( ) Questão 41. Questão 43. Questão 42. alternativa E. alternativa E. alternativa D

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1 Questão Os vértices de um triângulo ABC, no plano cartesiano, são: A (, 0), B (0, ) e C 0,. Então, o ângulo BAC mede: ( ) a) 60 o b) 5 o c) 0 o d) 8 o e) 5 o alternativa E alternativa E De acordo com a figura, temos EO EP + PO. Como EO é a medida da metade da diagonal do quadrado EFGH e PO é a medida da metade do lado do quadrado ABCD, temos que EO a e PO a, logo a a + a ( ) a Questão O conjunto dos pontos (x, y) do plano cartesiano, cujas coordenadas satisfazem a equação (x + y + ) (x + y ) (x y + ) 0, pode ser representado, graficamente, por: a) b) Como OA OB, AOB é um triângulo retângulo isósceles e, portanto, m(o AB) 5 o. Temos ainda que tg(oac) OC OA m(oac) 60 o. Assim, m(bac) m(oac) m(oab) o o o. c) d) Questão Na figura abaixo, os quadrados ABCD e EFGH têm, ambos, lado a e centro O. Se EP, então a é: a) b) c) d) e) e) alternativa D Temos (x + y + )(x + y )(x y + ) 0 x + y + 0 ou x + y 0 ou x y + 0

2 matemática x + y ou y x+ ou y x+ No plano cartesiano, x + y representa o conjunto vazio; y x +, uma reta de coeficiente angular e coeficiente linear ;e y x +, uma reta de coeficiente angular e coeficiente linear. Como, as retas são perpendiculares e, portanto, o gráfico que melhor representa a relação pedida éodaalternativa D. Questão Considere os seguintes dados, obtidos em 996 pelo censo do IBGE: i) A distribuição da população, por grupos de idade, é: idade número de pessoas deaanos de 5 a 7 anos de 8 a 9 anos anos ou mais ii) As porcentagens de pessoas, maiores de 8 anos, filiadas, ou não, a sindicatos, órgãos comunitários, órgãos de classe, são: iii) As porcentagens de pessoas, maiores de 8 anos, filiadas a sindicatos, órgãos comunitários e órgãos de classe são: A partir dos dados acima, pode-se afirmar que o número de pessoas, maiores de 8 anos, filiadas a órgãos comunitários é, aproximadamente, em milhões: a) b) 6 c) d) e) Pelos dados fornecidos, existem pessoas maiores de 8 anos. Destas, % são filiadas a sindicatos, órgãos comunitários ou órgãos de classe. Dentre as filiadas, 9% pertencem a órgãos comunitários. Logo o número de pessoas maiores de 8 anos, filiadas a órgãos comunitários, é: , 0, , 0, milhões Questão 5 Um comerciante deu um desconto de 0% sobre o preço de venda de uma mercadoria e, mesmo assim, conseguiu um lucro de 0% sobre o preço que pagou pela mesma. Se o desconto não fosse dado, seu lucro, em porcentagem, seria: a) 0% b) 5% c) 50% d) 55% e) 60% Seja p o preço de venda da mercadoria e c o preço de custo. Temos ( 0%)p ( + 0%)c 0,8p,c p, c p,5c, ou seja, o 0,8 lucro, se o desconto não fosse dado, seria de 50% sobre o preço de custo.

3 matemática Questão 6 y 9 A elipse x + e a reta y x +, do plano cartesiano, se interceptam nos pontos AeB. Pode-se, pois, afirmar que o ponto médio do segmento AB é: a), b) 7, c) 5, d), e), alternativa D As coordenadas dos pontos A(x A ; ya)e B(x B ; yb) são as soluções do sistema: y 9 (x + ) 9 x + x + y x + y x + x + 8x 7 0. Sendo M(x M ; ym) o y x + ponto médio do segmento AB, ele tem coordenadas x M e y M dadas por: 8 xa + xb x M e ya + yb (x A + ) + (xb + ) ym 8 xa + xb + +. Logo M ;. alternativa B Os números entre 0 e 0 que deixam resto divididos por são, e 7 e os que deixam resto divididos por são, 5 e 9. Assim, o único que satisfaz as duas condições é o, número de ações da senhora. Como dividido por dá quociente 7, esse é o número de ações que receberá cada um dos netos. Questão 8 No jogo de bocha, disputado num terreno plano, o objetivo é conseguir lançar uma bola de raio 8 o mais próximo possível de uma bola menor, de raio. Num lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o chão, é: a) 8 b) 6 c) 8 d) e) 6 Sejam O o centro da esfera maior, O o centro da esfera menor e P o ponto de tangência entre as duas esferas. Os pontos O, O,AeBdeterminam um trapézio retângulo, como mostra a figura a seguir. Questão 7 Uma senhora tinha entre trinta e quarenta ações de uma empresa para dividir igualmente entre todos os seus netos. Num ano, quando tinha netos, se a partilha fosse feita, deixaria ação sobrando. No ano seguinte, nasceu mais um neto e, ao dividir igualmente entre os quatro netos o mesmo número de ações, ela observou que sobrariam ações. Nesta última situação, quantas ações receberá cada neto? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 Seja C a projeção ortogonal de O sobre O A. Aplicando Pitágoras no triângulo O O C, retângulo em C, temos: O C + O C 8 Assim, a distância entre os pontos AeBéAB O C 8.

4 matemática Questão 9 A função f(x), definida para x, tem o seguinte gráfico: onde as linhas ligando (, 0a ) (0, ) e (0, ) a (, 0) são segmentos de reta. Supondo a 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x) a(x ) intercepta o gráfico de f(x) em exatamente pontos distintos? a) < a < 0 b) < a < c) < a < d) < a < e) a < alternativa A Se a 0, p(x) 0 para todo x [, ]. Assim, os gráficos de f(x) e p(x) teriam 6 pontos comuns. Logo a 0; Como a 0, devemos ter a<0.assim, o gráfico de p(x) a(x ) é uma parábola de con- cavidade para baixo que intercepta o eixo Ox e o gráfico de f(x) nos dois pontos distintos ( ; 0) e (; 0). Para que p(x) e f(x) tenham exatamente pontos em comum, o valor máximo de p(x) deve ser menor do que, isto é, p + ( ) < p(0) < a( ) < a >. Logo < a < 0. Questão 50 Sendo P (a, b) um ponto qualquer da circunferência de centro na origem e raio, que satisfaça b>0ea ±b, pode-se afirmar que b log a b a) 0 d) log b a b vale: b) e) log b c) log b A circunferência de centro na origem e raio admite equação (x 0) + (y 0) x + y. Logo, como P(a; b) pertence à circunferência, a + b. Assim, nas condições dadas, b a b a b a b b a b b b (a b ) (a + b ) a b b a + b b e b b b log a b log b. a b Questão 5 log b Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a, sendo que os seus terceiros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em. Então, o terceiro termo das progressões é: a) 0 b) c) d) 6 e) 8 alternativa D Sejam, + re+ r os três primeiros termos da progressão aritmética, e, q e q os três primeiros da progressão geométrica, com q 0. Temos + r q q q 0 + r q + r q q er 6. Assim o terceiro termo das progressões é 6.

5 matemática 5 Questão 5 O quadrado ao lado tem O como centro e M como ponto médio de um de seus lados. Para cada ponto X pertencente aos lados do quadrado, seja θ o ângulo MOX, medido em radianos, no sentido anti-horário. O gráfico que melhor representa a distância de OaX,emfunção de θ, é: a) b) Seja X X para π π θ e X o simétrico de X em relação a O para 5 π 7 π θ. Temos que OX OX é a hipotenusa de um triângulo com catetos X E e OE. Assim X E senθ OX OX OX XE OM cosecθ. senθ Portanto o gráfico que melhor representa a distância OX em função de θ é o do item A. Questão 5 cos θ Se tgθ, então o valor de é: + sen θ a) b) c) d) e) c) d) e) alternativa A Seja ABCD o quadrado da figura a seguir. alternativa B Temos cos θ cos θ sen θ. Dividindo o numerador e o denominador dessa expressão por + sen θ + senθ cosθ cos tg θ θ, teremos + tgθ cos θ tg θ sec θ + tgθ tg θ + tg θ + tgθ ( tgθ)( + tgθ) tgθ ( + tgθ) + tgθ. Como tgθ, então cos θ + sen θ +. Questão 5 Seja X X para 0 θ π ou 7 θ π e X o π simétrico de X em relação a O para π 5 π θ. Temos que OX OX é a hipotenusa de um triângulo com catetos OM e MX. Assim OM OX cosθ OX OX OM cosθ OM secθ. Na figura ao lado, a reta r é paralela ao segmento AC, sendo E o ponto de intersecção de r com a reta determinada por DeC.Seas áreas dos triângulos ACE e ADC são e0, respectivamente, e a área do quadrilátero ABED é, então a área do triângulo BCE é: a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0

6 matemática 6 alternativa B De acordo com a figura, temos que as áreas dos triângulos ACB e ACE são iguais, pois possuem mesma base (AC) e mesma altura h (AC // r). π c π + π +. c 6 6 Logo c é igual a π multiplicado por c 6 +. Questão 56 Como a área do quadrilátero ABED é igual à soma das áreas dos triângulos ADC, ACB e BCE, a área do triângulo BCE é igual a 0 7. Questão 55 Numa circunferência, c é o comprimento do arco de π 6 radianos e c é o comprimento da secante determinada por este arco, como ilustrado na figura abaixo. Então, a razão c/c é igual a π multiplicado por: 6 O polinômio x + x x + 6 admite + i como raiz, onde i. O número de raízes reais deste polinômio é: a) 0 b) c) d) e) alternativa A Como os coeficientes do polinômio x + x x + 6 são reais e + i é raiz, i também é raiz. Assim, pelo dispositivo prático de divisão de Briot-Ruffini, temos + i 0 6 i + i + i + i 0 0 Então x + x x + 6 (x ( + i)) (x ( i)) (x + x + ). Como x + x + não apresenta raízes reais, pois < 0, o polinômio dado não tem nenhuma raiz real. a) d) + b) + e) + c) + Seja r o raio da circunferência. π Temos c r. 6 Pela lei dos co-senos c r r π + r r cos 6 c r r c r. Assim, πr c 6 c r Questão 57 Na figura ao lado, tem-se que AD AE, CD CF e BA BC. Se o ângulo EDF mede 80 o, então o ângulo ABC mede: a) 0 o b) 0 o c) 50 o d) 60 o e) 90 o alternativa A Como BA BC, m(bac ) m(bca ) α m(ead ) m(fcd ) α. Assim, como os triângulos DAE e DCF também são isósceles,

7 matemática 7 m(ade o 80 α ) m(cdf ) e, portanto, o o 80 α o 80 α o α 80 o. Conseqüentemente, m(abc o o ) 80 α 0. Questão 58 Assim, sendo PB uma altura do triângulo PQR, temos BR m e, pelo teorema de Pitágo-,5 ras, PB 7 m. Portanto h AC AP + PB + BC 7 7 0, ,5 + m. Um lenhador empilhou troncos de madeira num caminhão de largura,5m, conforme a figura abaixo. Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, em metros, é: a) + 7 b) d) + e) + 7 alternativa E c) + 7 Sejam P, QeRoscentros dos troncos de raio r 0,5 m, como na figura a seguir. Assim, o triângulo PQR é isósceles com QR,5 0,5,5 m epq PR 0,5 m. Questão 59 Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente, serão designadas por h, h,..., h 0 (h < h <... < h 9 < h 0 ). O professor vai escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas. Dos 0 5 grupos 5 que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja altura é h 7, ocupará a posição central durante a demonstração? a) 7 b) 0 c) d) 5 e) 60 alternativa D Para que o estudante cuja altura é h 7 ocupe a posição central durante a demonstração, devem ser escolhidos dois estudantes dentre os de altura h, h,..., h 6 e dois dentre os de altura h 8, h 9, h 0. Portanto ele ocupará a posição central em grupos.

8 matemática 8 Questão 60 Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD, respectivamente. Então, o valor de EF é: alternativa B Como ABC e ABD são triângulos eqüiláteros de lado a e E é o ponto médio de AB, então as suas alturas são, respectivamente, EC eed, com a EC ED. a) a d) a b) a e) a c) a Logo CED é isósceles de base CD. Temos ainda a que CF FD e, portanto, EF é altura do CED e, assim, EF + FC CE + a a a EF EF.