P(A) : coleção de todos os subconjuntos de A
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- Luiz Henrique Bayer Caminha
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1 NOTAÇÕES N = f0; ; ; ; : : :g i : unidade imaginária; i = Z : conjunto dos números inteiros jzj : módulo do número z C R : conjunto dos números reais z : conjugado do número z C C : conjunto dos números comlexos Re z : arte real de z C ; : conjunto vazio Im z : arte imaginária de z C [a; b] = fx R; a x bg I : matriz identidade (a; b) = ]a; b[ = fx R; a < x < bg A : inversa da matriz inversível A [a; b) = [a; b[ = fx R; a x < bg A t : transosta da matriz A (a; b] = ]a; b] = fx R; a < x bg det A : determinante da matriz A A B = fx A; x = Bg A C : comlementar de A P(A) : coleção de todos os subconjuntos de A AB _ AB : segmento de reta unindo os ontos A e B : arco de circunferência de extremidades A e B Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. Questão. Considere uma oulação de igual número de homens e mulheres, em que sejam daltônicos % dos homens e 0; % das mulheres. Indique a robabilidade de que seja mulher uma essoa daltônica selecionada ao acaso nessa oulação. B ( ) 8 C ( ) Questão. Sejam ; C tais que jj = jj = e j a E ( ) 4 j = : Então + é igual B ( ) 0 C ( ) E ( ) i Questão. Considere o sistema Ax = b; em que 0 A k 6 k 0 A ; b 6 0 A e k R: Sendo T a soma de todos os valores de k que tornam o sistema imossível e sendo S a soma de todos os valores de k que tornam o sistema ossível e indeterminado, então o valor de T S é 4 B ( ) C ( ) 0 E ( ) 4
2 Questão 4. Sejam A e C matrizes n n inversíveis tais que det(i + C A) = = e det A = : Sabendo-se que B = (A + C ) t ; então o determinante de B é igual a n B ( ) n C ( ) n E ( ) n Questão. Um olinômio P é dado elo roduto de olinômios cujos graus formam uma rogressão geométrica. Se o olinômio de menor grau tem grau igual a e o grau de P é 6, então o de maior grau tem grau igual a 0 B ( ) C ( ) 4 6 E ( ) 8 Questão 6. Um diedro mede 0. A distância da aresta do diedro ao centro de uma esfera de volume 4 cm que tangencia as faces do diedro é, em cm, igual a B ( ) C ( ) E ( ) Questão 7. Considere o quadrado ABCD com lados de 0 m de comrimento. Seja M um onto sobre o lado AB e N um onto sobre o lado AD; eqüidistantes de A. Por M traça-se uma reta r aralela ao lado AD e or N uma reta s aralela ao lado AB; que se intercetam no onto O. Considere os quadrados AMON e OP CQ, onde P é a intersecção de s com o lado BC e Q é a intersecção de r com o lado DC. Sabendose que as áreas dos quadrados AMON; OP CQ e ABCD constituem, nesta ordem, uma rogressão geométrica, então a distância entre os ontos A e M é igual, em metros, a + B ( ) 0 + C ( ) 0 E ( ) 0 Questão 8. Considere o olinômio (x) = a x + a 4 x 4 + a x + a x a ; em que uma das raízes é x = : Sabendo-se que a, a, a, a 4 e a são reais e formam, nesta ordem, uma rogressão aritmética com a 4 = =, então ( ) é igual a B ( ) 7 C ( ) 6 9 E ( ) 40 Questão 9. Sobre a equação olinomial x 4 + ax + bx + cx = 0, sabemos que os coe cientes a; b; c são reais, duas de suas raízes são inteiras e distintas e = i= também é sua raiz. Então, o máximo de a; b; c é igual a B ( ) C ( ) E ( ) 4
3 Questão 0. É dada a equação olinomial (a + c + ) x + (b + c + ) x + (c a) x + (a + b + 4) = 0 com a; b; c reais. Sabendo-se que esta equação é recíroca de rimeira esécie e que é uma raiz, então o roduto abc é igual a B ( ) 4 C ( ) 6 9 E ( ) Questão. Sendo [ =; =] o contradomínio da função arcoseno e [0; ] o contradomínio da função arcocosseno, assinale o valor de cos arcsen + arccos 4 : B ( ) 7 C ( ) 4 E ( ) Questão. Dada a cônica : x no onto P = ;? y = ; qual das retas abaixo é erendicular à y = (x ) B ( ) y = y = (x 7) E ( ) y = x C ( ) y = (x 4) (x + ) Questão. O conjunto imagem e o eríodo de f(x) = sen (x) + sen(6x) resectivamente, são, [ ; ] e B ( ) [ ; ] e C ( ) ; e [ ; ] e E ( ) [ ; ] e Questão 4. Para x R; o conjunto solução de j x x+ + 4 x j = j x j é B ( ) C ( ) n 0; ; o n0; ; log + o (!) 0; log ; log ; log n0; log + ; log + ; log o E ( ) A única solução é x = 0
4 Questão. f(x) = jln (x Um subconjunto D de R tal que a função f : D! R; de nida or x + )j é injetora, é dado or R B ( ) ( ; ] C ( ) [0; =] (0; ) E ( ) [=; ) Questão 6. A soma de todas as soluções distintas da equação cos x + cos 6x + cos 9x = 0; que estão no intervalo 0 x =; é igual a B ( ) C ( ) E ( ) Questão 7. Considere o conjunto D = fn N; n 6g e H P(D) formado or todos os subconjuntos de D com elementos. Escolhendo ao acaso um elemento B H; a robabilidade de a soma de seus elementos ser 8 é igual a 70 B ( ) 46 C ( ) 6 9 E ( ) Questão 8. Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo distinto dos demais, B ^AC; mede 40 : Sobre o lado AB, tome o onto E tal que A ^CE = : Sobre o lado AC, tome o onto D tal que D ^BC =. Então, o ângulo E ^DB vale B ( ) 4 C ( ) 7 E ( ) 8 Questão 9. Sejam X; Y; Z; W subconjuntos de N tais que (X Y ) \ Z = f; ; ; 4g ; Y = f; 6g ; Z \ Y = ;; W \ (X [X \ (Z [ W )] [W \ (Y [ Z)] é igual a 9 70 Z) = f7; 8g ; X \ W \ Z = f; 4g : Então o conjunto f; ; ; 4; g B ( ) f; ; ; 4; 7g C ( ) f; ; 7; 8g f; g E ( ) f7; 8g Questão 0. Sejam r e s duas retas aralelas distando 0 cm entre si. Seja P um onto no lano de nido or r e s e exterior à região limitada or estas retas, distando cm de r. As resectivas medidas da área e do erímetro, em cm e cm, do triângulo equilátero P QR cujos vértices Q e R estão, resectivamente, sobre as retas r e s, são iguais a 7 e B ( ) 7 e 0 C ( ) 7 e 0 7 e E ( ) 700 e 0
5 As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e resondidas no caderno de soluções. Questão. Dado o conjunto A = x R; x + x < x intervalos da reta real. ; exresse-o como união de Questão. Determine as raízes em C de 4z = 0; na forma a + bi; com a; b R; que ertençam a S = fz C; < jz + j < g : Questão. Seja f(x) = ln (x + x + ) ; x R: Determine as funções h; g : R! R tais que f(x) = g(x) + h(x); 8x R; sendo h uma função ar e g uma função ímar. Questão 4. Sejam ; ; R: Considere o olinômio (x) dado or x 9x 4 + ( ) x + ( + + ) x + ( + ) x + ( + + ) : Encontre todos os valores de ; e de modo que x = 0 seja uma raiz com multilicidade de (x). Questão. Uma matriz real quadrada A é ortogonal se A é inversível e A = A t : Determine todas as matrizes que são simétricas e ortogonais, exressando-as, quando for o caso, em termos de seus elementos que estão fora da diagonal rincial. Questão 6. Determine todos os valores ; tais que a equação (em x) admita aenas raízes reais simles. x 4 4 x + tg = 0 Questão 7. Em um esaço amostral com uma robabilidade P; são dados os eventos A; B e C tais que: P (A) = P (B) = =; com A e B indeendentes, P (A \ B \ C) = =6; e sabe-se que P ((A \ B) [ (A \ C)) = =0: Calcule as robabilidades condicionais P (CjA \ B) e P CjA \ B C : Questão 8. Um triângulo acutângulo de vértices A; B e C está inscrito numa circunferência de raio : Sabe-se que AB mede e BC mede : Determine a área do triângulo ABC:
6 Questão 9. Seja C uma circunferência de raio r e centro O e AB um diâmetro de C: Considere o triângulo equilátero BDE inscrito em C: Traça-se a reta s assando elos ontos O e E até intercetar em F a reta t tangente à circunferência C no onto A: Determine o volume do sólido de revolução gerado ela rotação da região limitada elo arco _ AE e elos segmentos AF e EF em torno do diâmetro AB: Questão 0. Considere a arábola de equação y = ax + bx + c; que assa elos ontos (; ) ; ( ; ) e tal que a; b; c formam, nesta ordem, uma rogressão aritmética. Determine a distância do vértice da arábola à reta tangente à arábola no onto (; ):
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