ITA 2011/2012 GABARITO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA. Professores:

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1 ITA 011/01 GABARITO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA Professores: Daniel Fadel Diego Alecyr Dilmer Silva Fabio Dias Moreira Guilherme Calderano Jaime Barizon Jordan Piva Jorge Henrique Craveiro Marcelo Damasceno Mariana Venancia Matheus Secco Moyses Cohen Rodrigo Villard Rômulo Garcia MATEMÁTICA

2 ITA 011/01 ANOTAÇÕES

3 Questões Objetivas MATEMÁTICA NOTAÇÕES : conjunto dos números naturais : conjunto dos números reais + : conjunto dos números reais não negativos i: unidade imaginária; i = 1 P(A): conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A n(a): número de elementos do conjuntos finito A AB : segmento de reta unindo os pontos A e B AB : arco de circunferência de extremidades A e B arg z: argumento do número complexo z [a,b] = {x : a x b} A B = { x : x A e x B} A C : complementar do conjunto A n k = 0 a x k k = a 0 + a 1 x + a x a n x n, n Obs.: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares. Questão 1 Deseja-se trocar uma moeda de 5 centavos, usando-se apenas moedas de 1, 5 e 10 centavos. Então, o número de diferentes maneiras em que a moeda de 5 centavos pode ser trocada é igual a: (A) 6. (D) 1. (B) 8. (E) 1. (C) 10. Gabarito: Letra A. Temos as seguintes possibilidades: Logo, temos 1 possibilidades

4 ITA 011/01 Questão Dois atiradores acertam o alvo uma vez a cada três disparos. Se os dois atiradores disparam simultaneamente, então a probabilidade do alvo ser atingido pelo menos uma vez é igual a (A) 9. (D) 5 9. (B) 1. (E). (C) 9. Gabarito: Letra D. P (pelo menos uma vez) = 1 P (não ser atingido) P (não ser atingido) = P (atirador 1 não acertar e atirador não acertar) Supondo que são eventos independentes: P (não ser atingido) = P (atirador 1 não acertar). P (atirador não acertar) Sendo P (acertar) = 1 então, P (não acertar) = 1 1 = 5 Logo: P (pelo menos uma vez) = 1. = 1 =. 9 9 Questão Sejam z =n (cos 5 + i sen 5 ) e w=n(cos 15 + i sen 15 ), em que n é o menor inteiro positivo tal que (1 + i) n é real. Então, z w é igual a (A) + i. (B) ( + i). (C) ( + i). (D) ( i). (E) ( i). 6

5 Questões Objetivas Gabarito Letra B. z = n cis 5º w = n cis 15º z n cis 5º = = n cis (5º 15º ) z = n cis 0º w n cis 15º w n n n n (1 i) ( cis 5º ) ( ) cis (5º. n) ( ) [ cos (5º. n) i sen (5º. n)] + + Para ser o menor n, temos: 5º. n = 180º n =. z 1 Logo: = cis 0º = (cos 0º + i sen 0º ) = + i = + i w ( ) zero Questão Se arg z= π então um valor para arg ( iz) é π (A). (D). π π 7π (B). (E). (C) π. Gabarito Letra E Podemos usar que arg (w 1.w ) arg w 1 +arg w (mod π) Daí arg (( i)z) arg ( i) + arg z ( mod π) π π + (mod π) π 7 π (mod π ) 7

6 ITA 011/01 Questão 5 Sejam r 1, r e r números reais tais que r 1 r e r 1 + r + r são racionais. Das afirmações: I. Se r 1 é racional ou r é racional, então r é racional; II. Se r é racional, então r 1 + r é racional; III. Se r é racional, então r 1 e r são racionais. É (são) sempre verdadeiras(s): (A) apenas I (B) apenas II. (C) apenas III. (D) apenas I e II. (E) I, II e III. Gabarito: Letra E. I. r 1 e r 1 r r e r 1 r r 1 ou r r 1 e r r, pois r 1 + r + r. (V) II. Como (r 1 + r ) + r e r então r 1 + r. (V) III. Pelo item II, tem-se r 1 + r Como r 1 r, (r 1 + r ) + (r 1 r ) = r 1 e (r 1 + r ) (r 1 r ) = r. Assim, r 1 e r. (V) 8

7 Questões Objetivas Questão 6 As raízes x 1, x e x do polinômio p(x) = 16 + ax ( + )x + x estão relacionadas pelas equações: Então, o coeficiente a é igual a: (A) (1 ). (B) ( + ). (C) ( 1). (D) +. (E). x x 1 + x + = e x x x 1 = 0 Gabarito: Letra C. p(x) = 16 + ax ( + ) x + x Relações de Girard: + x 1 + x + x = 1 Resolvendo o sistema: x x1 + x + = x1 x x = 0 x1 + x + x = + ( ) x 1 + x + x = + Temos que x 1 =, x = e x =. Assim, a =. ( ) ( ) = = ( 1). 9

8 ITA 011/01 Questão 7 Sabe-se que (x + y, x 5y, 8x y, 11x 7y + z) é uma progressão aritmética com o último termo igual a 17. Então, o produto xyz é igual a: (A) 60. (D) 0. (B) 0. (E) 60. (C) 0. Gabarito: Letra A. Do enunciado temos: 11x 7y + z = 17 da PA, temos: (I) x 5y (x + y) = 17 (8x y) 10x 9y = 17 (II) x 5y x y = 8x y (x 5y) 10y + x = 0 Fazendo 10 (I) + 9 (II) : x = 10 y = Logo: 11x 7y + z = ( 10) 7() + z = 17 z = Finalmente, temos: x. y. z = ( 10).().() = 60 Questão 8 Considere um polinômio p(x), de grau 5, com coeficientes reais. Sabe-se que i e i são duas de suas raízes. Sabe-se, ainda, que dividindo-se p(x) pelo polinômio q(x) = x 5 obtém-se resto zero e que p(1) = 0(5 + ). Então, p( 1) é igual a: (A) 5(5 ). (D) 5(5 ). (B) 15(5 ). (E) 50(5 ). (C) 0(5 ). Gabarito: Letra C. (i) p(x) de coeficientes reais, então: i é raiz i é raiz i é raiz i é raiz (ii) p(x) é divisível por x 5 5 é raiz Logo, p(x) = a (x i) (x+i) (x (i ))(x ( i ))(x 5) } } } (x+ i) (x+ +i) p(x)= a (x² + ) ((x+ )²+1)(x 5). Fazendo x = 1: p(1)=a(5)(5+ ) ( ) = 0 (5+ ) a= 1. Assim, p( 1)=( 1).5.(5 )( 6) =0 (5 ). 10

9 Questões Objetivas Questão 9 1 Um triângulo ABC tem lados com medidas a = cm, b = 1 cm e c = cm. Uma circunferência é tangente ao lado a e também aos prolongamentos dos outros dois lados do triângulo, ou seja, a circunferência é ex- -inscrita ao triângulo. Então, o raio da circunferência, em cm, é igual a: (A) + 1 (D) (B) (E) + (C) + 1 Gabarito: Letra A. 1 Veja que os lados do ABC obedecem à relação pitagórica: + = 1, logo é retângulo em B. Seja O o centro do círculo mencionado, e M e N os pontos de tangência sobre os lados BC e AB, respectivamente. Veja que #MONB é um quadrado, e AN é igual ao semiperímetro de ABC, logo BN = MO = R, e AN = R = 1+ +, logo R =

10 ITA 011/01 Questão 10 Sejam A= (0,0), B = (0,6) e C = (,) vértices de um triângulo. A distância do baricentro deste triângulo ao vértice A, em unidades de distância, é igual a: (A) 5. (D) (B) (C) (E) Gabarito: Letra B.. A + B + C G = =,, = AG = 0 ( 0) 9 + = + = = 9 9 1

11 Questões Objetivas Questão 11 A área do quadrilátero definido pelos eixos coordenados e as retas r : x y + = 0 e s: x + y 1 = 0, em unidades de área é igual a: (A) 19. (D) 7. (B) 10. (E) 9. (C) 5. Gabarito: Letra D x r : y = + 1 s :y = x + 1 XP 10 P = r s: + 1= XP + 1 XP = 0 XP = 6 YP = Daí, P = ( 6,). 1 P Então a área é dada pela soma do trapézio e do triângulo. A saber: 1 ( + 1)6.1 7 Área = + = 1+ = u.a

12 ITA 011/01 Questão 1 Dados os pontos A = (0,0), B = (,0) e C = (1,1), o lugar geométrico dos pontos que se encontram a uma distância d = da bissetriz interna, por A, do triângulo ABC é um par de retas definidas por: (A) r 1, : y x ± + = 0. (B) r 1, : y x ± 10 + = 0. (C) r 1, : y x ± 10 + = 0. (D) 1, ( ) (E) 1, ( ) r : + 1 y x ± + = 0. r : + 1 y x ± + = 0. Gabarito: Letra E Veja que o ABC é retângulo isósceles em C, logo  = 5. A A equação da bissetriz interna por A é dada por y = tg x, A ou seja, r: tg x y 0 = Queremos o LG dos P (x,y) para os quais dist (P, r ) = : A tg x y = A, logo tg + 1 Como A A tg x y = ± sec A 5 A 5 tg = tg = 1, e sec = sec =, temos a equação do LG pedido: ( ) r 1, : 1 x y ± = 0. Para que o coeficiente de x seja 1, como nas respostas, basta multiplicar as equações por ( + 1), obtendo: ( ) r 1, : + 1 y x ± + = 0. 1

13 Questões Objetivas Questão 1 Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U. Das afirmações: I. (A \ B C ) \ C C = A (B C); II. (A \ B C ) \ C = A (B C C ) C ; III. B C C C = (B C) C. é (são) sempre verdadeira(s) apenas: (A) I. (B) II. (C) III. (D) I e III. (E) II e III. Gabarito: Letra C. Usaremos as conhecidas leis de De Morgan: (X Y) C = X C Y C e (X Y) C = X C Y C Além disso, também usaremos que: X Y = X Y C I. (A B C ) C C = (A (B C ) C ) (C C ) C = (A B) C = A B C que não é sempre igual a A (B C). (F) II. Analogamente, (A B C ) C = A B C C O lado direito é A (B C C ) C = A (B C C) = A B C C. Esses conjuntos não são sempre iguais. (F) III. É uma das leis de De Morgan. (V) Observações:. Para perceber que I e II são falsos, é possível gerar contra-exemplos.. Demonstração do item III: x (B C) C x B C x B ou x C x B C ou x C C x B C C C. Logo, (B C) C = B C C C. 15

14 ITA 011/01 Questão 1 Sejam A e B dois conjuntos disjuntos, ambos finitos e não vazios, tais que n (P(A) P(B))+1=n (P(A B)). Então, a diferença n (A) n (B) pode assumir: (A) um único valor. (B) apenas dois valores distintos. (C) apenas três valores distintos. (D) apenas quatro valores distintos. (E) mais do que quatro valores distintos. Gabarito: Letra A. Como A e B são disjuntos, temos que P(A) P( )={ } e n (A B)=n(A)+n(B). Assim, temos: n(p(a) P(B)) = n(p(a)) + n(p(b)) n(p(a) P(B)) = n(a) + n(b) 1. Assim, n(a) + n(b) = n(a B) = n(a)+n(b). Sendo n(a)=x e n(b)=y, temos: x + y = x+y y = x ( y 1). Como B é não vazio, y 1 é ímpar, logo: y 1 = 1. Então y=1. Daí, = x x=1. Logo, n(a) n(b) = 1 1 = 0. 16

15 Questões Objetivas Questão 15 Considere um número real a 1 positivo, fixado, e a equação em x a x + βa x β = 0, β Das afirmações: I. Se β < 0, então existem duas soluções reais distintas; II. Se β = 1, então existe apenas uma solução real; III. Se β = 0, então não existem soluções reais; IV. Se β > 0, então existem duas soluções reais distintas, é (são) sempre verdadeira(s) apenas (A) I. (B) I e III. (C) II e III. (D) II e IV. (E) I, III e IV. Gabarito: Letra C. Seja a x = t Então, t + βt β = 0 e t > 0 Temos = β + β I. Se β < 0, podemos ter < 0 (por exemplo, para β = 1/) e, portanto, a equação pode não admitir raízes reais. (F) II. Se β = 1, temos t t + 1 = 0 t = 1 a x = 1 x = 0 e, portanto, a equação possui apenas uma solução real. (V) III. Se β = 0, temos t = 0 t = 0, absurdo, pois t > 0 e, portanto, a equação não possui soluções reais. (V) IV. Se β > 0, temos > 0, mas o produto das raízes é β < 0, o que garante a existência de uma solução t > 0 e uma solução t <0. Assim, a equação admite apenas uma solução real. (F) 17

16 ITA 011/01 Questão 16 x x x x e e e e π Seja S = x arc sen + arccos =. Então: (A) S =. (B) S = {0}. (C) S = + \ {0}. (D) S = +. (E) S =. Gabarito: Letra B. x x e e x x e e π arc sen + arc cos = x x e e x x θ = arc sen e e = sen θ x x e e x x e + e α = arc cos = cos α sen θ + cos α = 0 π α + θ = π sen θ + cos θ = 0 sen θ = 0 sen θ = 0 Logo, x x e e = 0 e x = e x e x = 1 x = 0 x = 0 18

17 Questões Objetivas Questão 17 Seja x [0,π] tal que sen(x) cos(x) =. Então, o produto e a soma de todos os possíveis valores de tg(x) são, respectivamente: 5 (A) 1 e 0. (B) 1 e 5. (C) 1 e 0. (D) 1 e 5. (E) 1 e 5. Gabarito: Letra B. sen x. cos x = 5 sen x cos x = 5 sen (x) = 5. Como sen x = tg x, temos : t =, onde t = tg x 1 + tg x 1 + t 5 Então: t 10t + = 0 t 5t + = 0 t = ou t = 1 Então, a soma é + 1 = 5 e o produto é. 1 = 1 19

18 ITA 011/01 A soma Questão 18 n cos ( α + kπ ), para todo α 0,π ], vale: k= 0 (A) cos (a) quando n é par. (B) sen (a) quando n é ímpar. (C) cos (a) quando n é ímpar. (D) sen (a) quando n é par. (E) zero quando n é ímpar. Gabarito: Letra E. n Seja S= cos ( α + kπ ). Esta soma possui n+1 termos. k= 0 S= cos α + cos( α+ π ) cos( α+n π ). Como cos x +cos( x + π )=0, x, se n for ímpar ( n +1 par), temos S= 0; se n for par ( n +1 ímpar), temos S= cos α. 0

19 Questões Objetivas Questão 19 Um cone circular reto de altura 1 cm e geratriz cm é interceptado por um plano paralelo à sua base, sendo determinado, assim, um novo cone. Para que este novo cone tenha o mesmo volume de um cubo de aresta π (A) 1. 1/ cm, é necessário que a distância do plano à base do cone original seja, em cm, igual a (B) 1. (C) 1. (D). (E). Gabarito: Letra D. (1 x) x 1 π π O volume de um cubo cuja aresta é é. Seja V o volume do cone maior. π 1 x 1 Como os cones são semelhantes, = π (1 x). 1 = V V 1 Como =1 + R, temos R = 1 1 π Então V = π..1 = cm 9 π Assim, (1 x) =. = 1 x = x =. π 7 1 1

20 ITA 011/01 Questão 0 A superfície lateral de um cone circular reto é um setor circular de 10º e área igual a π cm. Área total e o volume deste cone medem, em cm² e cm³, respectivamente π (A) π e. (B) π π e. (C) π e π. (D) π π e. (E) π e π Gabarito: Letra A h g g 10 g r 10º Área lateral = g g=cm 60º π = π. Por outro lado, essa área lateral é igual a πrg. Portanto, π r = π r = 1cm. Daí, a área total é igual a πr +π = π+π = π cm e o volume é igual a π r h = π r g r = π = π cm

21 Questões Discursivas Questão 1 Dez cartões estão numerados de 1 a 10. Depois de embaralhados, são formados dois conjuntos de 5 cartões cada. Determine a probabilidade de que os números 9 e 10 apareçam num mesmo conjunto. Gabarito: 1 a Solução * Em qualquer situação, a carta 9 ocupará uma posição acima. Daí, das 9 posições restantes, estão no mesmo grupo dos 9. Portanto, há de probabilidade de o 10 ficar no mesmo grupo do 9. 9 Resposta: 9. Gabarito: a Solução Sejam A 1 o primeiro conjunto e A o segundo conjunto. O número de casos possíveis é escolhermos A 1, A já está determinado. 10, pois ao 5 Para o número de casos favoráveis, devemos decidir se 9 e 10 estarão am A 1 ou A e feito isso, devemos 8 escolher os três elementos restantes do conjunto onde estão 9 e 10, o que pode ser feito de maneiras. 8 Assim, o número de casos favoráveis é.. (O fator vem da determinação de onde estarão 9 e 10). 8 8!.. Logo, a probabilidade é! 5! = = ! 9 5 5! 5! Questão Determine os valores reais de x de modo que sen(x) cos(x) seja máximo. Gabarito: 1 Temos que sen (x) cos (x) =. sen (x). cos (x) = π π π = cos. sen (x) sen. cos (x) sen x. = π π Como 1 sen x 1, temos que sen x, donde o valor máximo da expressão é, que ocorre π π π 5π 5π quando sen x 1 x k (k ) x k (k ) x k, (k ). = = + π = + π = + π 6 1

22 ITA 011/01 Questão Considere a matriz quadrada A em que os termos da diagonal principal são 1, 1 + x 1, 1 + x,..., 1 + x n e todos os outros termos são iguais a 1. Sabe-se que (x 1, x,..., x n ) é uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 1 e a razão é. Determine a ordem da matriz A para que o seu determinante seja igual a 56. Gabarito: det A = x x 1 1 Chió x = = x 1. x..... x n = x n x n n ( n 1) n n ( n 1) n 1 n n 8 = x 1. q =. = =, onde q é a razão da PG. Logo, n n = 8, ou seja n = ou n =. Como n, então n =. A ordem da matriz é n + 1 = 5.

23 Questões Discursivas Questão Seja n um número natural. Sabendo que o determinante da matriz 1 n log log n A = n + 5 log log 1 5 log5 log é igual a 9, determine n e também a soma dos elementos da primeira coluna da matriz inversa A 1. Gabarito: 1 n log log n 1 1 n A = n 5 log log n 5 n 5 + = log5 log Fazendo C 1 C 1 C C, temos: n 1 1 n 5 det A = det 0 n 5 = n.det = n n + 15 Laplace 0 1ª coluna ( ) ( )( ) 1 Como det A = 9, teremos (n ) ( n + 15) = 9 n + 19n 9 = 0 n = ou n = Mas n, donde n =. 1 1 a Assim, A = 8 5. Seja b a primeira coluna de A 1. 5 c Como AA -1 = I, temos: a + b+ c= 1 8a + b + 5c= 0 ( a,b,c) = ( 1, 1, 1 ). 5a b c = 0 Logo, a soma dos elementos da 1 a coluna é 1. 5

24 ITA 011/01 Questão 5 Em um plano estão situados uma circunferência ω de raio cm e um ponto P que dista cm do centro de ω. Considere os segmentos PA e PB tangentes a ω nos pontos A e B, respectivamente. Ao girar a região fechada delimitada pelos segmentos PA e PB e pelo arco menor AB em torno de um eixo passando pelo centro de ω e perpendicular ao segmento PA, obtém-se um sólido de revolução. Determine: (A) A área total da superfície do sólido. (B) O volume do sólido. Gabarito: Seja O o centro de ω, então AO = cm, PO = cm e PÂO = 90º, logo PA = PB = cm. Veja que #PAOB é um quadrado. P A. O sólido descrito pelo enunciado é um cilindro menos um hemisfério, obtidos pela rotação de PB e AB em torno de AO. (A) A área total da superfície é a soma da área de uma base do cilindro, sua área lateral, e a área do hemisfério: B o πr = π + π + = π. = π. + π.. + = 0π cm Ssup r rh eixo (B) O volume é a diferença entre o volume do cilindro e o volume do hemisfério: π r 8 π V = πr h = π... π. = cm 6

25 Questões Discursivas Questão 6 As interseções das retas r : x y + = 0, s : x + y 7 = 0 e t : x + 7y 7 = 0, duas a duas, respectivamente, definem os vértices de um triângulo que é a base de um prisma reto de altura igual a unidades de comprimento. Determine: (A) a área total da superfície do prisma; (B) o volume do prisma. Gabarito: x y + = 0 A = r s : x + y 7 = 0 y = x = A(,) x + y 7 = 0 B = s t : x + 7y 7 = 0 A B C A y = 0 x = 7 B(7,0) x y 0 C = r + = t : x + 7y 7 = 0 B y = 1 x = 0 C(0,1) C Assim: d(a,b) = 16 + = 5 d(a,c) = = 10 d(b,c) = = (A) = = 10 A base =. = 5 u.a. 0 1 A total = ( ) u.a. = (B) Vol = A base. h = 5. = 10 u.v. 7

26 ITA 011/01 Questão 7 Dos n alunos de um colégio, cada um estuda pelo menos uma das três matérias: Matemática, Física e Química. Sabe-se que 8% dos alunos estudam Matemática, % estudam Química e 6% estudam Física. Sabe-se ainda, que 8% dos alunos estudam apenas Física e Matemática, enquanto % estudam todas as três matérias. Os alunos que estudam apenas Química e Física mais aqueles que estudam apenas Matemática e Química totalizam 6 estudantes. Determine n. Gabarito: No diagrama, coloquemos as porcentagens de alunos em cada conjunto: M F M dos que estudam Matemática, F os de Física e Q os de Química. Seja x a porcentagem de alunos que só estudam Física e Química, e y a dos que só estudam Matemática e Química. Pelo enunciado, temos que os 6 y 8 x que só estudam Matemática são 6 y e os que só estudam Física são x. Dado que cada aluno estuda alguma das três matérias, a soma y x das porcentagens deve ser 100, logo os que estudam apenas Química são 8%. Como os que estudam Química são %, temos que + y + x + 8 =, logo x + y = 0%. 8 Mas aí 6 estudantes correspondem a zero por cento dos n alunos! A situação descrita pelo enunciado é impossível, ou ainda, não existe n natural para o qual o enunciado é satisfeito. Q Questão 8 Analise se ƒ:, ƒ (x) = Gabarito: A função ƒ é dada por ƒ(x) = + < x, x 0 x, x 0 é bijetora e, em caso afirmativo, encontre ƒ 1 :. g(x), se x 0, onde g(x) = + x e h(x) = x. h(x), se x < 0 g Veja que os gráficos de g e h são parábolas de mesmo vértice: y ƒ h Logo o gráfico de ƒ é x 8

27 Questões Discursivas Então, é fácil ver que ƒ é bijetora, pois toda reta horizontal corta seu gráfico exatamente 1 vez. 1 g (x), se x Além disso, podemos ver que ƒ 1 (x) = 1. h (x), se x < Inversa de g: Inversa de h: y = x + (x 0) x = ± y = 1 g (y) y y = x (x < 0) x = ± y x = y = 1 h (y) y x, se x 1 Logo, f (x) = x, x < Questão 9 Determine os valores de θ [0, π] tais que log tg(θ) e sen(θ) 0. Gabarito π sen π 0 cos 5π Restrições: tgθ 1 e tgθ > Daí, θ 0, π π, π, π π, π. π π Dividimos em casos: 1 o caso: θ π 5, π, Aqui tem-se tgθ > 1 senθ Então, logtgθe 0 = logtgθ1 base > 1 e senθ 1 = e 0 sen θ 0 π π Dos valores no intervalo analisado, a solução é S 1 =, 9

28 ITA 011/01 o caso: θ π 5π 0, π, Aqui, tem-se tgθ < 1. Então, log e tgθ 0 = logtg θ1 e senθ 1 = e 0 sen θ 0 base < 1 5π Dos valores no intervalo analisado, a solução é S = π, π π 5π Então, S = S1 S =, π,. Questão 0 As retas r 1 e r são concorrentes no ponto P, exterior a um círculo ω. A reta r 1 tangencia ω no ponto A e a reta r inercepta ω nos pontos B e C diariamente opostos. A medida do arco AC é 60 e PA mede cm. Determine a área do setor menor de ω definido pelo arco AB. Gabarito: r 1 A ω r B C P r Como A é ponto de tangência, OA é perpendicular a PA. AC = 60º AÔC = 60º. No triângulo OAP, temos: tan60º = r = r Como AÔB = 10º, a área do menor setor definido por AB é 10º. r² 1.. π π = π = cm². 60º 9 Comentários Finais: A prova de Matemática deste ano foi, como sempre, bastante abrangente. Podemos dizer, também, que a prova foi um pouco mais fácil que as dos anos anteriores, mas isso não comprometeu em nada a reconhecida qualidade deste concurso. Parabenizamos, então, a banca de Matemática do vestibular do ITA pela prova deste ano. 0