o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 2008

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1 o anglo resolve a prova de Matemática do ITA dezembro de 008 É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do Anglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. O Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA é uma escola de engenharia mundialmente conhecida. Com o mesmo zelo com que trata seus excelentes cursos (Engenharia Aeronáutica, Engenharia Mecânica Aeronáutica, Engenharia de Infra-Estrutura Aeronáutica, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação), trata seu vestibular, que é realizado em dias: º- dia: FÍSICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. º- dia: PORTUGUÊS, com 0 questões de múltipla escolha e uma redação, e INGLÊS, com 0 questões de múltipla escolha. º- dia: MATEMÁTICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. º- dia: QUÍMICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. Cada prova tem duração de horas. A nota da prova de Inglês, embora seja eliminatória, não entra na classificação final. Em Matemática, Física e Química, as questões de múltipla escolha equivalem a 0% do valor da prova, e a parte dissertativa, aos outros 0%. Na prova de Português, as questões de múltipla escolha equivalem a 60% do valor da prova, e a Redação, a 0%. É eliminado o candidato que tirar ZERO na Redação. Só é corrigida a parte dissertativa das provas dos 60 melhores classificados nas questões de múltipla escolha. Serão considerados aprovados nos exames de escolaridade os candidatos que obtiverem nota igual ou superior a 0 (na escala de 0 a 00) e média igual ou superior a 0 (na escala de 0 a 00). A nota final é a média aritmética das provas de Matemática, Física, Química e Português.

2 T T MA E M Á I CA NOTAÇÕES IN = {0,,,,...} i : unidade imaginária: i = IR : conjunto dos números reais z : módulo do número z CI CI : conjunto dos números complexos Re z : parte real do número z CI [a, b] = {x IR; a x b} Im z : parte imaginária do número z CI (a, + ) = ]a, + [ = {x IR; a x + } M m n (IR): conjunto das matrizes reais m n A\B = {x A; x B} A t : transposta da matriz A A C : complementar do conjunto A deta : determinante da matriz A P(A) : coleção de todos os subconjuntos do conjunto A n(a) : número de elementos do conjunto finito A AB : segmento de reta unindo os pontos A e B tra : soma dos elementos da diagonal principal da matriz quadrada A Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. Questão Sejam A e B subconjuntos do conjunto universo U = {a, b, c, d, e, f, g, h}. Sabendo que (B C A) C = {f, g, h}, B C A = {a, b} e A C \B = {d, e}, então, n(p(a B)) é igual a A) 0. B). C). D). E) 8. De (B c A) c = {f, g, h}, temos: {x U: x (B c A)} = {f, g, h} {x U: x B c e x A} = {f, g, h} {x U: x B e x A} = {f, g, h} A U B f g h De B c A = {a, b}, temos: {x U: x B c e x A} = {a, b} {x U: x B e x A} = {a, b} a A b U B f g h De A c \ B = {d, e}, temos: {x U: x A c e x B} = {d, e} A {x U: x A e x B} = {d, e} a b U B f g h d e ITA/009

3 Como c U, c A\B, c B\A e c (A B) c, podemos concluir que c A B. A a b c U B f g h Temos A B = {c}, P(A B) = {, {c}} e, portanto, n (P(A B)) =. Resposta: C d e Questão Uma empresa possui 000 carros, sendo uma parte com motor a gasolina e o restante com motor flex (que funciona com álcool e com gasolina). Numa determinada época, neste conjunto de 000 carros, 6% dos carros com motor a gasolina e 6% dos carros com motor flex sofrem conversão para também funcionar com gás GNV. Sabendo-se que, após esta conversão, 6 dos 000 carros desta empresa são bicombustíveis, podese afirmar que o número de carros tricombustíveis é igual a A) 6. B). C) 60. D) 68. E) 8. Sejam g e f, nessa ordem, o número de carros com motor a gasolina e o número de carros com motor flex; g = 000 f. Com a conversão, temos: 0,6g + ( 0,6)f = 6 0,6(000 f) + 0,6f = 6 0,8f = f = 0,8 O número de carros tricombustíveis é dado por 0,6f. Temos: 0,6f = 0,6 0,6f = Resposta: B 96 0,8 Questão Seja f: IR IR\{0} uma função satisfazendo às condições: f(x + y) = f(x)f(y), para todo x, y IR e f(x), para todo x IR\{0}. Das afirmações: I. f pode ser ímpar. II. f(0) =. III. f é injetiva. IV. f não é sobrejetiva, pois f(x) 0 para todo x IR. é (são) falsa(s) apenas A) I e III. B) II e III. C) I e IV. D) IV. E) I. ITA/009

4 f(0 + 0) = f(0) f(0) f(0) = [f(0)] Como, para todo x real, f(x) 0, temos f(0) =. A afirmação II é verdadeira. Se f é ímpar, então, para todo x real, f( x) = f(x), ou seja, f(x) + f( x) = 0. Como f(0) + f( 0) =, podemos concluir que f não é ímpar. A afirmação I é falsa. Com x IR, temos: x x f + x = f f f(x) = f x Como f IR\{0}, temos f(x) 0. Logo, f não é sobrejetiva. A afirmação IV é verdadeira. Sejam a e b números reais quaisquer. Temos: f(b + a b) = f(b) f(a b) f(a) = f(b) f(a b) Como é dado que f(x), para todo x IR\{0}, podemos afirmar que, se a b, então a b 0, f(a b) e, portanto, f(a) f(b). Logo, f é injetiva. A afirmação III é verdadeira. Resposta: E Questão π π π π Se a = cos e b = sen, então, o número complexo cos + isen é igual a A) a + bi. B) a + bi. C) ( a b ) + ab( + b )i. D) a bi. E) a b + ab( b )i. π π cos + isen π = cos + isen x = cos 0π π + + isen 0π + π π = cos + isen = cos π π + isen π π π = cos + isen = a + bi Resposta: B x π π π ITA/009

5 Questão O polinômio de grau (a + b + c)x + (a + b + c)x (a b)x + (a b + c)x + (a + c), com a, b, c IR, é uma função par. Então, a soma dos módulos de suas raízes é igual a A) +. B) +. C) +. D) +. E) +. A função polinomial é par se, e somente se: a + b + c = 0 a b + c = 0 Somando-se membro a membro, resulta a + c = 0, ou seja, c = a. a Subtraindo membro a membro, resulta a + b = 0, ou seja, b =. a a a Temos: a + b + c =, a b = e a + c =. De P(x) = (a + b + c)x + (a + b + c)x (a b)x + (a b + c)x + (a + c) e das conclusões acima, temos: a P(x) = x a + x a + a P(x) = [x + x ], com a 0, pois o polinômio é de grau. De P(x) = 0, temos x = ou x =, isto é, x = ou x =, ou x = i ou x = i. Temos + + i + i = + Resposta: E Questão 6 Considere as funções f(x) = x + x x e g(x) = x x +. A multiplicidade das raízes não reais da função composta fog é igual a A). B). C). D). E). Note que f() = Logo, f(x) = (x )(x + x + x + ), ou seja, f(x) = (x )(x + ). é raiz de multiplicidade de f(x) = 0. é raiz de multiplicidade de f(x) = 0. ITA/009 6

6 g(x) = (x ) f(g(x)) = [(x ) ][(x ) + ] De (x ) = 0, temos x = ou x =, isto é, x = ou x = 0. De (x ) + = 0, temos x = i ou x = i, isto é, x = + i ou x = i. Considerando o fator [(x ) + ] em f(g(x)), podemos concluir que + i e i são, ambas, raízes de multiplicidade. Resposta: C Questão 7 Suponha que os coeficientes reais a e b da equação x + ax + bx + ax + = 0 são tais que a equação admite solução não real r com r. Das seguintes afirmações: I. A equação admite quatro raízes distintas, sendo todas não reais. II. As raízes podem ser duplas. III. Das quatro raízes, duas podem ser reais. é(são) verdadeira(s) A) apenas I. B) apenas II. C) apenas III. D) apenas II e III. E) nenhuma. Como os coeficientes são reais, o número r, conjugado complexo de r, é raiz da equação. Como r não é real, temos r r e r IR. Como a equação é recíproca, os números e também são raízes da equação. Temos: r r r r r, pois r r r r, pois r e r r, pois r e r r e r, pois r. r r Logo, podemos afirmar que a equação admite raízes, duas a duas distintas, sendo todas não reais. Resposta: A Questão 8 Se as soluções da equação algébrica x ax + bx + = 0, com coeficientes a, b IR, b 0, formam, numa determinada ordem, uma progressão geométrica, então, a é igual a b A). B). C). D). E). ITA/009 7

7 Seja (x, x, x ) a progressão geométrica formada pelas raízes e seja q, q 0, a razão dessa progressão. Temos: x x x = x x x q = 7 x = 7. q Logo, x =, ou x = ( + i ), ou x = ( i ). Como os coeficientes de x ax + bx + = 0 são reais, podemos afirmar que: Se ( + i ) é raiz, então ( i ) é raiz Se ( i ) é raiz, então ( + i ) é raiz Como o produto das três raízes é 7, podemos concluir que, em ambos os casos, é raiz. Sendo assim, temos x ax + bx + x +, ou seja, a = 0 e b = 0. Do enunciado, temos b 0 e, portanto, x ( + i ) e x ( i ). Com x =, temos: ( ) a( ) + b( ) + = 0 9a b + = 0 9a = b a Com b 0, temos =. b Resposta: B Questão 9 Dados A M (IR) e b M (IR), dizemos que X 0 M (IR) é a melhor aproximação quadrática do sistema AX = b quando (AX 0 b) t (AX0 b) assume o menor valor possível. Então, dado o sistema 0 x 0, y = 0 a sua melhor aproximação quadrática é A) D) B) E) C) x0 Seja x 0 = y0 A x 0 b = x x = y y x0 ITA/009 8

8 Assim: x0 (A x 0 b) t (A x 0 b) = [ x 0 y 0 x 0 ] y0 = x0 = [( x 0 ) + (y 0 ) + (x 0 ) ] Admitindo que ( Ax b) t 0 ( Ax0 b) se refira à raiz quadrada do elemento da matriz produto, temos: ( Ax b) t 0 ( Ax0 b) = ( x0 + ) + ( y0 ) + ( x0 ) = x ( y0 ) Essa expressão assume o menor valor possível quando x 0 = 0 e y 0 =. Assim: 0 x 0 = Resposta: E Questão 0 O sistema a x + b y = c a x + b y = c, a, a, b, b, c, c IR, com (c, c ) (0, 0), a c + a c = b c + b c = 0, é A) determinado. B) determinado somente quando c 0 e c 0. C) determinado somente quando c 0 e c = 0 ou c = 0 e c 0. D) impossível. E) indeterminado. a x + b y = c (c ) a x + b y = c (c ) a c x + b c y = c a c x + b c y = c (a c + a c ) x + (b c + b c ) y = c + c 0x + 0y = c + c Como c e c não são simultaneamente iguais a zero, c + c 0, e, assim, o sistema é impossível. Resposta: D Questão Seja A M (IR) uma matriz simétrica e não nula, cujos elementos são tais que a, a e a formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q e tra = a. Sabendo-se que o sistema AX = X admite solução não nula X M (IR), pode-se afirmar que a + q é igual a 0 9 A). D). 9 B). E). C). ITA/009 9

9 Como A é simétrica e (a, a, a ) é P.G. de razão q, q, podemos escrever: a a q A = aq aq Do enunciado, tra = a. a + a q = a a q = a q = (pois a 0) x Sendo X = e A X = X, temos: y a x + a q y = x a q x + a q y = y Para o sistema homogêneo ter solução diferente da nula: a a q a q a q = 0 (a ) (a q ) a q = 0 Como q =, temos: (a ) (a ) a = 0 a a a + a = 0 a = Logo: a + q = + = Resposta: A Questão Uma amostra de estrangeiros, em que 8% são proficientes em inglês, realizou um exame para classificar a sua proficiência nesta língua. Dos estrangeiros que são proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Entre os não proficientes em inglês, 7% foram classificados como proficientes. Um estrangeiro desta amostra, escolhido ao acaso, foi classificado como proficiente em inglês. A probabilidade deste estrangeiro ser efetivamente proficiente nesta língua é de aproximadamente A) 7%. D) 6%. B) 70%. E) 6%. C) 68%. 0 (a ) x + a q y = 0 a q x + ( a q ) y = 0 Foram classificadas como proficientes em inglês após o exame: 7% dos 8% dados anteriormente como proficientes, isto é, 0,7 0,8 = 0,; 7% dos 8% dados anteriormente como não proficientes, isto é, 0,07 0,8 = 0,07. Um estrangeiro desta amostra foi classificado como proficiente. A probabilidade de ele ser efetivamente proficiente é: 0, 0, P 0,70 70% 0, + 0,07 0,9 Resposta: B Questão Considere o triângulo ABC de lados a = BC, b = AC e c = AB e ângulos internos α = CÂB, β = ABˆ C e γ = BĈA. Sabendo-se que a equação x bxcosα + b a = 0 admite c como raiz dupla, pode-se afirmar que A) α = 90º. B) β = 60º. C) γ = 90º. D) O triângulo é retângulo apenas se α = º. E) O triângulo é retângulo e b é hipotenusa. ITA/009 0

10 A c α b Se c é raiz dupla da equação x bxcosα + b a = 0, então, pelas relações de Girard: c c = b a b = a + c Logo, ABC é um triângulo retângulo, e b é a hipotenusa. Resposta: E Questão No plano, considere S o lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas distâncias à reta t: x = e ao ponto A = (, ) é igual a. Então, S é A) uma circunferência de raio e centro (, ). B) uma circunferência de raio e centro (, ). C) uma hipérbole. D) uma elipse de eixos de comprimento e. E) uma elipse de eixos de comprimento e. B β a γ C y (t) x = 0 P(x, y) A(, ) Sendo P(x, y) um ponto de S, devemos ter: (d P, t ) + (d P, A ) = x ( ) + ( x ) ( y ) + = 0 x 0 + x x + + (x ) + (y ) = x x + + x 6x y y + = x + y 8x y + 0 = 0 x 8x + + y y + = 0 (x x + ) + y y + = (x ) + (y ) = (x ) (y ) + = A equação representa uma elipse de eixos com comprimentos e. Resposta: D ITA/009

11 Questão Do triângulo de vértices A, B e C, inscrito em uma circunferência de raio R = cm, sabe-se que o lado BC mede cm e o ângulo interno ABˆC mede 0º. Então, o raio da circunferência inscrita neste triângulo tem o comprimento, em cm, igual a A). D). B). E). C). Do enunciado, temos a figura: P O A R = 0º B 0º r O C Como BC = = R, então BC = 60º. Como ABˆC = 0º, então CA = 60º. Logo, BA = 0º BPA = 0º BĈA = 0º. Daí, conclui-se que BC = CA = ( ABC é isósceles). Pelo teorema dos co-senos, vem: (AB) = + cos0º AB = Sendo S a área do triângulo, p o semi-perímetro, e r a medida pedida, temos: S = p r sen0º = ( + + ) r + + = r + = r r = Resposta: D Questão 6 A distância entre o vértice e o foco da parábola de equação x x y + = 0 é igual a A). D). B). E). C). ITA/009

12 y x x = y x x = y F, x x + = y (x ) = y 0 V, x Sendo p o parâmetro da parábola, temos p = e, portanto, p =. p Sendo V e F, nessa ordem, o vértice e o foco da parábola, temos VF =, ou seja, VF =. Resposta: E Questão 7 A expressão sen x + cotg π + x tg x + tg x é equivalente a A) [cosx sen x]cotgx. D) [ cotg x]senx. B) [senx + cosx]tgx. E) [ + cotg x][senx + cosx]. C) [cos x senx]cotg x. π sen x + + cotgx tg x +tg x = sen x + π + cotgx tg x = x sec sen x cos x + cos x x cos sen x = cos x = sen x cos x senx cosx + cosx sen x = senxcosx [ cosx senx] senx = cotgx [cosx senx] Resposta: A ITA/009

13 Questão 8 Sejam C uma circunferência de raio R e centro (0, 0) e AB uma corda de C. Sabendo que (, ) é ponto médio de AB, então uma equação da reta que contém AB é A) y + x 6 = 0. B) y + x 0 = 0 C) y + x 7 = 0 D) y + x = 0. E) y + x 9 = 0. Se M(, ) é o ponto médio de AB, então PM é perpendicular a AB. A C P(0, 0) M B Coeficiente angular de 0 PM: m PM = = 0 Logo, o coeficiente angular de AB é. Equação de AB : M(, ) y = (x ) m AB = x + y 0 = 0 Resposta: B Questão 9 Uma esfera é colocada no interior de um cone circular reto de 8cm de altura e de 60º de ângulo de vértice. Os pontos de contato da esfera com a superfície lateral do cone definem uma circunferência e distam cm do vértice do cone. O volume do cone não ocupado pela esfera, em cm, é igual a A) 6 π. 9 B) 80 π. 9 C) 00 π. 9 D) π. 9 E) π. 9 ITA/009

14 Sendo r a medida do raio da esfera, e R a medida do raio do cone, temos a figura: M R B 8 C r A 0º 0º r No triângulo VAB: tg0º = _ r = r = No triângulo VMB: tg0º = _ = R = 8 _ R R 8 8 Logo, o volume do cone não ocupado pela esfera é π 8 _ 8 π, ou seja, 6π cm. 9 Resposta: A Questão 0 Os pontos A = (, ) e B = (, ) são vértices de um cubo, em que AB é uma das arestas. A área lateral do octaedro cujos vértices são os pontos médios da face do cubo é igual a A) 8. D). B). E) 8. C). V A medida da aresta é: AB = ( ) + ( ) = a P Sendo a a medida de uma aresta do octaedro, temos que: a = (MN) + (NP) a = _ + _ a = Logo, a área pedida é 8 _ =, ou seja,. Resposta: C A M B N ITA/009

15 Questão Seja S o conjunto solução da inequação (x 9) log x + (x 6x) 0. Determine o conjunto S C. Consideremos, primeiramente, a função real de variável real dada por f(x) = log x + (x 6x) e seu domínio D. Temos o sistema: x x + 0 e x + 6x 0 x(x x e x 6) Logo, D = {x IR: x 0 e x ou x 6} Para obter o conjunto solução S, é suficiente estudar os dois casos a seguir. º caso: x 9 0 e log x + (x 6x) IR x 9 e x D º caso: x 9 0 e log x + (x 6x) = 0 x 9 e x 6x = x 9 e x(x 6) = Note que não existe x, nessas condições, pois com x 9 temos x 6 e, portanto, x(x 6). Logo, S = {x IR: x 9 e x D}, ou seja, S = {x IR: x 0 e x ou 6 x 9} x S C é o complementar de S. Resposta: S C = {x IR: x ou x = ou 0 x 6 ou x 9} + x x S Questão Sejam x, y IR e w = x ( + i) + y ( i) x( + 6i) + y( 6 + i) CI. Identifique e esboce o conjunto = {(x, y) IR ; Re w e Im w }. w = x + x i + y y i x 6xi 6y + yi w = x x + y 6y + (x 6x y + y)i Re w Im w De Re w, temos: x x + y 6y x x + + y 6y (x ) + (y ) (x ) + (y ) ITA/009 6

16 De Im w, temos: x 6x y + y x 6x + y + y + (x x + ) (y y + ) (x ) (y ) : (x ) + (y ) ( x ) : ( y ) ( ) = Resposta: ( x ) ( y ) ( ) y 0 x Questão x + Seja f: IR\{ } IR definida por f(x) =. x + a) Mostre que f é injetora. b) Determine D = {f(x); x IR\{ }} e f : D IR\{ }. a) Sejam a e b elementos quaisquer de R\{ }. De f(a) = f(b), temos: a + a + = b + b + ab + b + a + = ab + a + b + a = b a = b Como f(a) = f(b) a = b, ou seja, a b f(a) f(b), concluímos que f é injetora. (c.q.d.) x + b) De f(x) =, com x, temos: x + x f(x) + f(x) = x + x f(x) x = f(x) x [f(x) ] = f(x) Com f(x) =, temos x 0 = ; logo, não existe x, tal que f(x) =. f(x) Com f(x), temos x =. f(x) y Resumindo, com x, y = f(x) e y, temos x =. y Resposta: D = IR\{ } e f (x) = x x ITA/009 7

17 Questão Suponha que a equação algébrica x + 0 a nx n + a 0 = 0 n = tenha coeficientes reais a 0, a,, a 0 tais que as suas onze raízes sejam todas simples e da forma β + iγ n, em que β, γ n IR e os γ n, n =,,,, formam uma progressão aritmética de razão real γ 0. Considere as três afirmações abaixo e responda se cada uma delas é, respectivamente, verdadeira ou falsa, justificando sua resposta: I. Se β = 0, então a 0 = 0. II. Se a 0 = 0, então β = 0. III. Se β = 0, então a = 0. As raízes são da forma x n = β + iγ n, com n inteiro e n. Como os coeficientes da equação são reais, o número de raízes imaginárias é par e, portanto, há pelo menos uma raiz real: β + i 0. Como as raízes imaginárias existem aos pares (conjugados) e como, numa dada ordem, formam uma PA, de razão γ, podemos afirmar que elas são da forma β + i h γ, em que h, h, é um número inteiro. Sendo β = 0, o conjunto das raízes é { γi, γi, γi, γi, γi, 0, γi, γi, γi, γi, γi}. O produto das raízes é nulo e, como esse produto é a 0, temos a 0 = 0. Logo, a afirmação I é verdadeira. Excluindo a raiz nula, temos 0 raízes cujo produto é (!) γ 0 i 0 = (!) γ 0 Com qualquer outra combinação de dez das raízes, o produto é nulo. A soma de todos os produtos possíveis com 0 das raízes é igual a a. Logo, a = (!) γ 0. Com γ 0, temos a 0. A afirmação III é falsa. A soma das raízes é igual a a 0. Portanto β = a 0. Se a 0 = 0, então β = 0. A afirmação II é verdadeira. Resposta: As afirmações I e II são verdadeiras e a afirmação III é falsa. Questão Um determinado concurso é realizado em duas etapas. Ao longo dos últimos anos, 0% dos candidatos do concurso têm conseguido na primeira etapa nota superior ou igual à nota mínima necessária para poder participar da segunda etapa. Se tomarmos 6 candidatos dentre os muitos inscritos, qual é a probabilidade de no mínimo deles conseguirem nota para participar da segunda etapa? Do enunciado, a probabilidade de um candidato ser aprovado na primeira etapa é é. Tomando-se 6 candidatos, a probabilidade de pelo menos serem aprovados é: P = ! 6! P = + +!!!! 6 6 6, e a de não ser aprovado ITA/009 8

18 6 P = = 6 Resposta: Questão 6 Sejam A, B M (IR). Mostre as propriedades abaixo: a) Se AX é a matriz coluna nula, para todo X M (IR), então A é a matriz nula. b) Se A e B são não nulas e tais que AB é a matriz nula, então deta = detb = 0. a b c a) Seja A = d e f. g h i 0 Se AX = 0 para todo X M (IR), então AX = 0, em particular, para as matrizes X = 0, X = e X= 0. Nessa ordem, temos: a b c AX = d, AX = e e AX = f. g h i Como, em todos os casos, AX = 0, temos a = 0, d = 0, g = 0, b = 0, e = 0, h = 0, c = 0, f = 0 e i = 0. Logo, A = 0 (c.q.d.) b) (Método indireto) Suponhamos que deta 0. Nesse caso, existe A e, de A B = 0, temos: A (AB) = A 0 (A A)B = 0 I B = 0 B = 0 (absurdo) Logo, deta = 0. Analogamente, podemos mostrar que detb = 0. (c.q.d.) Questão 7 Sabendo que tg x + π =, para algum x 0, π, determine senx. 6 ITA/009 9

19 tg π x + =, x π 0, 6 sec π x + = + tg π x + = = Assim: cos π x + = e sen π x + = 6 6 Com 0 x π π,temos π x + π. 6 6 π Nesse intervalo, cos x + π = e sen x + =. 6 6 Logo: π senx = sen x + 6 π = sen x + π π cos sen cos x π 6 π 6 = = = 6 6 Resposta: 6 6 Questão 8 Dadas a circunferência C: (x ) + (y ) = 0 e a reta r: x y + = 0, considere a reta t que tangencia C, forma um ângulo de º com r e cuja distância à origem é. Determine uma equação da reta t. (x ) + (y ) = 0 Centro: C (, ) Raio: 0 º C C (, ) (r) x y + = 0 m r = 0 O(0, 0) (t) y = mx + q mx y + q = 0 ITA/009 0

20 Devemos ter: m = tgº m = ou m = + m Assim: (t ) x y + q = 0 ou (t ) x y + q = 0 Da condição de tangência para t : () + q = 0 q = 7 ou q = ( ) + ( ) Logo, (t ) x y + 7 = 0 ou (t ) x y = 0. Da condição de tangência para t : / + q (/) + ( ) = 0 9 q = ou q =. Logo, (t ) x 9 y + = 0 ou (t ) x y = 0 Das quatro retas obtidas, só a reta (t ) x y = 0 dista De fato: 0 0 = = ( ) + ( ) Resposta: x + y + = 0 da origem. Questão 9 Considere as n retas r i : y = m i x + 0, i =,,, n; n, em que os coeficientes m i, em ordem crescente de i, formam uma progressão aritmética de razão q 0. Se m = 0 e a reta r tangencia a circunferência de equação x + y =, determine o valor de q. Do enunciado, temos a figura, onde a reta r tem coeficiente angular m 0 e tangencia a circunferência x + y = : y 0 β α β α x r No triângulo retângulo assinalado, temos: cosα = cosα = 0 α = 60º Assim, m = tg60º, ou seja, m =. ITA/009

21 Na progressão aritmética, temos: m = m + q = 0 + q q = Resposta: Questão 0 A razão entre a área lateral e a área da base octogonal de uma pirâmide regular é igual a. Exprima o volume desta pirâmide em termos da medida a do apótema da base. Do enunciado, temos a figura que representa a pirâmide VABCDEFGH com aresta da base igual a b, apótema da base igual a a, apótema da pirâmide igual a m e altura igual a h: V h m A E B O a D M b C Ainda, do enunciado, temos: 8 b m 8 b a = m = a No triângulo VOM: h + a = m h + a = (a ) h = a No triângulo ODE (OD = OE), temos: b = (OD) + (OD) (OD)(OD) cosº b = (OD) (OD) b = (OD) ( ) No triângulo ODM: (OD) = a + b (OD) = a (OD) + ( ) (OD) = a ( ) ITA/009

22 O volume da pirâmide é: V = A base h V = 8 (OD)(OD) senº a V = 8 a ( ) a V = 8( )a Resposta: 6 ( )a ITA/009

23 CO MENT ÁRI O Prova muito boa, mantendo a tradição. Apenas uma ressalva: na questão número 9, confunde-se matriz de ordem com o seu elemento. ITA/008