Prova Vestibular ITA 1995
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- Jonathan Andrade Esteves
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1 Prova Vestibular ITA 1995 Versão 1.0
2 ITA ) (ITA-95) Seja A = n ( 1) n!. π + sen ; n ℵ n! 6 a) (- 1) n n. b) n. c) (- 1) n n. d) (- 1) n+1 n. e) (- 1) n+1 n. Qual conjunto abaixo é tal que sua intersecção com A dá o próprio A? a) (-, -) [, ) b) (-, -) c) [-, ] d) [-, 0] e) [0, ] 06) (ITA-95) Se a soma dos termos da progressão geométrica dada por 0,3 : 0,03 : 0,003 :... é igual ao termo médio de uma progressão aritmética de três termos, então a soma dos termos da progressão aritmética vale: a) 1/3 b) /3 c) 1 d) e) 1/ 0) (ITA-95) Seja a função f: R R definida por: a(x + π /) f(x) = ( π /) (a/x)senx se,x < π / se,x π / onde a > 0 é uma constante. Considere K = { y R; f (y) =0}. Qual o valor de a, sabendo-se que f( π / ) K? a) π / b) π/ c) π d) π / e) π 07) (ITA-95) Os dados experimentais da tabela abaixo correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após,5 segundo é: Tempo(s) Concentração(moles) 1 3,00 03) (ITA-95) Uma vez, para todo x 1 e n N, vale a desigualdade x n > n(x - 1). Temos como conseqüência que, para 0 < x < 1 e n N, tem-se: a) x n-1 < [n(1 + x)] -1 b) x n-1 < [(n + 1)(1 + x)] -1 5,00 3 1,00 a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80 c) x n-1 < [n (1 - x)] -1 d) x n-1 < [(n + 1)(1 - x)] -1 e) x n-1 < [n(1 - x)] -1 0) (ITA-95) Considere todos os números de cinco algarismos formados pela justaposição de 1, 3, 5, 7 e 9 em qualquer ordem, sem repetição. A soma de todos esses números está entre: a) e b) e c) e d) e e) e ) (ITA-95) A divisão de um polinômio P(x) por x - x resulta no quociente 6x + 5x + 3 e resto - 7x. O resto da divisão de P(x) por x + 1 é igual a: a) 1 b) c) 3 d) e) 5 09) (ITA-95) Sabendo que + i e 5 são raízes do polinômio x 5 - x + 7x 3 + x - 0x + 50, então a soma dos quadrados de todas as raízes reais é: a) 17 b) 19 c) 1 d) 3 e) 5 05) (ITA-95) Para cada n N, temos que: n 1 - n + n é igual a: n 10) (ITA-95) Seja z um número complexo satisfazendo Re(z) > 0 e ( z + i) + z + i = 6. Se n é o menor natural para o qual z n é um número imaginário puro, então n é igual a: a) 1 b) c) 3 d) e) 5
3 III- tr(a + λb) = tr(a) + λtr(b), para todo λ R. 11) (ITA-95) Sejam z 1 e z números complexos com z 1 = z =. Se 1 é uma raiz da equação z 1 z 6 + z z 3-8 = 0 então a soma das raízes reais é igual a: a) - 1 b) / c) 1-1/3 d) / e) / Temos que: a) Todas as afirmações são verdadeiras. b) Todas as afirmações são falsas. c) Apenas a afirmação I é verdadeira. d) Apenas a afirmação II é falsa. 1) (ITA-95) Se S é o conjunto dos valores de a para os quais o sistema x + y + z = 0 x + (log3 a).y + z = 0 em que há indeterminação, então: x + y + (log 7 )z = 0 3 a a) S [-3, 3]. b) S é vazio. c) S [, ]. d) S [1, 3]. e) S [0, 1]. e) Apenas a afirmação III é falsa. 16) (ITA-95) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0, 0), (b, b) e (5b, 0), com b > 0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: a) (-b, -b) b) (-b, -b) c) (b, -b) d) (3b, -b) e) (-b, -b) 13) (ITA-95) Se x é um número real positivo com x 1 e + log3 x logx(x + ) x 1/3, satisfazendo = logx(x + ) log x 1+ log x (x+ ) então x pertence ao intervalo I, onde: a) I = (0, 1/9) b) I = (0, 1/3) c) I = (1/, 1) d) I = (1, 3/) e) I = (3/, ) 1) (ITA-95) Dizemos que duas matrizes nxn A e B são semelhantes se existe uma matriz nxn inversível P tal que B = P -1 AP. Se A e B são matrizes semelhantes quaisquer, então: a) B é sempre inversível. b) Se A é simétrica, então B também é simétrica. c) B é semelhante a A. d) Se C é semelhante a A, então BC é semelhante a A. 3 17) (ITA-95) Uma reta t do plano cartesiano xoy tem coeficiente angular a e tangência a parábola y = x - 1 no ponto de coordenadas (a, b). Se (c, 0) e (0, d) são as coordenadas de dois pontos de t tais que c > 0 e c = -d, então a/b é igual a : a) -/15 b) -5/16 c) -3/16 d) -6/15 e) -7/15 18) (ITA-95) Considere C uma circunferência centrada em O e raio r, e t a reta tangente a C num ponto T. Considere também A um ponto de C tal que AÔT = θ é um ângulo agudo. Sendo B o ponto de t tal que o segmento ABé paralelo ao segmento OT, então a área do trapézio OABT é igual a: a) r ( cos θ - cos θ) b) r ( cos θ - sen θ) c) r ( sen θ - sen θ) d) r ( sen θ + cos θ) e) r ( sen θ - cos θ) e) det(λi - B) = det(λi - A), onde λ é um real qualquer. 19) (ITA-95) A expressão senθ, 0 < θ < π, idêntica a: 1+ cos θ 15) (ITA-95) Sejam A e B matrizes reais 3x3. Se tr(a) denota a soma dos elementos da diagonal principal de A, considere as afirmações: a) secθ/ b) cosecθ/ c) cotgθ/ d) tgθ/ e) cosθ/ I- tr(a t ) = tr(a ) II- Se A é inversível, então tr(a) 0. 0) (ITA-95) Um dispositivo colocado no solo a uma distância d de uma torre dispara dois projéteis em trajetórias retilíneas. O primeiro, lançado sob um ângulo θ
4 (0, π/), atinge a torre a uma altura h. Se o segundo, disparado sob um ângulo θ, a atinge a uma altura H, a relação entre as duas alturas será: a) H = hd /(d - h ) b) H = hd /(d + h) c) H = hd /(d - h) d) H = hd /(d + h ) e) H = hd /(d + h ) 1) (ITA-95) O comprimento da diagonal de um pentágono regular de lado medindo 1 unidade é igual à raiz positiva de: a) x + x - = 0. b) x - x - = 0. c) x - x + 1 = 0. d) x + x - 1 = 0. e) x - x - 1 = 0. A 3) (ITA-95) O raio de um cilindro de revolução mede 1,5m. Sabe-se que a área da base do cilindro coincide com a área da secção determinada por um plano que contém o eixo do cilindro. Então, a área total do cilindro, em m, vale: a) 3π π d) e) b) 9 π ( π + ) 3 π( π + 1) c) π ( π + ) ) (ITA-95) Dado o prisma hexagonal regular, sabe-se que sua altura mede 3 cm e que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume deste prisma, em cm 3, é: a) 7 3 b) 13 c) 1 3 d) 5 3 e) 17 5 E B D C 5) (ITA-95) Dada uma pirâmide triangular, sabe-se que sua altura mede 3a cm, onde a é a medida da aresta de sua base. Então, a área total desta pirâmide, em cm, vale: )(ITA-95) Um cone reto tem altura 1 cm e raio da base 5 cm. O raio da esfera inscrita neste cone mede, em cm: a) 10/3 b) / c) 1/5 d) 3 e) a) a 37 b) a 3( 33 ) d) + a 109 c) a 3(1 109 ) e) + a 3
5 Observações Como esta é a primeira versão, ela está passível de erros. Caso você encontre algum erro, contate-nos através do juliosousajr@gmail.com para que possa rever a questão e que possamos tornar esse arquivo ainda mais confiável.
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1 35. b) c) d) 8. 2x 1 8x 4. 3x 3 8x 8. 4 tgα ˆ MAN é igual a 4. . e) Sendo x a medida do segmento CN, temos a seguinte figura:
7. Considere um retângulo ABCD em que o comprimento do lado AB é o dobro do comprimento do lado BC. Sejam M o ponto médio de BC e N o ponto médio de CM. A tangente do ângulo MAN ˆ é igual a a) 5. b) 5.
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos ortogonais. n(a B) = 23, n(b A) = 12, n(c A) = 10, n(b C) = 6 e n(a B C) = 4,
NOTAÇÕES N = {0, 1, 2, 3,...} i: unidadeimaginária;i 2 = 1 Z: conjuntodosnúmerosinteiros z : módulodonúmeroz C Q: conjuntodosnúmerosracionais z: conjugadodonúmeroz C R: conjuntodosnúmerosreais Re z: parterealdez
P (A) n(a) AB tra. Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
NOTAÇÕES N = f; ; 3; : : :g i : unidade imaginária: i = R : conjunto dos números reais jzj : módulo do número z C C : conjunto dos números complexos Re z : parte real do número z C [a; b] = fx R; a x bg
NOTAÇÕES. Obs.: São cartesianos ortogonais os sistemas de coordenadas considerados
ITA006 NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos : conjunto dos números racionais i: unidade imaginária; i z = x+ iy, x, y = 1 : conjunto dos números reais : conjunto dos números inteiros = {0, 1,, 3,...
1. A imagem da função real f definida por f(x) = é a) R {1} b) R {2} c) R {-1} d) R {-2}
1. A imagem da função real f definida por f(x) = é R {1} R {2} R {-1} R {-2} 2. Dadas f e g, duas funções reais definidas por f(x) = x 3 x e g(x) = sen x, pode-se afirmar que a expressão de (f o g)(x)
NOTAÇÕES. R N C i z. ]a, b[ = {x R : a < x < b} (f g)(x) = f(g(x)) n. = a 0 + a 1 + a a n, sendo n inteiro não negativo.
R N C i z det A d(a, B) d(p, r) AB Â NOTAÇÕES : conjunto dos números reais : conjunto dos números naturais : conjunto dos números complexos : unidade imaginária: i = 1 : módulo do número z C : determinante
{ } Questão 1. Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Questão 2. Seja o conjunto = { : 0 e 2 2
NOTAÇÕES : conjunto dos números complexos. : conjunto dos números racionais. : conjunto dos números reais. : conjunto dos números inteiros. = 0,,,,.... { } { } * =,,,.... i : unidade imaginária; i =. z=x+iy,
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NOTAÇÕES. : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento de reta de extremidades nos pontos A e B
NOTAÇÕES R C : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária i = 1 det M : determinante da matriz M M 1 MN AB : inversa da matriz M : produto das matrizes M e N : segmento
p a p. mdc(j,k): máximo divisor comum dos números inteiros j e k. n(x) : número de elementos de um conjunto finito X. (a,b) = {x : a < x < b}.
MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {0,,,,...} : conjunto dos números inteiros : conjunto dos números racionais : conjunto dos números reais : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i = Izl: módulo do
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Se A, B, C forem conjuntos tais que ( B) =, n( B A) n A =, nc ( A) =, ( C) = 6 e n( A B C) 4 n B =, então n( A ), n( A C), n( A B C) nesta ordem, a) formam uma progressão aritmética de razão 6. b) formam
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NOTAÇÕES C : conjunto dos números complexos. [a, b] = {x R ; a x b}. Q : conjunto dos números racionais. ]a, b[= {x R ; a < x < b}. R : conjunto dos números reais. i : unidade imaginária ; i = 1. Z : conjunto
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a k. x a k. : conjunto dos números complexos i: unidade imaginária; i 2 = 1 z : módulo do número z z: conjugado do número z M m n
ITA MATEMÁTICA NOTAÇÕES = {,,,...} : conjunto dos números reais [a, b] = {x ; a x b} [a, b[ = {x ; a x < b} ]a, b[ = {x ; a < x < b} A\B = {x; x A e x B} k a n = a + a +... + a k, k n = k a n x n = a 0
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NOTAÇOES A ( ) 2. B ( ) 2^2. C ( ) 3. 7 D ( ) 2^ 3- E ( ) 2. Q uestão 2. Se x é um número real que satisfaz x3 = x + 2, então x10 é igual a
NOTAÇOES R : conjunto dos números reais N : conjunto dos números naturais C : conjunto dos números complexos i : unidade imaginária: i2 = z : módulo do número z E C det A : determinante da matriz A d(a,
(~ + 1) { ~ + 1) { : + 1)-... {I O~O + 1) é MATEMÁTICA. 2a é múltiplo de 6. CA) -6. cc) O. 28. O valor numérico da expressão CC) 500.
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( ) Questão 41. Questão 43. Questão 42. alternativa E. alternativa E. alternativa D
Questão Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A (, 0), B (0, ) e C 0,. Então, o ângulo BAC mede: ( ) a) 60 o b) 5 o c) 0 o d) 8 o e) 5 o alternativa E alternativa E De acordo com a
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x Júnior lucrou R$ 4 900,00 e que o estoque por ele comprado tinha x metros, podemos afirmar que 50
0. O Sr. Júnior, atacadista do ramo de tecidos, resolveu vender seu estoque de um determinado tecido. O estoque tinha sido comprado ao preço de R$,00 o metro. Esse tecido foi revendido no varejo às lojas
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QUESTÃO ÚNICA 0,000 pontos distribuídos em 50 itens Marque no cartão de respostas a única alternativa que responde de maneira correta ao pedido de cada item.. O valor da área, em unidades de área, limitada
Assinale as proposições verdadeiras some os resultados e marque na Folha de Respostas.
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9 ITA Notações MATEMÁTICA {,,, } "A matemática é o alfabeto com que Deus escreveu o mundo" Galileu Galilei i z : unidade imaginária: i : módulo do número z : conjunto dos números compleos [ a, b ] { ;
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NOTAÇÕES A. ( ) 0. B. ( ) 1. C. ( ) 2. D. ( ) 4. E. ( ) 8. são disjuntos, A B=
NOTAÇÕES = {,,,...} : conjunto dos números reais : conjuntodos números complexos [ ab, ] = { x ; a x b} ( a, + ) = a, + = { x ; a< x < + } A\ B= { x A; x B} A : complementar doconjunto A i :unidade imaginária;
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