Questão 1. alternativa A

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1 NOTAÇÕES C: conjunto dos números compleos R: conjunto dos números reais Z: conjunto dos números inteiros N {0,,,, } N {,,, } z: conjugado do número z C i: unidade imaginária; i arg z: um argumento de z C \ {0} [a, b] { R; a b} ]a, b[ { R; a < < b} : conjunto vazio A \ B { A; B} X C U \ X, para X U, U I: matriz identidade n n A : inversa da matriz inversível A A T : transposta da matriz A AB: segmento de reta unindo os pontos A e B m(ab) : medida (comprimento) de AB Questão Seja z C Das seguintes afirmações independentes: iz z i I Se ω z i z z z, então ω iz z i z i z z z II Se z 0 e ω iz i ( iz ), então ω z z III Se ω ( iz ), então arg z π i é um argumento de ω é (são) verdadeira(s): a) todas c) apenas II e III b) apenas IeII d) apenas I e III e) apenas II alternativa A I Verdadeira iz z i Se ω z iz z z, então ω (iz ) (z) (i ) () (z ) (iz) ( z ) ( z ) i z z i, lembrando que z iz z z z z Nota: temos z iz z z 0, pois Re ( z iz z z ) z z Re (z iz) e Re(z iz) z iz z z Logo z iz z z, para todo z C II Verdadeira iz i Se z 0eω ( i) z, então iz i iz i ω ( i) z i z z z III Verdadeira Temos que: i i cos π isen π ; i 8 π π 8cos isen 6 6 i i e, portanto, i π π π π cos isen π π cos isen 8

2 matemática ( i)z Logo ω i cos π isen π ( z (cos θ i sen θ)) 8 z π π cos θ isenθ, 8 onde θ é um argumento de z Questão O valor de y z para o qual os números sen π,, y, z e sen 7, nesta ordem, formam uma progressão aritmética, é: a) b) 6 c) 6 d) e) alternativa D π o Seja r a razão da PA sen,, y, z, sen 7 o o Deste modo, r sen 7 sen o o o o 7 7 r sen cos o o r sen 0 cos r 8 Portanto: y z y ( y r)( y r) r 8 Questão Considere a função f :Z\{0} R, /( ) / f( ) ( 9 ) ( ) A soma de todos os valores de para os quais a equação y y f( ) 0 tem raiz dupla é: a) 0 b) c) d) e) 6 alternativa C A equação y y f() 0 admite raiz dupla se, e somente se, seu discriminante é nulo, ou seja, f() 0 f() /() / (9 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8 0 ou 0 A soma pedida é Questão Considere uma função f :R R não-constante e tal que f( y) f( ) f( y),, y R Das afirmações: I f( ) > 0, R n II f( n) [ f( )], R, n N III f é par é (são) verdadeira(s): a) apenas IeII c) apenas I e III e) nenhuma b) apenas II e III d) todas alternativa A I Verdadeira Inicialmente, vamos mostrar que f() 0 para todo R Supondo, por absurdo, que f(a) 0 para algum a R, então, para todo R, f() f(( a) a) f( a) f(a) 0, ou seja, f é constante, o que contraria uma das hipóteses do enunciado Assim, para todo real, f() f f 0 > II Verdadeira Provaremos tal afirmação usando o PIF: Para n, é imediato que f( ) f() [f()] Supondo a afirmação verdadeira para k N, f((k ) ) f(k ) f(k) f() k k [f()] f() [f()] Isso completa a demonstração III Falsa Temos que f(0) f(0 0) f(0) f(0) f(0), pois f() > 0, para todo R Supondo, por absurdo, que f é par, ou seja, f() f( ), então f(0) f( ) f() f( ) f( ) f( ) f () f(), para todo R, o que contraria a hipótese de f ser não constante

3 matemática Questão Considere o polinômio P() a an n, cujos coeficientes, a,, a n formam, nesta ordem, uma progressão geométrica de razão q > 0 Sabendo que é uma raiz de P e que P() 60, tem-se que o valor de n q é igual a: q tem-se que o valor de ab é igual a: c a) 6 b) c) d) 7 e) 9 alternativa E Pelo teorema do resto, temos: P() P( ) P() 0 a b c a) b) c) 7 d) 6 e) 8 ( ) a ( ) b ( ) c ( ) a b c 0 alternativa C Sendo (,a,,a n) uma PG de razão q>0,temos a q, a q n,, an q Assim, P() q q n n n (q) q q Como é raiz de P, P 0 q q n 0 n n q q 0 n 0 ou q q e n é par ou (q enépar) n ( ) Temos ainda P() n 096 n 6 Logo n q q 6 Questão 6 Dividindo-se o polinômio P() a b c por ( ), obtém-se resto igual a Dividindo-se P() por ( ), obtém-se resto igual a Sabendo que P() é divisível por ( ), a b c 0 a b c 6a b c c a b 6a b c a 9 a b b 8a b c Portanto ab c Questão Das afirmações abaio sobre a equação z z z z 0 e suas soluções no plano compleo: I A equação possui pelo menos um par de raízes reais II A equação possui duas raízes de módulo, uma raiz de módulo menor que e uma raiz de módulo maior que III Se n N* e r é uma raiz qualquer desta n k r equação, então k < é (são) verdadeira(s):

4 matemática a) nenhuma c) apenas II e) apenas I e III alternativa D b) apenas I d) apenas III z z z z z 0 0 z z 0 z z 0 z z cos 0 i sen0 z z cos k π isen k π ; k,, ou I Falsa Como sen k π 0, para k,,e, todas as raízes da equação são números compleos não reais II Falsa Para todas as raízes z da equação, z III Verdadeira Sendo r uma raiz dessa equação, temos que r n k r r Logo k n k k < k k Questão 8 Seja k R tal que a equação 7 k 0 possua uma raiz dupla e inteira e uma raiz, distinta de Então, (k ) é igual a: a) 6 b) c) d) e) 8 alternativa B Sendo P() 7 k, uma raiz dupla de P() 0 também é raiz de P () ou Como Z, Das relações entre coeficientes e raízes, 7 7 ( ) Finalmente, sendo uma raiz da equação, ( ) 7 ( ) ( ) k 0 k Assim, (k ) ( ( )) Questão 9 Considere o conjunto S {(a, b) N N: a b 8} A soma de todos os números da forma 8!, (a, b) S, é: a! b! a) 8 6 b) 9! c) 9 6 d) 6 e)! alternativa A Temos S {(a, b): a 8 b, b N,0 b 8} Assim, a soma de todos os números da forma 8 8! a!b!, (a, b) S, é igual a 8! b 0 (8 b)!b! ( ) 8 6 b b 0 Questão 0 O número de divisores de 7 60 que, por sua vez, são divisíveis por é: a) b) 6 c) 8 d) e) 7 ver comentário Como , os divisores de 7 60 que são divisíveis por são da forma ± a b c 7 d, onde 0 a ; b ; 0 c e0 d Logo a quantidade pedida é 96 Nota: o número de divisores positivos de 7 60 que são divisíveis por é 8 Questão Sejam A e P matrizes n n inversíveis e B P AP Das afirmações: I B T é inversível e (B T ) ( B ) T II Se A é simétrica, então B também o é III det(a λi) det(b λi), λ R é (são) verdadeira(s): a) todas b) apenas I c) apenas IeII d) apenas I e III e) apenas II e III alternativa D I Verdadeira det (B T ) det B det(p A P)

5 matemática det(p ) det A det P det P det A det P det A Logo, como A é inversível, det(b T ) 0eB T éinversível Por outro lado, (B ) T B T T T (B B ) I I T Portanto (B ) é a inversa de B T, ou seja, T T (B ) (B ) II Falsa Uma matriz A n n é simétrica se, e somente se, A A T Tomando-se a matriz A, simétrica e inversível, e a matriz P 0, inversível, temos 0 que P 0 eb P A P Como 0 B T B, concluímos que B não é simétrica III Verdadeira Sendo λ R, det(b λ I) det(p A P λ P P) det(p (AP λ P)) det(p (A λ I) P) det P det(a λ I) det P det det P det P ( A λ I) det( A λ I) Questão O número de todos os valores de a [ 0π, ], distintos, para os quais o sistema nas incógnitas, y e z, dado por y 6z cos a y z sen a 6 y z cos a, é possível e não-homogêneo, é igual a: a) b) c) d) e) 6 alternativa A y z sen a y 6z cos a 6 y z cos a y z sen a 9y 6z cos a sen a 9y 6z cosa 6sena O sistema é possível se, e somente se, cos a sen a ( cos a 6 sen a) cos a sen a cos a 0 cos a sen acosa senacosa cosa 0 cos a(cos a sen a sen a ) 0 cos a( sen a sen a ) 0 cos a( sen a ) 0 cos a 0 ou sen a a π ou π 7 π π a ou a ou a 6 6 Além disso, o sistema é homogêneo se, e somente se, cos a 0 π sen a 0 a ou a π cosa 0 Logo o sistema é possível e não homogêneo se, e somente se, a π 76 ou a π 6, um total de valores Questão Para todo R, a epressão [cos( )] [ sen( )] sen é igual a: a) [sen () sen () sen (7)] b) [ sen sen (7) sen (9)] c) [sen () sen () sen (7)] d) [sen sen () sen (9)] e) [sen sen () sen ()] alternativa B Para todo R, [ cos() ] [ sen() ] sen [ cos() sen() ] sen sen() sen sen() sen() sen sen() cos() cos() [ sen() cos() sen() cos() ] sen(7) sen sen(9) sen

6 matemática 6 [ sen sen(7) sen(9) ] Tomando π, verificamos que as demais alternativas são falsas Questão Considere os contradomínios das funções arco-seno e arco-cosseno como sendo π π, e [0, π], respectivamente Com respeito à função f :[, ] π π,, f( ) arcsen arccos, temos que: a) f é não-crescente e ímpar b) f não é par nem ímpar c) f é sobrejetora d) f é injetora e) f é constante alternativa E Dada a função f: [ ;] π ; π tal que f() arcsen arccos, fazendo-se sent, t π ; π, temos f() arcsen sen t arccos sen t t π t π Assim, f é uma função constante e, portanto, não é injetora nem sobrejetora em π π ; Além disso, [; ], f() f() π, de onde c) de uma hipérbole d) de duas retas concorrentes e) da reta y alternativa C Seja C (; y) o centro de uma das circunferências da família Como a circunferência tangencia o eio y, R Além disso, no triângulo CMB, temos CM R y y Assim, visto que C está no segundo quadrante, o lugar geométrico dos centros das circunferências da família são os pontos da hipérbole y situados no segundo quadrante Questão 6 A área do polígono, situado no primeiro quadrante, que é delimitado pelos eios coordenados e pelo conjunto {(, y) R : y y 9 8y 6 0}, é igual a: temos que f é par Como f() f(), [; ], f não é ímpar a) 6 b) c) d) e) 0 Questão Considere a família de circunferências com centros no segundo quadrante e tangentes ao eio Oy Cada uma destas circunferências corta o eio O em dois pontos, distantes entre si de cm Então, o lugar geométrico dos centros destas circunferências é parte: a) de uma elipse b) de uma parábola alternativa B y y 9 8y 6 0 (y 9) (y 8y 6) 0 Considerando tal igualdade como uma equação na variável, (y 9) (y 8y 6) (y ) e y y 9 8y 6 (y 9) (y ) (y 9) (y )

7 matemática 7 ( y 6) ( y ) Logo y y 9 8y 6 0 ( y 6)( y ) 0 y 6 0 ou e podemos esboçar a região: y 0 No triângulo APQ, temos cos θ, e no triângulo BPR, temos cos(0 o θ) Logo cos θ cos(0 o θ) cos θ(cos 0 o cos θsen 0 o sen θ) cos θ cosθ senθ cos θ senθ tg θ Portanto AQ AP tg θ cm e, assim, ( ) 8 cm Conseqüentemente, a área do triângulo PQR é 8 7 cm Questão 8 Supondo, então, que ABCD é o polígono, sua área é igual à diferença entre as áreas dos triângulos ABO e CDO, ou seja, Questão 7 Sejam r e s duas retas paralelas distando entre si cm Seja P um ponto na região interior a estas retas, distando cm de r A área do triângulo equilátero PQR, cujos vértices Q e R estão, respectivamente, sobre as retas r e s, é igual, em cm,a: a) b) 7 c) 6 d) e) 7 alternativa B Seja, em cm, o lado do triângulo Considere três polígonos regulares tais que os números que epressam a quantidade de lados de cada um constituam uma progressão aritmética Sabe-se que o produto destes três números é igual a 8 e que a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é igual a 780 O número total das diagonais nestes três polígonos é igual a: a) 6 b) 69 c) 90 d) 97 e) 06 alternativa D Sejam n r, n en r, com n, r naturais, n r, os números de lados dos polígonos, respectivamente Temos: (n r)n(n r) 8 o o (n r )80 (n )80 o o (n r ) (n r)n(n r) 8 n 6 (9 r)9(9 r) 8 n 9 8 r 6 n 9 r n 9

8 matemática 8 Assim, os três polígonos têm, 9elados eonú- mero total de diagonais é ( ) 9(9 ) ( ) alternativa B A aresta da base da pirâmide tem medida igual a 8 cm Questão 9 Considere o triângulo isósceles OAB, com lados OA e OB de comprimento R e lado AB de comprimento R O volume do sólido, obtido pela rotação deste triângulo em torno da reta que passa por O e é paralela ao lado AB, é igual a: a) π R b) πr c) π R d) πr e) πr alternativa C Seja M o ponto médio de AB Temos OM OA AM (R ) R OM R Assim, ao rotacionarmos o triângulo OAB em torno da reta r paralela a AB e que passa por O, obtemos um sólido cujo volume é igual ao de um cilindro de raio OM R e altura AB R menos a soma dos volumes de dois cones com raio da base OM R e altura AM R Portanto o volume procurado é igual a π πr R π R R R Questão 0 Considere uma pirâmide regular de altura igual a cm e cuja base é formada por um quadrado de área igual a 8 cm A distância de cada face desta pirâmide ao centro de sua base, em cm, é igual a: a) b) 6 9 c) d) 7 e) O apótema da base, OA, tem medida cm e o apótema da pirâmide, PA, tem medida ( ) 7 cm A distância OB de uma face lateral ao centro O de sua base corresponde à altura relativa à hipotenusa do triângulo retângulo POA e é tal que PA OB OA OP OB OB 6 cm 9 AS QUESTÕES DE A 0 DEVERÃO SER RESOLVIDAS NO CADERNO DE RESPOSTAS ANEXO Questão Sejam U um conjunto não-vazio e A U, B U Usando apenas as definições de igualdade, reunião, intersecção e complementar, prove que: I Se A B, então B A C II B\A C B A I) A B ( U: Ae B) ( U, B A) ( U B A C C, ) B A C C II) B\A { U: Be A } { U: Be A} B A

9 matemática 9 Questão Determine o conjunto dos números compleos z para os quais o número z z w z z pertence ao conjunto dos números reais Interprete (ou identifique) este conjunto geometricamente e faça um esboço do mesmo Seja z yi;, y R Como z z z z R, temos w R z z z z > ( ) y ( ) y > PF PF >, onde P (; y), F (; 0) e F (; 0), o que define a região eterna de uma elipse de centro (0; 0), eio maior, contido no eio, e distância focal Sendo b o semi-eio menor, temos b b Assim, o conjunto dos números compleos z (; y) para os y quais w R satisfaz > y >, que graficamente pode ser 9 representado por Considere a seguinte situação baseada num dos paradoos de Zenão de Eléia, filósofo grego do século V AC Suponha que o atleta Aquiles e uma tartaruga apostam uma corrida em linha reta, correndo com velocidades constantes v A e v T, com 0 < vt < va Como a tartaruga é mais lenta, é-lhe dada uma vantagem inicial, de modo a começar a corrida no instante t 0 a uma distância d > 0 na frente de Aquiles Calcule os tempos t, t, t, que Aquiles precisa para percorrer as distâncias d, d, d,,respectivamente, sendo que, para todo n, d n denota a distância n entre a tartaruga e Aquiles no instante t k k da corrida Verifique que os termos t k, k,,,,formam uma progressão geométrica infinita, determine sua soma e dê o significado desta soma O tempo t k que Aquiles precisa para percorrer a dk distância d k é tk Nesse intervalo de tempo, a tartaruga obtém uma vantagem de vt tk, ou seja, dk vt t k v A dk vt tk vt Logo tk tk v A v A v A Assim, a seqüência (t, t,, t n, ) é uma progressão geométrica infinita de razão v T, v A vt d 0 < <, e primeiro termo t v A v A k vt Conseqüentemente, tk t v A k d vt v A v A Questão Questão A soma dos termos da seqüência é d v A d e é igual ao intervalo de tem- vt v v A T v A po necessário para que Aquiles alcance a tartaruga Mostre que toda função f :R\{0} R,sa- tisfazendo f( y) f( ) f( y) em todo seu domínio, é par

10 matemática 0 Para todo R, temos: f() f( ) f(( ) ( )) f( ( )) [ f( ) f( ) ] [ f() f( ) ] f( ) f() Logo f() f( ), ou seja, f é par Questão Sejam a, b, c e d constantes reais Sabendo que a divisão de P () a b por P () é eata, e que a divisão de P () c d por P () tem resto igual a, determine o valor de a b c d Temos: 0 a 0 b (a ) 0 b 8 a 8 b a a a a (8 a) b a Como a divisão é eata, 8 a 0 a b a 0 b 6 Temos também: c d (c ) (d ) (c ) (c ) c (c d ) c Como a divisão tem resto igual a, c c d 0 d c c 0 Logo a b c d 6 0 Questão 6 Sejam a, b, c e d números reais não-nulos Eprima o valor do determinante da matriz bcd a a acd b b abd c c abc d d na forma de um produto de números reais Temos bcd a a acd b b abd c c abc d d a a a abcd b b b abcd c c c d d d abcd a a a abcd b b b abcd abcd c c c abcd d d d a b c d a b c d a b c d que é um determinante de Vandermonde cujo valor é (b a) (c a) (d a) (c b) (d b) (d c) Questão 7 Encontre todos os valores de a π π, para os quais a equação na variável real, arctg arctg e e a, admite solução Como a π π ;, arctg e arctg e a e tg arctg arctg e tg a,

11 matemática e e tg a e e e ( ) tg a e ( )tg a tg a ( )( tg a) e tg a ( ) Como ( ) > 0, a equação ( ) admite so- tg a 0 lução se, e somente se, tg a > 0 tg a π 0 < tg a < 0 < a < Questão 8 Sabe-se que uma elipse de equação y tangencia internamente a circunferência de equação y e que a a b reta de equação y 6é tangente à elipse no ponto P Determine as coordenadas de P Como a reta de equação y 6 y tangencia a elipse de equação y e esta tangencia internamente a a b circunferência dada por y, a situação descrita pode ser representada por: Assim, b e y a tem solução úni- y ca P (; y) Então a 9 a e, como 0 9 a , a e y , ou seja, P 8 9 ; Questão 9 Considere um quadrado ABCD Sejam E o ponto médio do segmento CD e F um ponto sobre o segmento CE tal que m (BC) m (CF) m (AF) Prove que cos αcos β, sendo os ângulos αbaf e βead

12 matemática Sejam a medida do lado do quadrado e amedida de CF Então DE,BC CF AF AF edf Aplicando o Teorema de Pitágoras ao ADF, temos AF DF AD ( ) ( ) Como AB // CD, m(dfa ) m(baf ) α e assim cos α DF AF No ADE, cos β AD AE ( /) portanto cos (β) cos β Logo cos αcos (β) Questão 0 e Quatro esferas de mesmo raio R > 0 são tangentes eternamente duas a duas, de forma que seus centros formam um tetraedro regular com arestas de comprimento R Determine, em função de R, a epressão do volume do tetraedro circunscrito às quatro esferas Seja ABCD o tetraedro cujos vértices são os centros das esferas e seja AG h a sua altura Como G é o centro da face BCD, temos CG R R Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo ACG, temos R 6 h R (R) h A distância do centro do tetraedro ABCD a cada uma de suas faces é h R 6 6 A distância entre faces paralelas do tetraedro ABCD e do tetraedro que circunscreve as esferas é R Assim, os centros dos dois tetraedros coincidem e, portanto, a distância do centro a cada face do tetraedro que circunscreve as esferas é R 6 R 6 Como os tetraedros são semelhantes, sendo V o volume desejado temos: V VABCD R 6 R 6 ( 6 ) ( ) R 6 6 Visto que o volume do tetraedro ABCD é h (R) R 6 R R, temos R ( ) V ( 6 ) R (9 9 6 )