o anglo resolve a prova de Matemática do ITA

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1 o anglo resolve a prova de Matemática do ITA Código: 880 É trabalho pioneiro. Prestação de serviços com tradição de confiabilidade. Construtivo, procura colaborar com as Bancas Examinadoras em sua tarefa de não cometer injustiças. Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o estudante no processo de aprendizagem, graças a seu formato: reprodução de cada questão, seguida da resolução elaborada pelos professores do Anglo. No final, um comentário sobre as disciplinas. O Instituto Tecnológico de Aeronáutica ITA é uma escola de engenharia mundialmente conhecida. Com o mesmo zelo com que trata seus excelentes cursos (Engenharia Aeronáutica, Engenharia Mecânica Aeronáutica, Engenharia de Infra-Estrutura Aeronáutica, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação), trata seu vestibular, que é realizado em dias: º dia: FÍSICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. º dia: PORTUGUÊS, com 0 questões de múltipla escolha, questões dissertativas e uma redação, e INGLÊS, com 0 questões de múltipla escolha. º dia: MATEMÁTICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. º dia: QUÍMICA, com 0 questões de múltipla escolha e 0 questões dissertativas. Só é corrigida a parte dissertativa do candidato que obtém, nas questões de múltipla escolha, nota igual ou superior a 0 (na escala de 0 a 00) e média aritmética igual ou superior a 0 (na escala de 0 a 00). A prova de Inglês é eliminatória e não entra na classificação final. Em Matemática, Física e Química, as questões de múltipla escolha equivalem a 0% do valor da prova, e a parte dissertativa, aos outros 0%. Na prova de Português, as questões de múltipla escolha equivalem a 0% do valor da prova, as dissertativas a 0% e a Redação a 0%. A nota final é a média aritmética das provas de Matemática, Física, Química e Português, com peso.

2 T T MA E M Á I CA NOTAÇÕES CI : conjunto dos números complexos. : conjunto vazio. QI : conjunto dos números racionais. A\B = {x A; x B}. IR : conjunto dos números reais. n(u): número de elementos do conjunto U. Z: conjunto dos números inteiros. P(A): coleção de todos os subconjuntos de A. IN = {0,,,, }. f o g: função composta de f com g. IN * = {,,, }. I: matriz identidade n n. i: unidade imaginária; i =. A : inversa da matriz inversível A. z = x + iy, x, y IR. A T : transposta da matriz A. z: conjugado do número z, z CI. det A: determinante da matriz A. z : módulo do número z, z CI. AB: segmento de reta unindo os pontos A e B. [a, b] = {x IR ;a x b}. AB: arco de circunferência de extremidades A e B. ]a, b[ = {x IR ;a x b}. m( AB): medida (comprimento) de AB. Questão Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0,,,,,, 6, 7, 8, 9}: I. U e n(u) = 0. II. U e n(u) = 0. III. U e {} U. IV. {0,,, } {} =. Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) A) apenas I e III. B) apenas II e IV. C) apenas II e III. D) apenas IV. E) todas as afirmações. Da veracidade das proposições: P: n (U) = 0 P: U P: U, U P: U e {} U P: {0,,, } {} = {}, podemos concluir que apenas as afirmações II e III são verdadeiras. Resposta: C Questão Seja o conjunto S = {r QI :r 0 e r }, sobre o qual são feitas as seguintes afirmações: 7 I. S e S. II. {x IR :0 x } S =. III. S. ITA/00

3 Pode-se dizer, então, que é (são) verdadeira(s) apenas A) I e II D) I B) I e III E) II C) II e III Da veracidade das proposições: P : Qe 0 e P : 7 Qe 7 P: {x IR: 0 x } S = S e S P: Q S 7 0 e Podemos concluir que apenas a afirmação I é verdadeira. Resposta: D Questão Seja α um número real, com 0 α. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os valores de x tais que x α A) ], 0] [, + [ D)], 0[ B) ],0[ ], + [ E) ], + [ C) ]0, [ Com 0 e x IR, temos: x. α x x x x 0 x + x 0 x + x 0 x x 0 0 x x ]0, [ Resposta: C Questão Considere a função f: IR CI,f(x) = cosx + isenx. Então, x, y IR,o valor do produto f(x)f(y) é igual a A) f(x + y) D) f(xy) B) f(x + y) E) f(x) + if(y) C) if(x + y) f(x) f(y) = (cosx + isenx) (cosy + iseny) = [cos (x + y) + isen (x + y)] = f(x + y) Resposta: B ITA/00

4 Questão Considere pontos distintos dispostos no plano, dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? A) 0 D) B) E) C) 0 C, C, = Resposta: A! 0! 9!! =!! Questão 6 Seja x IR e a matriz x x A = ( + ). Assinale a opção correta. x log A) x IR,A possui inversa. B) Apenas para x 0, A possui inversa. C) São apenas dois os valores de x para os quais A possui inversa. D) Não existe valor de x para o qual A possui inversa. E) Para x = log, A não possui inversa. Para A não possuir inversa, deta = 0. x log 0 x + = x = 0 (não existe x, x IR) ou log = x + = log (não existe x, x IR) x 0 x + Logo, deta 0 e, sendo assim, x IR,A possui inversa. Resposta: A Questão 7 Considerando as funções arc sen : [, + ] [ p/, p/] e arc cos : [, + ] [0, p], assinale o valor de cos arcsen + arccos. 6 A) D) 7 B) E) C) ITA/00

5 Fazendo α = arcsen e β = arccos, temos: Assim: senα = Resposta: B e α π π, 6 9 cos( α + β) = cosα cos β senα senβ = = cos β = e β [ 0, π] senβ = cosα = 7 Questão 8 Considere um polígono convexo de nove lados, em que as medidas de seus ângulos internos constituem uma progressão aritmética de razão igual a º. Então, seu maior ângulo mede, em graus, A) 0 D) 0 B) 0 E) 60 C) 0 Sendo a o primeiro termo da progressão aritmética de razão º e a 9 a medida do ângulo pedido, do enunciado, temos: a 9 = a + 8 º a = a 9 0º () Ainda, ( a + a9) 9 = ( 9 ) 80º ( ) De () e (), temos: ( a9 0º + a9) 9 = 60º a9 = 60º Resposta: E Questão 9 O termo independente de x no desenvolvimento do binômio x x x é x A) 79 D) B) 97 E) C) 89 O Binômio se reduz a: x x6 ITA/00 6

6 O Termo geral é: Logo: p p p p p T = + x x p ( ) 6 p p p T = 6 8 x 6 P ( ) p 8 T = = 9 8 = 6 ( ) = Resposta: E = 0 p = 8 Questão 0 Considere as afirmações dadas a seguir, em que A é uma matriz quadrada n n, n : I. O determinante de A é nulo se e somente se A possui uma linha ou uma coluna nula. II. Se A = (a ij ) é tal que a ij = 0 para i j, com i, j =,,, n, então deta = a a a nn. III. Se B for obtida de A, multiplicando-se a primeira coluna por + e a segunda por, mantendo-se inalteradas as demais colunas, então detb = deta. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) A) apenas II. B) apenas III. C) apenas I e II. D) apenas II e III. E) todas. (I) Falsa; por exemplo, A = tem deta = 0 (II) Verdadeira; basta aplicarmos sucessivamente o teorema de Laplace. (III) Verdadeira; pois detb = ( + ) ( ) deta detb = deta. Resposta: D Questão Considere um cilindro circular reto, de volume igual a 60π cm,e uma pirâmide regular cuja base hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e que a área da base da pirâmide é de cm, então, a área lateral da pirâmide mede, em cm, A) B) C) D) E) 7 ITA/00 7

7 Do enunciado, temos a figura: V F E h h V vértice da pirâmide; O centro da base; h medida da altura do cilindro; l medida do lado do hexágono regular ABCDEF; VM apótema da pirâmide; OA = l. Devemos ter: l 6 = l = 6cm Ainda, π l h = 60π Substituindo l = 6, temos: π 6 h = 60π h = 0cm VO = 0cm No triângulo retângulo VOM, temos: (VM) = (VO) + (OM) (VM) = (0) + 6 A VM = Portanto a área lateral pedida é igual a 6 6 7, ou seja, 8 7 cm. Resposta: A B 7 O l C M D Questão π π O conjunto de todos os valores de α, α,, tais que as soluções da equação (em x) x 8 x + tgα = 0 são todas reais, é π A) D), 0 π π B), E) 0, π π π, C) π π, 6 6 Fazendo x = y, temos: y 8 y + tgα = 0 Nessa equação do º grau, as raízes devem ser maiores ou iguais a zero. Assim: tg α 0 ( ) 8 tg α 0 No intervalo dado no enunciado, temos, então: α 0, π. Resposta: D tg α 0 tg α ITA/00 8

8 Questão Sejam as funções f e g definidas em IR por f(x) = x + αx e g(x) = (x + βx), em que α e β são números reais. Considere que estas funções são tais que f g Valor mínimo Ponto de mínimo Valor máximo Ponto de máximo Então, a soma de todos os valores de x para os quais (fog)(x) = 0 é igual a A) 0 B) C) D) 6 E) 8 Do enunciado, temos: De α α 0 ef = α 0, temos α 0. ( ) De α f =, temos : α α = α = () De () e (), temos α = e, portanto, f(x) = x + x. Do enunciado, temos: β β 0 e g = β De 0, temos β 0 () β 9 De g =, temos : β β + = 9 9 β = 9 () De () e (), temos β = e, portanto, g(x) = (x x). f(g(x)) = 0 [g(x)] + g(x) = 0 g(x) [g(x) + ] = 0 g(x) =0 ou g(x) + = 0 x x = 0 ou x + x + = 0 As raízes de x x = 0 são 0 e. As raízes de x + x + = 0 são reais (pois o discriminante é positivo), e sua soma é igual a. Portanto a soma de todas as raízes é igual a 6. Resposta: D ITA/00 9

9 Questão Considere todos os números z = x + iy que têm módulo 7 e estão na elipse x + y =. Então, o produto deles é igual a A) D) 9 7 B) 9 6 E) C) 8 Sendo x e y reais, temos: z = 7 z = 7 7 x y + = Resolvendo o sistema: 7 x + y =, obtemos os pares x + y =,,,,,, e 9 O produto dos números é. + i, i, + i e i 6 Resposta: B Questão Para algum número real r, o polinômio 8x x x + é divisível por (x r). Qual dos números abaixo está mais próximo de r? A),6 D), B), E), C), Da divisibilidade de 8x x x + por (x r), podemos concluir que pelo menos duas das três raízes são iguais a r. Sendo s a outra raiz, temos: r + r + s = ( ) 8 r r + r s + r s = r r s = 8 Resolvendo o sistema r + s = r + rs = r s =, 8 8 Obtemos r = e s = Entre os números dados, aquele que está mais próximo de r é,. Resposta: B ITA/00 0

10 Questão 6 Assinale a opção que representa o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano que satisfazem a equação A) Uma elipse. D) Uma hipérbole. B) Uma parábola. E) Uma reta. C) Uma circunferência. Devemos ter: x + y x y 0 6 = 0 ( ) (+) x + y x y det = = x + y x y 88 Aplicando o Teorema de Laplace e desenvolvendo, temos: 8x + 8y 7x 08y 6 = 0 ( 8) x + y x 6y = 0 (x ) + (y ) = Logo, o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano é a circunferência de centro (, ) e raio. Resposta: C Questão 7 A soma das raízes da equação z + z z + z = 0, z CI,é igual a A) D) B) E) C) 0 Lembrando que z = z z, para todo z, z C, temos: z + z z z + z = 0 z(z + z z + ) = 0 z = 0 ou z + z z + = 0 Sendo z = x + yi, com x e y reais, temos de z + z z + = 0 que: (x + yi) + x + yi (x yi) + = 0 x + xyi y + x + yi x + yi + = 0 (x y + ) + y(x + )i = 0 Resolvendo o sistema: x y + = 0, obtemos os pares (, ) e (, ). y( x + ) = 0 Portanto as raízes da equação proposta são os números 0, + i e i. A soma desses números é. Resposta: A ITA/00

11 Questão 8 Dada a equação x + (m + )x + (m + 9)x + 9 = 0, em que m é uma constante real, considere as seguintes afirmações: I. Se m ] 6, 6 [, então existe apenas uma raiz real. II. Se m = 6 ou m = +6, então existe raiz com multiplicidade. III. m IR, todas as raízes são reais. Então, podemos afirmar que é (são) verdadeira(s) apenas A) I B) II C) III D) II e III E) I e II Sendo p(x) = x + (m + )x + (m + 9)x + 9, temos: p(x) = x + x + mx + mx + 9x + 9 p(x) = x (x + ) + mx (x + ) + 9(x + ) p(x) = (x + )(x + mx + 9). O discriminante de q(x) = x + mx + 9 é = m 6. Com 6 m 6, temos 0 e, nesse caso, q(x) = 0 não admite raízes reais; é a única raiz real de p(x) = 0. Com m = 6, temos q(x) = x 6x + 9 = (x ). Nesse caso, é raiz dupla de p(x) = 0. Com m = 6, temos q(x) = x + 6x + 9 = (x + ). Nesse caso, é raiz dupla de p(x) = 0. Resposta: E Questão 9 Duas circunferências concêntricas C e C têm raios de 6cm e 6 cm, respectivamente. Seja AB uma corda de C, tangente à C.A área da menor região delimitada pela corda AB e pelo arco AB mede, em cm, A) 9(π ) B) 8(π + ) C) 8(π ) D) 8(π + ) E) 6(π + ) Do enunciado, temos a figura, onde C é o centro das circunferências, T é ponto de tangência e S é a área da região a ser calculada: A T S C C C α α B CT = 6cm CA = CB = 6 cm No triângulo retângulo CTB, temos: CT 6 cosα = cosα = cos α = CB 6 α = º ITA/00

12 Logo: S = ( 6 ) π 6 6 S = 8 π 6 S = 8 ( π ) cm Resposta: C Questão 0 A área total da superfície de um cone circular reto, cujo raio da base mede Rcm, é igual à terça parte da área de um círculo de diâmetro igual ao perímetro da seção meridiana do cone. O volume deste cone, em cm,é igual a A) πr B) C) D) E) π R π π π R R R Do enunciado, temos a figura: V g h g V vértice do cone; O centro da base; h medida da altura do cone; R medida do raio da base do cone; g medida da geratriz do cone; A R O R B Devemos ter: π R + π R g = π (R + g) πr(r + g) = π (R + g) R = g + R g = R () No triângulo retângulo VOA, temos: (VO) + (OA) = (VA) h + R = (R) h = R Sendo V o volume pedido, temos: V = π R R πr πr V = V = Resposta: E ITA/00

13 As questões dissertativas, numeradas de a 0, devem ser resolvidas e respondidas no caderno de soluções. Questão Seja A um conjunto não-vazio. a) Se n(a) = m, calcule n(p(a)) em termos de m. b) Denotando P (A) = P(A) e P k + (A) = P(P k (A)), para todo número natural k, determine o menor k, tal que n(p k (A)) 6000, sabendo que n(a) =. a) Sendo n(a) = m, podemos afirmar que o número de subconjuntos de A, isto é, o número de elementos de P(A) é dado por: m m m n(p(a)) = = m 0 m Resposta: m b) n(a) = n(p(a)) = = n(p (A)) = = 6 n(p (A)) = 6 = 66. Portanto n(p (A)) Resposta: Questão Uma caixa branca contém bolas verdes e azuis, e uma caixa preta contém bolas verdes e azuis. Pretende-se retirar uma bola de uma das caixas. Para tanto, dados são atirados. Se a soma resultante dos dois dados for menor que, retira-se uma bola da caixa branca. Nos demais casos, retira-se uma bola da caixa preta. Qual é a probabilidade de se retirar uma bola verde? Jogando-se dados, o evento soma dos pontos menor que é {(, ), (, ), (, )}. A probabilidade da soma menor que é então = 6. Do enunciado, temos: soma sair bola soma sair bola menor e verde da ou maior ou e verde da que caixa branca igual a caixa preta 89 P = + P = 8 80 Resposta: Questão Determine os valores reais do parâmetro a para os quais existe um número real x satisfazendo x a x. Sendo x e y números reais, tais que y = x, temos x, y 0 e x + y =. Nessas condições, os pares (x, y) podem ser representados pela semicircunferência na figura a seguir. ITA/00

14 y T 0 x (r) Nessa figura, temos, também, o conjunto de todas as retas de equação y = a x, a IR, de modo que a inequação x a x admita pelo menos uma solução real. A equação da reta (r), tangente à semicircunferência no ponto T e de coeficiente angular igual a, é dada por y = x. Portanto, a inequação x a x admite soluções reais se, e somente se, a. Resposta: a Questão 60 + i n 60 Sendo z =, calcule z = z + z + z z. n= z = + i z = cos π + isen π Sendo S a soma dos termos da progressão geométrica (z,z,z,,z 60 ), temos: Temos: 60 zz ( ) z z S = e S = 60 z z z = 60 60π 60π z = cos + isen z 60 = cos(π) + isen(π) z 60 = z 60 = z 60 = z = + i z = z + = Logo, S = S = + Resposta: + ITA/00

15 Questão Para b e x 0, resolva a equação em x: (x) log b (x) log b = 0. Sendo log b = r e log b = s, temos: (x) r = (x) s log b (x) r = log b (x) s r (log b + log b x) = s (log b + log b x) r + r log b x = s + s log b x (r s) log b x = s r (r s) log b x = (r s) (r + s) Como r s 0, temos log b x = (r + s) log b x = (log b + log b ) log b x = log b 6 x = Resposta: 6 6 Questão 6 Considere a equação x + x x + d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0, [? Sendo r, 0 r, a raiz dupla e s a raiz simples de x + x x + d = 0, temos: r + r + s = () r r + r s + r s = () r r s = d () Da igualdade (), temos s = r e, substituindo em (), resulta: r + r( r ) = r 6r + = 0. ± Resolvendo essa equação, obtemos r =. + Como 0 r, temos r =. s = r 6 s = s = Da igualdade (), temos d = r s + d = d = Resposta: ITA/00 6

16 Questão 7 Prove que, se os ângulos internos α, β e γ de um triângulo satisfazem a equação sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 0, então, pelo menos, um dos três ângulos α, β ou γ é igual a 60º. β + γ α α + β + γ = 80º = 70º Assim: sen(α) + sen(β) + sen(γ) = 0 + sen α α + sen β γ β cos cos γ = 0 Substituindo: β + γ α α β γ cos cos cos cos = 0 α β + γ β γ cos cos + cos = 0 α β γ cos cos cos = 0 α β γ cos cos cos = 0 Assim, α = 60º ou β = 60º ou γ = 60º. c.q.d. sen β + γ = cos α cos β + γ = sen α Questão 8 Se A é uma matriz real, considere as definições: I. Uma matriz quadrada A é ortogonal se e só se A for inversível e A = A T. II. Uma matriz quadrada A é diagonal se e só se a ij = 0, para todo i, j =,..., n, com i j. Determine as matrizes quadradas de ordem que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais. Seja A uma matriz diagonal de ordem : a 0 0 A = 0 b c Como A deve ser diagonal e ortogonal: A = A t = A, com a b c 0. Assim: A A = I A A = I a 0 0 a b 0 0 b c 0 0 c = 0 0 ITA/00 7

17 a b 0 = c 0 0 Logo, a = ±, b = ± e c = ± Portanto as oito matrizes quadradas de ordem que são, simultaneamente, diagonais e ortogonais são todas do tipo: a b 0, com a, b, c {, } 0 0 c Resposta: a b 0, com a, b, c {, } 0 0 c Questão 9 Sejam r e s duas retas que se interceptam segundo um ângulo de 60º. Seja C uma circunferência de cm de raio, cujo centro O se situa em s, a cm de r. Determine o raio da menor circunferência tangente à C e à reta r, cujo centro também se situa na reta s. Do enunciado, temos a figura, na qual R é a medida do raio pedido: P T 60º R A 60º R S R B r r r // r OS = OB = R V R O C s No triângulo retângulo ABO, temos: sen60º = BO AO = R + R 0 ( ) R = + ( ) R = 9 6 Resposta: ( 9 6 ) cm ITA/00 8

18 Questão 0 Sejam os pontos A: (, 0), B: (, 0) e P: (, + ). a) Determine a equação da circunferência C, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos A e B e é tangente ao eixo y. b) Determine as equações das retas tangentes à circunferência C que passam pelo ponto P. a) Do enunciado, temos a figura: y C T D D centro da circunferência C; T ponto de tangência. O A E B x Devemos ter: xa + xb + xd = xd = xd = Logo, o raio da circunferência C tem medida DT = EO = AD =. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo AED, temos: (ED) + (AE) = (AD) (ED) + = ED = Assim, o ponto D tem coordenadas (, ). Portanto uma equação pedida é: (x ) + ( y ) = 9 Resposta: (x ) + ( y ) = 9 b) Do enunciado e do item anterior, temos a figura: + y s P r β F T α D α G r e s retas tangentes; F e G pontos de tangência; ED =, PD = e FD =. α 80 α O A E B α x ITA/00 9

19 Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo PFD, temos: (PF) + (FD) = (PD) (PF) + = PF = Ainda nesse triângulo, PF tg α = ou seja tg FD,, α =. Logo, o coeficiente angular da reta r é tg α = e o coeficiente angular da reta s é tg ( 80º α ) =. Portanto uma equação da reta r é y ( + ) = ( x ), ou seja, y = x + + e uma equação da reta s é y ( + ) = ( x ), ou seja, y = x Resposta: y = x + + e y = x ITA/00 0

20 CO MENT ÁRI O Uma bela prova, com questões abrangentes e conceituais. Examina conhecimentos específicos e exige dos candidatos criatividade, iniciativa e capacidade de análise dos dados na interpretação dos textos. Parabéns à banca examinadora. ITA/00

21 NI C IDÊNCI A ASSUNTO Trigonometria Teoria dos Conjuntos Probabilidade Números Complexos Matriz Logaritmo Inequação Exponencial Geometria Plana Geometria do Espaço Geometria Analítica Função Equações Polinomiais Determinante Binômio de Newton Análise Combinatória Álgebra Nº DE QUESTÕES ITA/00

22 Errata A resolução da questão nº 8 da Prova de Inglês do ITA, do dia 0//00, nos conduz à alternativa D.Por engano, foi assinalada a B. ITA/00