RESPOSTAS ESPERADAS MATEMÁTICA

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1 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI Questão 1 a) omo o ângulo de giro do ponteiro é diretamente proporcional à velocidade, podemos escrever 10 40km x 104 km Desse modo, x / Resposta: O ângulo mede 91º b) função pedida tem a forma v(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais Sabemos que o gráfico de uma função linear é a uma reta cuja inclinação é a e cujo ponto de interseção com o eixo-y é (0, b) ssim, sabendo que a reta passa pelos pontos (0, 0) e (70, 65), encontramos o coeficiente a escrevendo (y y1) (65 0) 45 a 0,9 (x x ) (70 0) 50 1 De posse de a, encontramos b usando um dos pontos dados Tomando o ponto (0, 0), temos v(0) a 0 b 0 0,9 0 b b 0 18 Resposta: função é v(x) = 0,9x + b ) função pedida tem a forma v(x) = ax + b omo a reta passa pelos pontos (0, 0) e (70, 65), temos o seguinte sistema linear 0a b 0 70a b 65 Subtraindo a primeira linha da segunda obtemos 50a = 45, donde a = 9/10 Substituindo, agora, o valor de a na primeira equação, obtemos 09/10 + b = 0 Desse modo, b = 0 18 = Resposta: função é v(x) = 0,9x + Respostas Esperadas ª Fase

2 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI Questão 14 a) O cômodo, cuja área é superior a 6 m², tem perímetro igual a,0 4 10, 8 m Desse modo, o número de tomadas é maior ou igual a 10,8/5 =,16 Logo, é preciso instalar ao menos tomadas, espaçadas de 10,8/ =,6 m Resposta: Devem ser instaladas ao menos tomadas, com um espaçamento de,6 m entre elas b) O fio deverá subir,7 1,0 = 1,7 m verticalmente pela parede lém disso, será preciso gastar a metros de fio para ligar o ponto do teto que está exatamente sobre o interruptor ao centro do cômodo, como mostra a figura ao lado Nesse caso, a 0,5 1, 0,5 1,44 1,69 Logo, a 1,69 1, m, e o fio deve medir 1,7 + 1, =,0 m Resposta: O fio deve medir m Questão 15 a) Reescrevendo a equação, obtemos x x 1 0 Podemos resolver essa equação usando a fórmula de Báskara: x ( 1) ( 1) ( 1) 1 5 Portanto, a raiz positiva da equação é x (1 5) / Resposta: O número áureo é ( 1 5) / b) plicando a fórmula recursiva de F(n), obtemos F(9) = = 4, F(10) = = 55 e F(11) = = 89 ssim, a aproximação desejada para o número áureo é 89 / 55 1, 6 Resposta: O 10º termo da sequência é 55 e o 11º termo é 89 O valor aproximado do número áureo é 1,6 Respostas Esperadas ª Fase

3 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI Questão 16 a) Observamos na figura ao lado que R 1 B 1cm R B R 1 R D R1 R R EB R 4 cm cm 4 cm área da região destacada é a soma das áreas de dois semicírculos, um com raio R e outro com raio R 4 Logo, R 4 R ( 5 4 ) cm Resposta: área da região destacada é igual a 5/ cm b) O i-ésimo arco de circunferência mede metade do comprimento da circunferência de raio R i, ou seja, c i R i i O comprimento da curva formada pelos primeiros n arcos é a soma dos termos de uma progressão aritmética de termo geral c i Logo, c n i1 c i n i1 i n i1 i n(n 1) Supondo que n = 0, temos c = 0 1/ = 10 cm Resposta: curva tem 10 cm de comprimento Respostas Esperadas ª Fase

4 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI Questão 17 a) Se 1 quilate corresponde a 00 mg, então 0,7 quilate corresponde a 0,7 00 = 140 mg = 0,14 g omo cada cm de diamante tem,5 g, podemos escrever,5g 0, 14g 1cm x, donde,5x = 0,14, ou x = 0,14/,5 = 0,04 cm Resposta: Um brilhante de 0,7 quilate tem 0,04 cm, ou 40 mm b) parte superior do brilhante é um tronco de cone com R = mm, r = 1 mm e h = 0,6 mm Logo, seu volume é V T h(r Rr r ) 0,6( 11 ) 1,4 mm Por sua vez, a parte inferior do brilhante é um cone com 1,8 mm de altura e raio da base igual a mm ssim, o volume da parte inferior é dado por V hr 1,8,4 mm Logo, o volume total é igual a V T + V = 1,4 +,4 =,8 mm Resposta: O brilhante tem volume aproximado de,8 mm Questão 18 a) omo o tempo de exposição é o mesmo para todos os algarismos e o trecho a aparece em 8 dos 10 algarismos, concluímos que ele fica aceso em 8/10 = 80% do tempo Repetindo esse raciocínio para os demais trechos, obtemos o gráfico de barras ao lado Resposta: O gráfico ao lado mostra a porcentagem de tempo em que cada trecho fica aceso b) probabilidade de apresentar defeito é a mesma para todos os trechos Supondo que a ocorrência de defeito em um trecho seja independente da Respostas Esperadas ª Fase

5 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI existência de outro trecho defeituoso, o número de maneiras diferentes de distribuir dois trechos defeituosos pelos sete trechos de um dígito é dado por, 7! 7 6! 5! 7 1 Para que o algarismo seja representado corretamente, é preciso que os trechos defeituosos sejam aqueles indicados pelas letras b e d ssim, em apenas uma das 1 combinações, o algarismo será mostrado corretamente Logo, a probabilidade é igual a 1/1 Resposta: probabilidade de que o algarismo seja representado corretamente é igual a 1/1 Questão 19 a) O sistema linear deve ter duas equações, uma associada ao número e a outra ao peso das cebolas selecionadas pela consumidora ssim, temos x 5x y 00y Isolando x na primeira equação, obtemos x = 40 y Substituindo esse valor na segunda equação, concluímos que 5(40 y) + 00y = 1700, ou 175y = 700, ou ainda y = 700/175 = 4 Logo, x = 40 y = 6 Resposta: Resolvendo o sistema acima, concluímos que a consumidora selecionou 6 cebolas pequenas e 4 cebolas grandes b) casca de uma cebola pequena tem área igual a 4r 4 16 cm omo 600 g de cebolas pequenas correspondem a 600/5 = 4 cebolas, a área total de casca equivale a cm omo a área de casca de 600 g de cebolas grandes é igual a 19 cm, as cebolas grandes fornecem o menor desperdício com cascas Resposta: O desperdício com cascas é menor para as cebolas grandes Respostas Esperadas ª Fase

6 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI Questão 0 a) f (x) x p, x p, se x p se x p Logo, para x = 1, temos 1 + p = 1 p, de modo que p =, ou p = 1 Resposta: p = 1 a ) Para x = 1, devemos ter f(x) 1 1 p ssim, 1 p 0, de modo que p = 1 Resposta: p = 1 b) Se x <, a equação x x 1 é equivalente a x x + = 1, cuja solução é x = 9 Entretanto, como supomos que x <, descartamos essa solução Se x, a equação x x 1 é equivalente a x + x = 1, donde x = 15, ou x = 5 Resposta: x = 5 Questão 1 a) função P(T) é exponencial e tem coeficientes a e b positivos curva desejada passa pelos pontos (0, 1,6) e (55, 0), como mostra o gráfico ao lado Resposta: Um esboço da curva é apresentado no gráfico ao lado b) Sabemos que P(0) = 1,6 ssim, a 10 1, 6, de modo que a = 1,6 b55 Da mesma forma, P(55) 1,6 10, donde b0 55b 1,6 10 0, b, 1,6 4 log(10 55b 5 ) log Logo, 55b log(5) log(), de modo que 55b 0,7 0, 1, 1 ssim, temos b = 1,1/55 = 1/50 Resposta: s constantes são a = 1,6 e b = 1/50 Respostas Esperadas ª Fase

7 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI Questão a) Usando a regra de Sarrus para o determinante de uma matriz de ordem, obtemos det() 16x 6x 64x 16x 100x 4x(4x 5) Esse determinante é positivo se x > 0 e 4x 5 0, ou se x < 0 e 4x 5 0 Observamos que 4x 5 0 se x 5 / 4, ou seja, se x = 5/ ou x = 5/ tabela abaixo fornece o sinal de x, de 4x 5 e do determinante de Observamos, então, que o determinante será positivo para 5/ < x < 0 e para x > 5/ Resposta: O determinante é positivo para 5/ < x < 0 e para x > 5/ b) Se x =, então Logo, 0 ( ) 4 0 ( 1) B 6 4 ( ) 4 6 ( 1) ( ) ( 1) 56 Resposta: B 8 56 Respostas Esperadas ª Fase

8 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI Questão a) omo mostra a figura ao lado, o quadrilátero OB é um quadrado de lado igual a ssim, a distância entre o ponto e a origem é igual a O coeficiente angular da reta que passa por O e é 1/, donde D/OD = 1/, ou OD = D lém disso, aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo OD, obtemos OD D Logo, (D) D 4, ou seja, 5D 4, ou ainda D / 5 5 / 5 ssim, OD 4 / / 5 Finalmente, como o ponto está no segundo quadrante, suas coordenadas são ( 4 5 / 5, 5 / 5) Resposta: O ponto de tangência é ( 4 5 / 5, 5 / 5) a ) O ponto tem coordenadas ( x, x / ) lém disso, como mostra a figura acima, o quadrilátero OB é um quadrado de lado igual a, de modo que a distância entre o ponto e a origem é igual a, ou seja, (x 0) ( x / 0) Logo, x x / 4 4, donde 5x / 4 4, ou seja, x 16 / 5 omo o ponto está no segundo quadrante, temos 4 / / 5 ssim, y x / / x Resposta: O ponto de tangência é ( 4 5 / 5, 5 / 5) b) omo a reta passa pela origem, seu coeficiente linear é 0 Por outro lado, como a reta é a bissetriz do ângulo ÔB, seu coeficiente angular é dado por tg( 45) [tg( ) tg(45)] /[1 tg( )tg(45)] Logo, tg( 45) ( 1) /(1 1), e a reta desejada é y = x Resposta: reta que passa pela origem e pelo ponto tem equação y = x b ) reta que passa pelos pontos e tem coeficiente angular, de modo que (y y )/ (x x ) =, ou (y y ) = (x x ) omo a distância entre e é igual a, concluímos que (x x ) (y y ) 4 Logo, 5(x x ) 4, ou x x 5 / 5 ssim, y y 4 5 / 5, e ( 4 5 / 5 5 / 5, 5 / / 5), equação y = x Resposta: reta que passa pela origem e pelo ponto tem equação y = x Respostas Esperadas ª Fase ou ( 5 / 5, 6 5 / 5) omo a reta desejada passa pela origem, seu coeficiente linear é 0 Por outro lado, a reta passa pelo ponto, de modo que seu coeficiente angular é dado por y 0) /(x 0) 6 5 / 5 /( 5 / 5) Logo, a reta tem (

9 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI b ) O ponto é equidistante às retas y = x e y = x/ Reescrevendo essas retas, dizemos que é equidistante a x + y = 0 e a x + y = 0 Usando, então, a fórmula da distância entre ponto e reta, temos x ( ) y 1 e x y 1 Logo, x y 5 e x y 5 omo x 0 e y x, temos o sistema linear x y x y 5, 5 cuja solução é x 5 / 5, y 6 5 / 5 omo a reta desejada passa pela origem, seu coeficiente linear é 0 Por outro lado, a reta passa pelo ponto, de modo que seu coeficiente angular é dado por y 0) /(x 0) 6 5 / 5 /( 5 / 5) Logo, a reta tem ( equação y = x Resposta: reta que passa pela origem e pelo ponto tem equação y = x b ) reta desejada é a reta suporte da bissetriz do ângulo ÔB Dessa forma, os pontos dessa reta são equidistantes às retas y = x e y = x/, ou seja, são equidistantes a x + y = 0 e x + y = 0 ssim, tomando um ponto (x, y) qualquer dessa reta, temos x y ( ) 1 x y 1 Logo, x y x y s soluções dessa equação são soluções de x y x y ou de x y x y Isolando y na primeira equação, obtemos y = x Já a segunda equação fornece y = x/ omo a reta desejada passa pelo segundo e pelo quarto quadrantes, sua equação é y = x Resposta: reta que passa pela origem e pelo ponto tem equação y = x Questão 4 a) omo a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, o ângulo B Â mede = 10º plicando a lei dos senos ao triângulo B, obtemos B sen(bâ) B 15 B ou sen(ĉb) / 1/ Respostas Esperadas ª Fase

10 RESPOSTS ESPERDS MTEMÁTI 15 1/ 15 Logo, B 5 m / Resposta: distância entre e B é igual a 5 m a ) O triângulo B é isósceles, de modo que B = Tomando E como o ponto médio do segmento B, observamos que o triângulo BE é retângulo Desse modo, (15 / ) cos( Bˆ E), ou B cos( 0 ) (15 / ) B, ou ainda (15 / ) B 15 Logo, B 5 m Resposta: distância entre e B é igual a 5 m a ) omo a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º, o ângulo B Â mede = 10º lém disso, o triângulo B é isósceles, de modo que B = plicando, então, a lei dois cossenos ao triângulo B, obtemos B B B cos(âb), B B cos(10), B B ( 1/ ) Logo, 15 B 15, donde B 5 m Resposta: distância entre e B é igual a 5 m b) plicando, agora, a lei dos cossenos ao triangulo BD, obtemos BD B D B D cos(bĉd) / 175 Logo, BD m Resposta: distância entre B e D é igual a 5 7 m Respostas Esperadas ª Fase