TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 2. Questão 4. alternativa D. alternativa B. alternativa E
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- João Vítor Gentil de Vieira
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1 Questão TIPO DE PROVA: A Os números compreendidos entre 400 e 500, divisíveis ao mesmo tempo por 8 e 75, têm soma: a) 600 d) 700 b) 50 e) 800 c) 50 Questão Na figura, temos os esboços dos gráficos de f (x) = x xeg(x)= ax + b. O produto a bé igual a: Os números que são divisíveis por 8 = e 75 = 5 são os múltiplos de mmc (8; 75) = = 5 = 450. Os múltiplos de 450, compreendidos entre 400 e 500, são 450, 900 e 50, cuja soma é 700. Questão Uma empresa decidiu presentear seus principais clientes com lotes de 000 ações. Os clientes foram classificados em ordem crescente, de acordo com o faturamento de cada um deles. Ao primeiro, a empresa entregou lote, ao segundo lotes, ao terceiro, 5 lotes e assim por diante. Se a empresa distribuiu um total de ações, o número de clientes presenteados foi: a) 47 b) 7 c) 4 d) e) Vamos supor que as quantidades de lotes entregues aos clientes formam uma progressão aritmética de primeiro termo a = e razão r = =. Sendo n o número de clientes presenteados, o total de lotes é igual à soma dos n termos da progressão, ou seja, a + an + + (n ) n = n = = n = 089 n =. 000 a) 4 b) 4 c) d) 6 e) A reta representada por g(x) = ax + b, a, b reais, passa pelo ponto (; f()) = (; ) = (; 6) e corta o eixo Ox no ponto de abscissa igual à menor raiz de f(x) = x x = (x ( )) x (x ), que é. Logo: g() = 6 a b 6 a + = = g( ) = 0 a ( ) + b = 0 b = a b = 4 Questão 4 Considere o esboço do gráfico da função f, definida em [ ; ]. A soma dos valores de x, tais que f(f(x)) =, é:
2 matemática Questão 7 a) b) c) 0 d) e) 4 Do gráfico, temos f(0) = e f( ) = f() = f() = 0. Assim, f(f(x)) = f(f(x)) = f(0) f(x) = 0 x = ou x = oux=, cuja soma é + + =. Questão 5 Considerando que x y = e que x + y =, o valor de log (x y ) é: a) b) c) d) e) log (x y ) = log (x + y)(x y) = = log (x + y) + log (x y) = log + + log = log + log = + = Questão 6 A soma dos inteiros x tais que log x 4 log 0 x 5 > é: 5 6 a) 0 b) c) 4 d) 5 e) 8 Como < 4 5, log x log x 4 log x > log x > 0 0 < x < 6 < x < 9. Logo a soma dos inteiros x que satisfaz a inequação dada é = 5. y x x = y No sistema x,comx> 0ey> 0, 5x y = y vale: a) 4 b) c) 8 d) 6 e) 0 y Como y > 0, temos y 0, então: y x x = y y x y y x = y (y) = y x = x = y x = y y y y y y y y = (y ) = y y = x = y x = y x = 4 Assim, 5x y = 5 4 = 8. Questão 8 O número de soluções reais da equação x = x é: a) b) 0 c) d) 4 e) x = x x + x = 0 = ± 5 x = + 5 x = ± + 5 x Portanto V = + 5 ; 5 e o número de soluções reais da equação é. Questão 9 Considere o polinômio P(x), do segundo grau, tal que P(x) P(x + ) = x, qualquer que seja x real. Sabendo que P(0) = 0, assinale, dentre as alternativas, o melhor esboço gráfico de y = P(x).
3 matemática a) b) Questão Se tg θ = sen θ ecosθ 0, então o valor da c) d) tg θ é: a) b) c) d) e) 0 e) θ tg θ sen = sen θ θ = sen θ cos cos θ sen θ θ cos sen θ = 0 sen θ cos θ = 0 sen θ cos θ=0 Como cos θ 0, temos que sen θ = 0 θ = kπ, Sendo P(x) P(x + ) = x e P(0) = 0, então fazendo x = 0, P(0) P(0 + ) = 0 P() = 0. Logo 0 e são as raízes de P(x). Temos também que, fazendo x =, P( ) P( + ) = P( ) P(0) = P( ) =. Como 0 e são raízes de P(x) e P( ) < 0, então o melhor esboço gráfico de P(x) está na. Questão 0 k Z θ=kπ, k Z e, portanto, tg θ=0. Questão Percorrendo uma estrada de 0m de largura, um veículo inicia um retorno em um ponto A, utilizando a trajetória circular da figura, cujo raio é 0m. Se nessa rotatória a velocidade máxima permitida é de 0 km/h, o menor tempo necessário para que esse veículo percorra o arco AB é: (adote π=) Em um triângulo retângulo, a medida da hipotenusa é o dobro da medida de um dos catetos. O ângulo oposto ao menor lado desse triângulo mede: a) 6 o b) 60 o c) 45 o d) 0 o e) 7 o Sendo x e x as medidas de um cateto e da hipotenusa, respectivamente, a medida do outro cateto é (x) x = x. Nesse triângulo, o ângulo oposto ao menor lado, x, tem seno igual a x =. Uma vez que este x ângulo é agudo, é igual a 0 o. a) s d) 5 s b) 8 s e) s c) 5 s Supondo que o veículo deva percorrer a trajetória indicada, o que se pede é o menor tempo necessário para percorrer o maior arco AB.
4 matemática 4 Sendo O o centro da rotatória, OA = OB = AB = = 0 m. Assim, m (AOB) = 60 o e, usando π=, o comprimento do arco AB a ser percorrido é igual o o (60 60 ) π 0 π a = 00 = 00 m. o 60 Portanto o tempo procurado é igual a 00 m km h 600 s = 8 s. 000 m 0 km h Questão As representações gráficas dos complexos + i, ( + i), e( i), com i =, são vértices de um polígono de área: a) b) c) d) e) 4 a) 68 cm c) 66 cm e) 64 cm b) 7 cm d) 76 cm Representando + i, ( + i) = i, e( i) = = i no plano cartesiano, obtemos o polígono ABCD a seguir: Logo área (ABCD) = área (ABD) + área (BCD) = 4 4 = + = 4. Questão 4 Umaxícaradechátemaformadeumtronco de cone reto, conforme a figura. Supondo π=, o volume máximo de líquido que ela pode conter é: Como BC//AD, BCV ~ ADV. Assim, BV BC = AV = A V = 6 cm. AV AD AV Logo, usando a aproximação π, o volume máximo de líquido que a xícara pode conter é igual a π 4 (6 + 6) π 6 = 56π 56 = 68 cm. Questão 5 As retas x + y = 0, x y = 0ex+ y = 0 definemumtriângulodeárea: a) b) 4 c) d) e)
5 matemática 5 Os vértices do triângulo são as soluções dos sistemas x + y = 0 x 0 x y 0 y 0, x y 0 = + = = = x + y = 0 Na figura, cada vértice do losango ABCD é o centro de um arco de raio igual a. Se o ângulo de vértice A mede 60 o e a área assinalada é igual a 8 π, o lado do losango é igual a: x = e x y = 0 x = y = x + y = 0 y = Logo a área do triângulo é 0 0 = ( ) =. Questão 6 Na figura, se a reta r é tangente à curva (x a) + y = a,a>0,entãoovalordeaé: a) b) 4 c),5 d) 5 e) 4,5 Seja x o lado do losango. A área destacada é igual à área do losango menos a área dos quatro setores circulares. A área do losango é igual ao dobro da área de o x x sen 60 ABD, ou seja, = x. A soma das áreas dos quatro setores circulares, cuja soma das medidas angulares é 60 o, é igual à área de um círculo de raio, ou seja, π =π. Portanto x π=8 πx = 4. Questão 8 a) 4 b) 4 5 c) d) e) 4 A curva da equação (x a) + y = a,a>0,é uma circunferência de centro (a; 0) e raio a. Uma equação da reta r, que passa pelo ponto ( ; 0) e tem coeficiente angular tg50 o =, éy 0 = (x ( )) x + y + = 0. A reta r é tangente à circunferência se, e somente se, a distância do centro da circunferência à reta r é igual ao seu raio. Logo a = a a + = a a =. + ( ) Questão 7 x az = 0 O sistema x + y + z = 0, a R, ax y = 0 a) tem solução única, para um único valor de a. b) não admite solução, qualquer que seja a. c) tem solução única, qualquer que seja a. d) tem mais de uma solução, qualquer que seja a. e) tem mais de uma solução, para um único valor de a. O determinante da matriz incompleta do sistema é 0 a A = = a a +. a 0 Como o discriminante da equação a a + = 0 é = ( ) 4 < 0, A 0 para todo a real. Assim, o sistema dado admite solução única, qualquer que seja a.
6 matemática 6 Questão 9 Questão 0 Em um determinado jogo, são sorteados números entre os 0 que estão no volante de apostas. O apostador, que assinala 6 números no volante, ganha, se todos os números sorteados estiverem entre os 6 assinalados. A probabilidade de o apostador ganhar é: a) 0 b) 507 c) 456 d) 80 e) 98 Existem = = resultados possíveis no sorteio. Para o apostador, que assinala 6 números no volante, há = = resultados favoráveis. A probabilidade de o apostador ganhar é, portanto, = 0. Considere todos os números de algarismos formados com os algarismos,,, 5, 7 e 9. Dentre eles, a quantidade de números pares com exatamente algarismos iguais é: a) 7 b) 8 c) 5 d) e) 4 O algarismo das unidades deve ser igual a. Desta forma, devemos analisar casos: º) O algarismo que aparece duas vezes não é o. Nesse caso, são 5 possibilidades:,, 55, 77 e 99. º) O algarismo que aparece duas vezes é o. O outro algarismo pode aparecer na dezena ou na centena. A casa decimal restante pode ser ocupada por qualquer um dos 5 algarismos ímpares. Há, conseqüentemente, 5 = 0 possibilidades. A quantidade de números, satisfazendo as condições dadas, é, portanto, = 5.
9(67,%8/$5 '$ 0$&.(1=,( 63 *UXSRV,, H,,, 3URYD 7LSR $ 3529$ '( 0$7(0È7,&$ 5(62/8d 2 ( &20(17È5, )$ 0$5,$ $1721,$ *289(,$
9(67,%8/$5 '$ 0$&.(1=,( 63 *UXSRV,, H,,, 3URY 7LSR $ 3529$ '( 0$7(0È7,&$ 5(62/8d 2 ( &20(17È5,26 325 352)$ 0$5,$ $1721,$ *289(,$ Questão nº 01 Os números compreendidos entre 400 e 1 500, divisíveis ao
Prova Vestibular ITA 2000
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1. A imagem da função real f definida por f(x) = é R {1} R {2} R {-1} R {-2} 2. Dadas f e g, duas funções reais definidas por f(x) = x 3 x e g(x) = sen x, pode-se afirmar que a expressão de (f o g)(x)
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Colégio Militar de Porto Alegre 2/11
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NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.
R N C i z det A d(a, B) d(p, r) AB Â NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : determinante
1 35. b) c) d) 8. 2x 1 8x 4. 3x 3 8x 8. 4 tgα ˆ MAN é igual a 4. . e) Sendo x a medida do segmento CN, temos a seguinte figura:
7. Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo MAN ˆ é igual a a) 5. b) 5.
NOTAÇÕES. : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
NOTAÇÕES R C : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = 1 det M : determinante da matriz M M 1 MN AB : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento
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TIPO DE PROVA: A. Questão 1. Questão 4. Questão 2. Questão 3. Questão 5. alternativa C. alternativa B. alternativa A.
Questão TIPO DE PROVA: A Sabe-se que o quadrado de um número natural k é maior do que o seu triplo e que o quíntuplo desse número k é maior do que o seu quadrado. Dessa forma, k k vale: a) 0 b) c) 6 d)
Deste modo, ao final do primeiro minuto (1º. período) ele deverá se encontrar no ponto A 1. ; ao final do segundo minuto (2º. período), no ponto A 2
MATEMÁTICA 20 Um objeto parte do ponto A, no instante t = 0, em direção ao ponto B, percorrendo, a cada minuto, a metade da distância que o separa do ponto B, conforme figura. Considere como sendo de 800
NOTAÇÕES. Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados
ITA006 NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais i: unidade imaginária; i z = x+ iy, x, y = 1 : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0, 1,, 3,...
Questão 1 Questão 2. Resposta. Resposta
Questão 1 Questão Um jogo consiste num dispositivo eletrônico na forma de um círculo dividido em 10 setores iguais numerados, como mostra a figura. A figura mostra um sistema rotativo de irrigação sobre
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( ) ( ) RASCUNHO. 1 do total previsto, os. Após terem percorrido, cada um, 5
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TIPO DE PROVA: A. Questão 3. Questão 1. Questão 4. Questão 2. alternativa D. alternativa E. alternativa D. alternativa D
Questão TIPO DE PROVA: A O algarismo das dezenas do número! é: a) 5 b) 0 c) d) 7 e) A quantidade de zeros com que termina o número n! é igual ao número de fatores 5 presentes em sua fatoração. Na fatoração
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P (A) n(a) AB tra. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
NOTAÇÕES N = f; ; 3; : : :g i : unidade imaginária: i = R : conjunto dos números reais jzj : módulo do número z C C : conjunto dos números complexos Re z : parte real do número z C [a; b] = fx R; a x bg
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as raízes de gof, e V(x v ) o vértice da parábola que representa gof no plano cartesiano. Assim sendo, 1) x x 2 = = 10 ( 4) 2) x v x 2
MATEMÁTICA 19 c Sejam as funções f e g, de em, definidas, respectivamente, por f(x) = x e g(x) = x 1. Com relação à função gof, definida por (gof) (x) = g(f(x)), é verdade que a) a soma dos quadrados de
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www.elitecampinas.com.br Fone: (19) -71 O ELITE RESOLVE IME 004 PORTUGUÊS/INGLÊS Você na elite das universidades! UNICAMP 004 SEGUNDA FASE MATEMÁTICA www.elitecampinas.com.br Fone: (19) 51-101 O ELITE
a média de gols da primeira rodada, M G a média de gols das duas primeiras rodadas e x o número de gols da segunda rodada, tem-se 15 + x 15 M G
MATEMÁTICA O número de gols marcados nos 6 jogos da primeira rodada de um campeonato de futebol foi 5,,,, 0 e. Na segunda rodada, serão realizados mais 5 jogos. Qual deve ser o número total de gols marcados
x Júnior lucrou R$ 4 900,00 e que o estoque por ele comprado tinha x metros, podemos afirmar que 50
0. O Sr. Júnior, atacadista do ramo de tecidos, resolveu vender seu estoque de um determinado tecido. O estoque tinha sido comprado ao preço de R$,00 o metro. Esse tecido foi revendido no varejo às lojas
Questão 1. Considere os conjuntos S = {0, 2, 4, 6}, T = {1, 3, 5} e U = {0, 1} e as. A ( ) apenas I. B ( ) apenas IV. C ( ) apenas I e IV.
NOTAÇÕES C : conjunto dos números complexos. [a, b] = {x R ; a x b}. Q : conjunto dos números racionais. ]a, b[= {x R ; a < x < b}. R : conjunto dos números reais. i : unidade imaginária ; i = 1. Z : conjunto
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. n(a B) = 23, n(b A) = 12, n(c A) = 10, n(b C) = 6 e n(a B C) = 4,
NOTAÇÕES N = {0, 1, 2, 3,...} i: unidadeimaginária;i 2 = 1 Z: conjuntodosnúmerosinteiros z : módulodonúmeroz C Q: conjuntodosnúmerosracionais z: conjugadodonúmeroz C R: conjuntodosnúmerosreais Re z: parterealdez
Questão 2. Questão 1. Questão 3. Resposta. Resposta. Resposta
ATENÇÃO: Escreva a resolução COMPLETA de cada questão no espaço a ela reservado. Não basta escrever apenas o resultado final: é necessário mostrar os cálculos ou o raciocínio utilizado. Questão Emumasalaháumalâmpada,umatelevisão
{ } Questão 1. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Questão 2. Seja o conjunto = { : 0 e 2 2
NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos. : conjunto dos números racionais. : conjunto dos números reais. : conjunto dos números inteiros. = 0,,,,.... { } { } * =,,,.... i : unidade imaginária; i =. z=x+iy,
MATEMÁTICA FORMULÁRIO 11) A = onde. 13) Para z = a + bi, z = z = z (cosθ + i senθ) 14) (x a) 2 + (y b) 2 = r 2
[ MATEMÁTICA FORMULÁRIO 0 o 45 o 60 o cosec x =, sen x 0 sen x sen cos tg sec x =, cos x 0 cos x sen x tg x =, cos x 0 cos x cos x cotg x =, sen x 0 sen x sen x + cos x = ) a n = a + (n ) r ) A = onde
(A) 1. (B) 2. (C) 3. (D) 6. (E) 7. Pode-se afirma que
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NOTAÇÕES. R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos
NOTAÇÕES R : conjunto dos números reais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i = 1 z : módulo do número z C Re(z) : parte real do número z C Im(z) : parte imaginária do número z C
01. (UFRGS/2003) Se n é um número natural qualquer maior que 1, então n! + n 1 é divisível por. (A) n 1. (B) n. (C) n + 1. (D) n! - 1. (E) n!.
0. (UFRGS/00) Se n é um número natural qualquer maior que, então n! + n é divisível por n. n. n +. n! -. n!. 0. (UFRGS/00) Se num determinado período o dólar sofrer uma alta de 00% em relação ao real,
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