N Questão 17. Numa circunferência C 1 de raio r 1 = cm está inscrito um hexágono regularh 1 ; emh 1 está inscrita uma circunferênciac ; emc está inscrito um hexágono regular H e, assim, sucessivamente. Se A n (emcm ) é a área do hexágono H n, então P 1 n=1 A n (emcm ) é igual a A ( ) 54 p B ( ) 54 p C ( )6(1+ p ) 7 D ( ) p E ( )0(+ p ) Questão 18. Sejam a retas:1x 5y+7=0 e a circunferênciac:x +y +4x+y=11: A retap, que é perpendicular aseésecante ac, corta o eixooy num ponto cuja ordenada pertence ao seguinte intervalo A ( ) 91 1 ; D ( ) 1 ;74 1 B ( ) 81 1 ; E ( ) 1 ;91 1 C ( ) 74 1 ; 0 1

5 Questão 19. Os focos de uma elipse sãof 1 (0; 6) ef (0;6). Os pontosa(0;9) eb(x;), x>0, estão na elipse. A área do triângulo com vértices emb,f 1 ef é igual a A ( ) p 10 B ( )18 p 10 C ( ) 15 p 10 D ( )1 p 10 E ( )6 p 10 Questão 0. Uma pirâmide regular tem por base um hexágono cuja diagonal menor mede p cm. As faces laterais desta pirâmide formam diedros de60 o com o plano da base: A área total da pirâmide, emcm, é A ( ) 81p B ( ) 81p C ( ) 81 D ( )7 p E ( )7 p As questões dissertativas, numeradas de 1 a 0, devemserresolvidas e respondidas no caderno de soluções. Questão 1. ConsidereAum conjunto não vazio com um número nito de elementos. Dizemos que F = fa 1 ;:::;A m g ½ P(A) é uma partição dease as seguintes condições são satisfeitas: I. A i 6= ;,i=1;:::;m II. A i \A j = ;, sei 6=j, parai;j=1;:::;m III. A=A 1 [A [ [A m Dizemos ainda que F é uma partição de ordemksen(a i )=k,i=1;:::;m: Supondo quen(a)=8, determine: (a) As ordens possíveis para uma partição de A (b) O número de partições deaque têm ordem ½ x; 0 x<1= Questão. Sejaf :[0;1)! R de nida porf(x)= x 1; 1= x<1 : ½ f(x+1=); 1=<x<0 Sejag :( 1=;1=)! R dada porg(x)= 1 f(x+1=); 0 x<1=, comf de nida acima. Justi cando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. Questão. Determine o coe ciente dex 4 no desenvolvimento de(1+x+x ) 9 : Questão 4. Determine para quais valores dex ( ¼=;¼=) vale a desigualdade log cosx (4sen x 1) log cosx (4 sec x)>:

6 Questão 5. Considere o polinômio p(x) = x +ax +x+1, com raízes reais. O coe cienteaéracional e a diferença entre duas de suas raízes também é racional. Nestas condições, analise se a seguinte a rmação é verdadeira: Se uma das raízes de p(x) é racional, então todas as suas raízes são racionais. Questão 6. As medidas, em metros, do raio da base, da altura e da geratriz de um cone circular reto formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de razão metros. Calcule a área total deste cone emm. Questão 7. Sejam as matrizes A= = = e B= Determine o elementoc 4 da matrizc=(a+b) 1 : = = Questão 8. Seja (a 1 ;a ;a ;:::;a n ;:::) uma progressão geométrica in nita de razão positivar, em quea 1 =a é um número real não nulo. Sabendo que a soma de todos os termos de índices pares desta progressão geométrica é igual a 4 e que a soma de todos os termos de índices múltiplos de é16=1, determine o valor dea+r: Questão 9. Sabendo que 9y 16x 144y+4x 5 = 0 é a equação de uma hipérbole, calcule sua distância focal. Questão 0. Considere um losangoabcd cujo perímetro mede100 cm e cuja maior diagonal mede40cm. Calcule a área, emcm, do círculo inscrito neste losango.